Täckande grupp

I matematik är en täckande grupp av en topologisk grupp H ett täckande utrymme G av H så att G är en topologisk grupp och den täckande kartan p : G → H är en kontinuerlig grupphomomorfism . Kartan p kallas den täckande homomorfismen . Ett ofta förekommande fall är en dubbeltäckande grupp , en topologisk dubbeltäckning där H har index 2 i G ; exempel inkluderar spin-grupper , pin-grupper och metaplektiska grupper .

Grovt förklarat, att säga att till exempel den metaplektiska gruppen Mp _{2 n} är en dubbel täckning av den symboliska gruppen Sp _{2 n} betyder att det alltid finns två element i den metaplektiska gruppen som representerar ett element i den symboliska gruppen.

Egenskaper

Låt G vara en täckande grupp av H . Kärnan K i den täckande homomorfismen är bara fibern över identiteten i H och är en diskret normal undergrupp av G . Kärnan K stängs i G om och endast om G är Hausdorff (och om och endast om H är Hausdorff) . Om man går åt andra hållet, om G är någon topologisk grupp och K är en diskret normal undergrupp av G så är kvotkartan p : G → G / K en täckande homomorfism.

Om G är ansluten så ligger K , som är en diskret normal undergrupp, nödvändigtvis i mitten av G och är därför abelisk . I detta fall ges mitten av H = G / K av

Z(H)\cong Z(G)/K.

Som med alla täckande utrymmen, injicerar den fundamentala gruppen av G i den fundamentala gruppen av H . Eftersom grundgruppen i en topologisk grupp alltid är abelisk, är varje täckande grupp ett normalt täckande utrymme. Speciellt om G är vägkopplad så är kvotgruppen $\pi _{1}(H)/\pi _{1}(G)$ isomorf till K . Gruppen K verkar helt enkelt transitivt på fibrerna (som bara är vänster cosets ) genom höger multiplikation. Gruppen G är då en huvudsaklig K -bunt över H .

Om G är en täckande grupp av H så är grupperna G och H lokalt isomorfa. Dessutom, givet två sammankopplade lokalt isomorfa grupper H ₁ och H ₂ , existerar det en topologisk grupp G med diskreta normala undergrupper K ₁ och K ₂ så att H ₁ är isomorf till G / K ₁ och H ₂ är isomorf till G / K ₂ .

Gruppstruktur på ett täckande utrymme

Låt H vara en topologisk grupp och låt G vara ett täckande utrymme för H . Om G och H är både väg-anslutna och lokalt väg-anslutna , så för varje val av element e * i fibern över e ∈ H , finns det en unik topologisk gruppstruktur på G , med e * som identitet, för vilken den täckande kartan p : G → H är en homomorfism.

Konstruktionen är som följer. Låt a och b vara element i G och låt f och g vara banor i G som börjar vid e * och slutar vid a respektive b . Definiera en väg h : I → H med h ( t ) = p ( f ( t )) p ( g ( t )). Genom den väglyftande egenskapen att täcka utrymmen finns det ett unikt lyft av h till G med initialpunkten e *. Produkten ab definieras som slutpunkten för denna väg. Genom konstruktion har vi p ( ab ) = p ( a ) p ( b ). Man måste visa att denna definition är oberoende av valet av vägar f och g , samt att koncernverksamheten är kontinuerlig.

Alternativt kan grupplagen på G konstrueras genom att lyfta grupplagen H × H → H till G , med hjälp av lyftegenskapen för den täckande kartan G × G → H × H .

Det icke-sammanhängande fallet är intressant och studeras i tidningarna av Taylor och av Brown-Mucuk som citeras nedan. I huvudsak finns det ett hinder för existensen av ett universellt täcke som också är en topologisk grupp så att täckkartan är en morfism: detta hinder ligger i den tredje kohomologigruppen i gruppen av komponenter i G med koefficienter i den fundamentala gruppen av G vid identiteten.

Universell täckgrupp

Om H är en vägansluten, lokalt vägansluten och semilokalt enkelt ansluten grupp så har den ett universellt skydd . Genom den tidigare konstruktionen kan det universella täcket göras till en topologisk grupp med täckkartan en kontinuerlig homomorfism. Denna grupp kallas den universella täckande gruppen av H . Det finns också en mer direkt konstruktion som vi ger nedan.

Låt PH vara väggruppen för H . Det vill säga, PH är utrymmet för vägar i H baserat på identiteten tillsammans med den kompakta öppna topologin . Produkten av banor ges genom punktvis multiplikation, dvs ( fg )( t ) = f ( t ) g ( t ). Detta ger PH strukturen av en topologisk grupp. Det finns en naturlig grupphomomorfism PH → H som skickar varje väg till sin ändpunkt. Den universella täckningen av H ges som kvoten av PH av den normala undergruppen av noll-homotopa loopar . Projektionen PH → H sjunker till den kvot som ger den täckande kartan. Man kan visa att det universella höljet helt enkelt är anslutet och kärnan är bara den grundläggande gruppen av H . Det vill säga vi har en kort exakt sekvens

1\to \pi _{1}(H)\to {\tilde {H}}\to H\to 1

där ${\tilde {H}}$ är det universella omslaget till H . Konkret är den universella täckande gruppen av H utrymmet för homotopiklasser av banor i H med punktvis multiplikation av banor. Den täckande kartan skickar varje vägklass till dess slutpunkt.

Galler av täckande grupper

Som ovan antyder, om en grupp har en universell täckande grupp (om den är vägbunden, lokalt vägbunden och semilokalt enkelt sammankopplad), med diskret centrum, då uppsättningen av alla topologiska grupper som täcks av den universella täckningen grupp bildar ett gitter, motsvarande gittret av undergrupper i mitten av den universella täckande gruppen: inkludering av undergrupper motsvarar täckning av kvotgrupper. Det maximala elementet är den universella täckande gruppen ${\tilde {H}},$ medan det minimala elementet är den universella täckningsgruppen mod dess mittpunkt, ${\tilde {H}}/Z({\tilde {H}})$ .

Detta motsvarar algebraiskt den universella perfekta centrala förlängningen (kallad "täckande grupp", i analogi) som det maximala elementet, och en grupp modifierar sitt centrum som ett minimalt element.

Detta är särskilt viktigt för Lie-grupper, eftersom dessa grupper är alla (anslutna) realiseringar av en viss Lie-algebra. För många Lie-grupper är centret gruppen av skalära matriser, och därför är gruppen mod dess centrum projektiviseringen av Lie-gruppen. Dessa omslag är viktiga för att studera projektiva representationer av Lie-grupper, och spin-representationer leder till upptäckten av spin-grupper : en projektiv representation av en Lie-grupp behöver inte komma från en linjär representation av gruppen, utan kommer från en linjär representation av vissa täckningsgruppen, i synnerhet den universella täckningsgruppen. Den ändliga analogen ledde till den täckande gruppen eller Schur-omslaget, som diskuterats ovan.

Ett nyckelexempel härrör från SL ₂ ( R ) , som har centrum {±1} och fundamental grupp Z. Det är ett dubbelt hölje av den centerlösa projektiva speciallinjärgruppen PSL ₂ ( R ), som erhålls genom att ta kvoten med mitten. Genom Iwasawa-sönderdelning är båda grupperna cirkelbuntar över det komplexa övre halvplanet, och deras universella lock ${\mathrm {S} {\widetilde {\mathrm {L} _{2} (}}\mathbf {R} )}$ är en riktig linjebunt över halvplanet som bildar en av Thurstons åtta geometrier . Eftersom halvplanet är sammandragbart är alla buntstrukturer triviala. Förbilden av SL ₂ ( Z ) i det universella höljet är isomorf till flätgruppen på tre strängar.

Lögngrupper

Ovanstående definitioner och konstruktioner gäller alla för det speciella fallet med Lie-grupper . I synnerhet är varje täckning av ett grenrör ett grenrör, och den täckande homomorfismen blir en jämn karta . På samma sätt, givet varje diskret normal undergrupp av en Lie-grupp, är kvotgruppen en Lie-grupp och kvotkartan är en täckande homomorfism.

Två Lie-grupper är lokalt isomorfa om och endast om deras Lie-algebror är isomorfa. Detta antyder att en homomorfism φ : G → H för Lie-grupper är en täckande homomorfism om och endast om den inducerade kartan på Lie-algebror

\phi _{*}:{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {h}}

är en isomorfism.

Eftersom det för varje Lie-algebra ${\mathfrak {g}}$ finns en unik enkelt sammankopplad Lie-grupp G med Lie-algebra ${\displaystyle {\mathfrak {g}}} ,$ av detta följer att den universella täckningsgruppen av en sammankopplad Lie-grupp H är den (unika) enkelt sammankopplade Lie-gruppen G som har samma Lie-algebra som H .

Exempel

Den universella täckande gruppen för cirkelgruppen T är den additiva gruppen av reella tal R med den täckande homomorfismen som ges av exponentialfunktionen exp: R → T . Kärnan i den exponentiella kartan är isomorf till Z .
För varje heltal n har vi en täckande grupp av cirkeln i sig själv T → T som skickar z till z ⁿ . Kärnan i denna homomorfism är den cykliska gruppen som består av enhetens n :e rötter .
Rotationsgruppen SO(3) har som universellt täcke gruppen SU(2) som är isomorf till gruppen av versorer i kvartjonerna. Detta är ett dubbelt hölje eftersom kärnan har ordning 2. (jfr tangloiderna . )
Den enhetliga gruppen U( n ) täcks av den kompakta gruppen T × SU( n ) med den täckande homomorfismen som ges av p ( z , A ) = zA . Det universella locket är R × SU( n ).
Den speciella ortogonala gruppen SO( n ) har ett dubbelt lock som kallas spinngruppen Spin( n ). För n ≥ 3 är spinngruppen den universella täckningen av SO( n ).
För n ≥ 2 är det universella täcket för den speciella linjära gruppen SL( n , R ) inte en matrisgrupp (dvs. den har inga trogna finitdimensionella representationer ).

Pontryagin, Lev S. (1986). Topologiska grupper . trans. från ryska av Arlen Brown och PSV Naidu (3:e uppl.). Gordon & Breach Science. ISBN 2-88124-133-6 .
Taylor, RL (1954). "Täcker grupper av icke sammankopplade topologiska grupper" . Proc. Amer. Matematik. Soc . 5 : 753-768. doi : 10.1090/S0002-9939-1954-0087028-0 . JSTOR 2031861 . MR 0087028 .
Brown, R.; Mucuk, O. (1994). "Täckande grupper av icke-anslutna topologiska grupper återbesöks". Matematik. Proc. Cambridge Philos. Soc . 115 (1): 97–110. arXiv : math/0009021 . Bibcode : 2000math......9021B . CiteSeerX 10.1.1.236.9436 . doi : 10.1017/S0305004100071942 .