Invariant differentialoperator

Inom matematik och teoretisk fysik är en invariant differentialoperator en sorts matematisk karta från vissa objekt till ett objekt av liknande typ. Dessa objekt är vanligtvis funktioner på $\mathbb {R} ^{n}$ , funktioner på ett grenrör , vektorvärderade funktioner, vektorfält eller, mer allmänt, sektioner av en vektorbunt .

I en invariant differentialoperator ${\displaystyle D} anger$ termen differentialoperator att värdet $Df$ på kartan endast beror på $f(x)$ och derivatorna av $f$ i $x$ . Ordet invariant indikerar att operatorn innehåller viss symmetri . Detta betyder att det finns en grupp $G$ med en gruppåtgärd på funktionerna (eller andra objekt i fråga) och denna åtgärd bevaras av operatören:

D(g\cdot f)=g\cdot (Df).

Vanligtvis har gruppens handling innebörden av en förändring av koordinater (byte av observatör) och invariansen innebär att operatorn har samma uttryck i alla tillåtna koordinater.

Invarians på homogena utrymmen

Låt M = G / H vara ett homogent utrymme för en Lie-grupp G och en Lie-undergrupp H. Varje representation $\rho :H\rightarrow \mathrm {Aut} (\mathbb {V} )$ ger upphov till en vektorbunt

V=G\times _{H}\mathbb {V} \;{\text{där}}\;(gh,v)\sim (g,\rho (h)v)\;\forall \ ;g\in G,\;h\in H\;{\text{och}}\;v\in \mathbb {V} .

Sektioner $\varphi \in \Gamma (V)$ kan identifieras med

\Gamma (V)=\{\varphi :G\rightarrow \mathbb {V} \;:\;\varphi (gh)=\rho (h^{-1})\varphi (g)\; \forall \;g\in G,\;h\in H\}.

I denna form agerar grupp G på sektioner via

(\ell _{g}\varphi )(g')=\varphi (g^{-1}g').

Låt nu V och W vara två vektorbuntar över M . Sedan en differentialoperator

d:\Gamma (V)\rightarrow \Gamma (W)

som mappar sektioner av V till sektioner av W kallas invariant if

d(\ell _{g}\varphi )=\ell _{g}(d\varphi ).

för alla sektioner $\varphi$ i $\Gamma (V)$ och element g i G . Alla linjära invarianta differentialoperatorer på homogena paraboliska geometrier , dvs när G är semi-enkel och H är en parabolisk undergrupp, ges dubbelt av homomorfismer av generaliserade Verma-moduler .

Invarians i termer av abstrakta index

Givet två anslutningar $\nabla$ och ${\hat {\nabla }}$ och en form $\omega$ , har vi

\nabla _{a}\omega _{b}={\hat {\nabla }}_{a}\omega _{b }-Q_{ab}{}^{c}\omega _{c}

för viss tensor $Q_{ab}{}^{c}$ . Givet en ekvivalensklass av anslutningar $[\nabla ]$ säger vi att en operator är invariant om formen på operatorn inte ändras när vi byter från en koppling i ekvivalensklassen till en annan. Till exempel, om vi betraktar ekvivalensklassen för alla torsionsfria anslutningar, så är tensorn Q symmetrisk i sina lägre index, dvs $Q_{ab}{}^{c }=Q_{(ab)}{}^{c}$ . Därför kan vi beräkna

\nabla _{[a}\omega _{b]}={\hat {\nabla }}_{[a}\omega _{ b]},

där parenteser betecknar skev symmetri. Detta visar invariansen av den yttre derivatan när den verkar på en form. Ekvivalensklasser av anslutningar uppstår naturligt i differentialgeometri, till exempel:

i konform geometri ges en ekvivalensklass av anslutningar av Levi Civita-kopplingarna för alla mätvärden i den konforma klassen;
i projektiv geometri ges en ekvivalensklass för samband av alla anslutningar som har samma geodetik ;
i CR-geometri ges en ekvivalensklass av anslutningar av Tanaka-Webster-anslutningarna för varje val av pseudohermitisk struktur

Exempel

Den vanliga gradientoperatorn $\nabla$ som verkar på verkligt värderade funktioner i det euklidiska rummet är invariant med avseende på alla euklidiska transformationer .
Differentialen som verkar på fungerar på ett grenrör med värden i 1-former (dess uttryck är $d=\sum _{j}\partial _{j}\,dx_{j}$ i alla lokala koordinater) är invariant med avseende på alla smidiga transformationer av grenröret (transformationens verkan på differentialformer är bara tillbakadraget ).
Mer allmänt, den yttre derivatan $d:\Omega ^{n}(M)\rightarrow \Omega ^{n+1}(M)$ som verkar på n -former av varje jämn grenrör M är invariant med avseende på alla jämna transformationer. Det kan visas att den yttre derivatan är den enda linjära invarianta differentialoperatorn mellan dessa buntar.
Dirac- operatorn i fysik är oföränderlig med avseende på Poincaré-gruppen (om vi väljer den rätta verkan av Poincaré-gruppen på spinorvärderade funktioner. Detta är dock en subtil fråga och om vi vill göra detta matematiskt rigoröst bör vi säga att den är invariant med avseende på en grupp som är en dubbel täckning av Poincaré-gruppen)
Den konforma dödsekvationen $X^{a}\mapsto \nabla _{(a}X_{b)}-{\frac { 1}{n}}\nabla _{c}X^{c}g_{ab}$ är en konformt invariant linjär differentialoperator mellan vektorfält och symmetriska spårfria tensorer.

Konform invarians

Sfären (här visad som en röd cirkel) som ett konformt homogent grenrör.

Givet ett mått

g(x,y)=x_{1}y_{n+ 2}+x_{n+2}y_{1}+\summa _{i=2}^{n+1}x_{i}y_{i}

på $\mathbb {R} ^{n+2}$ , kan vi skriva sfären $S^{n}$ som utrymmet för generatorer av nollkonen

S^{n}=\{[x]\in \mathbb {RP} _{n+1}\;:\;g(x,x)=0\}.

På detta sätt är den platta modellen för konform geometri sfären $S^{n}=G/P$ med $G=SO_ {0}(n+1,1)$ och P stabilisatorn för en punkt i $\mathbb {R} ^{n+2}$ . En klassificering av alla linjära konformt invarianta differentialoperatorer på sfären är känd (Eastwood och Rice, 1987).

Se även

Anteckningar

^ Penrose och Rindler (1987). Spinors och Space Time . Cambridge monografier om matematisk fysik.
^ MG Eastwood och JW Rice (1987). "Konformellt invarianta differentialoperatorer på Minkowski-rymden och deras böjda analoger" . Commun. Matematik. Phys . 109 (2): 207–228. Bibcode : 1987CMaPh.109..207E . doi : 10.1007/BF01215221 . S2CID 121161256 .

Slovák, Jan (1993). Invarianta operatörer på konforma grenrör . Forskningsföreläsningsanteckningar, Wiens universitet (avhandling). {{ citera bok }} : Extern länk i |title= ( hjälp )
Kolář, Ivan; Michor, Peter; Slovák, Jan (1993). Naturliga operatorer i differentialgeometri (PDF) . Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York. Arkiverad från originalet (PDF) 2017-03-30 . Hämtad 2011-01-05 .
Eastwood, MG; Rice, JW (1987). "Konformellt invarianta differentialoperatorer på Minkowski-rymden och deras böjda analoger" . Commun. Matematik. Phys . 109 (2): 207–228. Bibcode : 1987CMaPh.109..207E . doi : 10.1007/BF01215221 . S2CID 121161256 .
Kroeske, Jens (2008). "Invarianta bilinjära differentialparningar på paraboliska geometrier". Doktorsavhandling från University of Adelaide . arXiv : 0904.3311 . Bibcode : 2009PhDT.......274K .

^ Dobrev, Vladimir (1988). "Kanonisk konstruktion av sammanflätade differentialoperatorer förknippade med representationer av verkliga semisimpla Lie-grupper" . Rep Math. Phys . 25 (2): 159–181. Bibcode : 1988RpMP...25..159D . doi : 10.1016/0034-4877(88)90050-X .

[1] Penrose och Rindler (1987). Spinors och Space Time . Cambridge monografier om matematisk fysik.

[2] MG Eastwood och JW Rice (1987). "Konformellt invarianta differentialoperatorer på Minkowski-rymden och deras böjda analoger" . Commun. Matematik. Phys . 109 (2): 207–228. Bibcode : 1987CMaPh.109..207E . doi : 10.1007/BF01215221 . S2CID 121161256 .

[3] Dobrev, Vladimir (1988). "Kanonisk konstruktion av sammanflätade differentialoperatorer förknippade med representationer av verkliga semisimpla Lie-grupper" . Rep Math. Phys . 25 (2): 159–181. Bibcode : 1988RpMP...25..159D . doi : 10.1016/0034-4877(88)90050-X .