Dödande form

Inom matematiken är Killing -formen , uppkallad efter Wilhelm Killing , en symmetrisk bilinjär form som spelar en grundläggande roll i teorierna om Lie-grupper och Lie-algebror . Cartans kriterier (kriteriet för löslighet och kriteriet för semisimplicitet) visar att Killing-formen har ett nära samband med Lie-algebrans semisimplicity .

Historia och namn

Killing-formen introducerades i huvudsak i Lie algebra-teorin av Élie Cartan ( 1894 ) i sin avhandling. I en historisk undersökning av Lie-teorin Borel (2001) beskrivit hur termen "Killing form" först uppstod 1951 under en av hans egna rapporter för Séminaire Bourbaki ; det uppstod som en felaktig benämning , eftersom formen tidigare hade använts av Lie-teoretiker, utan ett namn bifogat. Vissa andra författare använder nu termen " Cartan-Killing form " . I slutet av 1800-talet hade Killing noterat att koefficienterna för den karakteristiska ekvationen för ett reguljärt halvenkelt element i en Lie-algebra är invarianta under adjointgruppen, varav det följer att Killing-formen (dvs. grad 2-koefficienten) är invariant, men han använde sig inte så mycket av det faktumet. Ett grundläggande resultat som Cartan använde sig av var Cartans kriterium , som säger att Killing-formen är icke-degenererad om och endast om Lie-algebra är en direkt summa av enkla Lie-algebror .

Definition

Betrakta en Lie algebra ${\mathfrak {g}}$ över ett fält $K$ . Varje element $x$ i ${\mathfrak {g}}$ definierar adjoint endomorphism $ad(x)$ (även skrivet som $ad x$ ) av ${\mathfrak {g}}$ med hjälp av lögnen fäste, som

\operatörsnamn {ad} (x)(y)=[x,y].

Om nu ${\mathfrak {g}}$ är av ändlig dimension, definierar spåret av sammansättningen av två sådana endomorfismer en symmetrisk bilinjär form

B(x,y)=\operatörsnamn {spår} (\operatörsnamn {ad} (x)\circ \ operatörsnamn {ad} (y)),

med värden i $K$ , Killing -formen på ${\mathfrak {g}}$ .

Egenskaper

Följande egenskaper följer som satser från definitionen ovan.

Dödande form $B$ är bilinjär och symmetrisk.
Killing-formen är en invariant form, liksom alla andra former som erhålls från Casimir-operatörer . Härledningen från Casimir-operatörer försvinner; för Killing-formen kan denna försvinnande skrivas som

B([x,y],z)=B(x,[y,z])

där [ , ] är Lie-parentesen .

Om ${\mathfrak {g}}$ är en enkel Lie-algebra så är varje invariant symmetrisk bilinjär form på ${\mathfrak {g}}$ en skalär multipel av Killing-formen.
Killing-formen är också invariant under automorfismer $s$ av algebra ${\displaystyle {\mathfrak {g}}} ,$ det vill säga,

B(s(x),s(y))=B(x,y)

för

s

in

{ \mathfrak {g}}

.

Cartan -kriteriet säger att en Lie-algebra är halvenkel om och endast om Killing-formen är icke-degenererad .
Den dödande formen av en nilpotent Lie-algebra är identiskt noll.
Om $I, J$ är två ideal i en Lie-algebra ${\mathfrak {g}}$ med noll skärningspunkt, då är $I$ och $J$ ortogonala delrum med avseende på Killing-formen.
Det ortogonala komplementet med avseende på $B$ av ett ideal är återigen ett ideal.
Om en given Lie-algebra ${\mathfrak {g}}$ är en direkt summa av dess ideal $I 1,..., I n$ , då dödar formen av ${\mathfrak {g}}$ är den direkta summan av Killing-formerna för de individuella summanderna.

Matriselement

Givet en bas $e i$ för Lie-algebra ${\mathfrak {g}}$ , ges matriselementen i Killing-formen av

B_{ij}=\mathrm {spår} (\mathrm {ad} (e_{i})\circ \mathrm {ad} (e_{j})).

Här

\left({\textrm {ad}}(e_{i})\circ {\textrm {ad}}(e_{j})\right)(e_{k})=[e_{ i},[e_{j},e_{k}]]=[e_{i},{c_{jk}}^{m}e_{m}]={c_{im}}^{n}{c_ {jk}}^{m}e_{n}

i Einstein summationsnotation , där $c ij k$ är strukturkoefficienterna för Lie-algebra. Indexet $k$ fungerar som kolumnindex och indexet $n$ som radindex i matrisen $ad(e i)ad(e j)$ . Att ta spåret motsvarar att sätta $k = n$ och summera, och så kan vi skriva

B_{ij}={c_{im}}^{n}{c_{jn}}^{m}

Killing-formen är den enklaste 2- tensor som kan bildas från strukturkonstanterna. Själva formen är då $B=B_{ij}e^{i}\otimes e^{j}.$

I ovanstående indexerade definition är vi noga med att skilja övre och nedre index ( co- och contra-variant index). Detta beror på att Killing-formen i många fall kan användas som en metrisk tensor på ett grenrör, i vilket fall distinktionen blir viktig för tensorernas transformationsegenskaper. När Lie-algebra är halvenkel över ett nollkarakteristiskt fält, är dess dödande form icke degenererad, och kan därför användas som en metrisk tensor för att höja och sänka index. I det här fallet är det alltid möjligt att välja en grund för ${\mathfrak {g}}$ så att strukturkonstanterna med alla övre index är helt antisymmetriska .

Killing-formen för vissa Lie-algebror ${\mathfrak {g}}$ är (för $X, Y$ in ${\mathfrak {g}}$ sedda i deras grundläggande matrisrepresentation): ^{[ citat behövs ]}

${\mathfrak {g}}$	$B(X,Y)$	Klassificering	Dubbla coxeter-nummer
${\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {R} )$	$2n{\text{tr}}(XY)-2{\text{tr}}(X){\text{tr}} (Y)$	-	-
${\mathfrak {sl}}(n,\mathbb {R} ),n\geq 2$	$2n{\text{tr}}(XY)$	$A_{n-1}$	$n$
${\mathfrak {su}}(n),n\geq 2$	$2n{\text{tr}}(XY)$	$A_{n-1}$	$n$
${\mathfrak {so}}(n),n\geq 2$	$2(n-2){\text{tr}}(XY)$	$B_{m},n=2m+1$ för $n$ udda. $D_{m},n=2m$ för $n$ jämnt.	$n-2$
${\mathfrak {so}}(n,\mathbb {C} ),n\geq 2$	$2(n-2){\text{tr}}(XY)$	$B_{m},n=2m+1$ för $n$ udda. $D_{m},n=2m$ för $n$ jämnt.	$n-2$
${\mathfrak {sp}}(2n,\mathbb {R} ),n\geq 1$	$2(n+1){\text{tr}}(XY)$	$C_{n}$	$n+1$
${\mathfrak {sp}}(n),n\geq 1$	$2(n+1){\text{tr}}(XY)$	$C_{n}$	$n+1$

Tabellen visar att Dynkin-indexet för den adjoint representationen är lika med två gånger det dubbla Coxeter-talet .

Samband med verkliga former

$0$ Antag att ${\mathfrak {g}}$ är en halvenkel Lie-algebra över fältet av reella tal $\mathbb {R}$ . Enligt Cartans kriterium är Killing-formen icke degenererad och kan diagonaliseras på lämpligt sätt med de diagonala posterna $\pm1$ . Enligt Sylvesters tröghetslag är antalet positiva poster en invariant av den bilinjära formen, dvs det beror inte på valet av diagonaliserande bas, och kallas för Lie-algebras index ${\mathfrak {g }}$ . Detta är ett tal mellan och dimensionen av ${\mathfrak {g}}$ som är en viktig invariant av den verkliga Lie-algebra. Speciellt kallas en verklig Lie-algebra ${\mathfrak {g}}$ kompakt om Killing-formen är negativ definit (eller negativ semidefinit om Lie-algebra inte är halvenkel). Observera att detta är en av två inekvivalenta definitioner som vanligtvis används för kompakthet hos en Lie-algebra; den andra säger att en Lie-algebra är kompakt om den motsvarar en kompakt Lie-grupp. formen är mer restriktiv, eftersom man använder denna definition kan det visas att under Lie- överensstämmelsen motsvarar kompakta Lie-algebras kompakta Lie-grupper .

Om ${\mathfrak {g}}_{\mathbb {C} }$ är en halvenkel Lie-algebra över de komplexa talen, så finns det flera icke-isomorfa reella Lie-algebror vars komplexisering är ${\mathfrak {g}}_{\mathbb {C} }$ , som kallas dess verkliga former . Det visar sig att varje komplex semisenkel Lie-algebra medger en unik (upp till isomorfism) kompakt reell form ${\mathfrak {g}}$ . De verkliga formerna av en given komplex halvenkel Lie-algebra märks ofta av det positiva tröghetsindexet för deras dödande form.

Till exempel har den komplexa speciella linjära algebran ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ två reella former, den reella speciallinjära algebran, betecknad ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )$ , och den speciella enhetliga algebra , betecknad ${\mathfrak {su}}(2)$ . Den första är icke-kompakt, den så kallade split real formen och dess Killing-form har signatur $(2, 1)$ . Den andra är den kompakta reella formen och dess dödande form är negativt bestämd, dvs har signatur ( $0, 3)$ . Motsvarande Lie-grupper är den icke-kompakta gruppen $\mathrm {SL} (2,\mathbb {R} )$ av $2 \times 2$ reella matriser med enhetsdeterminanten och den speciella enhetsgruppen ${\displaystyle \mathrm {SU} (2)} ,$ som är kompakt.

Spåra former

Låt ${\mathfrak {g}}$ vara en ändlig dimensionell Lie-algebra över fältet $K$ , och $\rho :{\mathfrak {g }}\rightarrow {\text{End}}(V)$ vara en Lie-algebra-representation. Låt ${\displaystyle {\text{Tr}}_{V}:{\text{End}}(V)\rightarrow K} vara spårfunktionen$ på $V$ . Sedan kan vi definiera spårformen för representationen $\rho$ som

{\text{Tr}}_{\rho }:{\mathfrak {g}}\ gånger {\mathfrak {g}}\högerpil K,

{\text{Tr}}_{\rho }(X,Y)={\text{Tr}}_{V}(\rho (X)\rho (Y)).

Då är Killing-formen specialfallet att representationen är den adjoint representationen, ${\text{Tr}}_{\text{ad}}=B$ .

Det är lätt att visa att detta är symmetriskt, bilinjärt och invariant för alla representationer $\rho$ .

Om dessutom ${\mathfrak {g}}$ är enkel och $\rho$ är irreducerbar, så kan den visas ${\text{Tr}} _{\rho }=I(\rho )B$ där $I(\rho )$ är representationens index.

Se även

Citat

Borel, Armand (2001), Essays in the history of Lie groups and algebraic groups , History of Mathematics, vol. 21, American Mathematical Society och London Mathematical Society, ISBN 0821802887
Bump, Daniel (2004), Lie Groups , Graduate Texts In Mathematics, vol. 225, Springer, doi : 10.1007/978-1-4614-8024-2 , ISBN 978-0-387-21154-1
Cartan, Élie (1894), Sur la structure des groupes de transformations finis et continus , Thesis, Nony
Fuchs, Jurgen (1992), Affine Lie Algebras and Quantum Groups , Cambridge University Press , ISBN 0-521-48412-X
Fulton, William ; Harris, Joe (1991). Representationsteori. En första kurs . Graduate Texts in Mathematics , Readings in Mathematics. Vol. 129. New York: Springer-Verlag. doi : 10.1007/978-1-4612-0979-9 . ISBN 978-0-387-97495-8 . MR 1153249 . OCLC 246650103 .
"Killing form" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
Kirillov, Alexander Jr. (2008), An introduction to Lie groups and Lie algebras , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 113, Cambridge University Press , CiteSeerX 10.1.1.173.1452 , doi : 10.1017/CBO9780511755156 , ISBN 978-0-521-88969-8 , MR 2440737