Kommutationssats för spår

Inom matematiken identifierar ett kommutationssats för spår uttryckligen kommutanten för en specifik von Neumann-algebra som verkar på ett Hilbert-utrymme i närvaro av ett spår .

Det första sådana resultatet bevisades av Francis Joseph Murray och John von Neumann på 1930-talet och gäller von Neumann algebra som genereras av en diskret grupp eller av det dynamiska systemet som är associerat med en mätbar transformation som bevarar ett sannolikhetsmått .

En annan viktig tillämpning är i teorin om enhetliga representationer av unimodulära lokalt kompakta grupper , där teorin har tillämpats på den vanliga representationen och andra närbesläktade representationer. I synnerhet ledde detta ramverk till en abstrakt version av Plancherel-satsen för unimodulära lokalt kompakta grupper på grund av Irving Segal och Forrest Stinespring och en abstrakt Plancherel-sats för sfäriska funktioner associerade med ett Gelfand-par på grund av Roger Godement . Deras arbete sattes i slutgiltig form på 1950-talet av Jacques Dixmier som en del av teorin om Hilbert algebras .

Det var inte förrän i slutet av 1960-talet, delvis föranledd av resultat inom algebraisk kvantfältteori och kvantstatistisk mekanik på grund av Rudolf Haags skola , som den mer allmänna icke-traciala Tomita-Takesaki-teorin utvecklades, vilket förebådade en ny era i teorin av von Neumann algebras.

Kommutationssats för finita spår

Låt H vara ett Hilbertrum och M a von Neumann algebra på H med en enhetsvektor Ω sådan att

M Ω är tät i H
M 'Ω är tät i H , där M ' betecknar kommutanten av M
( ab Ω, Ω) = ( ba Ω, Ω) för alla a , b i M .

Vektorn Ω kallas en cykliskt separerande spårvektor . Det kallas en spårvektor eftersom det sista villkoret innebär att matriskoefficienten som motsvarar Ω definierar ett spårtillstånd på M . Det kallas cykliskt eftersom Ω genererar H som en topologisk M -modul. Det kallas att separera eftersom om a Ω = 0 för a i M , så är aM' Ω= (0), och därmed a = 0.

Därav följer att kartan

Ja\Omega =a^{*}\Omega

för a i M definierar en konjugat-linjär isometri av H med kvadraten på identiteten, J ² = I . Operatören J brukar kallas modulär konjugationsoperator .

Det verifieras omedelbart att JMJ och M pendlar på delrummet M Ω, så att

JMJ\subseteq M^{\prime }.

Murrays och von Neumanns kommutationssats säger det

JMJ=M^{\prime }

Ett av de enklaste sätten att se detta är att introducera K , stängningen av det verkliga delrummet M _sa Ω, där M _sa betecknar de självtillslutande elementen i M . Det följer att

H=K\oplus iK,

en ortogonal direkt summa för den reella delen av den inre produkten. Detta är bara den verkliga ortogonala sönderdelningen för ±1 egenutrymmen för J . Å andra sidan för a i M _sa och b i M' _{sa är} den inre produkten ( ab Ω, Ω) reell, eftersom ab är självadjoint. Därför K oförändrad om M ersätts med M '.

I synnerhet är Ω en spårvektor för M' och J är oförändrad om M ersätts med M '. Alltså motsatt inkludering

JM^{\prime }J\subseteq M

följer genom att byta om rollerna M och M' .

Exempel

Ett av de enklaste fallen av kommutationssatsen, där det lätt kan ses direkt, är det av en ändlig grupp Γ som verkar på det ändligt dimensionella inre produktutrymmet $\ell ^{2}(\ Gamma )$ av vänster och höger reguljära representationer λ och ρ. Dessa enhetsrepresentationer ges av formlerna $(\lambda (g)f)(x)= f(g^{-1}x),\,\,(\rho (g)f)(x)=f(xg)$ för f i $\ell ^{2}(\Gamma )$ och kommutationssatsen antyder att $\lambda (\Gamma )^{\prime \prime }=\rho (\Gamma )^{\prime },\,\,\rho (\Gamma )^{\prime \prime }=\lambda ( \Gamma )^{\prime }.$ Operatören J ges av formeln $Jf(g)={\overline {f(g^{-1})}}.$ Exakt samma resultat förblir sant om Γ tillåts vara vilken som helst räknebar diskret grupp . von Neumann-algebra λ(Γ)' ' brukar kallas gruppen von Neumann-algebra av Γ.
Ett annat viktigt exempel är ett sannolikhetsutrymme ( X , μ ). Den Abelian von Neumann-algebra A = L ^∞ ( X , μ) verkar genom multiplikationsoperatorer på H = L ² ( X , μ) och konstantfunktionen 1 är en cykliskt separerande spårvektor. Det följer att $A'=A,$ så att A är en maximal Abelisk subalgebra av B ( H ), von Neumann-algebra för alla gränsade operatorer på H .
Den tredje klassen av exempel kombinerar ovanstående två. Kommer från ergodisk teori , var det en av von Neumanns ursprungliga motiv för att studera von Neumann algebror. Låt ( X , μ) vara ett sannolikhetsutrymme och låt Γ vara en räknebar diskret grupp av måttbevarande transformationer av ( X , μ). Gruppen verkar därför enhetligt på Hilbertrummet H = L ² ( X , μ) enligt formeln $U_{g}f(x)=f(g^{-1}x),$ för f i H och normaliserar Abelian von Neumann-algebra A = L ^∞ ( X , μ). Låta $H_{1}=H\otimes \ell ^{2}(\Gamma ),$ en tensorprodukt av Hilbertrum. Gruppmätning av rymdkonstruktion eller korsad produkt von Neumann algebra $M=A\rtimes \Gamma$
definieras som von Neumann algebra på H ₁ genererad av algebra $A\otimes I$ och de normaliserande operatorerna $U_{g}\otimes \lambda (g )$ . Vektorn $\Omega =1\otimes \delta _{1}$ är en cykliskt separerande spårvektor. Dessutom kan den modulära konjugationsoperatorn J och kommutanten M ' explicit identifieras.

Ett av de viktigaste fallen av grupp-mått rymdkonstruktionen är när Γ är gruppen av heltal Z , dvs fallet med en enda inverterbar mätbar transformation T . Här T bevara sannolikhetsmåttet μ. Halvfinita spår krävs för att hantera fallet när T (eller mer allmänt Γ) endast bevarar ett oändligt ekvivalent mått; och den fulla kraften av Tomita-Takesaki-teorin krävs när det inte finns något invariant mått i ekvivalensklassen, även om måttets ekvivalensklass bevaras av T (eller Γ).

Kommutationssats för semifinita spår

Låt M vara en von Neumann-algebra och M ₊ mängden positiva operatorer i M . Per definition är ett semifinit spår (eller ibland bara spår ) på M en funktionell τ från M ₊ till [0, ∞] så att

$\tau (\lambda a+\mu b)=\lambda \tau (a)+\mu \tau (b)$ för a , b i M ₊ och λ, μ ≥ 0 ( semilinearitet );
$\tau \left(uau^{*}\right)=\tau (a)$ för a i M ₊ och u en enhetsoperator i M ( enhetsinvarians );
τ är helt additiv på ortogonala familjer av projektioner i M ( normalitet );
varje projektion i M är en ortogonal direkt summa av projektioner med finit spår ( semifiniteness ) .

Om dessutom τ är icke-noll på varje icke-noll projektion, så kallas τ ett troget spår .

Om τ är ett troget spår på M , låt H = L ² ( M , τ) vara Hilbert-rymdens komplettering av det inre produktutrymmet

M_{0}=\left\{a\in M\mid \tau \left(a^{*}a\right)<\ infty \right\}

med hänsyn till den inre produkten

(a,b)=\tau \left(b^{*}a\right).

Von Neumann algebra M verkar genom vänstermultiplikation på H och kan identifieras med sin bild. Låta

Ja=a^{*}

₀ för en i M . Operatorn J kallas återigen den modulära konjugationsoperatorn och sträcker sig till en konjugat-linjär isometri av H som uppfyller J ² = I. Murrays och von Neumanns kommutationssats

JMJ=M^{\prime }

är återigen giltigt i detta fall. Detta resultat kan bevisas direkt med en mängd olika metoder, men följer omedelbart av resultatet för ändliga spår, genom upprepad användning av följande elementära fakta:

Om M ₁ ⊇ M ₂ är två von Neumann algebror så att p _n M ₁ = p _n M ₂ för en familj av projektioner p _n i kommutanten av M ₁ som ökar till I i den starka operatortopologin , då M ₁ = M ₂ .

Hilbert algebras

Teorin om Hilbert algebras introducerades av Godement (under namnet "unitary algebras"), Segal och Dixmier för att formalisera den klassiska metoden för att definiera spåret för spårklassoperatorer utgående från Hilbert-Schmidt-operatorer . Tillämpningar i representationsteorin för grupper leder naturligtvis till exempel på Hilbert-algebror. Varje von Neumann-algebra utrustad med ett semifinit spår har en kanonisk "fullbordad" eller "full" Hilbert-algebra associerad med sig; och omvänt kan en färdig Hilbert-algebra av exakt denna form kanoniskt associeras med varje Hilbert-algebra. Teorin om Hilbert algebras kan användas för att härleda kommutationssatserna av Murray och von Neumann; lika väl kan huvudresultaten på Hilbert-algebror också härledas direkt från kommutationssatserna för spår. Teorin om Hilbert algebras generaliserades av Takesaki som ett verktyg för att bevisa kommutationssatser för semifinita vikter i Tomita-Takesaki-teorin ; de kan undvaras när man har att göra med stater.

Definition

En Hilbert-algebra är en algebra ${\mathfrak {A}}$ med involution x → x * och en inre produkt (,) så att

( a , b ) = ( b *, a *) för a , b i ${\mathfrak {A}}$ ;
vänster multiplikation med ett fast a i ${\mathfrak {A}}$ är en begränsad operator;
* är adjointen, med andra ord ( xy , z ) = ( y , x * z );
det linjära spannet för alla produkter xy är tätt i ${\mathfrak {A}}$ .

Exempel

Hilbert–Schmidt-operatorerna på ett oändligt dimensionellt Hilbertrum bildar en Hilbertalgebra med inre produkt ( a , b ) = Tr ( b * a ).
Om ( X , μ ) är ett oändligt måttrum är algebran L ^∞ ( X ) $\cap$ L ² ( X ) en Hilbertalgebra med den vanliga inre produkten från L ² ( X ).
₀ Om M är en von Neumann-algebra med troget semifinit spår τ, så är *-subalgebra M definierad ovan en Hilbert-algebra med inre produkt ( a , b ) = τ( b * a ).
Om G är en unimodulär lokalt kompakt grupp är faltningsalgebra L ¹ ( G ) $\cap$ L ² ( G ) en Hilbert algebra med den vanliga inre produkten från L ² ( G ).
Om ( G , K ) är ett Gelfand-par , är faltningsalgebra L ¹ ( K \ G / K ) $\cap$ L ² ( K \ G / K ) en Hilbertalgebra med den vanliga inre produkten från L ² ( G ); här L ^p ( K \ G / K ) det slutna underrummet av K -biinvarianta funktioner i L ^p ( G ).
Varje tät *-subalgebra av en Hilbert-algebra är också en Hilbert-algebra.

Egenskaper

Låt H vara Hilbert-rymdkompletteringen av ${\mathfrak {A}}$ med avseende på den inre produkten och låt J beteckna förlängningen av involutionen till en konjugat-linjär involution av H . Definiera en representation λ och en antirepresentation ρ av ${\mathfrak {A}}$ på sig själv genom vänster- och högermultiplikation:

\lambda (a)x=ax,\,\,\rho (a)x=xa.

Dessa åtgärder sträcker sig kontinuerligt till åtgärder på H . I det här fallet anger kommutationssatsen för Hilbert algebras att

\lambda ({\mathfrak {A}})^{\prime \prime }=\rho ({\mathfrak {A}})^{\prime }

Dessutom om

M=\lambda ({\mathfrak {A}})^{\prime \prime },

von Neumann-algebra som genereras av operatorerna λ( a ), då

JMJ=M^{\prime }

Dessa resultat bevisades oberoende av Godement (1954) och Segal (1953) .

Beviset förlitar sig på begreppet "begränsade element" i Hilbert-rymdkompletteringen H .

Ett element av x i H sägs vara avgränsat (relativt ${\mathfrak {A}}$ ) om kartan a → xa av ${\mathfrak {A}}$ till H sträcker sig till en begränsad operator på H , betecknad med λ( x ). I det här fallet är det enkelt att bevisa att:

Jx är också ett begränsat element, betecknat x *, och λ( x *) = λ( x )*;
a → ax ges av den begränsade operatorn ρ( x ) = J λ( x *) J på H ;
M ' genereras av ρ( x ) med x begränsat;
λ( x ) och ρ( y ) pendlar för x , y begränsat.

Kommuteringssatsen följer omedelbart efter det sista påståendet. Särskilt

M=\lambda ({\mathfrak {B}})''.

Utrymmet för alla avgränsade element ${\mathfrak {B}}$ bildar en Hilbertalgebra som innehåller ${\mathfrak {A}}$ som en tät *-subalgebra. Det sägs vara komplett eller fullt eftersom alla element i H avgränsat relativt ${\mathfrak {B}}$ faktiskt redan måste ligga i ${\mathfrak {B}}$ . Den funktionella τ på M ₊ definierad av

\tau (x)=(a,a)

om x = λ ( a )* λ ( a ) och ∞ annars, ger ett troget semifinit spår på M med

M_{0}={\mathfrak {B}}.

Således:

Det finns en en-en-överensstämmelse mellan von Neumann-algebror på H med troget semifinit spår och fullständiga Hilbert-algebror med Hilbert-rymdkomplettering H.

Se även

Anteckningar

Bratteli, O.; Robinson, DW (1987), Operator Algebras and Quantum Statistical Mechanics 1, andra upplagan , Springer-Verlag, ISBN 3-540-17093-6
Connes, A. (1979), Sur la théorie non commutative de l'integration , Lecture Notes in Mathematics, vol. (Algèbres d'Opérateurs), Springer-Verlag, s. 19–143, ISBN 978-3-540-09512-5
Dieudonné, J. (1976), Treatise on Analysis, vol. II , Academic Press, ISBN 0-12-215502-5
Dixmier, J. (1957), Les algèbres d'opérateurs dans l'espace hilbertien: algèbres de von Neumann , Gauthier-Villars
Dixmier, J. (1981), Von Neumann algebras , North Holland, ISBN 0-444-86308-7 (engelsk översättning)
Dixmier, J. (1969), Les C*-algèbres et leurs représentations , Gauthier-Villars, ISBN 0-7204-0762-1
Dixmier, J. (1977), C* algebras , North Holland, ISBN 0-7204-0762-1 (engelsk översättning)
Godement, R. (1951), "Mémoire sur la théorie des caractères dans les groupes localement compacts unimodulaires", J. Math. Pures Appl. , 30 : 1–110
Godement, R. (1954), "Théorie des caractères. I. Algèbres unitaires", Ann. av matte. , Annals of Mathematics, 59 (1): 47–62, doi : 10.2307/1969832 , JSTOR 1969832
Murray, FJ ; von Neumann, J. (1936), "Om ringar av operatörer", Ann. av matte. , 2, Annals of Mathematics, 37 (1): 116–229, doi : 10.2307/1968693 , JSTOR 1968693
Murray, FJ ; von Neumann, J. (1937), "On rings of operators II", Trans. Amer. Matematik. Soc. , American Mathematical Society, 41 (2): 208–248, doi : 10.2307/1989620 , JSTOR 1989620
Murray, FJ ; von Neumann, J. (1943), "Om ringar av operatörer IV", Ann. av matte. , 2, Annals of Mathematics, 44 (4): 716–808, doi : 10.2307/1969107 , JSTOR 1969107
Pedersen, GK (1979), C* algebras and their automorphism groups , London Mathematical Society Monographs, vol. 14, Academic Press, ISBN 0-12-549450-5
Rieffel, MA; van Daele, A. (1977), "A bounded operator approach to Tomita–Takesaki theory", Pacific J. Math. , 69 : 187–221, doi : 10.2140/pjm.1977.69.187
Segal, IE (1953), "A non-commutative extension of abstract integration", Ann. av matte. , Annals of Mathematics, 57 (3): 401–457, doi : 10.2307/1969729 , JSTOR 1969729 (5 avsnitt)
Simon, B. (1979), Trace ideals and their applications , London Mathematical Society Lecture Note Series, vol. 35, Cambridge University Press, ISBN 0-521-22286-9
Takesaki, M. (1979), Theory of Operator Algebras I , Springer-Verlag, ISBN 3-540-42914-X
Takesaki, M. (2002), Theory of Operator Algebras II , Springer-Verlag, ISBN 3-540-42248-X