Plancherel mått

Inom matematik är Plancherel-mått ett mått definierat på uppsättningen av irreducerbara enhetsrepresentationer av en lokalt kompakt grupp ${\displaystyle G} , som$ beskriver hur den reguljära representationen bryts upp i irreducerbara enhetsrepresentationer. I vissa fall används termen Plancherel-mått specifikt i sammanhanget att gruppen $G$ är den ändliga symmetriska gruppen $S_{n}$ – se nedan. Den är uppkallad efter den schweiziske matematikern Michel Plancherel för hans arbete inom representationsteori .

Definition för ändliga grupper

Låt $G$ vara en finit grupp , vi betecknar mängden av dess irreducerbara representationer med $G^{\wedge }$ . Motsvarande plancherelmått över mängden $G^{\wedge }$ definieras av

$\mu (\pi )={\frac {(\mathrm {dim} \,\pi )^{2}}{|G|}},$

där $\pi \in G^{\wedge }$ , och $\mathrm {dim} \pi$ anger dimensionen av den irreducerbara representationen $\pi$ .

Definition på den symmetriska gruppen

Ett viktigt specialfall är fallet med den finita symmetriska gruppen ${\displaystyle S_{n}} ,$ där $n$ är ett positivt heltal. För denna grupp är uppsättningen $S_{n}^{\wedge }$ av irreducerbara representationer i naturlig bijektion med uppsättningen heltalspartitioner av $n$ . För en irreducerbar representation associerad med en heltalspartition $\lambda$ är dess dimension känd för att vara lika med $f^{\lambda }$ , antalet standard Young-tablåer med formen $\lambda$ , så i det här fallet betraktas Plancherel-måttet ofta som ett mått på mängden heltalspartitioner av given ordning n , givet av

$\mu (\lambda )={\frac {(f^{\lambda })^{2}}{n!}}.$

Det faktum att dessa sannolikheter summerar till 1 följer av den kombinatoriska identiteten

$\sum _{\lambda \vdash n}(f^{\lambda })^{2}=n!,$

vilket motsvarar den bijektiva karaktären hos Robinson–Schensted-korrespondensen .

Ansökan

Plancherel-mått förekommer naturligt i kombinatoriska och probabilistiska problem, speciellt i studien av längst ökande undersekvens av en slumpmässig permutation $\sigma$ . Som ett resultat av dess betydelse inom det området, i många aktuella forskningsartiklar hänvisar termen Plancherel-mått nästan uteslutande till fallet med den symmetriska gruppen $S_{n}$ .

Anslutning till längst ökande efterföljd

Låt $L(\sigma )$ beteckna längden av en längst ökande undersekvens av en slumpmässig permutation $\sigma$ i $S_{n}$ vald enligt den enhetliga fördelningen . Låt $\lambda$ beteckna formen på motsvarande Young-tablåer relaterade till $\sigma$ av Robinson–Schensted-korrespondensen . Då gäller följande identitet:

$L(\sigma )=\lambda _{1},$

där $\lambda _{1}$ anger längden på den första raden av $\lambda$ . Dessutom, av det faktum att Robinson–Schensted-överensstämmelsen är bijektiv, följer det att fördelningen av $\lambda$ är exakt Plancherelmåttet på $S_{n}$ . Så för att förstå beteendet hos $L(\sigma )$ är det naturligt att titta på $\lambda _{1}$ med $\lambda$ vald enl. Plancherelmåttet i $S_{n}$ , eftersom dessa två slumpvariabler har samma sannolikhetsfördelning.

Förgiftat Plancherel-mått

Plancherelmåttet definieras på $S_{n}$ för varje heltal $n$ . I olika studier av det asymptotiska beteendet hos $L(\sigma )$ som $n\rightarrow \infty$ , har det visat sig användbart att utöka måttet till ett mått, kallat Poissonized Plancherel mått , på uppsättningen ${\mathcal {P}}^{*}$ av alla heltalspartitioner. För alla $\theta >0$ definieras Poissonized Plancherel-måttet med parametern $\theta$ på uppsättningen ${\displaystyle {\mathcal {P}}^{*}} av$

$\mu _{\theta }(\lambda )=e^{-\theta }{\frac {\theta ^{|\lambda |}(f ^{\lambda })^{2}}{(|\lambda |!)^{2}}},$

för alla $\lambda \in {\mathcal {P}}^{*}$ .

Plancherel tillväxtprocess

Plancherel -tillväxtprocessen är en slumpmässig sekvens av unga diagram $\lambda ^{(1)}=(1),~\ lambda ^{(2)},~\lambda ^{(3)},~\ldots ,$ så att varje $\lambda ^{(n)}$ är ett slumpmässigt Young-diagram av ordningen $n$ vars sannolikhetsfördelning är det n: te Plancherelmåttet, och varje successiv $\lambda ^{(n)}$ erhålls från sin föregångare $\lambda ^{(n-1)}$ genom att lägga till en enda ruta, enligt övergångssannolikheten

$p(\nu ,\lambda )=\mathbb {P} ( \lambda ^{(n)}=\lambda ~|~\lambda ^{(n-1)}=\nu )={\frac {f^{\lambda }}{nf^{\nu }}},$

för alla givna Young-diagram $\nu$ och $\lambda$ av storlekarna n − 1 respektive n .

Så Plancherel-tillväxtprocessen kan ses som en naturlig koppling av de olika Plancherel-måtten för alla de symmetriska grupperna, eller alternativt som en slumpmässig vandring på Youngs gitter . Det är inte svårt att visa att sannolikhetsfördelningen för $\lambda ^{(n)}$ i denna promenad sammanfaller med Plancherel-måttet på $S_{n}$ .

Kompakta grupper

Plancherel-måttet för kompakta grupper liknar det för ändliga grupper, förutom att måttet inte behöver vara ändligt. Den enhetliga dualen är en diskret uppsättning finitdimensionella representationer, och Plancherelmåttet på en irreducerbar finitdimensionell representation är proportionell mot dess dimension.

Abeliska grupper

Den enhetliga dualen av en lokalt kompakt abelsk grupp är en annan lokalt kompakt abelisk grupp, och Plancherel-måttet är proportionellt mot Haar-måttet för den dubbla gruppen.

Halvenkla Lie-grupper

Plancherel-måttet för halvenkla Lie-grupper hittades av Harish-Chandra . Stödet är uppsättningen av tempererade representationer , och i synnerhet behöver inte alla enhetliga representationer förekomma i stödet.