Möbiusförvandling

Inom geometri och komplex analys är en Möbiustransformation av det komplexa planet en rationell funktion av formen

f(z)={\frac {az+b}{cz+d}}

av en komplex variabel z ; här är koefficienterna a , b , c , d komplexa tal som uppfyller ad − bc ≠ 0.

Geometriskt kan en Möbius-transformation erhållas genom att först utföra stereografisk projektion från planet till enhetens tvåsfär , rotera och flytta sfären till en ny plats och orientering i rymden, och sedan utföra stereografisk projektion (från sfärens nya position ) till planet. Dessa transformationer bevarar vinklar, mappar varje rak linje till en linje eller cirkel och mappar varje cirkel till en linje eller cirkel.

Möbiustransformationerna är de projektiva transformationerna av den komplexa projektiva linjen . De bildar en grupp som kallas Möbiusgruppen , som är den projektiva linjära gruppen PGL(2, C ). Tillsammans med sina undergrupper har den många tillämpningar inom matematik och fysik.

Möbiusförvandlingar är namngivna för att hedra August Ferdinand Möbius ; de är också olika namngivna homografier , homografiska omvandlingar , linjära bråkdelaromvandlingar , bilinjära omvandlingar , bråkdelar linjära omvandlingar och snurromvandlingar (i relativitetsteori).

Översikt

Möbiustransformationer definieras på det utökade komplexa planet ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}} ($ dvs. komplext plan utökat med punkten i oändligheten ).

Stereografisk projektion identifierar ${\widehat {\mathbb {C} }}$ med en sfär, som då kallas Riemann-sfären ; alternativt ${\widehat {\mathbb {C} }}$ ses som den komplexa projektiva linjen $\mathbb {C} \mathbb {P} ^{1}$ . Möbius-transformationerna är exakt de bijektiva konforma kartorna från Riemann-sfären till sig själv, dvs. Riemanns-sfärens automorfism som en komplex mångfald ; alternativt är de automorfismerna av $\mathbb {C} \mathbb {P} ^{1}$ som en algebraisk variant. Därför bildar uppsättningen av alla Möbius-transformationer en grupp under sammansättning . Denna grupp kallas Möbius-gruppen och betecknas ibland $\operatorname {Aut} ({\widehat {\mathbb {C} }})$ .

Möbius-gruppen är isomorf mot gruppen av orienteringsbevarande isometrier av hyperboliskt 3-rum och spelar därför en viktig roll när man studerar hyperbolska 3-förgreningar .

Inom fysiken verkar identitetskomponenten i Lorentz-gruppen på den himmelska sfären på samma sätt som Möbius-gruppen verkar på Riemann-sfären . Faktum är att dessa två grupper är isomorfa. En observatör som accelererar till relativistiska hastigheter kommer att se mönstret av konstellationer som ses nära jorden kontinuerligt transformeras enligt infinitesimala Möbius-transformationer. Denna observation tas ofta som startpunkten för twistorteorin .

Vissa undergrupper av Möbius-gruppen bildar automorfismgrupperna för de andra enkelt sammankopplade Riemann-ytorna (det komplexa planet och det hyperboliska planet) . Som sådan spelar Möbius-transformationer en viktig roll i teorin om Riemann-ytor . Den grundläggande gruppen av varje Riemann-yta är en diskret undergrupp av Möbius-gruppen (se Fuchsian-gruppen och Kleinian-gruppen) . En särskilt viktig diskret undergrupp av Möbius-gruppen är den modulära gruppen ; det är centralt i teorin om många fraktaler , modulära former , elliptiska kurvor och Pelliska ekvationer .

Möbiustransformationer kan mer allmänt definieras i utrymmen med dimension n > 2 som de bijektiva konforma orienteringsbevarande kartorna från n -sfären till n -sfären. En sådan transformation är den mest allmänna formen av konform kartläggning av en domän. Enligt Liouvilles teorem kan en Möbius-transformation uttryckas som en sammansättning av översättningar, likheter , ortogonala transformationer och inversioner.

Definition

Den allmänna formen för en Möbius-transformation ges av

f(z)={\frac {az+b}{cz+d}}

där a , b , c , d är alla komplexa tal som uppfyller

ad - bc \neq 0

. Om

ad = bc

är den rationella funktionen definierad ovan en konstant sedan

f(z)={\frac {az+b}{cz+d}}={\frac {caz+cb}{c(cz+d)}}= {\frac {caz+ad}{c(cz+d)}}={\frac {a(cz+d)}{c(cz+d)}}={\frac {a}{c}}

och anses alltså inte vara en Möbiusförvandling.

I fallet $c \neq 0$ utvidgas denna definition till hela Riemanns sfär genom att definiera

f\left({\frac {-d}{c}}\right)=\infty {\text{ och }}f(\infty )={\frac {a}{c}}.

Om $c = 0$ definierar vi

f(\infty )=\infty .

Sålunda är en Möbius-transformation alltid en bijektiv holomorf funktion från Riemann-sfären till Riemann-sfären.

Uppsättningen av alla Möbius-transformationer bildar en grupp under sammansättning . Denna grupp kan ges strukturen av ett komplext grenrör på ett sådant sätt att sammansättning och inversion är holomorfa kartor . Möbiusgruppen är då en komplex Lie-grupp . Möbiusgruppen betecknas vanligtvis $\operatorname {Aut} ({\widehat {\mathbb {C} }})$ eftersom den är automorfismgruppen i Riemann-sfären.

Fasta punkter

Varje icke-identitet Möbius-transformation har två fixpunkter $\gamma _{1},\gamma _{2}$ på Riemann-sfären. Observera att de fasta punkterna räknas här med multiplicitet ; de paraboliska transformationerna är de där de fasta punkterna sammanfaller. Endera eller båda av dessa fasta punkter kan vara punkten i oändligheten.

Fastställande av fixpunkter

Förvandlingens fixpunkter

f(z)={\frac {az+b}{cz+d}}

erhålls genom att lösa fixpunktsekvationen f ( γ ) = γ . För c ≠ 0 har detta två rötter erhållna genom att expandera denna ekvation till

c\gamma ^{2}-(ad)\gamma -b=0\ ,

och tillämpa den kvadratiska formeln . Rötterna är

\gamma _{1,2}={\frac {( ad)\pm {\sqrt {\left(ad\right)^{2}+4bc}}}{2c}}={\frac {(ad)\pm {\sqrt {\Delta }}}{2c} }

med diskriminant

\Delta =(\operatörsnamn {tr} {\mathfrak {H}})^{2}-4\det {\mathfrak {H}}=(a+d)^{2}-4(ad- före Kristus).

Paraboltransformer har tillfälliga fixpunkter på grund av noll diskriminant. För c icke-noll och icke-noll diskriminant är transformationen elliptisk eller hyperbolisk.

När c = 0 degenererar andragradsekvationen till en linjär ekvation och transformationen är linjär. Detta motsvarar situationen att en av de fasta punkterna är punkten i oändligheten. När a ≠ d är den andra fixpunkten ändlig och ges av

\gamma =-{\frac {b}{ad}}.

I det här fallet kommer transformationen att vara en enkel transformation som består av translationer , rotationer och dilatationer :

z\mapsto \alpha z+\beta .

Om c = 0 och a = d är båda fixpunkterna i oändligheten, och Möbius-transformationen motsvarar en ren översättning:

z\mapsto z+\beta .

Topologiska bevis

Topologiskt sett motsvarar det faktum att (icke-identitet) Möbius-transformationer fixar 2 punkter (med multiplicitet) att Euler-karakteristiken för sfären är 2:

\chi ({\hat {\mathbb {C} }})=2.

är den projektiva linjära gruppen PGL(2, K ) skarpt 3-transitiv – för två ordnade trippel av distinkta punkter finns det en unik karta som tar den ena trippeln till den andra, precis som för Möbius-transformer, och med samma algebraiskt bevis (i huvudsak dimensionsräkning , eftersom gruppen är 3-dimensionell). Således är varje karta som fixar minst 3 punkter identiteten.

Därefter kan man se genom att identifiera Möbius-gruppen med $\mathrm {PGL} (2,\mathbb {C} )$ att vilken Möbius-funktion som helst är homotop till identiteten. Faktum är att vilken medlem som helst av den allmänna linjära gruppen kan reduceras till identitetskartan genom eliminering av Gauss-Jordan, detta visar att den projektiva linjära gruppen också är vägbunden, vilket ger en homotopi till identitetskartan. Lefschetz –Hopf-satsen säger att summan av indexen (i detta sammanhang, multipliciteten) av de fasta punkterna på en karta med ändligt många fixpunkter är lika med kartans Lefschetz-tal , vilket i detta fall är spåret av identitetskartan på homologigrupper, vilket helt enkelt är Euler-karaktäristiken.

Däremot behöver den projektiva linjära gruppen för den verkliga projektiva linjen, PGL(2, R ) inte fixera några punkter – till exempel $(1+x)/(1- x)$ har inga (riktiga) fixpunkter: som en komplex transformation fixar den ± i – medan kartan 2 x fixar de två punkterna 0 och ∞. Detta motsvarar det faktum att Eulerkarakteristiken för cirkeln (verklig projektiv linje) är 0, och således säger Lefschetz fixpunktsats bara att den måste fixera minst 0 punkter, men möjligen fler.

Normal form

Möbiustransformationer skrivs också ibland i termer av deras fixpunkter i så kallad normalform . Vi behandlar först det icke-paraboliska fallet, för vilket det finns två distinkta fixpunkter.

Icke-paraboliskt fall :

Varje icke-parabolisk transformation är konjugerad till en dilatation/rotation, dvs en transformation av formen

z\mapsto kz

( k ∈ C ) med fixpunkter vid 0 och ∞. För att se detta definiera en karta

g(z)={\frac {z-\gamma _{1}}{z-\gamma _{2}}}

som skickar punkterna ( γ ₁ , γ ₂ ) till (0, ∞). Här antar vi att γ ₁ och γ ₂ är distinkta och ändliga. Om en av dem redan är vid oändligheten g ändras för att fixera oändligheten och skicka den andra punkten till 0.

Om f har distinkta fixpunkter ( γ ₁ , γ ₂ ) så har transformationen $gfg^{-1}$ fixpunkter vid 0 och ∞ och är därför en dilatation: $gfg^{-1}(z)=kz$ . Fixpunktsekvationen för transformationen f kan sedan skrivas

{\frac {f(z)-\gamma _{1}}{f(z)-\gamma _{2}}}=k{\frac {z-\gamma _{1}}{z -\gamma _{2}}}.

Att lösa f ger (i matrisform):

\displaystyle {\mathfrak {H}}(k; \gamma _{1},\gamma _{2})={\begin{pmatrix}\gamma _{1}-k\gamma _{2}&(k-1)\gamma _{1}\gamma _ {2}\\1-k&k\gamma _{1}-\gamma _{2}\end{pmatrix}}}

eller, om en av de fasta punkterna är i oändlighet:

{\mathfrak {H}}(k;\gamma ,\infty )={\begin{pmatrix}k&(1-k)\gamma \\0&1\end{pmatrix}}.

Från ovanstående uttryck kan man beräkna derivatorna av f vid de fasta punkterna:

f'(\gamma _{1})=k

och

f'(\gamma _{2})=1/k.

Observera att, givet en ordning av de fasta punkterna, kan vi urskilja en av multiplikatorerna ( k ) för f som den karakteristiska konstanten för f . Att vända om ordningen på de fasta punkterna är ekvivalent med att ta den inversa multiplikatorn för den karakteristiska konstanten:

{\mathfrak {H}}(k;\gamma _{1},\gamma _{2})={\mathfrak {H}}(1/k;\gamma _{2},\gamma _ {1}).

För loxodromic transformationer, när som helst | k | > 1, säger man att γ ₁ är den repulsiva fixpunkten och γ ₂ är den attraktiva fixpunkten. För | k | < 1, rollerna är omvända.

Paraboliskt fall :

I det paraboliska fallet finns det bara en fast punkt γ . Transformationen som skickar den punkten till ∞ är

g(z)={\frac {1}{z-\gamma }}

eller identiteten om γ redan är i oändlighet. Transformationen

gfg^{-1}

fixar oändligheten och är därför en översättning:

gfg^{-1}(z)=z+\beta \,.

Här kallas β för translationslängden . Fixpunktsformeln för en parabolisk transformation är då

{\frac {1}{f(z)-\gamma }}={\frac {1}{z-\gamma }}+\beta .

Att lösa för f (i matrisform) ger

{\mathfrak {H}}(\beta ;\gamma )={\begin{pmatrix}1+\gamma \beta &-\beta \gamma ^{2}\\\beta &1-\gamma \beta \end{pmatrix}}

eller, om γ = ∞:

{\mathfrak {H}}(\beta ;\infty )={\begin{pmatrix}1&\beta \\0&1\end{pmatrix}}

Observera att β inte är den karakteristiska konstanten för f , som alltid är 1 för en parabolisk transformation. Från ovanstående uttryck kan man räkna ut:

f'(\gamma )=1.

Förvandlingens poler

Punkten ${\textstyle z_{\infty }=-{\frac {d}{c}}}$ kallas polen för ${\mathfrak {H}}$ ; det är den punkten som transformeras till punkten i oändligheten under ${\mathfrak {H}}$ .

Den omvända polen ${\textstyle Z_{\infty }={\frac {a}{c}}}$ är den punkt till vilken punkten i oändligheten transformeras. Punkten mitt emellan de två polerna är alltid densamma som punkten mitt emellan de två fasta punkterna:

\gamma _{1}+\gamma _{2}=z_{\infty }+Z_{\infty }.

Dessa fyra punkter är hörnen på ett parallellogram som ibland kallas det karakteristiska parallellogrammet för transformationen.

En transformation ${\mathfrak {H}}$ kan specificeras med två fixpunkter γ ₁ , γ ₂ och polen $z_{\infty }$ .

{\mathfrak {H}}={\begin{pmatrix}Z_{\infty }&-\gamma _{1}\gamma _{2}\\1&-z_{\infty }\end{pmatrix} },\;\;Z_{\infty }=\gamma _{1}+\gamma _{2}-z_{\infty }.

Detta tillåter oss att härleda en formel för konvertering mellan k och $z_{\infty }$ givet $\gamma _{1},\gamma _{2}$ :

z_{\infty }={\frac {k\gamma _{1}-\gamma _{2}}{1-k}}

k={\frac {\gamma _{2} -z_{\infty }}{\gamma _{1}-z_{\infty }}}={\frac {Z_{\infty }-\gamma _{1}}{Z_{\infty }-\gamma _ {2}}}={\frac {ac\gamma _{1}}{ac\gamma _{2}}},

som minskar ner till

k={\frac {(a+d)+{\sqrt {\left(ad\right)^{2}+4bc}}}{(a+d)-{\sqrt {\left(ad \right)^{2}+4bc}}}}.

Det sista uttrycket sammanfaller med ett av de (ömsesidigt reciproka) egenvärdesförhållandena ${\textstyle {\frac {\lambda _{1}}{\lambda _{2}}}}$ i matrisen

{\mathfrak {H}}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}

representerar transformationen (jämför diskussionen i föregående avsnitt om den karakteristiska konstanten för en transformation). Dess karakteristiska polynom är lika med

\det(\lambda I_{2}- {\mathfrak {H}})=\lambda ^{2}-\operatörsnamn {tr} {\mathfrak {H}}\,\lambda +\det {\mathfrak {H}}=\lambda ^{2}- (a+d)\lambda +(ad-bc)

som har rötter

\lambda _{i}={\frac {(a+d)\pm {\sqrt {\left(ad\right)^{2}+4bc}}}{2}}={\frac { (a+d)\pm {\sqrt {\left(a+d\right)^{2}-4(ad-bc)}}}{2}}=c\gamma _{i}+d\, .

Enkla Möbiustransformationer och komposition

En Möbiustransformation kan vara sammansatt som en sekvens av enkla transformationer.

Följande enkla transformationer är också Möbius-transformationer:

$f(z)=z+b\quad (a=1,c=0,d=1)$ är en översättning .
$f(z)=az\quad (b=0,c=0,d=1)$ är en kombination av en homoteti och en rotation . Om $|a|=1$ så är det en rotation, om $a\in \mathbb {R}$ så är det en homoteti.
$f(z)=1/z\quad (a=0,b=1,c=1,d =0)$ ( inversion och reflektion med avseende på den reella axeln)

Sammansättning av enkla transformationer

Om $c\neq 0$ , låt:

$f_{1}(z)=z+d/c\quad$ ( översättning av d / c )
$f_{2}(z)=1/z\quad$ ( inversion och reflektion med avseende på den reella axeln)
$f_{3}(z)={\frac {bc-ad}{c^{2}}}z\quad$ ( homoteti och rotation )
$f_{4}(z)=z+a/c\quad$ (översättning med a / c )

Sedan kan dessa funktioner komponeras , vilket visar att, if

f(z)={\frac {az+b}{cz+d}},

en har

f=f_{4}\circ f_{3}\circ f_{2}\circ f_{1}.

Med andra ord har man

{\frac {az+b}{cz+d}}={\frac {a}{c}}+{\frac {e}{z+{\frac {d}{c}}}},

med

e={\frac {bc-ad}{c^{2}}}.

Denna nedbrytning gör många egenskaper hos Möbius-transformationen uppenbara.

Elementära egenskaper

En Möbius-transformation är ekvivalent med en sekvens av enklare transformationer. Sammansättningen gör många egenskaper hos Möbius-transformationen uppenbara.

Formel för den omvända transformationen

Existensen av den inversa Möbius-transformationen och dess explicita formel härleds lätt genom sammansättningen av de inversa funktionerna i de enklare transformationerna. Det fi _vill gi _säga definiera funktioner g ₁ , g ₂ , g ₃ , g ₄ så att varje är inversen av . Sedan kompositionen

g_{1}\circ g_{2}\circ g_{3} \circ g_{4}(z)=f^{-1}(z)={\frac {dz-b}{-cz+a}}

ger en formel för inversen.

Bevarande av vinklar och generaliserade cirklar

Från denna nedbrytning ser vi att Möbius-transformationer bär över alla icke-triviala egenskaper hos cirkelinversion . Till exempel reduceras bevarandet av vinklar till att bevisa att cirkelinversion bevarar vinklar eftersom de andra typerna av transformationer är dilatationer och isometrier (translation, reflektion, rotation), som trivialt bevarar vinklar.

Dessutom kartlägger Möbius-transformationer generaliserade cirklar till generaliserade cirklar eftersom cirkelinversion har denna egenskap. En generaliserad cirkel är antingen en cirkel eller en linje, varvid den senare betraktas som en cirkel genom punkten i oändligheten. Observera att en Möbius-transformation inte nödvändigtvis mappar cirklar till cirklar och linjer till linjer: den kan blanda de två. Även om den mappar en cirkel till en annan cirkel, mappar den inte nödvändigtvis den första cirkelns centrum till den andra cirkelns centrum.

Korsförhållande bevarande

Korsförhållanden är invarianta under Möbius-transformationer. Det vill säga om en Möbius-transformation mappar fyra distinkta punkter $z_{1},z_{2},z_{3},z_{4}$ till fyra distinkta punkter $w_{1},w_{2},w_{3},w_{4}$ respektive, sedan

{\frac {(z_{1}-z_{3})(z_{2}-z_{4})}{(z_{2}-z_{3})(z_{1}-z_{ 4})}}={\frac {(w_{1}-w_{3})(w_{2}-w_{4})}{(w_{2}-w_{3})(w_{1} -w_{4})}}.

Om en av punkterna $z_{1},z_{2},z_{3},z_{4}$ är punkten i oändligheten, då är korsförhållandet måste definieras genom att ta lämplig gräns; t.ex. är korsförhållandet för $z_{1},z_{2},z_{3},\infty$

{\frac {(z_{1}-z_{3})}{(z_{2}-z_{3})}}.

Korsförhållandet för fyra olika punkter är verkligt om och endast om det finns en linje eller en cirkel som passerar genom dem. Detta är ytterligare ett sätt att visa att Möbiustransformationer bevarar generaliserade cirklar.

Konjugation

Två punkter z ₁ och z ₂ är konjugerade med avseende på en generaliserad cirkel C , om, givet en generaliserad cirkel D som går genom z ₁ och z ₂ och skär C i två punkter a och b , ( z ₁ , z ₂ ; a , b ) är i harmoniskt korsförhållande (dvs deras korsförhållande är −1). Denna egenskap beror inte på valet av cirkeln D . Denna egenskap kallas också ibland för att vara symmetrisk med avseende på en linje eller cirkel.

Två punkter z , z ^∗ är konjugerade med avseende på en linje, om de är symmetriska med avseende på linjen. Två punkter konjugeras med avseende på en cirkel om de byts ut genom inversionen med avseende på denna cirkel.

₀ Punkten z ^∗ konjugerar till z när L är linjen som bestäms av vektorn baserad e ^iθ i punkten z kan uttryckligen ges som

z^{*}=e^{2i\theta }{\overline {z-z_{0}}}+z_{0}.

₀ Punkten z ^∗ konjugerar till z när C är cirkeln med radien r centrerad z kan uttryckligen ges som

z^{*}={\frac {r^{2}}{\overline {z-z_{0}}}}+z_{0}

Eftersom Möbius-transformationer bevarar generaliserade cirklar och korsförhållanden, bevarar de också konjugationen.

Projektiva matrisrepresentationer

Den naturliga verkan av PGL(2, C ) på den komplexa projektiva linjen CP ¹ är exakt den naturliga verkan av Möbius-gruppen på Riemann-sfären, där den projektiva linjen CP ¹ och Riemanns-sfären identifieras enligt följande:

[z_{1}:z_{2}]\ \thicksim {\frac {z_{1}}{z_{2}}}.

Här är [ z ₁ : z _{2 ]} homogena koordinater på CP ¹ ; punkten [1:0] motsvarar punkten $\infty$ i Riemann-sfären. Genom att använda homogena koordinater kan många beräkningar som involverar Möbius-transformationer förenklas, eftersom inga fallskillnader som handlar om $\infty$ krävs.

Varje inverterbar komplex 2×2-matris

{\mathfrak {H}}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}

agerar på den projektiva linjen som

[z_{1}:z_{1}]\mapsto [w_{1}:w_{2}],

var

{\begin{pmatrix}w_{1}\\w_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}z_{ 1}\\z_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}az_{1}+bz_{2}\\cz_{1}+dz_{2}\end{pmatrix}}.

Eftersom matrisen ovan är inverterbar om och endast om dess determinant $ad - bc$ inte är noll, inducerar detta en identifiering av verkan av gruppen av Möbius-transformationer med verkan av PGL(2, C ) på den komplexa projektiva linjen. I denna identifiering motsvarar ovanstående matris ${\mathfrak {H}}$ Möbius-transformationen $z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}.$

Denna identifiering är en gruppisomorfism , eftersom multiplikationen av ${\mathfrak {H}}$ med en skalär som inte är noll $\lambda$ inte ändrar elementet i PGL(2, C ), och, eftersom denna multiplikation består av att multiplicera alla matrisposter med $\lambda ,$ ändrar detta inte motsvarande Möbius-transformation.

För vilket fält som helst kan man på liknande sätt identifiera gruppen PGL(2, K ) för de projektiva linjära automorfismerna med gruppen av fraktionerade linjära transformationer. Detta används flitigt; till exempel i studiet av homografier av den verkliga linjen och dess tillämpningar inom optik .

Om man dividerar ${\mathfrak {H}}$ med kvadratroten av dess determinant, får man en matris med determinant ett. Detta inducerar en surjektiv grupphomomorfism från den speciella linjära gruppen SL(2, C ) till PGL(2, C ), med $\pm I$ som kärna.

Detta gör det möjligt att visa att Möbius-gruppen är en 3-dimensionell komplex Lie-grupp (eller en 6-dimensionell verklig Lie-grupp), som är en halvenkel och icke- kompakt , och att SL(2, C ) är en dubbel täckning av PSL( 2, C ). Eftersom SL(2, C ) är enkelt ansluten är det det universella täcket för Möbius-gruppen, och den grundläggande gruppen för Möbius-gruppen är Z ₂ .

Ange en transformation med tre punkter

Givet en uppsättning av tre distinkta punkter $z_{1},z_{2},z_{3}$ på Riemann-sfären och en andra uppsättning distinkta punkter $w_{1},w_{2},w_{3}$ , det finns exakt en Möbius-transformation $f(z)$ med ${\ displaystyle f(z_{j})=w_{j}}$ för $j=1,2,3$ . (Med andra ord: Möbiusgruppens verkan på Riemann-sfären är skarpt 3-transitiv .) Det finns flera sätt att bestämma $f(z)$ från de givna uppsättningarna av punkter.

Mappa först till 0, 1, $\infty$

Det är lätt att kontrollera att Möbiusförvandlingen

f_{1}(z)={\frac {(z- z_{1})(z_{2}-z_{3})}{(z-z_{3})(z_{2}-z_{1})}}

med matris

{\mathfrak {H}}_{1}= {\begin{pmatrix}z_{2}-z_{3}&-z_{1}(z_{2}-z_{3})\\z_{2}-z_{1}&-z_{3}( z_{2}-z_{1})\end{pmatrix}}

mappar $z_{1},z_{2}{\text{ och }}z_{3}$ till $0,1,\ {\ text{och}}\ \infty ,$ respektive. Om en av $z_{j}$ är $\infty$ , då erhålls den korrekta formeln för ${\mathfrak {H}}_{1}$ från ovanstående en genom att först dividera alla poster med $z_{j}$ och sedan ta gränsen $z_{j}\to \infty$ .

Om ${\mathfrak {H}}_{2}$ definieras på liknande sätt för att mappa $w_{1},w_{2},w_{3}$ till $0,1,\ {\text{and}}\ \infty ,$ sedan matrisen ${\mathfrak {H}}$ som mappar $z_{1,2,3}$ till $w_{1,2,3}$ blir

{\mathfrak {H}}={\mathfrak {H}}_{2}^{-1}{\mathfrak {H}}_{1}.

Stabilisatorn för $\{0,1,\infty \}$ (som en oordnad mängd) är en undergrupp känd som den anharmoniska gruppen .

Explicit determinantformel

Ekvationen

w={\frac {az+b}{cz+d}}

är ekvivalent med ekvationen för en standardhyperbol

cwz-az+dw-b=0

i $(z,w)$ -planet. Problemet med att konstruera en Möbius-transformation ${\mathfrak {H}}(z)$ som avbildar en trippel $(z_{1},z_{2 },z_{3})$ till en annan trippel $(w_{1},w_{2},w_{3})$ är alltså ekvivalent med att hitta koefficienterna $a,b,c,d$ av hyperbeln som passerar genom punkterna $(z_{i},w_{i})$ . En explicit ekvation kan hittas genom att utvärdera determinanten

\det {\begin{pmatrix}zw&z&w&1\\z_ {1}w_{1}&z_{1}&w_{1}&1\\z_{2}w_{2}&z_{2}&w_{2}&1\\z_{3}w_{3}&z_{3}&w_ {3}&1\end{pmatrix}}\,

med hjälp av en Laplace-expansion längs första raden. Detta resulterar i determinantformlerna

a=\det {\begin{pmatrix}z_{1}w_{1}&w_{1 }&1\\z_{2}w_{2}&w_{2}&1\\z_{3}w_{3}&w_{3}&1\end{pmatrix}}

b=\det {\begin{pmatrix}z_{1}w_{1} &z_{1}&w_{1}\\z_{2}w_{2}&z_{2}&w_{2}\\z_{3}w_{3}&z_{3}&w_{3}\end{pmatrix}}

c=\det {\begin{pmatrix}z_{1}&w_{1}&1\\z_{2}&w_{ 2}&1\\z_{3}&w_{3}&1\end{pmatrix}}

d=\det {\begin{pmatrix}z_{1}w_{1}&z_{1 }&1\\z_{2}w_{2}&z_{2}&1\\z_{3}w_{3}&z_{3}&1\end{pmatrix}}

för koefficienterna $a,b,c,d$ för den representerande matrisen ${\mathfrak {H}}={\begin{pmatrix} a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ . Den konstruerade matrisen ${\mathfrak {H}}$ har determinant lika med $(z_{1}-z_{2})(z_{1}-z_{3})(z_{2}-z_{3})(w_{ 1}-w_{2})(w_{1}-w_{3})(w_{2}-w_{3})$ som inte försvinner om $z_{j}$ resp. $w_{j}$ är parvis olika, så Möbius-transformationen är väldefinierad. Om en av punkterna $z_{j}$ eller $w_{j}$ är $\infty$ , så dividerar vi först alla fyra determinanterna med denna variabel och tar sedan gränsen när variabeln närmar sig $\infty$ .

Undergrupper av Möbiusgruppen

Om vi kräver att koefficienterna $a,b,c,d$ för en Möbius-transformation ska vara reella tal med $ad-bc=1$ , vi erhålla en undergrupp av Möbius-gruppen betecknad som PSL(2, R ) . Detta är gruppen av de Möbius-transformationer som kartlägger det övre halvplanet H = x + i y : y > 0 till sig själv, och är lika med gruppen av alla biholomorfa (eller motsvarande: bijektiva , konforma och orienteringsbevarande) kartor H → H. _ Om en korrekt metrik införs blir det övre halvplanet en modell av hyperbolplanet H ² , Poincarés halvplansmodell och PSL(2, R ) är gruppen av alla orienteringsbevarande isometrier av H ² i denna modell.

Undergruppen av alla Möbius-transformationer som mappar den öppna disken D = z : | z | < 1 till sig själv består av alla transformationer av formen

f(z)=e^{i\phi }{\frac {z+b}{{\bar {b}}z+1 }}

med

\phi

∈ R , b ∈ C och | b | < 1. Detta är lika med gruppen av alla biholomorfa (eller motsvarande: bijektiva, vinkelbevarande och orienteringsbevarande) kartor D → D . Genom att introducera en lämplig metrik förvandlas den öppna skivan till en annan modell av det hyperboliska planet, Poincaré-skivmodellen , och denna grupp är gruppen av alla orienteringsbevarande isometrier av H ² i denna modell.

Eftersom båda ovanstående undergrupper fungerar som isometrigrupper av H ² är de isomorfa. En konkret isomorfism ges genom konjugering med transformationen

f(z)={\frac {z+i}{iz+1}}

som bijektivt mappar den öppna enhetsskivan till det övre halvplanet.

Alternativt kan du överväga en öppen skiva med radien r , centrerad vid r i . Poincaré-skivmodellen i denna skiva blir identisk med den övre halvplansmodellen när r närmar sig ∞.

En maximal kompakt undergrupp av Möbiusgruppen ${\mathcal {M}}$ ges av ( Tóth 2002 )

{\mathcal {M}}_{0}:=\left\{z\mapsto {\frac {uz-{\bar {v}}}{vz+{\bar {u} }}}:|u|^{2}+|v|^{2}=1\right\},

och motsvarar under isomorfismen

{\mathcal {M}}\cong \operatorname {PSL} (2,\mathbb {C} )

till den projektiva specialenhetsgruppen PSU(2 , C ) som är isomorf till den speciella ortogonala gruppen SO(3) av rotationer i tre dimensioner, och kan tolkas som rotationer av Riemann-sfären. Varje finit undergrupp är konjugerad till denna maximala kompakta grupp, och därmed motsvarar dessa exakt de polyedriska grupperna, punktgrupperna i tre dimensioner .

Ikosaedriska grupper av Möbius-transformationer användes av Felix Klein för att ge en analytisk lösning på den kvintiska ekvationen i ( Klein 1888) ; en modern utläggning ges i ( Tóth 2002 ).

Om vi kräver att koefficienterna a , b , c , d för en Möbius-transformation ska vara heltal med ad − bc = 1, får vi den modulära gruppen PSL(2, Z ), en diskret undergrupp av PSL(2, R ) som är viktig i studiet av gitter i det komplexa planet, elliptiska funktioner och elliptiska kurvor . De diskreta undergrupperna av PSL(2, R ) är kända som fuchsiska grupper ; de är viktiga i studiet av Riemann-ytor .

Klassificering

En hyperbolisk transformation visas. Förbilder av enhetscirkeln är cirklar av Apollonius med avståndsförhållandet c / a och foci vid − b / a och − d / c . För samma brännpunkter − b / a och − d / c avbildas de röda cirklarna till strålar genom ursprunget.

I följande diskussion kommer vi alltid att anta att den representerande matrisen ${\mathfrak {H}}$ är normaliserad så att $\det {\mathfrak {H}} =ad-bc=1$ .

Non-identitet Möbius-transformationer klassificeras vanligen i fyra typer, paraboliska , elliptiska , hyperboliska och loxodromiska , med de hyperboliska som är en underklass av de loxodromiska. Klassificeringen har både algebraisk och geometrisk betydelse. Geometriskt resulterar de olika typerna i olika transformationer av det komplexa planet, vilket figurerna nedan illustrerar.

De fyra typerna kan särskiljas genom att titta på spåret tr $\displaystyle \operatorname {tr} {\mathfrak {H}}=a+d}$ . Observera att spåret är invariant under konjugering , det vill säga

\operatorname {tr} \,{\mathfrak {GHG}}^{-1}=\operatörsnamn {tr} \,{\mathfrak {H}},

och så kommer varje medlem i en konjugationsklass att ha samma spår. Varje Möbius-transformation kan skrivas så att dess representerande matris

{\mathfrak {H}}

har determinant ett (genom att multiplicera posterna med en lämplig skalär). Två Möbius-transformationer

{\mathfrak {H}},{\mathfrak {H}}'

(båda inte lika med identitetstransformationen) med

\det {\mathfrak {H}}=\det {\mathfrak {H}}'=1

är konjugerade om och endast om

\operatorname {tr} ^{2}{\mathfrak {H}}=\operatörsnamn {tr} ^{2}{\mathfrak {H}}'.

Paraboliska transformationer

En icke-identitet Möbius-transformation definierad av en matris ${\mathfrak {H}}$ av determinant ett sägs vara parabolisk om

\operatörsnamn {tr} ^{2}{\mathfrak {H}}=(a+d)^{2}=4

(så spåret är plus eller minus 2; antingen kan ske för en given transformation eftersom

{\mathfrak {H}}

endast bestäms upp till tecken). Faktum är att ett av alternativen för

{\mathfrak {H}}

har samma karakteristiska polynom X ² −2 X +1 som identitetsmatrisen, och är därför unipotent . En Möbiustransform är parabolisk om och endast om den har exakt en fast punkt i det utökade komplexa planet

{\widehat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}

, vilket händer om och bara om det kan definieras av en matriskonjugering till

{\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}

som beskriver en översättning i det komplexa planet.

Mängden av alla paraboliska Möbiustransformationer med en given fixpunkt i ${\widehat {\mathbb {C} }}$ bildar tillsammans med identiteten en undergrupp isomorf till gruppen av matriser

\left\{{\begin{pmatrix}1&b\\0&1\end{pmatrix}}\mid b\in \mathbb {C} \right\};

detta är ett exempel på den unipotenta radikalen i en Borel-undergrupp (av Möbius-gruppen eller av SL(2, C ) för matrisgruppen; begreppet definieras för vilken reduktiv Lie-grupp som helst ).

Karakteristisk konstant

Alla icke-paraboliska transformationer har två fasta punkter och definieras av en matriskonjugat till

{\begin{pmatrix}\lambda &0\\0&\lambda ^{-1}\end{pmatrix}}

med det komplexa talet λ inte lika med 0, 1 eller −1, vilket motsvarar en utvidgning/rotation genom multiplikation med det komplexa talet k = λ ² , kallad transformationens karakteristiska konstant eller multiplikator .

Elliptiska transformationer

Smith -diagrammet , som används av elektroingenjörer för att analysera transmissionsledningar , är en visuell skildring av den elliptiska Möbius-transformationen Γ = (z-1)/(z+1). Varje punkt på Smith-diagrammet representerar samtidigt både ett värde på z (nedre till vänster) och motsvarande värde på Γ (nedre höger), för |Γ |<1.

Transformationen sägs vara elliptisk om den kan representeras av en matris ${\mathfrak {H}}$ vars spår är verkligt med

0\leq \operatörsnamn {tr} ^{2}{\mathfrak {H}}<4.

En transform är elliptisk om och endast om | λ | = 1 och λ ≠ ±1. Om man skriver $\lambda =e^{i\alpha }$ , är en elliptisk transform konjugerad till

{\begin{pmatrix}\cos \alpha &-\sin \alpha \\\sin \alpha &\cos \alpha \end{pmatrix} }

med α verklig.

Observera att för alla ${\mathfrak {H}}$ med karakteristisk konstant k , är den karakteristiska konstanten för ${\mathfrak {H}}^{n}$ k ⁿ . Således är alla Möbius-transformationer av ändlig ordning elliptiska transformationer, nämligen exakt de där λ är en rot av enhet , eller, ekvivalent, där α är en rationell multipel av $π$ . Den enklaste möjligheten för en bråkdelsmultipel betyder α = $π$ /2, vilket också är det unika fallet för ${\displaystyle \operatorname {tr} {\mathfrak {H}}=0} ,$ betecknas också som en cirkulär transformera ; detta motsvarar geometriskt rotation med 180° omkring två fixpunkter. Denna klass representeras i matrisform som:

{\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}.

Det finns 3 representanter som fixerar {0, 1, ∞}, vilket är de tre transpositionerna i symmetrigruppen av dessa 3 punkter:

1/z,

som fixar 1 och byter 0 med ∞ (rotation med 180° om punkterna 1 och −1),

1-z

, som fixerar ∞ och byter 0 med 1 (rotation 180° kring punkterna 1/2 och ∞ ), och

z/(z-1)

som fixerar 0 och byter 1 med ∞ (rotation 180° kring punkterna 0 och 2).

Hyperboliska transformationer

Transformen sägs vara hyperbolisk om den kan representeras av en matris ${\mathfrak {H}}$ vars spår är verkligt med

\operatorname {tr} ^{2}{\mathfrak {H}}>4.

En transformation är hyperbolisk om och endast om λ är reell och λ ≠ ±1.

Loxodromic transformationer

Transformen sägs vara loxodromic om $\operatorname {tr} ^{2}{\mathfrak {H}}$ inte är i [0,4]. En transformation är loxodromic om och endast om $|\lambda |\neq 1$ .

Historiskt sett hänvisar navigering med loxodrome eller rhumb line till en bana av konstant bäring ; den resulterande banan är en logaritmisk spiral , som till formen liknar transformationerna av det komplexa planet som en loxodromic Möbius-transformation gör. Se de geometriska figurerna nedan.

Allmänna klassificeringen

Omvandling	Spår i kvadrat	Multiplikatorer	Klassrepresentant
Cirkulär	σ = 0	k = −1	${\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}}$	z ↦ − z
Elliptisk	0 ≤ σ < 4	\| k \| = 1 $k=e^{\pm i\theta }\neq 1$	${\begin{pmatrix}e^{i\theta /2}&0\\0&e^{-i\theta /2}\end{pmatrix}}$	z ↦ e ^{i θ} z
Parabolisk	σ = 4	k = 1	${\begin{pmatrix}1&a\\0&1\end{pmatrix}}$	z ↦ z + a
Hyperbolisk	4 < σ < ∞	$k\in \mathbb {R} ^{+}$ $k=e^{\pm \theta }\neq 1$	${\begin{pmatrix}e^{\theta /2}&0\\0&e^{-\theta /2}\end{pmatrix}}$	z ↦ e ^θ z
Loxodromic	σ ∈ C \ [0,4]	$\|k\|\neq 1$ $k=\lambda ^{2},\lambda ^{-2}$	${\begin{pmatrix}\lambda &0\\0&\lambda ^{-1}\end{pmatrix}}$	z ↦ kz

Det verkliga fallet och en anteckning om terminologi

Över de reella siffrorna (om koefficienterna måste vara reella) finns det inga icke-hyperboliska loxodromic transformationer, och klassificeringen är i elliptiska, paraboliska och hyperboliska, som för verkliga koner . Terminologin beror på att man betraktar halva det absoluta värdet av spåret, |tr|/2, eftersom excentriciteten i transformationen – division med 2 korrigerar för dimensionen, så identiteten har excentricitet 1 (tr/ n används ibland som en alternativ för spåret av denna anledning), och det absoluta värdet korrigerar för att spåret endast definieras upp till en faktor på ±1 på grund av arbete i PSL. Alternativt kan man använda halva kurvan i kvadrat som en proxy för excentriciteten i kvadrat, som gjordes ovan; dessa klassificeringar (men inte de exakta excentricitetsvärdena, eftersom kvadrat- och absolutvärden är olika) överensstämmer för verkliga spår men inte komplexa spår. Samma terminologi används för klassificeringen av element i SL(2, R ) (det 2-faldiga omslaget), och analoga klassificeringar används på andra ställen. Loxodromic transformationer är ett väsentligen komplext fenomen och motsvarar komplexa excentriciteter.

Geometrisk tolkning av den karakteristiska konstanten

Följande bild visar (efter stereografisk transformation från sfären till planet) de två fixpunkterna i en Möbius-transformation i det icke-paraboliska fallet:

Den karakteristiska konstanten kan uttryckas i termer av dess logaritm :

e^{\rho +\alpha i}=k.

När det uttrycks på detta sätt blir det reella talet ρ en expansionsfaktor. Den indikerar hur frånstötande den fasta punkten γ ₁ är och hur attraktiv γ ₂ är. Det reella talet α är en rotationsfaktor, som indikerar i vilken utsträckning transformationen roterar planet moturs omkring γ ₁ och medurs omkring γ ₂ .