Symmetriskt utrymme

Inom matematik är ett symmetriskt utrymme ett Riemannmanifold (eller mer allmänt, en pseudo-Riemannmanifold ) vars grupp av symmetrier innehåller en inversionssymmetri om varje peka. Detta kan studeras med hjälp av Riemannsk geometri , vilket leder till konsekvenser i teorin om holonomi ; eller algebraiskt genom Lie theory , som gjorde det möjligt för Cartan att ge en fullständig klassificering. Symmetriska rum förekommer vanligtvis i differentialgeometri , representationsteori och harmonisk analys .

I geometriska termer är ett komplett, enkelt anslutet Riemann-grenrör ett symmetriskt utrymme om och endast om dess krökningstensor är invariant under parallell transport. Mer generellt sägs ett Riemann-grenrör ( M , g ) vara symmetriskt om och endast om det för varje punkt p i M finns en isometri av M som fixerar p och verkar på tangentrymden $T_{ p}M$ som minus identiteten (varje symmetriskt utrymme är komplett , eftersom alla geodetiska kan förlängas på obestämd tid via symmetrier om ändpunkterna). Båda beskrivningarna kan naturligtvis också utvidgas till att omfatta pseudo-riemannska grenrör .

Ur Lie-teorins synvinkel är ett symmetriskt utrymme kvoten G / H för en sammankopplad Lie-grupp G med en Lie-undergrupp H som är (en sammankopplad komponent av) den invarianta gruppen av en involution av G. Denna definition inkluderar mer än den riemannska definitionen, och reduceras till den när H är kompakt.

Riemannska symmetriska rum uppstår i en mängd olika situationer inom både matematik och fysik. Deras centrala roll i teorin om holonomi upptäcktes av Marcel Berger . De är viktiga studieobjekt inom representationsteori och harmonisk analys samt i differentialgeometri.

Geometrisk definition

Låt M vara ett anslutet Riemann-grenrör och p en punkt för M . En diffeomorfism f av en grannskap av p sägs vara en geodesisk symmetri om den fixerar punkten p och vänder geodesik genom den punkten, dvs om γ är en geodetisk med $\gamma (0)=p$ sedan $f(\gamma (t))=\gamma (-t).$ Det följer att derivatan av kartan f vid p är minus identitetskartan på tangentrymden av p . På ett allmänt Riemannmanifold f inte vara isometriskt, och det kan inte heller i allmänhet utökas från ett område av p till hela M .

M sägs vara lokalt Riemann-symmetrisk om dess geodetiska symmetrier i själva verket är isometriska. Detta motsvarar försvinnandet av den kovarianta derivatan av krökningstensorn. Ett lokalt symmetriskt utrymme sägs vara ett (globalt) symmetriskt utrymme om dess geodetiska symmetrier dessutom kan utökas till isometrier på hela M .

Grundläggande egenskaper

Cartan –Ambrose–Hicks sats antyder att M är lokalt Riemannsymmetrisk om och endast om dess krökningstensor är kovariant konstant , och dessutom att varje enkelt anslutet , komplett lokalt Riemannsymmetriskt utrymme faktiskt är Riemannsymmetriskt.

Varje riemannsymmetriskt utrymme M är komplett och riemannskt homogent (vilket betyder att isometrigruppen i M verkar transitivt på M ). Faktum är att redan identitetskomponenten i isometrigruppen verkar transitivt på M (eftersom M är ansluten).

Lokalt riemannska symmetriska utrymmen som inte är riemannska symmetriska kan konstrueras som kvoter av riemannska symmetriska utrymmen av diskreta grupper av isometrier utan fasta punkter, och som öppna delmängder av (lokalt) riemannska symmetriska utrymmen.

Exempel

Grundläggande exempel på Riemannska symmetriska utrymmen är euklidiska utrymmen , sfärer , projektiva utrymmen och hyperboliska utrymmen , var och en med sina standardmässiga riemannska mått. Fler exempel tillhandahålls av kompakta, semi-enkla Lie-grupper utrustade med en bi-invariant Riemannisk metrik.

Varje kompakt Riemann-yta av släktet större än 1 (med dess vanliga metriska konstant krökning −1) är ett lokalt symmetriskt utrymme men inte ett symmetriskt utrymme.

Varje linsutrymme är lokalt symmetriskt men inte symmetriskt, med undantag för $L(2,1)$ som är symmetrisk. Linsutrymmena är kvoter av 3-sfären genom en diskret isometri som inte har några fixpunkter.

Ett exempel på ett icke-Riemannskt symmetriskt utrymme är anti-de Sitter-utrymme .

Algebraisk definition

Låt G vara en sammankopplad Lie-grupp . Då är ett symmetriskt utrymme för G ett homogent utrymme G / H där stabilisatorn H för en typisk punkt är en öppen undergrupp av fixpunktsmängden för en involution σ i Aut( G ). Således σ en automorfism av G med σ ² = id _G och H är en öppen undergrupp av den invarianta mängden

G^{\sigma }=\{g\in G:\sigma (g)=g\}.

Eftersom H är öppet är det en förening av komponenter av G ^σ (inklusive, naturligtvis, identitetskomponenten).

Som en automorfism av G fixerar σ identitetselementet, och därför, genom att differentiera vid identiteten, inducerar den en automorfism av Lie-algebra g $\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ av G , också betecknad med σ , vars kvadrat är identiteten. Det följer att egenvärdena för σ är ±1. +1-egenrymden är Lie-algebra ${\mathfrak {h}}$ för H (eftersom detta är Lie-algebra för G ^σ ), och −1-egenrymden kommer att betecknas ${\mathfrak { m}}$ . Eftersom σ är en automorfism av ${\mathfrak {g}}$ ger detta en direkt summanedbrytning

{\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {m}}

med

[{\mathfrak {h}},{\mathfrak {h}}]\subset {\mathfrak {h}},\;[{\mathfrak {h}},{\mathfrak {m}}]\ delmängd {\mathfrak {m}},\;[{\mathfrak {m}},{\mathfrak {m}}]\subset {\mathfrak {h}}.

Det första villkoret är automatiskt för varje homogent utrymme: det säger bara att den oändliga stabilisatorn ${\mathfrak {h}}$ är en Lie-subalgebra av ${\mathfrak {g}}$ . Det andra villkoret innebär att ${\mathfrak {m}}$ är ett ${\mathfrak {h}}$ -invariant komplement till ${\mathfrak {h}}$ i ${\mathfrak {g}}$ . Alltså är varje symmetriskt utrymme ett reduktivt homogent utrymme , men det finns många reduktiva homogena utrymmen som inte är symmetriska utrymmen. Nyckelfunktionen för symmetriska mellanslag är det tredje villkoret att ${\mathfrak {m}}$ hakparenteser i ${\mathfrak {h}}$ .

Omvänt, givet någon Lie-algebra ${\mathfrak {g}}$ med en direkt summanedbrytning som uppfyller dessa tre villkor, den linjära kartan σ , lika med identiteten på ${\mathfrak {h}}$ och minus identiteten på ${\mathfrak {m}}$ , är en involutiv automorfism.

Riemannska symmetriska utrymmen uppfyller den Lie-teoretiska karakteriseringen

Om M är ett Riemannskt symmetriskt utrymme, är identitetskomponenten G i M isometrigruppen en Lie-grupp som verkar transitivt på M (det vill säga M är Riemannsk homogen). Därför, om vi fixerar någon punkt p av M , är M diffeomorf till kvoten G/K , där K betecknar isotropigruppen för verkan av G på M vid p . Genom att differentiera verkan vid p får vi en isometrisk verkan av K på T _p M . Denna åtgärd är trogen (t.ex. genom ett teorem av Kostant, vilken isometri som helst i identitetskomponenten bestäms av dess 1-stråle vid vilken punkt som helst) och så är K en undergrupp av den ortogonala gruppen av T _p M , alltså kompakt. Dessutom, om vi betecknar med s _p : M → M den geodesiska symmetrin för M vid p , kartan

\sigma :G\to G,h\mapsto s_{p}\circ h\circ s_{p}

är en involutiv Lie-gruppautomorfism så att isotropigruppen K finns mellan fixpunktsgruppen $G^{\sigma }$ och dess identitetskomponent (därav en öppen undergrupp) $(G^{\sigma })_{o}\,,$ se definitionen och följande proposition på sidan 209, kapitel IV, avsnitt 3 i Helgasons Differential Geometry, Lie Groups, and Symmetric Spaces för ytterligare information.

För att sammanfatta är M ett symmetriskt utrymme G / K med en kompakt isotropigrupp K . Omvänt är symmetriska utrymmen med kompakt isotropigrupp Riemannska symmetriska utrymmen, men inte nödvändigtvis på ett unikt sätt. För att erhålla en Riemannsk symmetrisk rymdstruktur måste vi fixera en K -invariant inre produkt på tangentrymden till G / K vid identitetskoset eK : en sådan inre produkt existerar alltid genom medelvärde, eftersom K är kompakt, och genom att agera med G , får vi ett G -invariant Riemann-mått g på G / K .

För att visa att G / K är Riemann-symmetrisk, betrakta vilken punkt som helst p = hK (en komängd av K , där h ∈ G ) och definiera

s_{p}:M\to M,\quad h'K\mapsto h\sigma (h^{-1 }h')K

där σ är involutionen av G som fixerar K . Sedan kan man kontrollera att s _p är en isometri med (tydligt) s _p ( p ) = p och (genom att differentiera) d s _p lika med minus identiteten på T _p M . Sålunda s _p en geodesisk symmetri och eftersom p var godtycklig är M ett riemannskt symmetriskt rum.

Om man börjar med ett riemannskt symmetriskt utrymme M och sedan utför dessa två konstruktioner i följd, så är det riemannska symmetriska utrymmet isometriskt med det ursprungliga. Detta visar att "algebraiska data" ( G , K , σ , g ) fullständigt beskriver strukturen för M .

Klassificering av Riemannska symmetriska rum

Den algebraiska beskrivningen av Riemannska symmetriska utrymmen gjorde det möjligt för Élie Cartan att få en fullständig klassificering av dem 1926.

För ett givet Riemannskt symmetriskt utrymme låter M ( G , K , σ , g ) vara de algebraiska data som är associerade med det. För att klassificera de möjliga isometriklasserna för M , notera först att det universella täcket av ett Riemann-symmetriskt utrymme återigen är Riemann-symmetriskt, och täckkartan beskrivs genom att dividera den anslutna isometrigruppen G av täckningen med en undergrupp av dess centrum. Därför kan vi utan förlust av allmänhet anta att M helt enkelt hänger ihop. (Detta innebär att K är ansluten till den långa exakta sekvensen av en fibration , eftersom G är ansluten genom antagande.)

Klassificeringsschema

Ett enkelt sammankopplat riemannsymmetriskt utrymme sägs vara irreducerbart om det inte är produkten av två eller flera riemannska symmetriska utrymmen. Det kan sedan visas att varje enkelt sammankopplat riemannskt symmetriskt utrymme är en riemannsk produkt av irreducerbara. Därför kan vi ytterligare begränsa oss till att klassificera de irreducerbara, enkelt sammankopplade Riemannska symmetriska utrymmena.

Nästa steg är att visa att alla irreducerbara, enkelt sammankopplade Riemannska symmetriska utrymmen M är av en av följande tre typer:

1. Euklidisk typ : M har försvinnande krökning och är därför isometrisk till ett euklidiskt utrymme .

2. Kompakt typ : M har icke-negativ (men inte identiskt noll) tvärsnittskrökning .

3. Icke-kompakt typ : M har icke-positiv (men inte identiskt noll) tvärsnittskrökning.

En mer förfinad invariant är rangen , som är den maximala dimensionen för ett delrum av tangentrymden (till valfri punkt) där krökningen är identiskt noll. Rangen är alltid minst ett, med likhet om sektionskrökningen är positiv eller negativ. Om krökningen är positiv är utrymmet av kompakt typ och om det är negativt är det av icke-kompakt typ. Rymderna av euklidisk typ har rang som är lika med sin dimension och är isometriska till ett euklidiskt utrymme av den dimensionen. Därför återstår det att klassificera de irreducerbara, enkelt anslutna Riemannska symmetriska utrymmena av kompakt och icke-kompakt typ. I båda fallen finns det två klasser.

A. G är en (riktig) enkel Lie-grupp;

B. G är antingen produkten av en kompakt enkel Lie-grupp med sig själv (kompakt typ), eller en komplexisering av en sådan Lie-grupp (icke-kompakt typ).

Exemplen i klass B beskrivs fullständigt genom klassificeringen av enkla Lie-grupper . För kompakt typ M en kompakt enkelt sammankopplad enkel Lie-grupp, G är M × M och K är den diagonala undergruppen. För icke-kompakt typ G en enkelt sammankopplad komplex enkel Lie-grupp och K är dess maximala kompakta undergrupp. I båda fallen är rangen rangen G .

De kompakta enkelt sammankopplade Lie-grupperna är de universella omslagen till de klassiska Lie-grupperna ${\displaystyle \mathrm {SO} (n)} ,$ S $\displaystyle \mathrm {SU} (n)}$ , $\mathrm {Sp} (n)$ och de fem exceptionella Lie-grupperna E ₆ , E ₇ , E ₈ , F ₄ , G ₂ .

Exemplen på klass A beskrivs fullständigt genom klassificeringen av icke-kompakta enkelt sammankopplade riktiga enkla Lie-grupper. För icke-kompakt typ G en sådan grupp och K är dess maximala kompakta undergrupp. Varje sådant exempel har ett motsvarande exempel av kompakt typ, genom att betrakta en maximal kompakt undergrupp av komplexbildningen av G som innehåller K . Mer direkt klassificeras exemplen på kompakt typ av involutiva automorfismer av kompakta enkelt sammankopplade enkla Lie-grupper G (upp till konjugering). Sådana involutioner sträcker sig till involutioner av komplexifieringen av G , och dessa klassificerar i sin tur icke-kompakta verkliga former av G .

I både klass A och klass B finns alltså en överensstämmelse mellan symmetriska utrymmen av kompakt typ och icke-kompakt typ. Detta är känt som dualitet för Riemannska symmetriska utrymmen.

Klassificeringsresultat

Specialiserade på Riemannska symmetriska utrymmen av klass A och kompakt typ, fann Cartan att det finns följande sju oändliga serier och tolv exceptionella riemannska symmetriska utrymmen G / K . De ges här i termer av G och K , tillsammans med en geometrisk tolkning, om den är lätt tillgänglig. Märkningen av dessa utrymmen är den som ges av Cartan.

Märka	G	K	Dimensionera	Rang	Geometrisk tolkning
AI	$\mathrm {SU} (n)\,$	$\mathrm {SO} (n)\,$	$(n-1)(n+2)/2$	$n-1$	Utrymme av reella strukturer på $\mathbb {C} ^{n}$ som lämnar den komplexa determinanten invariant
ALLT	$\mathrm {SU} (2n)\,$	$\mathrm {Sp} (n)\,$	$(n-1)(2n+1)$	$n-1$	Utrymme av kvartjoniska strukturer på $\mathbb {C} ^{2n}$ kompatibel med den hermitiska metriken
AIII	$\mathrm {SU} (p+q)\,$	$\mathrm {S} (\mathrm {U} (p)\times \mathrm {U} (q))\,$	$2pq$	$\min(p,q)$	Grassmannian av komplexa p -dimensionella delrum av $\mathbb {C} ^{p+q}$
BDI	$\mathrm {SO} (p+q)\,$	$\mathrm {SO} (p)\ gånger \mathrm {SO} (q)\,$	$pq$	$\min(p,q)$	Grassmannian av orienterade reella p -dimensionella delrum av $\mathbb {R} ^{p+q}$
DIII	$\mathrm {SO} (2n)\,$	$\mathrm {U} (n)\,$	$n(n-1)$	$[n/2]$	Utrymme av ortogonala komplexa strukturer på $\mathbb {R} ^{2n}$
CI	$\mathrm {Sp} (n)\,$	$\mathrm {U} (n)\,$	$n(n+1)$	$n$	Utrymme av komplexa strukturer på $\mathbb {H} ^{n}$ kompatibel med den inre produkten
CII	$\mathrm {Sp} (p+q)\,$	$\mathrm {Sp} (p)\times \mathrm {Sp} (q)\,$	$4pq$	$\min(p,q)$	Grassmannian av kvartärnioniska p -dimensionella delrum av $\mathbb {H} ^{p+q}$
EI	$E_{6}\,$	$\mathrm {Sp} (4)/\{\pm I\}\,$	42	6
EII	$E_{6}\,$	$\mathrm {SU} (6)\cdot \mathrm {SU} (2)\,$	40	4	Utrymme av symmetriska delrum av $(\mathbb {C} \otimes \mathbb {O} )P^{2}$ isometrisk till $(\mathbb {C} \otimes \mathbb {H} )P^{2}$
EIII	$E_{6}\,$	$\mathrm {SO} (10)\cdot \mathrm {SO} (2)\,$	32	2	Komplexifierat Cayley projektivplan $(\mathbb {C} \otimes \mathbb {O} )P^{2}$
EIV	$E_{6}\,$	$F_{4}\,$	26	2	Utrymme av symmetriska delrum av $(\mathbb {C} \otimes \mathbb {O} )P^{2}$ isometrisk till $\mathbb {OP} ^{ 2}$
EV	$E_{7}\,$	$\mathrm {SU} (8)/\{\pm I\}\,$	70	7
EVI	$E_{7}\,$	$\mathrm {SO} (12)\cdot \mathrm {SU} (2)\,$	64	4	Rosenfelds projektivplan $(\mathbb {H} \otimes \mathbb {O} )P^{2}$ över $\mathbb {H} \otimes \mathbb { O}$
EVII	$E_{7}\,$	$E_{6}\cdot \mathrm {SO} (2)\,$	54	3	Utrymme av symmetriska delrum av $(\mathbb {H} \otimes \mathbb {O} )P^{2}$ isomorft till $(\mathbb {C} \otimes \mathbb {O} )P^{2}$
EVIII	$E_{8}\,$	$\mathrm {Spin} (16)/\{\pm \mathrm {vol} \}\,$	128	8	Rosenfelds projektivplan $(\mathbb {O} \otimes \mathbb {O} )P^{2}$
EIX	$E_{8}\,$	$E_{7}\cdot \mathrm {SU} (2)\,$	112	4	Utrymme av symmetriska delrum av $(\mathbb {O} \otimes \mathbb {O} )P^{2}$ isomorft till $(\mathbb {H} \otimes \mathbb {O} )P^{2}$
FI	$F_{4}\,$	$\mathrm {Sp} (3)\cdot \mathrm {SU} (2)\,$	28	4	Utrymmet av symmetriska delrum till $\mathbb {O} P^{2}$ isomorft till $\mathbb {H} P^{2}$
FII	$F_{4}\,$	$\mathrm {Spin} (9)\,$	16	1	Cayley projektivplan $\mathbb {O} P^{2}$
G	$G_{2}\,$	$\mathrm {SO} (4)\,$	8	2	Utrymme av subalgebra i oktonionalgebra $\mathbb {O}$ som är isomorfa till kvartjonalgebra $\mathbb {H}$

Som gräsmän

En mer modern klassificering ( Huang & Leung 2010) klassificerar enhetligt de riemannska symmetriska utrymmena, både kompakta och icke-kompakta, via en Freudenthal magisk kvadratkonstruktion . De irreducerbara kompakta Riemannska symmetriska utrymmena är, upp till ändliga omslag, antingen en kompakt enkel Lie-grupp, en Grassmannian, en Lagrangian Grassmannian , eller en dubbel lagrangian Grassmannian av delrum av $(\mathbf {A } \otimes \mathbf {B} )^{n},$ för normerade divisionalgebror A och B . En liknande konstruktion ger de irreducerbara icke-kompakta Riemannska symmetriska utrymmena.

Allmänna symmetriska utrymmen

En viktig klass av symmetriska utrymmen som generaliserar de Riemannska symmetriska utrymmena är pseudo-Riemanniska symmetriska utrymmen , där det riemannska metriska ersätts med ett pseudo-Riemanniskt mått (icke degenererat i stället för positivt bestämt på varje tangentutrymme). I synnerhet Lorentziska symmetriska rum , dvs n dimensionella pseudo-Riemannska symmetriska rum av signatur ( n − 1,1), är viktiga i allmän relativitetsteori , de mest anmärkningsvärda exemplen är Minkowski rymden , De Sitter rymden och anti-de Sitter rymden ( med noll, positiv respektive negativ krökning). De Sitter-utrymme med dimension n kan identifieras med den 1-arkiga hyperboloiden i ett Minkowski-utrymme med dimension n + 1.

Symmetriska och lokalt symmetriska utrymmen i allmänhet kan betraktas som affina symmetriska utrymmen. Om M = G / H är ett symmetriskt utrymme, så visade Nomizu att det finns en G -invariant torsionsfri affin anslutning (dvs. en affin anslutning vars torsionstensor försvinner) på M vars krökning är parallell . Omvänt är ett grenrör med en sådan anslutning lokalt symmetriskt (dvs dess universella lock är ett symmetriskt utrymme). Sådana grenrör kan också beskrivas som de affina grenrören vars geodetiska symmetrier alla är globalt definierade affina diffeomorfismer, vilket generaliserar det riemannska och det pseudo-riemannska fallet.

Klassificeringsresultat

Klassificeringen av Riemannska symmetriska utrymmen sträcker sig inte lätt till det allmänna fallet av den enkla anledningen att det inte finns någon allmän uppdelning av ett symmetriskt utrymme till en produkt av irreducibles. Här ett symmetriskt utrymme G / H med Lie-algebra

{\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {m}}

sägs vara irreducerbar om ${\mathfrak {m}}$ är en irreducerbar representation av ${\mathfrak {h}}$ . Eftersom ${\mathfrak {h}}$ inte är semisenkel (eller ens reduktiv) i allmänhet, kan den ha oupplösliga representationer som inte är irreducerbara.

De irreducerbara symmetriska utrymmena kan emellertid klassificeras. Som visas av Katsumi Nomizu finns det en dikotomi: ett irreducerbart symmetriskt utrymme G / H är antingen platt (dvs. ett affint utrymme) eller så är ${\mathfrak {g}}$ halvenkelt. Detta är analogen till den riemannska dikotomi mellan euklidiska utrymmen och de av kompakt eller icke-kompakt typ, och det motiverade M. Berger att klassificera semisimple symmetriska utrymmen (dvs de med g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} $)$ och avgöra vilka av dessa som är irreducerbara. Den senare frågan är mer subtil än i det Riemannska fallet: även om ${\mathfrak {g}}$ är enkel, kanske G / H inte är irreducerbar.

Som i det Riemannska fallet finns det halvenkla symmetriska utrymmen med G = H × H . Alla halvenkla symmetriska utrymmen är en produkt av symmetriska utrymmen av denna form med symmetriska utrymmen så att ${\mathfrak {g}}$ är enkel. Det återstår att beskriva det senare fallet. För detta behöver man klassificera involutioner σ av en (verklig) enkel Lie-algebra ${\mathfrak {g}}$ . Om ${\mathfrak {g}}^{c}$ inte är enkel, så är ${\mathfrak {g}}$ en komplex enkel Lie-algebra, och de motsvarande symmetriska mellanrummen har formen G / H , där H är en verklig form av G : dessa är analogerna till de Riemannska symmetriska utrymmena G / K med G en komplex enkel Lie-grupp och K en maximal kompakt undergrupp.

Därför kan vi anta ${\mathfrak {g}}^{c}$ är enkel. Den verkliga subalgebran ${\mathfrak {g}}$ kan ses som fixpunktsuppsättningen av en komplex antilinjär involution τ av ${\mathfrak {g}}^{c}$ , medan σ sträcker sig till en komplex antilinjär involution av ${\mathfrak {g}}^{c}$ som pendlar med τ och därmed också en komplex linjär involution σ ∘ τ .

Klassificeringen reduceras därför till klassificeringen av pendlande par av antilinjära involutioner av en komplex Lie-algebra. Den sammansatta σ ∘ τ bestämmer ett komplext symmetriskt utrymme, medan τ bestämmer en reell form. Från detta är det lätt att konstruera tabeller med symmetriska rum för varje given ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{c}} ,$ och dessutom finns det en uppenbar dualitet som ges genom att byta ut σ och τ . Detta förlänger den kompakta/icke-kompakta dualiteten från det Riemannska fallet, där antingen σ eller τ är en Cartan-involution , dvs. dess fixpunktsuppsättning är en maximal kompakt subalgebra.

Tabeller

Följande tabell indexerar de reella symmetriska utrymmena efter komplexa symmetriska utrymmen och reella former, för varje klassisk och exceptionell komplex enkel Lie-grupp.

G ^c = SL( n , C )	G ^c /SO( n , C )	Gc /S ( GL( k , C )×GL( ℓ , ^C )), k + ℓ = n	Gc /Sp( n ^, C ) , n jämnt
G = SL( n , R )	G /SO( k , l )	G /S(GL( k , R )×GL( l , R )) eller G /GL( n /2, C ), n jämnt	G /Sp( n , R ), n jämnt
G = SU( p , q ), p + q = n	G /SO( p , q ) eller SU( p , p )/Sk( p , H )	G /S(U( k _p , k _q )×U( l _p , l _q )) eller SU( p , p )/GL( p , C )	G /Sp( p /2, q /2), p , q jämn eller SU( p , p )/Sp(2 p , R )
G =SL( n /2, H ), n jämnt	G /Sk( n /2, H )	G /S(GL( k /2, H )×GL( ℓ /2, H )), k , ℓ jämn eller G /GL( n /2, C )	G /Sp( k /2, ℓ /2), k , ℓ jämn, k + ℓ = n

Gc =SO ( n ^, C )	Gc /SO( k , C )×SO( ℓ , ^C ) , k + ℓ = n	Gc ^/ GL( n /2, C ), n jämnt
G =SO( p , q )	G /SO( k _p , k _q )×SO( ℓ _p , l _q ) eller SO( n , n )/SO( n , C )	G /U( p /2, q /2), p , q jämn eller SO( n , n )/GL( n , R )
G = Sk( n /2, H ), n jämnt	G /Sk( k /2, ℓ /2), k , ℓ jämn eller G /SO( n /2, C )	G /U( k /2, ℓ /2), k , ℓ jämn eller G /SL( n /4, H )

Gc = Sp ( 2n ^, C )	Gc /Sp(2k , C ) ×Sp( 2ℓ , C ) ^, k + ℓ = n	G ^c /GL( n , C )
G = Sp( p , q ), p + q = n	G /Sp( k _p , k _q )×Sp( ℓ _p , ℓ _q ) eller Sp( n , n )/Sp( n , C )	G /U( p , q ) eller Sp( p , p )/GL( p , H )
G = Sp( 2n , R )	G /Sp(2 k , R )×Sp(2 l , R ) eller G /Sp( n , C )	G /U( k , ℓ ), k + ℓ = n eller G /GL( n , R )

För exceptionella enkla Lie-grupper ingår det Riemannska fallet uttryckligen nedan, genom att tillåta σ att vara identitetsinvolutionen (indikerad med ett bindestreck). I ovanstående tabeller täcks detta implicit av fallet kl =0.

G ₂^c	–	G ₂^c /SL(2, C ) × SL(2, C )
G ₂	–	G ₂ /SU(2)×SU(2)
G ₂₍₂₎	G ₂₍₂₎ /SU(2)×SU(2)	G ₂₍₂₎ /SL(2, R )× SL(2, R )

F ₄^c	–	F ₄^c /Sp(6, C )×Sp(2, C )	F4c / SO (9 ^, C ₎
F ₄	–	F ₄ /Sp(3)×Sp(1)	F ₄ /SO(9)
F ₄₍₄₎	F ₄₍₄₎ /Sp(3)×Sp(1)	F ₄₍₄₎ /Sp(6, R )×Sp(2, R ) eller F ₄₍₄₎ /Sp(2,1)×Sp(1)	F ₄₍₄₎ /SO(5,4)
F ₄₍₋₂₀₎	F ₄₍₋₂₀₎ /SO(9)	F ₄₍₋₂₀₎ /Sp(2,1)×Sp(1)	F ₄₍₋₂₀₎ /SO(8,1)

E ₆^c	–	E6c /Sp( 8 _, C ⁾	E ₆^c /SL(6, C )×SL(2, C )	E6c /SO(10, _C ) × SO(2 ^, C )	E6c / _F4c_{_}^_^_
E ₆	–	E ₆ /Sp(4)	E ₆ /SU(6)×SU(2)	E ₆ /SO(10)×SO(2)	E ₆ /F ₄
E ₆₍₆₎	E ₆₍₆₎ /Sp(4)	E ₆₍₆₎ /Sp(2,2) eller E ₆₍₆₎ /Sp(8, R )	E ₆₍₆₎ /SL(6, R )×SL(2, R ) eller E ₆₍₆₎ /SL(3, H )×SU(2)	E ₆₍₆₎ /SO(5,5)×SO(1,1)	E ₆₍₆₎ /F ₄₍₄₎
E ₆₍₂₎	E ₆₍₂₎ /SU(6)×SU(2)	E ₆₍₂₎ /Sp(3,1) eller E ₆₍₂₎ /Sp(8, R )	E ₆₍₂₎ /SU(4,2)×SU(2) eller E ₆₍₂₎ /SU(3,3)×SL(2, R )	E ₆₍₂₎ /SO(6,4)×SO(2) eller E ₆₍₂₎ /Sk(5, H )×SO(2)	E ₆₍₂₎ /F ₄₍₄₎
E ₆₍₋₁₄₎	E ₆₍₋₁₄₎ /SO(10)×SO(2)	E ₆₍₋₁₄₎ /Sp(2,2)	E ₆₍₋₁₄₎ /SU(4,2)×SU(2) eller E ₆₍₋₁₄₎ /SU(5,1)×SL(2, R )	E ₆₍₋₁₄₎ /SO(8,2)×SO(2) eller Sk(5, H )×SO(2)	E ₆₍₋₁₄₎ /F ₄₍₋₂₀₎
E ₆₍₋₂₆₎	E ₆₍₋₂₆₎ /F ₄	E ₆₍₋₂₆₎ /Sp(3,1)	E ₆₍₋₂₆₎ /SL(3, H )×Sp(1)	E ₆₍₋₂₆₎ /SO(9,1)×SO(1,1)	E ₆₍₋₂₆₎ /F ₄₍₋₂₀₎

E ₇^c	–	E ₇^c /SL(8, C )	E7c /SO(12, ^C ) ×Sp(2 _, C )	E7c / _{E6c ×} SO ⁽ 2 ^, C ₎
E ₇	–	E ₇ /SU(8)	E ₇ /SO(12)× Sp(1)	E ₇ /E ₆ × SO(2)
E ₇₍₇₎	E ₇₍₇₎ /SU(8)	E ₇₍₇₎ /SU(4,4) eller E ₇₍₇₎ /SL(8, R ) eller E ₇₍₇₎ /SL(4, H )	E ₇₍₇₎ /SO(6,6)×SL(2, R ) eller E ₇₍₇₎ /Sk(6, H )×Sp(1)	E ₇₍₇₎ /E ₆₍₆₎ ×SO(1,1) eller E ₇₍₇₎ /E ₆₍₂₎ ×SO(2)
E ₇₍₋₅₎	E ₇₍₋₅₎ /SO(12)× Sp(1)	E ₇₍₋₅₎ /SU(4,4) eller E ₇₍₋₅₎ /SU(6,2)	E ₇₍₋₅₎ /SO(8,4)×SU(2) eller E ₇₍₋₅₎ /Sk(6, H )×SL(2, R )	E ₇₍₋₅₎ /E ₆₍₂₎ ×SO(2) eller E ₇₍₋₅₎ /E ₆₍₋₁₄₎ ×SO(2)
E ₇₍₋₂₅₎	E ₇₍₋₂₅₎ /E ₆ × SO(2)	E ₇₍₋₂₅₎ /SL(4, H ) eller E ₇₍₋₂₅₎ /SU(6,2)	E ₇₍₋₂₅₎ /SO(10,2)×SL(2, R ) eller E ₇₍₋₂₅₎ /Sk(6, H )×Sp(1)	E ₇₍₋₂₅₎ /E ₆₍₋₁₄₎ ×SO(2) eller E ₇₍₋₂₅₎ /E ₆₍₋₂₆₎ ×SO(1,1)

E ₈^c	–	E8c / ^SO (16 , C ₎	E ₈^c /E ₇^c ×Sp(2, C )
E ₈	–	E ₈ /SO(16)	E ₈ /E ₇ ×Sp(1)
E ₈₍₈₎	E ₈₍₈₎ /SO(16)	E ₈₍₈₎ /SO(8,8) eller E ₈₍₈₎ /Sk(8, H )	E ₈₍₈₎ /E ₇₍₇₎ ×SL(2, R ) eller E ₈₍₈₎ /E ₇₍₋₅₎ ×SU(2)
E ₈₍₋₂₄₎	E ₈₍₋₂₄₎ /E ₇ ×Sp(1)	E ₈₍₋₂₄₎ /SO(12,4) eller E ₈₍₋₂₄₎ /Sk(8, H )	E ₈₍₋₂₄₎ /E ₇₍₋₅₎ ×SU(2) eller E ₈₍₋₂₄₎ /E ₇₍₋₂₅₎ ×SL(2, R )

Svagt symmetriska Riemannska utrymmen

På 1950-talet utökade Atle Selberg Cartans definition av symmetriskt utrymme till det av svagt symmetriskt Riemanniskt utrymme, eller i nuvarande terminologi svagt symmetriskt utrymme . Dessa definieras som Riemannska grenrör M med en transitivt ansluten Lie-grupp av isometrier G och en isometri σ som normaliserar G så att givet x , y i M finns en isometri s i G så att sx = σ y och sy = σ x . (Selbergs antagande att σ ² skulle vara ett element i G visades senare vara onödigt av Ernest Vinberg .) Selberg bevisade att svagt symmetriska utrymmen ger upphov till Gelfand-par , så att i synnerhet den enhetliga representationen av G på L ² ( M ) är mångfaldsfritt.

Selbergs definition kan också formuleras likvärdigt i termer av en generalisering av geodesisk symmetri. Det krävs att det för varje punkt x i M och tangentvektor X vid x finns en isometri s av M , beroende på x och X , så att

s fixar x ;
derivatan av s vid x skickar X till – X .

När s är oberoende av X är M ett symmetriskt rum .

En redogörelse för svagt symmetriska utrymmen och deras klassificering av Akhiezer och Vinberg, baserat på klassificeringen av periodiska automorfismer av komplexa semisimple Lie-algebror, ges i Wolf (2007) .

Egenskaper

Vissa egenskaper och former av symmetriska utrymmen kan noteras.

Lyfter den metriska tensorn

Den metriska tensorn på det Riemannska grenröret $M$ kan lyftas till en skalär produkt på $G$ genom att kombinera den med Killing-formen . Detta görs genom att definiera

\langle X,Y\rangle _{\mathfrak {g}}={\begin{cases}\langle X,Y\rangle _{p}\quad &X,Y\in T_{p}M\cong {\mathfrak {m}}\\-B(X, Y)\quad &X,Y\in {\mathfrak {h}}\\0&{\mbox{annat}}\end{cases}}

Här är $\langle \cdot ,\cdot \rangle _{p}$ den riemannska metriken definierad på $T_{p}M$ och ${\displaystyle B(X,Y)=\operatörsnamn {spår} (\operatörsnamn {ad} X\circ \operatörsnamn {ad} Y)} är Killing$ - formen . Minustecknet visas eftersom Killing-formen är negativ-definitiv på ${\mathfrak {h}}~;$ detta gör $\langle \cdot ,\cdot \rangle _{\mathfrak {g}}$ positivt-definitivt.

Faktorisering

Tangentrymden ${\mathfrak {m}}$ kan ytterligare faktoriseras i egenrum klassificerade av Killing-formen. Detta uppnås genom att definiera en angränsande karta ${\mathfrak {m}}\to {\mathfrak {m}}$ med $Y\mapsto Y^{\#}$ som

\langle X,Y^{\#}\rangle =B(X,Y)

där $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ är det Riemannska måttet på ${\mathfrak {m}}$ och $B(\cdot ,\cdot )$ är Killing-formen. Denna karta kallas ibland den generaliserade transponera , vilket motsvarar transponeringen för de ortogonala grupperna och den Hermitiska konjugatet för de enhetliga grupperna. Det är en linjär funktion, och den är självadjoint, så man drar slutsatsen att det finns en ortonormal bas $Y_{1},\ldots ,Y_{n}$ av ${\ displaystyle {\mathfrak {m}}}$ med

Y_{i}^{\#}=\lambda _{i}Y_{i}

Dessa är ortogonala med avseende på metriken, i det

\ langle Y_{i}^{\#},Y_{j}\rangle =\lambda _{i}\langle Y_{i},Y_{j}\rangle =B(Y_{i},Y_{j}) =\langle Y_{j}^{\#},Y_{i}\rangle =\lambda _{j}\langle Y_{j},Y_{i}\rangle

eftersom Killing-formen är symmetrisk. Detta faktoriserar ${\mathfrak {m}}$ till egenrum

{\mathfrak {m}}={\mathfrak {m}}_{1}\oplus \cdots \oplus {\mathfrak {m}}_{d}

med

[{\mathfrak {m}}_{i},{\mathfrak {m}}_{j}]=0

för $i\neq j$ . För fallet med ${\mathfrak {g}}$ halvenkelt, så att Killing-formen är icke-degenererad, faktoriseras även måttet:

\langle \cdot ,\cdot \rangle ={\frac {1}{\lambda _{1}}}\left.B\right|_{{\mathfrak {m}}_{1} }+\cdots +{\frac {1}{\lambda _{d}}}\left.B\right|_{{\mathfrak {m}}_{d}}

I vissa praktiska tillämpningar kan denna faktorisering tolkas som spektrumet av operatorer, t.ex. spektrumet för väteatomen, där egenvärdena för Killing-formen motsvarar olika värden på rörelsemängden för en orbital (dvs. Killing -formen är en Casimir operator som kan klassificera de olika representationerna under vilka olika orbitaler transformeras.)

Klassificeringen av symmetriska utrymmen fortsätter baserat på huruvida dödandeformen är positiv/negativ definitiv.

Ansökningar och specialfall

Symmetriska utrymmen och holonomi

Om identitetskomponenten i holonomigruppen för en Riemann-gren vid en punkt verkar irreducerbart på tangentrymden, så är antingen grenröret ett lokalt Riemannskt symmetriskt utrymme, eller så är det i en av 7 familjer .

Hermitiska symmetriska utrymmen

Ett riemannskt symmetriskt utrymme som dessutom är utrustat med en parallell komplex struktur som är kompatibel med det riemannska metriken kallas ett hermitiskt symmetriskt utrymme . Några exempel är komplexa vektorrum och komplexa projektiva rum, båda med sin vanliga riemannska metrik, och de komplexa enhetskulorna med lämplig metrik så att de blir kompletta och riemannska symmetriska.

Ett irreducerbart symmetriskt utrymme G / K är hermitiskt om och endast om K innehåller en central cirkel. Ett kvarts varv med denna cirkel fungerar som multiplikation med i på tangentrymden vid identitetskoset. Således kan de hermitiska symmetriska utrymmena lätt avläsas från klassificeringen. I både de kompakta och de icke-kompakta fallen visar det sig att det finns fyra oändliga serier, nämligen AIII, BDI med p=2 , DIII och CI, och två exceptionella utrymmen, nämligen EIII och EVII. De icke-kompakta hermitiska symmetriska utrymmena kan realiseras som avgränsade symmetriska domäner i komplexa vektorrum.

Quaternion-Kähler symmetriska utrymmen

Ett riemannskt symmetriskt utrymme som dessutom är utrustat med ett parallellt underpaket av End(TM ) som är isomorft till de imaginära kvartjonerna vid varje punkt, och som är kompatibelt med det riemannska metriken, kallas quaternion-Kählersymmetriska utrymme .

Ett irreducerbart symmetriskt utrymme G / K är kvaternion-Kähler om och endast om isotropi-representation av K innehåller en Sp(1) summa som fungerar som enhetens quaternions på ett quaternion vektorrum . Sålunda läses de quaternion-Kählers symmetriska utrymmena lätt av från klassificeringen. I både det kompakta och det icke-kompakta fallet visar det sig att det finns exakt en för varje komplex enkel Lie-grupp, nämligen AI med p = 2 eller q = 2 (dessa är isomorfa), BDI med p = 4 eller q = 4 , CII med p = 1 eller q = 1, EII, EVI, EIX, FI och G.

Bott periodicitetssats

I Botts periodicitetssats kan slingutrymmena i den stabila ortogonala gruppen tolkas som reduktiva symmetriska utrymmen .

Se även

Akhiezer, DN; Vinberg, EB (1999), "Svagt symmetriska utrymmen och sfäriska varianter", Transf. Grupper , 4 : 3–24, doi : 10.1007/BF01236659
van den Ban, EP; Flensted-Jensen, M.; Schlichtkrull, H. (1997), Harmonic analysis on semisimple symmetric spaces: A survey of some general results , i Representation Theory and Automorphic Forms: Instructional Conference, International Centre for Mathematical Sciences, mars 1996, Edinburgh, Skottland, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-0609-8
Berger, Marcel (1957), "Les espaces symétriques noncompacts", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , 74 (2): 85–177, doi : 10.24033/asens.1054
Besse, Arthur Lancelot (1987), Einstein Manifolds , Springer-Verlag, ISBN 0-387-15279-2 Innehåller en kompakt introduktion och många tabeller.
Borel, Armand (2001), Essays in the History of Lie Groups and Algebraic Groups , American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0288-7
Cartan, Élie (1926), "Sur une classe remarquable d'espaces de Riemann, I", Bulletin de la Société Mathématique de France , 54 : 214–216, doi : 10.24033/bsmf.1105
Cartan, Élie (1927), "Sur une classe remarquable d'espaces de Riemann, II", Bulletin de la Société Mathématique de France , 55 : 114–134, doi : 10.24033/bsmf.1113
Flensted-Jensen, Mogens (1986), Analysis on Non-Riemannian Symmetric Spaces , CBMS Regional Conference, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-0711-8
Helgason, Sigurdur (1978), Differentialgeometri, Lie groups and symmetric spaces , Academic Press, ISBN 0-12-338460-5 Standardboken om Riemannska symmetriska rum.
Helgason, Sigurdur (1984), Groups and Geometric Analysis: Integral Geometry, Invariant Differential Operators, and Spherical Functions , Academic Press, ISBN 0-12-338301-3
Huang, Yongdong; Leung, Naichung Conan (2010). "En enhetlig beskrivning av kompakta symmetriska utrymmen som Grassmannians med den magiska fyrkanten" ( PDF) . Matematiska Annalen . 350 (1): 79–106. doi : 10.1007/s00208-010-0549-8 .
Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996), Foundations of Differential Geometry, Volym II , Wiley Classics Library edition, ISBN 0-471-15732-5 Kapitel XI innehåller en bra introduktion till Riemannska symmetriska rum.
Loos, Ottmar (1969), Symmetric spaces I: General Theory , Benjamin
Loos, Ottmar (1969), Symmetric spaces II: Compact Spaces and Classification , Benjamin
Nomizu, K. (1954), "Invariant affina anslutningar på homogena utrymmen", Amer . J. Math. , 76 (1): 33–65, doi : 10.2307/2372398 , JSTOR 2372398
Selberg, Atle (1956), "Harmonisk analys och diskontinuerliga grupper i svagt symmetriska riemannska utrymmen, med tillämpningar till Dirichlet-serien", J. Indian Math. Samhället , 20 :47–87
Wolf, Joseph A. (1999), Spaces of constant curvature (5:e upplagan), McGraw–Hill
Wolf, Joseph A. (2007), Harmonic Analysis on Commutative Spaces , American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-4289-8