Enhetlig begränsning

I matematik är en enhetligt avgränsad familj av funktioner en familj av avgränsade funktioner som alla kan begränsas av samma konstant. Denna konstant är större än eller lika med det absoluta värdet av något värde av någon av funktionerna i familjen.

Definition

Verklig linje och komplext plan

Låta

{\mathcal {F}}=\{f_{i}:X\to K,i\in I\}

vara en familj av funktioner indexerade av $I$ , där $X$ är en godtycklig mängd och $K$ är mängden av reella eller komplexa tal . Vi kallar ${\mathcal {F}}$ enhetligt begränsat om det finns ett reellt tal $M$ så att

|f_{i}(x)|\leq M\qquad \forall i\in I\quad \forall x\in X.

Metriskt utrymme

Låt i allmänhet $Y$ vara ett metriskt utrymme med metriskt $d$ , då uppsättningen

{\mathcal {F}}=\{f_{i}:X\to Y,i\in I\}

kallas enhetligt begränsat om det finns ett element $a$ från $Y$ och ett reellt tal $M$ så att

d(f_{i}(x),a)\leq M\qquad \forall i\in I\quad \forall x\in X.

Exempel

Varje enhetligt konvergent sekvens av begränsade funktioner är enhetligt begränsad.
Funktionsfamiljen $f_{n}(x)=\sin nx$ definierad för verklig $x$ med $n$ som går genom heltal , är enhetligt avgränsad av 1.
Familjen av derivator av ovanstående familj, $f'_{n}(x)=n\,\cos nx,$ är inte likformigt begränsad. Varje $f'_{n}$ avgränsas av $|n|,$ men det finns inget reellt tal $M$ så att $|n|\leq M$ för alla heltal $n.$

Ma, Tsoy-Wo (2002). Banach-Hilbert utrymmen, vektormått, grupprepresentationer . World Scientific. sid. 620 sid. ISBN 981-238-038-8 .