Metrisk tensor som beskriver konstant negativ (hyperbolisk) krökning
Inom matematiken är Poincaré-metriken , uppkallad efter Henri Poincaré , den metriska tensor som beskriver en tvådimensionell yta med konstant negativ krökning . Det är den naturliga metriken som vanligtvis används i en mängd olika beräkningar i hyperbolisk geometri eller Riemann-ytor .
Det finns tre likvärdiga representationer som vanligtvis används i tvådimensionell hyperbolisk geometri . En är Poincaré-halvplansmodellen , som definierar en modell av hyperboliskt utrymme på det övre halvplanet . Poincaré -skivmodellen definierar en modell för hyperboliskt utrymme på enhetsskivan . Skivan och det övre halvplanet är relaterade till en konform karta , och isometrier ges av Möbius-transformationer . En tredje representation är på den punkterade skivan , där relationer för q -analoger
Översikt över mått på Riemann-ytor
Ett mått på det komplexa planet kan generellt uttryckas i formen
d
s
2
=
λ
2
( z ,
z ¯
) d z d
z ¯
{\displaystyle ds^{2}=\lambda ^{2}(z,{\överlinje {z}})\,dz\,d{ \overline {z}}}
där λ är en reell, positiv funktion av
z
{\displaystyle z}
z ¯
{\displaystyle {\overline {z}}}
l ( γ ) =
∫
γ
λ ( z ,
z ¯
)
|
d z
|
{\displaystyle l(\gamma )=\int _{\gamma }\lambda (z,{\overline {z}})\,|dz|}
Arean av en delmängd av det komplexa planet ges av
Area
( M ) =
∫
M
λ
2
( z ,
z ¯
)
i 2
d z ∧ d
z ¯
{\displaystyle {\text{Area}}(M)=\int _{M}\lambda ^{2}( z,{\overline {z}})\,{\frac {i}{2}}\,dz\wedge d{\overline {z}}}
där
∧
{\displaystyle \wedge }
yttre produkten som används för att konstruera volymformen . Metrikens determinant är lika med
λ
4
{\displaystyle \lambda ^{4}}
λ
2
{\displaystyle \lambda ^{2}}
d x ∧ d y
{\displaystyle dx\wedge dy}
d z ∧ d
z ¯
= ( d x + i d y ) ∧ ( d x − i d y ) = − 2 i d x ∧ d y .
{\displaystyle dz\wedge d{\overline {z}}=(dx+i\,dy)\wedge (dx-i\,dy)=-2i\,dx\wedge dy.}
En funktion
Φ ( z ,
z ¯
)
{\displaystyle \Phi (z,{\overline {z}})}
potentialen för metriken om
4
∂
∂ z
∂
∂
z ¯
Φ ( z ,
z ¯
) =
λ
2
( z ,
z ¯
) .
{\displaystyle 4{\frac {\partial }{\partial z}}{\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}}}\Phi (z,{\overline {z}})= \lambda ^{2}(z,{\överlinje {z}}).}
Laplace –Beltrami-operatören ges av
Δ =
4
λ
2
∂
∂ z
∂
∂
z ¯
=
1
λ
2
(
∂
2
∂
x
2
+
∂
2
∂
y
2
)
.
{\displaystyle \Delta ={\frac {4}{\lambda ^{2}}}{\frac {\partial }{\partial z}}{\frac {\partial }{\partial {\overline {z} }}}={\frac {1}{\lambda ^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right).}
Metrikens Gaussiska krökning ges av
K = − Δ log λ .
{\displaystyle K=-\Delta \log \lambda .\,}
Denna krökning är hälften av Riccis skalära krökning .
Isometrier bevarar vinklar och båglängder. På Riemann-ytor är isometrier identiska med koordinatförändringar: det vill säga både Laplace-Beltrami-operatorn och krökningen är invarianta under isometrier. Låt därför S vara en Riemann-yta med metrisk
λ
2
( z ,
z ¯
) d z d
z ¯
{\displaystyle \lambda ^{2}(z,{\överlinje {z}})\,dz\ ,d{\overline {z}}}
T är en Riemann-yta med metrisk
μ
2
( w ,
w ¯
) d w d
w ¯
{\displaystyle \mu ^{2}(w,{\overline {w}} )\,dw\,d{\overline {w}}}
f : S → T
{\displaystyle f:S\to T\,}
med
f = w ( z ) är
{\displaystyle f=w(z)}
μ
2
( w ,
w ¯
)
∂ w
∂ z
∂
w ¯
∂
z ¯
=
λ
2
( z ,
z ¯
)
{\displaystyle \mu ^{2}(w,{\överlinje {w}})\;{ \frac {\partial w}{\partial z}}{\frac {\partial {\overline {w}}}{\partial {\overline {z}}}}=\lambda ^{2}(z,{ \overline {z}})}
Här är kravet på att kartan är konform inget annat än påståendet
w ( z ,
z ¯
) = w ( z ) ,
{\displaystyle w(z,{\overline {z}})=w(z),}
det är,
∂
∂
z ¯
w ( z ) = 0.
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}}}w(z)=0.}
Metriskt och volymelement på Poincaré-planet
Poincarés metriska tensor i Poincarés halvplansmodell anges på det övre halvplanet H som
d
s
2
=
d
x
2
+ d
y
2
y
2
=
d z d
z ¯
y
2
{\displaystyle ds^{2}={\frac {dx^{2}+dy^{2}}{y^{ 2}}}={\frac {dz\,d{\overline {z}}}{y^{2}}}}
där vi skriver
d z = d x + i d y
{\displaystyle dz=dx+i\,dy}
d
z ¯
= d x − i d y
{\displaystyle d{\overline {z}}=dx-i \,dy}
SL(2, R ) . Det vill säga om vi skriver
z ′
=
x ′
+ i
y ′
=
a z + b
c z + d
{\displaystyle z'=x'+iy'={\frac {az+b}{cz+d}}}
för
a d − b c = 1
{\displaystyle ad-bc=1}
x ′
=
a c (
x
2
+
y
2
) + x ( a d + b c ) + b d
|
c z + d
|
2
{\displaystyle x'={\frac {ac(x^{2}+y^{2})+x(ad+bc)+bd}{|cz+d|^{2}}}}
och
y ′
=
y
|
c z + d
|
2
.
{\displaystyle y'={\frac {y}{|cz+d|^{2}}}.}
Den infinitesimala transformerar som
d
z ′
=
∂
∂ z
(
a z + b
c z + d
)
d z =
a ( c z + d ) − c ( a z + b )
( c z + d
)
2
d z =
a c z + a d − c a z − c b
( c z + d
)
2
d z =
a d − c b
( c z + d
)
2
d z
=
a d − c b = 1
1
( c z + d
)
2
d z =
d z
( c z + d
)
2
{\displaystyle dz'={\frac {\partial }{\partial z}}{\Big (}{\frac {az+b}{cz+d}}{\ Big )}\,dz={\frac {a(cz+d)-c(az+b)}{(cz+d)^{2}}}\,dz={\frac {acz+ad-caz -cb}{(cz+d)^{2}}}\,dz={\frac {ad-cb}{(cz+d)^{2}}}\,dz\,\,{\overset { ad-cb=1}{=}}\,\,{\frac {1}{(cz+d)^{2}}}\,dz={\frac {dz}{(cz+d)^{ 2}}}}
och så
d
z ′
d
z ¯
′
=
d z d
z ¯
|
c z + d
|
4
{\displaystyle dz'd{\overline {z}}'={\frac {dz\,d{\overline {z}}}{|cz+d|^{4}}}}
vilket gör det klart att den metriska tensorn är invariant under SL(2, R ). Verkligen,
d
z ′
d
z ¯
′
y
′
2
=
d z d
z ¯
|
c z + d
|
4
y
2
|
c z + d
|
4
=
dzdz¯y2
_
.
_ _
_
_
_
{\displaystyle {\frac {dz'\,d{\overline {z}}'}{y'^{2}}}={\frac {\frac {dzd{\overline {z}}}{|cz +d|^{4}}}{\frac {y^{2}}{|cz+d|^{4}}}}={\frac {dz\,d{\overline {z}}}{ y^{2}}}.}
invariant volym ges av
d μ =
d x d y
y
2
.
{\displaystyle d\mu ={\frac {dx\,dy}{y^{2}}}.}
Måttet ges av
ρ (
z
1
,
z
2
) = 2
tanh
− 1
|
z
1
−
z
2
|
|
z
1
−
z
2
¯
|
{\displaystyle \rho (z_{1},z_{2})=2\tanh ^{-1}{\frac {|z_{1}-z_{2}|}{|z_{1}-{\ överlinje {z_{2}}}|}}}
ρ (
z
1
,
z
2
) = log
|
z
1
−
z
2
¯
|
+
|
z
1
−
z
2
|
|
z
1
−
z
2
¯
|
−
|
z
1
−
z
2
|
{\displaystyle \rho (z_{1},z_{2})=\log {\frac {|z_{1}-{\overline {z_{2}}}|+|z_{1}-z_{2 }|}{|z_{1}-{\overline {z_{2}}}|-|z_{1}-z_{2}|}}}
för
z1
_
,
z2∈H
_
.
_
_
{\displaystyle z_{1},z_{2}\in \mathbb {H} .}
En annan intressant form av måttet kan ges i termer av korsförhållandet
z
1
,
z
2
,
z
3
{\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3}}
z
4
{\displaystyle z_{4}}
kompakterade komplexa planet
C
^
=
C
∪ { ∞ } ,
{\displaystyle {\hat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \},} korsförhållandet definieras
(
z
1
,
z
2
;
z
3
,
z
4
) =
(
z
1
-
z
3
) (
z
2
-
z
4
)
(
z
1
-
z
4
) (
z
2
-
z
3
)
.
{\displaystyle (z_{1},z_{2};z_{3},z_{4})={\frac {(z_{1}-z_{3})(z_{2}-z_{4} )}{(z_{1}-z_{4})(z_{2}-z_{3})}}.}
Sedan ges måtten av
ρ (
z1
)
,
z2
.
) = log (
zi
,
,
z2
_
;
zlx
_
_
z2x
_
_
_
_
_
_
{\displaystyle \rho (z_{1},z_{2})=\log \left(z_{1},z_{2};z_{1}^{\times },z_{2}^{\times }\höger).}
Här är
z
1
×
{\displaystyle z_{1}^{\times }}
z
2
×
{\displaystyle z_{2}^{\times }}
z
1
{\displaystyle z_{1}}
z
2
{\displaystyle z_{2}}
z
1
{\displaystyle z_{1}}
z
1
×
{\displaystyle z_{1}^{\times }}
z
2
{\displaystyle z_{2}}
Geodesiken för denna metriska tensor är cirkulära bågar vinkelräta mot den reella axeln (halvcirklar vars ursprung är på den reella axeln) och raka vertikala linjer som slutar på den reella axeln .
Konform karta över plan till disk
Det övre halvplanet kan avbildas konformt med enhetsskivan med Möbius-transformationen
w =
e
i ϕ
z −
z
0
z −
z
0
¯
{\displaystyle w=e^{i\phi }{\frac {z-z_{0}}{z-{\overline {z_{0}}}}} }
0 där w är den punkt på enhetsskivan som motsvarar punkten z i det övre halvplanet. I denna mappning kan konstanten z vara vilken punkt som helst i det övre halvplanet; den kommer att mappas till mitten av disken. Den reella axeln
ℑ z =
0
{\displaystyle \Im z=0}
|
w
|
= 1.
{\displaystyle |w|=1.}
ϕ
{\displaystyle \phi }
Den kanoniska kartläggningen är
w =
i z + 1
z + i
{\displaystyle w={\frac {iz+1}{z+i}}}
0 som tar i till mitten av skivan och till botten av skivan.
Metriskt och volymelement på Poincaré-skivan
Den metriska Poincaré-tensorn i Poincaré-skivmodellen anges på den öppna enhetsskivan
U =
{
z = x + i y :
|
z
|
=
x
2
+
y
2
< 1
}
{\displaystyle U=\left\{z=x+iy:|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}<1\right\ }}
förbi
d
s
2
=
4 ( d
x
2
+ d
y
2
)
( 1 - (
x
2
+
y
2
)
)
2
=
4 d z d
z ¯
( 1 -
|
z
|
2
)
2
.
{\displaystyle ds^{2}={\frac {4(dx^{2}+dy^{2})}{(1-(x^{2}+y^{2}))^{2} }}={\frac {4dz\,d{\overline {z}}}{(1-|z|^{2})^{2}}}.}
Volymelementet ges av
d μ =
4 d x d y
( 1 - (
x
2
+
y
2
)
)
2
=
4 d x d y
( 1 -
|
z
|
2
)
2
.
{\displaystyle d\mu ={\frac {4dx\,dy}{(1-(x^{2}+y^{2}))^{2}}}={\frac {4dx\,dy} {(1-|z|^{2})^{2}}}.}
Poincaré-måttet ges av
ρ (
z
1
,
z
2
) = 2
tanh
− 1
|
z
1
−
z
2
1 −
z
1
z
2
¯
|
{\displaystyle \rho (z_{1},z_{2})=2\tanh ^{-1}\left|{\frac {z_{1}-z_{2}}{1-z_{1}{ \overline {z_{2}}}}}\right|}
för
z
1
,
z
2
∈ U .
{\displaystyle z_{1},z_{2}\in U.}
Geodesiken för denna metriska tensor är cirkulära bågar vars ändpunkter är ortogonala mot skivans gräns. Geodetiska flöden på Poincaré-skivan är Anosov-flöden ; den artikeln utvecklar notationen för sådana flöden.
Modellen med punkterad skiva
J-invariant i punkterade diskkoordinater; det vill säga som en funktion av nomen.
J-invariant i Poincare diskkoordinater; Observera att den här skivan roteras 90 grader från kanoniska koordinater som anges i den här artikeln
En andra vanlig mappning av det övre halvplanet till en skiva är q-mappningen
q = exp ( i π τ )
{\displaystyle q=\exp(i\pi \tau )}
där q är nomen och τ är halvperiodsförhållandet :
τ =
ω
2
ω
1
{\displaystyle \tau ={\frac {\omega _{2}}{\omega _{1}}}}
I notationen av de föregående avsnitten är τ koordinaten i det övre halvplanet
ℑ τ >
0
{\displaystyle \Im \tau >0}
q =0 inte finns i bilden av kartan.
Poincaré-måttet på det övre halvplanet inducerar ett mått på q-skivan
d
s
2
=
4
|
q
|
2
( log
|
q
|
2
)
2
d q d
q ¯
{\displaystyle ds^{2}={\frac {4}{|q|^{2}(\log |q|^{2})^ {2}}}dq\,d{\overline {q}}}
Potentialen för måttet är
Φ ( q ,
q ¯
) = 4 log log
|
q
|
− 2
{\displaystyle \Phi (q,{\overline {q}})=4\log \log |q|^{-2}}
Schwarz lemma
Poincaré-metriken är avståndsminskande för harmoniska funktioner. Detta är en förlängning av Schwarz-lemma , kallad Schwarz–Ahlfors–Pick-satsen .
Se även
Hershel M. Farkas och Irwin Kra, Riemann Surfaces (1980), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90465-4 .
Compact Riemann Surfaces (2002), Springer-Verlag, New York. ISBN 3-540-43299-X (Se avsnitt 2.3) .
Svetlana Katok , Fuchsian Groups (1992), University of Chicago Press, Chicago ISBN 0-226-42583-5 (Ger en enkel, lättläslig introduktion.)
