Plancherelsats för sfäriska funktioner

Inom matematiken är Plancherels sats för sfäriska funktioner ett viktigt resultat i representationsteorin för semisimpla Lie-grupper , som i sin slutliga form beror på Harish-Chandra . Det är en naturlig generalisering i icke-kommutativ harmonisk analys av Plancherel-formeln och Fourier-inversionsformeln i representationsteorin för gruppen av reella tal i klassisk övertonsanalys och har en liknande nära koppling till teorin om differentialekvationer . Det är specialfallet för zonala sfäriska funktioner i den allmänna Plancherel-satsen för halvenkla Lie-grupper, vilket också bevisats av Harish-Chandra. Plancherel-satsen ger egenfunktionsexpansionen av radiella funktioner för den laplaciska operatorn på det associerade symmetriska rummet X ; det ger också den direkta integraluppdelningen till irreducerbara representationer av den reguljära representationen på L ² ( X ) . I fallet med hyperboliskt utrymme var dessa expansioner kända från tidigare resultat av Mehler , Weyl och Fock .

Huvudreferensen för nästan allt detta material är Helgasons (1984) encyklopediska text .

Historia

De första versionerna av en abstrakt Plancherel-formel för Fourier-transformen på en unimodulär lokalt kompakt grupp G berodde på Segal och Mautner. Vid ungefär samma tid härledde Harish-Chandra och Gelfand & Naimark en explicit formel för SL(2,R) och komplexa semisimple Lie-grupper , så i synnerhet Lorentz-grupperna . En enklare abstrakt formel härleddes av Mautner för ett "topologiskt" symmetriskt utrymme G / K motsvarande en maximal kompakt undergrupp K . Godement gav en mer konkret och tillfredsställande form för positiva bestämda sfäriska funktioner , en klass av specialfunktioner på G / K . Eftersom när G är en semisenkel Lie-grupp dessa sfäriska funktioner φ _λ märktes naturligt med en parameter λ i kvoten av ett euklidiskt rum genom inverkan av en finit reflektionsgrupp , blev det ett centralt problem att explicit bestämma Plancherelmåttet i termer av denna parametrisering. Genom att generalisera Hermann Weyls idéer från spektralteorin för vanliga differentialekvationer , introducerade Harish-Chandra sin berömda c-funktion c (λ) för att beskriva det asymptotiska beteendet hos de sfäriska funktionerna φ _λ och föreslog c (λ) ⁻² d λ som Plancherel-måttet. Han verifierade denna formel för de speciella fallen när G är komplex eller verklig rang 1, vilket i synnerhet täcker fallet när G / K är ett hyperboliskt utrymme . Det allmänna fallet reducerades till två gissningar om egenskaperna hos c-funktionen och den så kallade sfäriska Fouriertransformen. Explicita formler för c-funktionen erhölls senare för en stor klass av klassiska halvenkla Lie-grupper av Bhanu-Murthy. Dessa formler fick i sin tur Gindikin och Karpelevich att härleda en produktformel för c-funktionen, vilket reducerade beräkningen till Harish-Chandras formel för fallet 1. Deras arbete gjorde det slutligen möjligt för Harish-Chandra att slutföra sitt bevis på Plancherels sats för sfäriska funktioner 1966.

I många specialfall, till exempel för komplexa semisimpla grupper eller Lorentz-grupperna, finns det enkla metoder för att utveckla teorin direkt. Vissa undergrupper av dessa grupper kan behandlas med tekniker som generaliserar den välkända " metoden för härkomst " på grund av Jacques Hadamard . Speciellt Flensted-Jensen (1978) en allmän metod för att härleda egenskaperna hos den sfäriska transformationen för en verklig halvenkel grupp från den för dess komplexisering.

En av de viktigaste tillämpningarna och motiven för den sfäriska transformationen var Selbergs spårformel . Den klassiska Poisson-summeringsformeln kombinerar Fourier-inversionsformeln på en vektorgrupp med summering över ett kokompakt gitter. I Selbergs analog av denna formel ersätts vektorgruppen med G / K , Fouriertransformen med den sfäriska transformationen och gittret med en kokompakt (eller kofinit) diskret undergrupp. Selbergs (1956) originalartikel åberopar implicit den sfäriska transformationen; det var Godement (1957) som förde transformationen i förgrunden och gav i synnerhet en elementär behandling för SL(2, R ) i linje med Selbergs skiss.

Sfäriska funktioner

Huvudartikel: Zonal sfärisk funktion

Låt G vara en halvenkel Lie-grupp och K en maximal kompakt undergrupp av G . Hecke- algebra C _c ( K \ G / K ), som består av kompakt stödda K -biinvarianta kontinuerliga funktioner på G , verkar genom faltning på Hilbert-rummet H = L ² ( G / K ). Eftersom G / K är ett symmetriskt rum är denna *-algebra kommutativ . Stängningen av dess (Hecke-algebrans) bild i operatornormen är en icke-enhetlig kommutativ C*-algebra ${\mathfrak {A}}$ , så genom Gelfand-isomorfismen kan identifieras med de kontinuerliga funktionerna som försvinner kl. oändlighet på sitt spektrum X . Poäng i spektrumet ges av kontinuerliga *-homomorfismer av ${\mathfrak {A}}$ till C , dvs tecken i ${\mathfrak {A}}$ .

₀₀₀ Om S' betecknar kommutanten för en uppsättning operatorer S på H , så kan ${\mathfrak {A}}^{\prime }$ identifieras med kommutanten för den vanliga representationen av G på H . Nu ${\mathfrak {A}}$ invariant delrummet H för K -invarianta vektorer i H . Dessutom är den abelska von Neumann-algebra som den genererar på H maximal Abelisk. Enligt spektralteori finns det ett väsentligen unikt mått μ på det lokalt kompakta utrymmet X och en enhetlig transformation U mellan H och L ² ( X , μ) som bär operatorerna i ${\mathfrak {A}}$ till motsvarande multiplikationsoperatorer .

₀ Transformationen U kallas den sfäriska Fouriertransformen eller ibland bara den sfäriska transformationen och μ kallas Plancherelmåttet . Hilbertrummet H kan identifieras med L ² ( K \ G / K ), utrymmet för K -biinvarianta kvadratintegrerbara funktioner på G .

Tecknen χ _λ i ${\mathfrak {A}}$ (dvs punkterna i X ) kan beskrivas med positiva bestämda sfäriska funktioner φ _λ på G , via formeln

$$\chi _{\lambda }(\pi (f))=\int _{G}f(g)\cdot \varphi _{\lambda }(g)\,dg.$$

för f i C _c ( K \ G / K ), där π( f ) anger faltningsoperatorn i ${\mathfrak {A}}$ och integralen är med avseende på Haarmåttet på G .

De sfäriska funktionerna φ _λ på G ges av Harish-Chandras formel :

$\varphi _{\lambda }(g)=\int _{K}\lambda ^{\prime }(gk)^{-1}\,dk.$

I denna formel:

• integralen är med avseende på Haar mått på K ;
• λ är ett element av A * =Hom( A , T ) där A är den Abeliska vektorundergruppen i Iwasawa-nedbrytningen G = KAN av G ;
• λ' definieras på G genom att först utöka λ till en karaktär av den lösbara undergruppen AN , med hjälp av gruppen homomorfism till A , och sedan sätta
  $$\lambda '(kx)=\Delta _{AN}(x)^{1/2}\lambda (x)$$
  för k i K och x i AN , där Δ _AN är den modulära funktionen av AN .
• Två olika tecken λ ₁ och λ ₂ ger samma sfäriska funktion om och endast om λ ₁ = λ ₂ · s , där s är i Weyl-gruppen i A
  $$W=N_{K}(A)/C_{K}(A),$$
  kvoten av normaliseraren för A i K med dess centraliserare , en finit reflektionsgrupp .

Det följer att

• X kan identifieras med kvotutrymmet A */ W .

Sfärisk huvudserie

Se även: Huvudserierepresentation

Den sfäriska funktionen φ _λ kan identifieras med matriskoefficienten för den sfäriska huvudserien av G . Om M är centraliseraren av A i K , definieras detta som den enhetliga representationen π _λ av G inducerad av karaktären B = MAN som ges av sammansättningen av MAN :s homomorfism på A och tecknet λ. Den inducerade representationen definieras på funktioner f på G med

$$f(gb)=\Delta (b)^{1/2}\lambda (b)f(g)$$

för b i B av

$$\pi (g)f(x)=f(g^{-1}x),$$

var

$$\|f\|^{2}=\int _{K}|f(k)|^{2}\,dk<\infty .$$

Funktionerna f kan identifieras med funktioner i L ² ( K / M ) och

$$\chi _{\lambda }(g)=(\pi (g)1,1).$$

Som Kostant (1969) bevisade, är representationerna av den sfäriska huvudserien irreducerbara och två representationer π _λ och π _μ är enhetligt ekvivalenta om och endast om μ = σ(λ) för någon σ i Weyl-gruppen i A .

Exempel: SL(2, C)

Gruppen G = SL(2, C ) verkar transitivt på det kvaternioniska övre halvrummet

$${\mathfrak {H}}^{3}=\{x+yi+tj\mid t>0\}$$

av Möbius transformationer . Den komplexa matrisen

$$g={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$$

beter sig som

$$g(w)=(aw+b)(cw+d)^{-1}.$$

Stabilisatorn för punkten j är den maximala kompakta undergruppen K = SU(2), så att ${\mathfrak {H}}^{3}=G/K.$ Den bär den G -invarianta riemannska metriken

$$ds^{2}=r^{-2}\left(dx^{2}+dy^{2}+ dr^{2}\right)$$

med tillhörande volymelement

$$dV=r^{-3}\,dx\,dy\,dr$$

och Laplacian operatör

$$\Delta =-r^{2}(\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2}+\partial _{r}^{2})+r\partial _{r}.$$

Varje punkt i ${\mathfrak {H}}^{3}$ kan skrivas som k ( e ^t j ) med k i SU(2) och t bestäms upp till ett tecken. Laplacian har följande form på funktioner invarianta under SU(2), betraktade som funktioner av den reella parametern t :

$$\Delta =-\partial _{t}^{2}-2\coth t\partial _{t}.$$

Integralen för en SU(2)-invariant funktion ges av

$$\int f\,dV=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\,\sinh ^{2}t\,dt.$$

Identifiering av de kvadratintegrerbara SU(2)-invarianta funktionerna med L ² ( R ) genom den enhetliga transformationen Uf ( t ) = f ( t ) sinh t , Δ omvandlas till operatorn

$$U^{*}\Delta U=-{d^{2} \over dt^{2}}+1.$$

Med Plancherel-satsen och Fourier-inversionsformeln för R kan vilken SU(2)-invariant funktion f som helst uttryckas i termer av de sfäriska funktionerna

$$\Phi _{\lambda }(t)={\sin \lambda t \over \lambda \sinh t},$$

genom den sfäriska transformationen

$${\tilde {f}}(\lambda )=\int f\Phi _{-\lambda }\,dV$$

och den sfäriska inversionsformeln

$$f(x)=\int {\tilde {f}}(\lambda )\Phi _{\lambda }(x)\lambda ^{2}\,d\lambda .$$

Ta $f=f_{2}^{*}\star f_{1}$ med f _i i C _c ( G / K ) och $f^{*}(g)={\overline {f(g^{-1})}}$ och utvärdering vid i ger Plancherel-formeln

$$\int _{G}f_{1}{\overline {f_{2}}}\,dg=\int {\tilde {f}}_{1}(\lambda ){\overline {{\ tilde {f}}_{2}(\lambda )}}\,\lambda ^{2}\,d\lambda .$$

För biinvarianta funktioner etablerar detta Plancherel-satsen för sfäriska funktioner : kartan

$${\begin{cases}U:L^{2}(K\backslash G /K)\to L^{2}(\mathbb {R} ,\lambda ^{2}\,d\lambda )\\U:f\longmapsto {\tilde {f}}\end{cases}}$$

är enhetlig och skickar faltningsoperatorn definierad av $f\in L^{1}(K\backslash G/K)$ till multiplikationsoperatorn definierad av ${\ displaystyle {\tilde {f}}}$ .

Den sfäriska funktionen Φ _λ är en egenfunktion till Laplacian:

$$\Delta \Phi _{\lambda }=(\lambda ^{2}+1)\Phi _{\lambda }.$$

Schwartz-funktioner på R är de sfäriska transformationerna av funktioner f som hör till Harish-Chandra Schwartz-rummet

$${\mathcal {S}}=\left\{f\left|\sup _{t}\left|(1+t^{2})^{N}(I+\Delta )^{M} f(t)\sinh(t)\right|<\infty \right\}\right..$$

Enligt Paley-Wiener-satsen är de sfäriska transformationerna av jämna SU(2)-invarianta funktioner för kompakt stöd just funktioner på R som är begränsningar av holomorfa funktioner på C som uppfyller ett exponentiellt tillväxtvillkor

$$|F(\lambda )|\leq Ce^{R\left|\operatörsnamn {Im} \lambda \right|}.$$

Som en funktion på G är Φ _λ matriskoefficienten för den sfäriska huvudserien definierad på L ² ( C ), där C identifieras med gränsen för ${\mathfrak {H}}^{3}$ . Representationen ges av formeln

$$\pi _{\lambda }(g^{-1})\xi (z)=|cz+d|^{-2-i\lambda }\xi (g(z)).$$

Funktionen

$$\xi _{0}(z)=\pi ^{-1}\left(1+|z|^{2} \right)^{-2}$$

fastställs av SU(2) och

$$\Phi _{\lambda }(g)=(\pi _{\lambda }(g)\xi _{0},\xi _{0}).$$

Representationerna π _λ är irreducerbara och enhetligt ekvivalenta endast när tecknet för λ ändras. Kartan W av $L^{2}({\mathfrak {H}}^{3})$ på L ² ([0,∞) × C ) (med måttet λ ² d λ på den första faktorn) ges av

$$Wf(\lambda ,z)=\int _{G/K}f(g) \pi _{\lambda }(g)\xi _{0}(z)\,dg$$

är enhetlig och ger sönderdelningen av $L^{2}({\mathfrak {H}}^{3})$ som en direkt integral av den sfäriska huvudserien.

Exempel: SL(2, R)

Gruppen G = SL(2, R ) verkar transitivt på Poincarés övre halvplan

$${\mathfrak {H}}^{2}=\{x+ri\mid r>0\}$$

av Möbius transformationer . Den verkliga matrisen

$$g={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$$

beter sig som

$$g(w)=(aw+b)(cw+d)^{-1}.$$

Stabilisatorn för punkten i är den maximala kompakta undergruppen K = SO(2), så att ${\mathfrak {H}}^{2}$ = G / K . Den bär den G -invarianta riemannska metriken

$$ds^{2}=r^{-2}\left(dx^{2}+dr^{2}\right)$$

med tillhörande områdeselement

$$dA=r^{-2}\,dx\,dr$$

och Laplacian operatör

$$\Delta =-r^{2}(\partial _{x}^{2}+\partial _{r}^{2}).$$

Varje punkt i ${\mathfrak {H}}^{2}$ kan skrivas som k ( e ^t i ) med k i SO(2) och t bestämt upp till ett tecken. Laplacian har följande form på funktioner invarianta under SO(2), betraktade som funktioner av den reella parametern t :

$$\Delta =-\partial _{t}^{2}-\coth t\partial _{t}.$$

Integralen för en SO(2)-invariant funktion ges av

$$\int f\,dA=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\left|\sinh t\right|dt.$$

Det finns flera metoder för att härleda motsvarande egenfunktionsexpansion för denna vanliga differentialekvation inklusive:

1. den klassiska spektralteorin för vanliga differentialekvationer tillämpad på den hypergeometriska ekvationen (Mehler, Weyl, Fock);
2. varianter av Hadamards metod för nedstigning, som realiserar 2-dimensionell hyperbolisk rymd som kvoten av 3-dimensionell hyperbolisk rymd genom den fria verkan av en 1-parameters undergrupp av SL(2, C ) ;
3. Abels integralekvation, efter Selberg och Godement;
4. orbitala integraler (Harish-Chandra, Gelfand & Naimark).

Den andra och tredje tekniken kommer att beskrivas nedan, med två olika metoder för nedstigning: den klassiska på grund av Hadamard, bekant från behandlingar av värmeekvationen och vågekvationen på hyperboliskt rymd; och Flensted-Jensens metod om hyperboloiden.

Hadamards härkomstmetod

Om f ( x , r ) är en funktion på ${\mathfrak {H}}^{2}$ och

$$M_{1}f(x,y,r)=r^{1/2}\cdot f(x ,r)$$

sedan

$$\Delta _{3}M_{1}f=M_{1}\left(\Delta _{2}+{\tfrac { 3}{4}}\right)f,$$

där Δ _n är Laplacian på ${\mathfrak {H}}^{n}$ .

₀ Eftersom åtgärden av SL(2, C ) pendlar med Δ ₃ , uppfyller operatorn M på S0(2)-invarianta funktioner som erhålls genom att medelvärdesbilda M ₁ f genom åtgärden av SU(2) också

$$\Delta _{3}M_{0}=M_{0}\left(\Delta _{2}+{\tfrac {3}{4}}\right).$$

Den angränsande operatören M ₁ * definierad av

$$M_{1}^{*}F(x,r)=r^{1 /2}\int _{-\infty }^{\infty }F(x,y,r)\,dy$$

tillfredsställer

$$\int _{{\mathfrak {H}}^{3}}(M_{1}f)\cdot F\,dV=\int _{{\mathfrak {H}}^{2}}f \cdot (M_{1}^{*}F)\,dA.$$

₀ Adjoint M *, definierad genom medelvärde av M * f över SO(2), uppfyller

$$\int _{{\mathfrak {H}}^{3}}(M_{0}f) \cdot F\,dV=\int _{{\mathfrak {H}}^{2}}f\cdot (M_{0}^{*}F)\,dA$$

för SU(2)-invarianta funktioner F och SO(2)-invarianta funktioner f . Det följer att

$$M_{i}^{*}\Delta _{3}=\left(\Delta _{2}+{\tfrac {3}{4}}\right)M_{i}^{*}.$$

Funktionen

$$f_{\lambda }=M_{1}^{*}\Phi _{\lambda }$$

är SO(2)-invariant och uppfyller

$$\Delta _{2}f_{\lambda }=\left(\lambda ^{2}+{\tfrac {1}{4}}\right)f_{\lambda }.$$

Å andra sidan,

$$b(\lambda )=f_{\lambda }(i)=\ int {\sin \lambda t \over \lambda \sinh t}\,dt={\pi \over \lambda }\tanh {\pi \lambda \over 2},$$

eftersom integralen kan beräknas genom att integrera $e^{i\lambda t}/\sinh t$ runt den rektangulära indragna konturen med hörn vid ± R och ± R + πi . Alltså egenfunktionen

$$\phi _{\lambda }=b(\lambda )^{-1}M_{1}\Phi _{\lambda }$$

uppfyller normaliseringsvillkoret φ _λ ( i ) = 1. Det kan bara finnas en sådan lösning antingen för att Wronskian för den vanliga differentialekvationen måste försvinna eller genom att expandera som en potensserie i sinh r . Det följer att

$$\varphi _{\lambda }(e^{t}i)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\left(\cosh t- \sinh t\cos \theta \right)^{-1-i\lambda }\,d\theta .$$

På samma sätt följer det

$$\Phi _{\lambda }=M_{1}\phi _{\lambda }.$$

Om den sfäriska transformationen av en SO(2)-invariant funktion på ${\mathfrak {H}}^{2}$ definieras av

$${\tilde {f}}(\lambda )=\int f\varphi _{-\lambda }\,dA,$$

sedan

$${(M_{1}^{*}F)}^{\sim }(\lambda )={\tilde {F}}(\lambda ).$$

Med f = M ₁ * F , ger SL(2, C ) inversionsformeln för F omedelbart avkastning

$$f(x)=\int _{-\infty }^{ \infty }\varphi _{\lambda }(x){\tilde {f}}(\lambda ){\lambda \pi \over 2}\tanh \left({\pi \lambda \over 2}\right) \,d\lambda ,$$

den sfäriska inversionsformeln för SO(2)-invarianta funktioner på ${\mathfrak {H}}^{2}$ .

När det gäller SL(2, C ), innebär detta omedelbart Plancherel-formeln för fi _i C _c (SL(2, R ) / SO(2)):

$$\int _{{\mathfrak {H}}^{2}}f_{1}{\overline {f_{2}}}\,dA=\int _{-\infty }^{\infty } {\tilde {f}}_{1}{\overline {\tilde {f_{2}}}}{\lambda \pi \over 2}\tanh \left({\pi \lambda \over 2}\right )\,d\lambda .$$

Den sfäriska funktionen φ _λ är en egenfunktion till Laplacian:

$$\Delta _{2}\varphi _{\lambda }=\left(\lambda ^{2}+{\tfrac {1}{4}}\right)\varphi _{\lambda }.$$

Schwartz-funktioner på R är de sfäriska transformationerna av funktioner f som hör till Harish-Chandra Schwartz-rummet

$${\mathcal {S}}=\left\{f\left|\sup _{t}\left|(1+t^{2})^{N}(I+\Delta )^{M} f(t)\varphi _{0}(t)\right|<\infty \right\}\right..$$

De sfäriska transformationerna av jämna SO(2)-invarianta funktioner av kompakt stöd är just funktioner på R som är begränsningar av holomorfa funktioner på C som uppfyller ett exponentiellt tillväxtvillkor

$$|F(\lambda )|\leq Ce^{R|\Im \lambda |}.$$

Båda dessa resultat kan härledas från motsvarande resultat för SL(2, C ), genom att direkt verifiera att den sfäriska transformationen uppfyller de givna tillväxtvillkoren och sedan använda relationen ( $\displaystyle (M_{1}^{*}F)^{\sim }={\tilde {F}}}$ .

Som en funktion på G är φ _λ matriskoefficienten för den sfäriska huvudserien definierad på L ² ( R ), där R identifieras med gränsen för ${\mathfrak {H}}^{2}$ . Representationen ges av formeln

$$\pi _{\lambda }(g^{-1})\xi (x)=|cx+d|^{-1-i\lambda }\xi (g(x)).$$

Funktionen

$$\xi _{0}(x)=\pi ^{-1}\left(1+|x|^{2} \right)^{-1}$$

är fixerad av SO(2) och

$$\Phi _{\lambda }(g)=(\pi _{\lambda }(g)\xi _{0},\xi _{0}).$$

Representationerna π _λ är irreducerbara och enhetligt ekvivalenta endast när tecknet för λ ändras. Kartan $W:L^{2}({\mathfrak {H}}^{2})\to L^{2 }([0,\infty )\times \mathbb {R} )$ med måttet ${\textstyle {\frac {\lambda \pi }{2}}\tanh \ vänster({\frac {\pi \lambda }{2}}\right)\,d\lambda }$ på den första faktorn, ges av formeln

$$Wf(\lambda ,x)=\int _{G/K}f(g) \pi _{\lambda }(g)\xi _{0}(x)\,dg$$

är enhetlig och ger nedbrytningen av $L^{2}({\mathfrak {H}}^{2})$ som en direkt integral av den sfäriska huvudserien.

Flensted–Jensens härkomstmetod

Hadamards härkomstmetod förlitade sig på funktioner som var invarianta under verkan av 1-parameters undergrupp av översättningar i y -parametern i ${\mathfrak {H}}^{3}$ . Flensted–Jensens metod använder centraliseraren av SO(2) i SL(2, C ) som delas upp som en direkt produkt av SO(2) och 1-parameters undergruppen K ₁ av matriser

$$g_{t}={\begin{pmatrix}\cosh t&i\sinh t\\-i\sinh t&\cosh t\end{pmatrix}}.$$

Det symmetriska utrymmet SL(2, C )/SU(2) kan identifieras med utrymmet H ³ för positiva 2×2 matriser A med determinant 1

$$A={\begin{pmatrix}a+b&x+iy\\x-iy&a-b\end{pmatrix}}$$

med gruppåtgärden som ges av

$$g\cdot A=gAg^{*}.$$

Således

$$g_{t}\cdot A={\begin{pmatrix}a\cosh 2t+y\sinh 2t+b&x+i(y\cosh 2t+a\sinh 2t)\\xi(y\cosh 2t+ a\sinh 2t)&a\cosh 2t+y\sinh 2t-b\end{pmatrix}}.$$

Så på hyperboloiden $a^{2}=1+b^{2}+x^{2}+y^{2}$ , endast g _t ändrar koordinaterna y och a . På liknande sätt verkar SO(2) genom rotation på koordinaterna ( b , x ) och lämnar a och y oförändrade. Utrymmet H ² för realvärdade positiva matriser A med y = 0 kan identifieras med omloppsbanan för identitetsmatrisen under SL(2, R ). Om man tar koordinater ( b , x , y ) i H ³ och ( b , x ) på H ² ges volym- och areaelementen av

$$dV=(1+r^{2 })^{-1/2}\,db\,dx\,dy,\,\,\,dA=(1+r^{2})^{-1/2}\,db\,dx,$$

där r ² är lika med b ² + x ² + y ² eller b ² + x ² , så att r är relaterat till hyperboliskt avstånd från origo med $r=\sinh t$ .

De laplaciska operatorerna ges av formeln

$$\Delta _{n}=-L_{n}-R_{n}^{2}-(n-1)R_ {n},\,$$

var

$$L_{2}=\partial _{b}^{2}+\partial _{x}^{2} ,\,\,\,R_{2}=b\partial _{b}+x\partial _{x}$$

och

$$L_{3}=\partial _{b}^{2}+\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2},\,\,\,R_{3 }=b\partial _{b}+x\partial _{x}+y\partial _{y}.\,$$

För en SU(2)-invariant funktion F på H ³ och en SO(2)-invariant funktion på H ² , betraktad som funktioner av r eller t ,

$$\int _{H^{3}}F\,dV=4\pi \int _{-\infty }^{\infty }F(t)\sinh ^{2}t\,dt,\ ,\,\,\int _{H^{2}}f\,dV=2\pi \int _{-\infty }^{\infty }f(t)\sinh t\,dt.$$

Om f ( b , x ) är en funktion på H ² , definieras Ef av

$$Ef(b,x,y)=f(b,x).\,$$

Således

$$\Delta _{3}Ef=E(\Delta _{2}-R_{2})f.\,$$

Om f är SO(2)-invariant, då gäller f som en funktion av r eller t ,

$$(-\Delta _{2}+R_{2})f=\partial _{t}^{2}f+\coth t\partial _{t}f+r\partial _{r}f= \partial _{t}^{2}f+(\coth t+\tanh t)\partial _{t}f.$$

Å andra sidan,

$$\partial _{t}^{2}+(\coth t+\tanh t)\partial _{t}=\partial _{t}^{2}+2\coth(2t)\partial _{ t}.$$

Således, inställning av Sf ( t ) = f (2 t ),

$$(\Delta _{2}-R_{2})Sf=4S\Delta _{2}f,$$

₀ leder till den grundläggande härkomstrelationen för Flensted-Jensen för M = ES :

$$\Delta _{3}M_{0}f=4M_{0}\Delta _{2}f.$$

₀₀ Samma förhållande gäller för M genom M , där Mf erhålls genom att medelvärde Mf över SU(2).

Förlängningen Ef är konstant i variabeln y och därför invariant under transformationerna g _s . Å andra sidan, för F en lämplig funktion på H ³ , funktionen QF definierad av

$$QF=\int _{K_{1}}F\circ g_{s}\,ds$$

är oberoende av variabeln y . En enkel förändring av variabler visar det

$$\int _{H^{3}}F\,dV=\int _{H^{2}}(1+b^{2}+x^{2})^{1/2}QF \,dA.$$

Eftersom K ₁ pendlar med SO(2) är QF SO(2)--invariant om F är, i synnerhet om F är SU(2)-invariant. I detta fall QF en funktion av r eller t , så att M * F kan definieras av

$$M^{*}F(t)=QF(t/2).$$

Integralformeln ovan ger då efter

$$\int _{H^{3}}F\,dV=\int _{H^{2}}M^{*}F\ ,dA$$

och därför, eftersom för f SO(2)-invariant,

$$M^{*}((Mf)\cdot F)=f\cdot (M^{*}F),$$

följande sammanfogade formel:

$$\int _{H^{3}}(Mf)\cdot F\,dV=\int _{H^{2}}f\cdot (M*F)\,dV.$$

Som en konsekvens

$$M^{*}\Delta _{3}=4\Delta _{2}M^{*}.$$

Alltså, som i fallet med Hadamards härkomstmetod.

$$M^{*}\Phi _{2\lambda }=b(\lambda )\varphi _{\lambda }$$

med

$$b(\lambda )=M^{*}\Phi _{2\lambda }(0)=\pi \tanh \pi \lambda$$

och

$$\Phi _{2\lambda }=M\varphi _{\lambda }.$$

Det följer att

$${(M^{*}F)}^{\sim }(\lambda )={\tilde {F}}(2\lambda ).$$

Om man tar f = M * F , ger SL(2, C ) inversionsformeln för F omedelbart resultat

$$f(x)=\int _{-\infty }^{ \infty }\varphi _{\lambda }(x){\tilde {f}}(\lambda )\,{\lambda \pi \over 2}\tanh \left({\frac {\pi \lambda }{ 2}}\right)\,d\lambda ,$$

Abels integralekvation

Den sfäriska funktionen φ _λ ges av

$$\varphi _{\lambda }(g)=\int _{K}\alpha '(kg)\,dk,$$

så att

$${\tilde {f}}(\lambda )=\int _{S}f(s)\alpha '(s) )\,ds,$$

Således

$${\tilde {f}}(\lambda ) =\int _{-\infty }^{\infty }\int _{0}^{\infty }f\!\left({\frac {a^{2}+a^{-2}+b^ {2}}{2}}\right)a^{-i\lambda /2}\,da\,db,$$

så att definiera F av

$$F(u)=\int _{-\infty }^{\infty }f\!\left(u+{\ frac {t^{2}}{2}}\right)\,dt,$$

den sfäriska transformationen kan skrivas

$${\tilde {f}}(\lambda )=\int _{0}^{\infty }F\!\left({\frac {a^{2}+a^{-2}}{ 2}}\right)a^{-i\lambda }\,da=\int _{0}^{\infty }F(\cosh t)e^{-it\lambda }\,dt.$$

Relationen mellan F och f är klassiskt inverterad av Abels integralekvation :

$$f(x)={\frac {-1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }F'\!\left(x+{t^{2} \over 2}\höger)\,dt.$$

Faktiskt

$$\int _{-\infty }^{\infty }F'\!\left(x+{\frac {t^{2}}{2}}\right)\,dt=\int _{- \infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f'\!\left(x+{\frac {t^{2}+u^{2}}{2}}\ höger)\,dt\,du={2\pi }\int _{0}^{\infty }f'\!\left(x+{\frac {r^{2}}{2}}\right) r\,dr=2\pi f(x).$$

Relationen mellan F och ${\tilde {f}}$ inverteras av Fourier-inversionsformeln :

$$F(\cosh t)={2 \over \pi }\int _{0}^{\infty }{\tilde {f}}(i\lambda )\cos(\lambda t)\,d \lambda .$$

Därav

$$f(i)={1 \over 2\pi ^{2}}\int _{0}^{\infty }{\tilde {f}}(\lambda )\lambda \,d\lambda \ int _{-\infty }^{\infty }{\sin \lambda t/2 \over \sinh t}\cosh {t \over 2}\,dt={1 \over 2\pi ^{2}} \int _{-\infty }^{\infty }{\tilde {f}}(\lambda ){\lambda \pi \over 2}\tanh \left({\pi \lambda \over 2}\right) \,d\lambda .$$

Detta ger den sfäriska inversionen för punkten i . Nu för fast g i SL(2, R ) definiera

$$f_{1}(w)=\int _{K}f(gkw)\,dk,$$

en annan rotationsinvariant funktion på ${\mathfrak {H}}^{2}$ med f ₁ (i)= f ( g ( i )). Å andra sidan, för biinvarianta funktioner f ,

$$\pi _{\lambda }(f)\xi _{0}={\tilde {f}}(\lambda )\xi _{0}$$

så att

$${\tilde {f}}_{1}(\lambda )={\tilde {f}}(\lambda )\ cdot \varphi _{\lambda }(w),$$

där w = g ( i ). Att kombinera detta med ovanstående inversionsformel för f ₁ ger den allmänna sfäriska inversionsformeln:

$$f(w)={1 \over \pi ^{2}}\int _{0}^{\infty }{\tilde {f}}(\lambda )\varphi _{\lambda }(w ){\lambda \pi \over 2}\tanh \left({\pi \lambda \over 2}\right)\,d\lambda .$$

Andra specialfall

⁰ Alla komplexa semisimpla Lie-grupper eller Lorentz-grupperna SO ( N ,1) med N udda kan behandlas direkt genom reduktion till den vanliga Fouriertransformen. De återstående verkliga Lorentz-grupperna kan härledas med Flensted-Jensens härkomstmetod, liksom andra halvenkla Lie-grupper av verklig rang ett. Flensted-Jensens härkomstmetod gäller även för behandling av reella semisimple Lie-grupper för vilka Lie-algebran är normala reella former av komplexa semisimple Lie-algebror. Specialfallet med SL(N, R ) behandlas i detalj i Jorgenson & Lang (2001) ; denna grupp är också den normala verkliga formen av SL(N, C ).

Tillvägagångssättet från Flensted-Jensen (1978) gäller en bred klass av verkliga halvenkla Lie-grupper av godtycklig verklig rang och ger den explicita produktformen av Plancherel-måttet på ${\displaystyle {\mathfrak {a}}} *$ utan att använda Harish -Chandras expansion av de sfäriska funktionerna φ _λ i termer av hans c-funktion, diskuteras nedan. Även om det är mindre generellt, ger det ett enklare förhållningssätt till Plancherels sats för denna klass av grupper.

Komplexa halvenkla Lie-grupper

Om G är en komplex halvenkel Lie-grupp, är det komplexiseringen av dess maximala kompakta undergrupp U , en kompakt halvenkel Lie-grupp. Om ${\mathfrak {g}}$ och ${\mathfrak {u}}$ är deras Lie-algebror, då ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {u}}\oplus i{\mathfrak {u}}.$ Låt T vara en maximal torus i U med Lie algebra ${\mathfrak {t}}.$ Sedan inställning

$$A=\exp i{\mathfrak {t}},\qquad P=\exp i{\mathfrak {u}},$$

det finns Cartan-nedbrytningen :

$$G=P\cdot U=UAU.$$

De ändliga dimensionella irreducerbara representationerna π _λ av U indexeras med vissa λ i ${\mathfrak {t}}^{*}$ . Motsvarande teckenformel och dimensionsformel för Hermann Weyl ger explicita formler för

$$\chi _{\lambda }(e^{X})=\operatörsnamn {Tr} \pi _{\lambda }(e^{X}),(X\in {\mathfrak {t}}) ,\qquad d(\lambda )=\dim \pi _{\lambda }.$$

Dessa formler, initialt definierade på ${\mathfrak {t}}^{*}\times {\mathfrak {t}}$ och ${\mathfrak {t}}^{* }$ , utöka holomorfa till deras komplexiseringar. Dessutom,

$$\chi _{\lambda }(e^{X})={ \sum _{\sigma \in W}{\rm {tecken}}(\sigma )e^{i\lambda (\sigma X)} \over \delta (e^{X})},$$

där W är Weyl-gruppen $W=N_{U}(T)/T$ och δ( e ^X ) ges av en produktformel (Weyls nämnarformel) som sträcker sig holomorft till komplexiseringen av ${\mathfrak {t}}$ . Det finns en liknande produktformel för d (λ), ett polynom i λ.

På den komplexa gruppen G kan integralen av en U -biinvariant funktion F utvärderas som

$$\int _{G}F(g)\,dg={1 \over |W|}\int _{\mathfrak {a}}F(e^{X})\,|\delta (e ^{X})|^{2}\,dX.$$

där ${\mathfrak {a}}=i{\mathfrak {t}}$ .

De sfäriska funktionerna för G är märkta med λ i ${\mathfrak {a}}=i{\mathfrak {t}}^{*}$ och ges av Harish-Chandra-Berezin-formeln

$$\Phi _{\lambda }(e^{X})={\chi _{\lambda }(e^{X}) \over d(\lambda )}.$$

De är matriskoefficienterna för den irreducerbara sfäriska huvudserien av G inducerad från karaktären av Borel-undergruppen av G som motsvarar λ; dessa representationer är irreducerbara och kan alla realiseras på L ² ( U / T ).

Den sfäriska transformationen av en U -biinvariant funktion F ges av

$${\tilde {F}}(\lambda )=\int _{G}F(g)\Phi _{- \lambda }(g)\,dg$$

och den sfäriska inversionsformeln av

$$F(g)={1 \over |W|}\int _{{\mathfrak {a}}^{*}}{\tilde {F}}(\lambda )\Phi _ {\lambda }(g)|d(\lambda )|^{2}\,d\,\lambda =\int _{{\mathfrak {a}}_{+}^{*}}{\tilde { F}}(\lambda )\Phi _{\lambda }(g)|d(\lambda )|^{2}\,d\,\lambda ,$$

där ${\mathfrak {a}}_{+}^{*}$ är en Weyl-kammare . Faktum är att resultatet följer av Fourier-inversionsformeln på ${\mathfrak {a}}$ eftersom

$$d(\lambda )\delta (e^{X} )\Phi _{\lambda }(e^{X})=\summa _{\sigma \in W}{\rm {tecken}}(\sigma )e^{i\lambda (X)},$$

så att ${\overline {d(\lambda )}}{\tilde {F}}(\lambda )$ bara är Fouriertransformen av $F(e^{X})\delta (e^{X})$ .

Observera att det symmetriska utrymmet G / U har som kompakt dubbelt det kompakta symmetriska utrymmet U x U / U , där U är den diagonala undergruppen. De sfäriska funktionerna för det senare utrymmet, som kan identifieras med U självt, är de normaliserade tecknen χ _λ / d (λ) indexerade med gitterpunkter i det inre av ${\mathfrak {a}}_{ +}^{*}$ och rollen som A spelas av T . Den sfäriska transformationen av f för en klassfunktion på U ges av

$${\tilde {f}}(\lambda )=\int _{U}f(u){ {\overline {\chi _{\lambda }(u)}} \over d(\lambda )}\,du$$

och den sfäriska inversionsformeln följer nu från teorin om Fourier-serien på T :

$$f(u)=\summa _{\lambda }{\tilde {f}}(\lambda ){\chi _{\lambda }(u) \over d(\lambda )}d(\lambda ) ^{2}.$$

Det finns en uppenbar dualitet mellan dessa formler och de för den icke-kompakta dualen.

Riktiga halvenkla Lie-grupper

_0000000000 Låt G vara en normal reell form av den komplexa semisimpla Lie-gruppen G , de fixerade punkterna för en involution σ, konjugerat linjär på Lie-algebra av G . Låt τ vara en kartaninvolution av G utökad till en involution av G , komplex linjär på dess Lie-algebra, vald att pendla med σ. Fixpunktsundergruppen för τσ är en kompakt reell form U av G , som skär G i en maximal kompakt undergrupp K . Fixpunktsundergruppen av τ är K , komplexbildningen av K . Låt G = K · P vara motsvarande Cartan-nedbrytning av G och låt A vara en maximal abelian undergrupp av P . Flensted-Jensen (1978) bevisade det

$$G=KA_{+}U,$$

där A ₊ är bilden av stängningen av en Weyl-kammare i ${\mathfrak {a}}$ under den exponentiella kartan. Dessutom,

$$K\backslash G/U=A_{+}.$$

Eftersom

$$K_{0}\backslash G_{0}/K_{0}=A_{+}$$

₀₀₀₀₀ det följer att det finns en kanonisk identifikation mellan K \ G / U , K \ G / K och A ₊ . Sålunda K -biinvarianta funktioner på G identifieras med funktioner på A ₊ liksom funktioner på G som lämnas invarianta under K och höger invarianta under U . Låt f vara en funktion i $C_{c}^{\infty }(K_{0}\backslash G_{0}/K_{0})$ och definiera Mf i $C_{c}^{\infty }(U\backslash G/U)$ av

$$Mf(a)=\int _{U}f(ua^{2})\,du.$$

Här har en tredje kartanupplösning av G = UAU använts för att identifiera U \ G / U med A ₊ .

₀₀ Låt Δ vara laplacian på G / K och låt Δ _c vara laplacian på G / U . Sedan

$$4M\Delta =\Delta _{c}M.$$

För F i ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U\backslash G/U)} ,$ definiera M * F i $C_{c}^{\infty }(K_{0}\backslash G_{0}/K_{0})$ av

$$M^{*}F(a^{2})=\int _{K}F(ga)\,dg.$$

Då uppfyller M och M * dualitetsrelationerna

$$\int _{G/U}(Mf)\cdot F=\int _{G_{0}/K_{0}}f\cdot (M^{*}F).$$

Särskilt

$$M^{*}\Delta _{c}=4\Delta M^{*}.$$

₀₀ Det finns en liknande kompatibilitet för andra operatörer i mitten av den universella omslutande algebra av G. Det följer av egenfunktionskarakteriseringen av sfäriska funktioner att $M^{*}\Phi _{2\lambda }$ är proportionell mot φ _λ på G , varvid proportionalitetskonstanten ges av

$$b(\lambda )=M^{*}\Phi _{2\lambda }(1)=\int _{K}\Phi _{2\lambda}(k)\,dk.$$

Dessutom i det här fallet

$$(M^{*}F)^{\sim }(\lambda )={\tilde {F}}(2\lambda ).$$

₀ Om f = M * F , så innebär den sfäriska inversionsformeln för F på G att för f på G :

$$f(g)=\int _{{\mathfrak {a}}_{+}^{*}}{\tilde {f}}(\lambda )\varphi _{\lambda } (g)\,\,2^{{\rm {dim}}\,A}\cdot |b(\lambda )|\cdot |d(2\lambda )|^{2}\,d\lambda ,$$

eftersom

$$f(g)=M^{*}F(g)=\int _{{\mathfrak {a}}_{+}^{*}}{\tilde {F}}(2\lambda ) M^{*}\Phi _{2\lambda }(g)2^{{\rm {dim}}\,A}|d(2\lambda )|^{2}\,d\lambda =\int _{{\mathfrak {a}}_{+}^{*}}{\tilde {f}}(\lambda )\varphi _{\lambda }(g)\,\,b(\lambda )2^ {{\rm {dim}}\,A}|d(2\lambda )|^{2}\,d\lambda .$$

Den direkta beräkningen av integralen för b (λ), som generaliserar beräkningen av Godement (1957) för SL(2, R ), lämnades som ett öppet problem av Flensted-Jensen (1978) . En explicit produktformel för b (λ) var känd från den tidigare bestämningen av Plancherel-måttet av Harish-Chandra (1966), vilket gav

$$b(\lambda )=C\cdot d(2\lambda ) ^{-1}\cdot \prod _{\alpha >0}\tanh {\pi (\alpha ,\lambda ) \over (\alpha ,\alpha )},$$

där α sträcker sig över de positiva rötterna av rotsystemet i ${\mathfrak {a}}$ och C är en normaliseringskonstant, given som en kvot av produkter av gammafunktioner .

Harish-Chandras Plancherel-sats

Låt G vara en icke-kompakt sammankopplad verklig halvenkel Lie-grupp med ändligt centrum. Låt ${\mathfrak {g}}$ beteckna dess Lie-algebra. Låt K vara en maximal kompakt undergrupp angiven som undergruppen av fixpunkter i en Cartan-involution σ. Låt ${\mathfrak {g}}_{\pm }$ vara ±1 egenrymden för σ i ${\displaystyle {\mathfrak {g}}} ,$ så att ${ \mathfrak {k}}={\mathfrak {g}}_{+}$ är Lie-algebra för K och ${\mathfrak {p}}={\mathfrak {g}}_{ -}$ ger Cartan-sönderdelningen

$${\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}+{\mathfrak {p}},\,\,G=\exp {\mathfrak {p}}\cdot K.$$

Låt ${\mathfrak {a}}$ vara en maximal abelisk subalgebra av ${\mathfrak {p}}$ och för α i ${\mathfrak {a}}^{* }$ låt

$${\mathfrak {g}}_{\alpha }=\{X\in {\mathfrak {g}}:[H,X]=\alpha (H)X\,\,(H\in { \mathfrak {a}})\}.$$

₀ Om α ≠ 0 och ${\mathfrak {g}}_{\alpha }\neq (0)$ , då kallas α en begränsad rot och $m_{\alpha }=\dim {\mathfrak {g}}_{\alpha }$ kallas dess mångfald . Låt A = exp ${\mathfrak {a}}$ , så att G = KAK . Begränsningen av Killing-formen definierar en inre produkt på ${\mathfrak {p}}$ och därmed ${ \displaystyle {\mathfrak {a}}}$ , vilket gör att ${\mathfrak {a}}^{*}$ kan identifieras med ${\mathfrak {a}}$ . Med avseende på denna inre produkt ger de begränsade rötterna Σ ett rotsystem . Dess Weyl-grupp kan identifieras med $W=N_{K}(A)/C_{K}(A)$ . Ett val av positiva rötter definierar en Weyl-kammare ${\mathfrak {a}}_{+}^{*}$ . Det reducerade rotsystemet Σ består av rötter α så att α/2 inte är en rot.

Genom att definiera de sfäriska funktionerna φ _λ enligt ovan för λ i ${\mathfrak {a}}^{*}$ definieras den sfäriska transformationen av f i C _c ^∞ ( K \ G / K ) av

$${\tilde {f}}(\lambda )=\int _{G}f(g)\varphi _{-\lambda }(g)\,dg.$$

Den sfäriska inversionsformeln säger det

$$f(g)=\int _{{\mathfrak {a}}_{+}^{*}}{\tilde {f}}(\lambda )\varphi _{\lambda }(g)\,|c(\lambda )|^{-2}\,d\lambda ,$$

där Harish-Chandras c-funktion c (λ) definieras av

$$c(\lambda )=c_{0}\cdot \prod _{\alpha \in \Sigma _{0} ^{+}}{\frac {2^{-i(\lambda ,\alpha _{0})}\Gamma (i(\lambda,\alpha _{0}))}{\Gamma \!\left ({\frac {1}{2}}\left[{\frac {1}{2}}m_{\alpha }+1+i(\lambda ,\alpha _{0})\right]\right) \Gamma \!\left({\frac {1}{2}}\left[{\frac {1}{2}}m_{\alpha }+m_{2\alpha }+i(\lambda ,\alpha _{0})\right]\right)}}$$

₀ med $\alpha _{0}=(\alpha ,\alpha )^{-1}\alpha$ och konstanten c vald så att c (− iρ ) = 1 var

$$\rho ={\frac {1}{2}}\sum _{\alpha \in \Sigma ^{+}}m_{\alpha }\alpha .$$

Plancherels sats för sfäriska funktioner säger att kartan

$$W:f\mapsto {\tilde {f}} ,\,\,\,\ L^{2}(K\backslash G/K)\högerpil L^{2}({\mathfrak {a}}_{+}^{*},|c(\lambda )|^{-2}\,d\lambda )$$

är enhetlig och omvandlar faltning med $f\in L^{1}(K\backslash G/K)$ till multiplikation med ${\tilde {f }}$ .

Harish-Chandras sfäriska funktionsexpansion

Eftersom G = KAK , kan funktioner på G / K som är invarianta under K identifieras med funktioner på A , och därmed $\displaystyle {\mathfrak {a}}},$ { som är invarianta under Weyl-gruppen W. I synnerhet eftersom laplacianen Δ på G / K pendlar med verkan av G , definierar den en andra ordningens differentialoperator L på ${\displaystyle {\mathfrak {a}}} ,$ invariant under W , kallad den radiella delen av laplacian . I allmänhet om X är i ${\mathfrak {a}}$ definierar den en första ordningens differentialoperator (eller vektorfält) med

$$Xf(y)=\left.{\frac {d}{dt}}f(y+tX)\right|_{t=0}.$$

L kan uttryckas i termer av dessa operatorer med formeln

$$L=\Delta _{\mathfrak {a}}-\sum _{\alpha >0}m_{\alpha }\,\coth \alpha \,A_{\alpha },$$

där A _α i ${\mathfrak {a}}$ definieras av

$$(A_{\alpha },X)=\alpha (X)$$

och

$$\Delta _{\mathfrak {a}}=-\summa X_{i}^{2}$$

är Laplacian på ${\mathfrak {a}}$ , motsvarande val av ortonormal basis ( X _i ).

Således

$$L=L_{0}-\sum _{\alpha >0}m_{\alpha }\,(\coth \alpha -1)A_{\alpha },$$

var

$$L_{0}=\Delta _{\mathfrak {a}}-\sum _{\alpha >0}A_{\alpha },$$

₀ så att L kan betraktas som en störning av konstantkoefficientoperatorn L .

Nu är den sfäriska funktionen φ _λ en egenfunktion till Laplacian:

$$\Delta \varphi _{\lambda }=\left(\left\|\lambda \right\|^{2}+\left \|\rho \right\|^{2}\right)\varphi _{\lambda }$$

och därför av L , när den ses som en W -invariant funktion på ${\mathfrak {a}}$ .

₀ Eftersom e ^{iλ – ρ} och dess transformationer under W är egenfunktioner till L med samma egenvärde, är det naturligt att leta efter en formel för φ _λ i termer av en störningsserie

$$f_{\lambda }=e^{i\lambda -\rho }\sum _{\mu \in \Lambda }a_{\mu }(\lambda )e^{-\mu },$$

med Λ konen för alla icke-negativa heltalskombinationer av positiva rötter, och transformationerna av f _λ under W . Expansionen

$$\coth x-1=2\sum _{m>0}e^{-2mx},$$

leder till en rekursiv formel för koefficienterna a _μ (λ). I synnerhet är de unikt bestämda och serien och dess derivator konvergerar absolut på ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{+}} ,$ en fundamental domän för W . Anmärkningsvärt nog visar det sig att f _λ också är en egenfunktion till de andra G -invarianta differentialoperatorerna på G / K , som var och en inducerar en W -invariant differentialoperator på ${\mathfrak {a}}$ .

Det följer att φ _λ kan uttryckas i termer som en linjär kombination av f _λ och dess transformationer under W :

$$\varphi _{\lambda }=\sum _{s\in W}c(s\lambda )f_{s\lambda }.$$

Här är c ​​(λ) Harish-Chandras c-funktion . Den beskriver det asymptotiska beteendet hos φ _λ i ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{+}} ,$ eftersom

$$\varphi _{\lambda }(e^{t}X)\sim c(\lambda )e^{( i\lambda -\rho )Xt}$$

för X i ${\mathfrak {a}}_{+}$ och t > 0 stor.

Harish-Chandra erhöll en andra integralformel för φ _λ och därmed c (λ) genom att använda Bruhat-nedbrytningen av G :

$$G=\bigcup _{s\in W}BsB,$$

₀ där B = MAN och föreningen är osammanhängande. Om man tar Coxeter-elementet s av W , det unika elementet som mappar ${\mathfrak {a}}_{+}$ till $-{\mathfrak {a}}_{+}$ , det följer att σ( N ) har en tät öppen bana G / B = K / M vars komplement är en förening av celler med strikt mindre dimension och därför har måttet noll. Det följer att integralformeln för φ _λ initialt definierad över K / M

$$\varphi _{\lambda }(g)=\int _{K/M}\lambda '(gk)^{-1}\,dk.$$

kan överföras till σ( N ):

$$\varphi _{\lambda }(e^{ X})=e^{i\lambda -\rho }\int _{\sigma (N)}{{\overline {\lambda '(n)}} \over \lambda '(e^{X}ne^ {-X})}\,dn,$$

för X i ${\mathfrak {a}}$ .

Eftersom

$$\lim _{t\to \infty }e^{tX}ne^{-tX}=1$$

för X i ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{+}} kan$ det asymptotiska beteendet för φ _λ avläsas från denna integral, vilket leder till formeln:

$$c(\lambda )=\int _{\sigma (N)}{\overline {\lambda '(n)}}\,dn.$$

Harish-Chandras c-funktion

Huvudartikel: Harish-Chandras c-funktion

₀₀ De många rollerna för Harish-Chandras c -funktion i icke-kommutativ harmonisk analys kartläggs i Helgason (2000) . Även om det ursprungligen introducerades av Harish-Chandra i de asymptotiska expansionerna av sfäriska funktioner, diskuterade ovan, förstod man också snart att det var intimt relaterat till sammanflätning av operatorer mellan inducerade representationer, först studerat i detta sammanhang av Bruhat (1957) harvtxt-fel : . Dessa operatorer uppvisar den enhetliga ekvivalensen mellan π _λ och π _{s λ} för s i Weyl-gruppen och en c -funktion c _s (λ) kan kopplas till varje sådan operator: nämligen värdet vid 1 för den sammanflätade operatorn applicerad på ξ , konstantfunktionen 1, i L ² ( K / M ). På motsvarande sätt, eftersom ξ är upp till skalär multiplikation, den unika vektorn fixerad av K , är den en egenvektor för den sammanflätade operatorn med egenvärdet c _s (λ). Dessa operatorer verkar alla på samma utrymme L ² ( K / M ), som kan identifieras med representationen inducerad från den 1-dimensionella representationen definierad av λ på MAN . När väl A har valts bestäms den kompakta undergruppen M unikt som centraliseraren av A i K. Den nilpotenta undergruppen N beror dock på valet av en Weyl-kammare i ${\mathfrak {a}}^{*}$ , de olika valen permuteras av Weyl-gruppen W = M ' / M , där M ' är normaliseraren för A i K. Standardoperatorn för sammanflätning som motsvarar ( s , λ) definieras på den inducerade representationen av

$$A(s,\lambda )F(k)=\int _{ \sigma (N)\cap s^{-1}Ns}F(ksn)\,dn,$$

där σ är Cartan-involutionen. Det tillfredsställer det sammanflätade förhållandet

$$A(s,\lambda )\pi _{\lambda }(g)=\pi _{s\lambda }(g)A(s,\lambda ).$$

Nyckelegenskapen för de sammanflätade operatörerna och deras integraler är den multiplikativa samcykelegenskapen

$$A(s_{1}s_{2},\lambda )=A(s_{1 },s_{2}\lambda )A(s_{2},\lambda ),$$

närhelst

$$\ell (s_{1}s_{2})=\ell (s_{1})+\ell (s_{2) })$$

₀ för längdfunktionen på Weyl-gruppen associerad med valet av Weyl-kammare. För s i W är detta antalet kammare som korsas av det raka linjesegmentet mellan X och sX för någon punkt X i kammarens inre. Det unika elementet med störst längd s , nämligen antalet positiva begränsade rötter, är det unika elementet som bär Weyl-kammaren ${\mathfrak {a}}_{+}^{*}$ till $-{\mathfrak {a}}_{+}^{*}$ . Med Harish-Chandras integralformel motsvarar den Harish-Chandras c -funktion:

$$c(\lambda )=c_{s_{0}}(\lambda ).$$

C - funktionerna definieras i allmänhet av ekvationen

$$A(s,\lambda )\xi _{0}=c_{s}(\lambda )\xi _{0},$$

₀ där ξ är konstantfunktionen 1 i L ² ( K / M ). Samcykelegenskapen för de sammanflätade operatorerna innebär en liknande multiplikativ egenskap för c -funktionerna:

$$c_{s_{1}s_{2}}(\lambda )=c_{s_{1}}( s_{2}\lambda )c_{s_{2}}(\lambda )$$

försedd

$$\ell (s_{1}s_{2})=\ell (s_{1})+\ell (s_{2}).$$

₀ Detta reducerar beräkningen av c _s till fallet när s = s _α , reflektionen i en (enkel) rot α, den så kallade "rank-one-reduktionen" av Gindikin & Karpelevich (1962) . Faktum är att integralen endast involverar den slutna anslutna undergruppen G ^α som motsvarar Lie-subalgebra som genereras av ${\mathfrak {g}}_{\pm \alpha }$ där α ligger i Σ ⁺ . Då G ^α en verklig halvenkel Lie-grupp med verklig rang ett, dvs dim A ^α = 1, och c _s är bara Harish-Chandra c -funktionen för G ^α . I detta fall c -funktionen beräknas direkt på olika sätt:

• genom att notera att φ _λ kan uttryckas i termer av den hypergeometriska funktionen för vilken den asymptotiska expansionen är känd från Gauss klassiska formler för anslutningskoefficienterna ;
• genom att direkt beräkna integralen, som kan uttryckas som en integral i två variabler och därmed en produkt av två betafunktioner .

Detta ger följande formel:

$$c_{s_{\alpha }}(\lambda )=c_{0}{\frac {2^{-i(\lambda ,\alpha _{0})}\Gamma (i(\lambda ,\alpha _{0}))}{\Gamma \!\left({\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{2}}m_{\alpha }+1+i(\lambda ,\alpha _{0})\right)\right)\Gamma \!\left({\frac {1}{2}} \left({\frac {1}{2}}m_{\alpha }+m_{2\alpha }+i(\lambda ,\alpha _{0})\right)\right)}},$$

var

$$c_{0}=2^{m_{\alpha }/2+m_{2\alpha }}\Gamma \!\left({\tfrac {1}{2}}(m_{\alpha}+ m_{2\alpha }+1)\höger).$$

Den allmänna Gindikin-Karpelevich-formeln för c (λ) är en omedelbar konsekvens av denna formel och de multiplikativa egenskaperna hos c _s (λ).

Paley–Wieners sats

Paley-Wiener-satsen generaliserar den klassiska Paley-Wiener-satsen genom att karakterisera de sfäriska transformationerna av jämna K -bivarianta funktioner av kompakt stöd på G . Det är ett nödvändigt och tillräckligt villkor att den sfäriska transformationen är W -invariant och att det finns en R > 0 så att det för varje N finns en uppskattning

$$|{\tilde {f}}(\lambda )|\leq C_{N}(1+|\lambda |)^{-N}e^{R\left|\operatörsnamn {Im} \lambda \ höger|}.$$

I detta fall stöds f i den slutna kulan med radien R kring origo i G / K .

Detta bevisades av Helgason och Gangolli ( Helgason (1970) s. 37).

Teoremet bevisades senare av Flensted-Jensen (1986) oberoende av den sfäriska inversionssatsen, med hjälp av en modifiering av hans metod för reduktion till det komplexa fallet.

Rosenbergs proof of inversion-formel

Rosenberg (1977) noterade att Paley-Wieners sats och sfäriska inversionssatsen kunde bevisas samtidigt, med ett knep som avsevärt förenklade tidigare bevis.

Det första steget i hans bevis består i att direkt visa att den inversa transformationen, definierad med Harish-Chandras c -funktion, definierar en funktion som stöds i den slutna kulan med radien R om origo om Paley-Wiener-uppskattningen är uppfylld. Detta följer eftersom integranden som definierar den inversa transformationen sträcker sig till en meromorf funktion på komplexiseringen av ${\mathfrak {a}}^{*}$ ; integralen kan skiftas till ${\mathfrak {a}}^{*}+i\mu t$ för μ i ${\mathfrak {a}}_{ +}^{*}$ och t > 0. Genom att använda Harish-Chandras expansion av φ _λ och formlerna för c (λ) i termer av gammafunktioner , kan integralen avgränsas för t stor och kan därför visa sig försvinna utanför den slutna kulan med radien R kring origo.

Den här delen av Paley-Wieners sats visar det

$$T(f)=\int _{{\mathfrak {a}}_{+}^{*}}{\tilde {f}}(\lambda )|c(\lambda )| ^{-2}\,d\lambda$$

definierar en fördelning på G / K med stöd vid origo o . En ytterligare uppskattning för integralen visar att den faktiskt ges av ett mått och att det därför finns en konstant C så att

$$T(f)=Cf(o).$$

Genom att tillämpa detta resultat på

$$f_{1}(g)=\int _{K}f(x^{-1}kg)\,dk,$$

det följer att

$$Cf=\int _{{\mathfrak {a}}_{+}^{*}}{\tilde {f}}(\lambda )\varphi _{\lambda }|c(\lambda )| ^{-2}\,d\lambda .$$

Ett ytterligare skalningsargument gör att olikheten C = 1 kan härledas från Plancherels sats och Paley-Wieners sats på ${\mathfrak {a}}$ .

Schwartz funktioner

Harish-Chandra Schwartz-utrymmet kan definieras som

$${\mathcal {S}}(K\backslash G/K)=\left\{f\in C^{\infty }(G/K)^{K}:\sup _{x}\left |(1+d(x,o))^{m}(\Delta +I)^{n}f(x)\right|<\infty \right\}.$$

Under den sfäriska transformationen mappas den till ${\mathcal {S}}({\mathfrak {a}}^{*})^{W},$ rymden av W -invariant Schwartz fungerar på ${\mathfrak {a}}^{*}.$

Det ursprungliga beviset för Harish-Chandra var ett långt argument genom induktion. Anker (1991) hittade ett kort och enkelt bevis som gjorde att resultatet kunde härledas direkt från versioner av Paley-Wiener och sfäriska inversionsformeln. Han bevisade att den sfäriska transformationen av en Harish-Chandra Schwartz-funktion är en klassisk Schwartz-funktion. Hans nyckelobservation var då att visa att den omvända transformationen var kontinuerlig på Paley-Wiener-utrymmet begåvat med klassiska Schwartz-rymdseminormer, med hjälp av klassiska uppskattningar.

Anteckningar

• Anker, Jean-Philippe (1991), "Den sfäriska Fourier-transformen av snabbt minskande funktioner. Ett enkelt bevis på en karakterisering på grund av Harish-Chandra, Helgason, Trombi och Varadarajan", J. Funct . Anal. , 96 (2): 331–349, doi : 10.1016/0022-1236(91)90065-D
•   Beerends, RJ (1987), "Fouriertransformen av Harish-Chandras c-funktion och inversion av Abeltransformen", Math. Ann. , 277 : 1–23, doi : 10.1007/BF01457275 , S2CID 123060173
•   Davies, EB (1989), Heat Kernels and Spectral Theory , Cambridge University Press, ISBN 0-521-40997-7
•   Dieudonné, Jean (1978), Treatise on Analysis, Vol. VI , Academic Press, ISBN 0-12-215506-8
• Flensted-Jensen, Mogens (1978), "Sfäriska funktioner hos en verklig semisimple Lie-grupp. En metod för reduktion till det komplexa fallet", J. Funct. Anal. , 30 : 106–146, doi : 10.1016/0022-1236(78)90058-7
•   Flensted-Jensen, Mogens (1986), Analysis on non-Riemannian symmetric spaces , CBMS regionala konferensserie i matematik, vol. 61, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0711-0
• Gelfand, IM ; Naimark, MA (1948), "An analog of Plancherels formel för den komplexa unimodulära gruppen", Doklady Akademii Nauk SSSR , 63 : 609–612
•   Gindikin, Semen G. ; Karpelevich, Fridrikh I. (1962), Мера Планшереля для римановых симметрических пространств неположительной кривизны [ Plancherisk rymdmått av icke-positivt utrymme för plancherisk rymd för domannis symmetriska rymd- Nauk SSSR, 145 : 252–255, MR 0150239 .
• , "Horospherical transform on Riemannian symmetric manifolds of noncompact type", Functional Analysis and Its Applications , 42 ( 4): 290–297, doi : 10.1007/s10688-008-0042-2 1, S1042-2 1 , 8272-8  
• Godement, Roger (1957), Introduction aux travaux de A. Selberg (Exposé nr. 144, februari 1957) , Séminaire Bourbaki , vol. 4, Soc. Matematik. Frankrike, s. 95–110
•   Guillemin, Victor ; Sternberg, Shlomo (1977), Geometric Asymptotics , American Mathematical Society, ISBN 0-8218-1633-0 , Appendix till kapitel VI, Plancherel Formula for Complex Semisimple Lie Groups .
•    Harish-Chandra (1951), "Plancherel-formel för komplexa semisimple Lie-grupper", Proc. Natl. Acad. Sci. USA , 37 ( 12): 813–818, Bibcode : 1951PNAS...37..813H , doi : 10.1073/pnas.37.12.813 , JSTOR 88521 , PMC 1063477 , 859016  
•     Harish-Chandra (1952), "Plancherel-formel för den 2 x 2 verkliga unimodulära gruppen", Proc. Natl. Acad. Sci. USA , 38 (4): 337–342, doi : 10.1073/pnas.38.4.337 , JSTOR 88737 , PMC 1063558 , PMID 16589101
•    Harish-Chandra (1958a), "Sfäriska funktioner på en semisimple Lie-grupp. I", American Journal of Mathematics , American Journal of Mathematics, Vol. 80, nr 2, 80 (2): 241–310, doi : 10.2307/2372786 , JSTOR 2372786 , MR 0094407
•   Harish-Chandra (1958b), "Spherical Functions on a Semisimple Lie Group II", American Journal of Mathematics , The Johns Hopkins University Press, 80 (3): 553–613, doi : 10.2307/2372772 , JSTOR 2372772
•   Harish-Chandra (1966), "Discrete series for semisimple Lie groups, II" , Acta Mathematica , 116 : 1–111, doi : 10.1007/BF02392813 , S2CID 125806386 , avsnitt 21.
• Helgason, Sigurdur (1970), "A duality for symmetric spaces with applications to group representations", Advances in Mathematics , 5 : 1–154, doi : 10.1016/0001-8708(70)90037-X
• Helgason, Sigurdur (1968), Lie groups and symmetric spaces , Battelle Rencontres, Benjamin, s. 1–71 (en allmän introduktion för fysiker)
•   Helgason, Sigurdur (1984), Grupper och geometrisk analys. Integral Geometry, Invariant Differential Operators and Spherical Functions , Academic Press, ISBN 0-12-338301-3
•   Helgason, Sigurdur (1978), Differentialgeometri, Lie groups and symmetric spaces , Pure and Applied Mathematics 80, New York: Academic Press, s. xvi+628, ISBN 0-12-338460-5 .

• Helgason, Sigurdur (2000), "Harish-Chandras c -funktion: en matematisk juvel", Proceedings of Symposia in Pure Mathematics , 68 : 273–284, doi : 10.1090/pspum/068/0834
•   Jorgenson, Jay; Lang, Serge (2001), Sfärisk inversion på SL(n,R) , Springer Monographs in Mathematics, Springer-Verlag, ISBN 0-387-95115-6
•   Knapp, Anthony W. (2001), Representation theory of semisimple groups: an översikt baserad på exempel , Princeton University Press, ISBN 0-691-09089-0
• Kostant, Bertram (1969), "Om förekomsten och irreducerbarheten av vissa serier av representationer" (PDF), Bull . Amer. Matematik. Soc. , 75 (4): 627–642, doi : 10.1090/S0002-9904-1969-12235-4
•   Lang, Serge (1998), SL(2,R) , Springer, ISBN 0-387-96198-4
•   Lax, Peter D. ; Phillips, Ralph (1976), Spridningsteori för automorfa funktioner , Annals of Mathematics Studies, vol. 87, Princeton University Press, ISBN 0-691-08184-0
• Loeb, Jacques (1979), L'analyse harmonique sur les espaces symétriques de rang 1. Une réduction aux espaces hyperboliques réels de dimension impaire , Lecture Notes in Math, vol. 739, Springer, s. 623–646
•   Rosenberg, Jonathan (1977), "A quick proof of Harish-Chandras Plancherel theorem for spherical functions on a semisimple Lie group", Proceedings of the American Mathematical Society , 63 ( 1): 143–149, doi : 10.1090/S0002-9939 -1977-0507231-8 , JSTOR 2041084
• Selberg, Atle (1956), "Harmonisk analys och diskontinuerliga grupper i svagt symmetriska Riemannska utrymmen med tillämpningar till Dirichlet-serien", J. Indian Math. Soc. , 20 :47–87
• Stade, E. (1999), "The hyperbolic tangent and generalized Mellin inversion", Rocky Mountain Journal of Mathematics , 29 (2): 691–707, doi : 10.1216/rmjm/1181071659
• Takahashi, R. (1963), "Sur les représentations unitaires des groupes de Lorentz généralisés", Bull. Soc. Matematik. Frankrike (på franska), 91 : 289–433, doi : 10.24033/bsmf.1598