Vikt (representationsteori)

I det matematiska fältet av representationsteorin är en vikt av en algebra A över ett fält F en algebrahomomorfism från A till F , eller ekvivalent, en endimensionell representation av A över F . Det är algebraanalogen av en multiplikativ karaktär av en grupp . Betydelsen av begreppet härrör dock från dess tillämpning på representationer av Lie-algebras och därmed även på representationer av algebraiska och Lie-grupper . I detta sammanhang är en vikt av en representation en generalisering av begreppet ett egenvärde , och motsvarande egenutrymme kallas ett viktutrymme .

Motivation och allmänt koncept

Givet en uppsättning S av $n\ gånger n$ matriser över samma fält, som var och en är diagonaliserbar , och vilka två som helst pendlar , är det alltid möjligt att samtidigt diagonalisera alla elementen i S . På motsvarande sätt, för varje uppsättning S av ömsesidigt pendlande semisenkla linjära transformationer av ett ändligt dimensionellt vektorrum V existerar det en bas av V som består av samtidiga egenvektorer för alla element i S . Var och en av dessa gemensamma egenvektorer v ∈ V definierar en linjär funktion på subalgebra U av End( V ) genererad av uppsättningen endomorfismer S ; denna funktion definieras som kartan som associerar till varje element av U dess egenvärde på egenvektorn v . Denna karta är också multiplikativ och skickar identiteten till 1; det är alltså en algebrahomomorfism från U till basfältet. Detta "generaliserade egenvärde" är en prototyp för begreppet vikt.

Begreppet är nära besläktat med idén om en multiplikativ karaktär i gruppteorin , som är en homomorfism χ från en grupp G till den multiplikativa gruppen av ett fält F. Alltså χ : G → F ^× uppfyller χ ( e ) = 1 (där e är identitetselementet för G ) och

\chi (gh)=\chi (g)\chi (h)

för alla g , h i G .

I själva verket, om G verkar på ett vektorrum V över F , bestämmer varje samtidig egenrymd för varje element i G , om sådant existerar, ett multiplikativt tecken på G : egenvärdet på detta gemensamma egenrum för varje element i gruppen.

Begreppet multiplikativ karaktär kan utökas till vilken algebra som helst A över F , genom att ersätta χ : G → F ^× med en linjär karta χ : A → F med:

\chi (ab)=\chi (a)\chi (b)

för alla a , b i A . Om en algebra A verkar på ett vektorrum V över F till något samtidigt egenrum, motsvarar detta en algebrahomomorfism från A till F som tilldelar varje element i A dess egenvärde.

Om A är en Lie-algebra (som i allmänhet inte är en associativ algebra), så kräver man istället för att kräva multiplikativitet av ett tecken att den mappar valfri Lie-parentes till motsvarande kommutator ; men eftersom F är kommutativ betyder detta helt enkelt att denna karta måste försvinna på Lie-parenteser: χ ([a,b])=0. En vikt på en Lie-algebra g över ett fält F är en linjär karta λ: g → F med λ([ x , y ])=0 för alla x , y in g . Varje vikt på en Lie-algebra g försvinner på den härledda algebra [ g , g ] och sjunker därmed till en vikt på den abelska Lie-algebra g /[ g , g ]. Sålunda är vikter främst av intresse för abelska Lie-algebror, där de reduceras till den enkla uppfattningen om ett generaliserat egenvärde för rymden av pendlande linjära transformationer.

Om G är en Lie-grupp eller en algebraisk grupp , så inducerar ett multiplikativt tecken θ: G → F ^{× en vikt} χ = dθ: g → F på dess Lie-algebra genom differentiering. (För Lie-grupper är detta differentiering vid identitetselementet för G , och det algebraiska gruppfallet är en abstraktion som använder begreppet en härledning.)

Vikter i representationsteorin för semisimpla Lie-algebror

Låt ${\mathfrak {g}}$ vara en komplex halvenkel Lie-algebra och ${\mathfrak {h}}$ en kartansk subalgebra av ${\mathfrak {g}}$ . I det här avsnittet beskriver vi de begrepp som behövs för att formulera "satsen om den högsta vikten" som klassificerar de finita dimensionella representationerna av ${\mathfrak {g}}$ . Särskilt kommer vi att förklara begreppet ett "dominerande integrerat element." Själva representationerna beskrivs i artikeln som länkas till ovan.

Vikten av en representation

Exempel på vikterna av en representation av Lie-algebra sl(3,C)

Låt V vara en representation av en Lie-algebra ${\mathfrak {g}}$ över C och låt λ vara en linjär funktion på ${\mathfrak {h}}$ . Då viktutrymmet för V med vikt λ delutrymmet $V_{\lambda }$ givet av

V_{\lambda }:=\{v\in V:\forall H\in {\mathfrak { h}},\quad H\cdot v=\lambda (H)v\}

.

En vikt av representationen V är en linjär funktionell λ så att motsvarande viktutrymme inte är noll. Element som inte är noll i viktutrymmet kallas viktvektorer . Det vill säga, en viktvektor är en samtidig egenvektor för verkan av elementen i ${\displaystyle {\mathfrak {h}}} ,$ med motsvarande egenvärden givna av λ.

Om V är den direkta summan av dess viktrum

V=\bigoplus _{\lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}}V_{\lambda }

då kallas det en viktmodul ; detta motsvarar att det finns en gemensam egenbas (en bas av samtidiga egenvektorer) för alla representerade element i algebra, dvs att det finns samtidigt diagonaliserbara matriser (se diagonaliserbar matris ).

Om G är en grupp med Lie-algebra ${\displaystyle {\mathfrak {g}}} ,$ inducerar varje finitdimensionell representation av G en representation av ${\mathfrak {g}}$ . En vikt av representationen av G är då helt enkelt en vikt av den associerade representationen av ${\mathfrak {g}}$ . Det finns en subtil distinktion mellan vikter av grupprepresentationer och Lie-algebra-representationer, vilket är att det finns en annan uppfattning om integralitetstillstånd i de två fallen; se nedan. (Integralitetsvillkoret är mer restriktivt i gruppfallet, vilket återspeglar att inte varje representation av Lie-algebra kommer från en representation av gruppen.)

Rotvektorernas verkan

Om V är den angränsande representationen av ${\mathfrak {g}}$ kallas vikterna som inte är noll för rötter , viktutrymmena kallas rotrum och viktvektorer kallas rotvektorer . Explicit kallas en linjär funktionell $\alpha$ på ${\displaystyle {\mathfrak {h}}} en rot om$ $\alpha \neq 0$ och det finns ett $som inte är noll X$ i ${\mathfrak {g}}$ så att

[H,X]=\alpha (H)X

för alla $H$ i ${\mathfrak {h}}$ . Samlingen av rötter bildar ett rotsystem .

Ur representationsteorins perspektiv är betydelsen av rötterna och rotvektorerna följande elementära men viktiga resultat: Om V är en representation av ${\displaystyle {\mathfrak {g}}} ,$ är v en viktvektor med vikten $\lambda$ och X är en rotvektor med roten $\alpha$ , då

H\cdot (X\cdot v)=[(\lambda +\alpha )(H)](X \cdot v)

för alla H i ${\mathfrak {h}}$ . Det vill säga, $X\cdot v$ är antingen nollvektorn eller en viktvektor med vikten $\lambda +\alpha$ . Följaktligen mappar handlingen av $X$ viktutrymmet med vikt $\lambda$ till viktutrymmet med vikt $\lambda +\alpha$ .

Integralt element

Algebraiskt integrerade element (triangulärt gitter), dominanta integralelement (svarta prickar) och fundamentala vikter för sl(3,C)

Låt ${\mathfrak {h}}_{0}^{*}$ vara det verkliga delutrymmet av ${\mathfrak {h}}^{*}$ som genereras av rötterna till ${\mathfrak {g}}$ . För beräkningar är det bekvämt att välja en inre produkt som är invariant under Weyl-gruppen, det vill säga under reflektioner om hyperplanen som är ortogonala mot rötterna. Vi kan sedan använda den här inre produkten för att identifiera ${\mathfrak {h}}_{0}^{*}$ med ett delutrymme ${\mathfrak {h}}_{0}$ av ${\mathfrak {h}}$ . Med denna identifiering koroten associerad med en rot $\alpha$ som

H_{\alpha }=2{\frac {\alpha }{\langle \alpha ,\alpha \rangle }}

.

Vi definierar nu två olika begrepp om integralitet för element i ${\mathfrak {h}}_{0}$ . Motivationen för dessa definitioner är enkel: Vikterna av ändligdimensionella representationer av ${\mathfrak {g}}$ uppfyller det första integralitetsvillkoret, medan om G är en grupp med Lie algebra ${\displaystyle {\mathfrak {g}}} uppfyller$ vikterna av änddimensionella representationer av G det andra integralitetsvillkoret.

Ett element $\lambda \in {\mathfrak {h}}_{0}$ är algebraiskt integral om

\langle \lambda ,H_{\alpha }\rangle =2{\frac {\langle \lambda ,\alpha }{\langle \alpha ,\alpha \rangle }}\in \mathbf {Z}

för alla rötter $\alpha$ . Motivet för detta tillstånd är att kärnan $H_{\alpha }$ kan identifieras med H -elementet i en standard ${\displaystyle {X,Y,H}}-$ bas för en sl (2, C )-subalgebra av g . Med elementära resultat för sl(2, C ), måste egenvärdena för $H_{\alpha }$ i varje finitdimensionell representation vara ett heltal. Vi drar slutsatsen att, som nämnts ovan, vikten av varje finitdimensionell representation av ${\mathfrak {g}}$ är algebraiskt integral.

Grundvikterna $\omega _{1},\ldots ,\omega _{n}$ definieras av egenskapen att de utgör en bas för $\displaystyle {\mathfrak {h }}_{0}}$ { dubbla till uppsättningen av korötter som är kopplade till de enkla rötterna . Det vill säga att de grundläggande vikterna definieras av villkoret

2{\frac {\langle \omega _{i},\alpha _{j}\rangle }{\langle \ alpha _{j},\alpha _{j}\rangle }}=\delta _{i,j}

där $\alpha _{1},\ldots \alpha _{n}$ är de enkla rötterna. Ett element $\lambda$ är då algebraiskt integral om och endast om det är en integralkombination av grundvikterna. Mängden av alla ${\mathfrak {g}}$ -integralvikter är ett gitter i ${\mathfrak {h}}_{0}$ som kallas viktgittret för ${\ mathfrak {g}}$ , betecknad med $P({\mathfrak {g}})$ .

Figuren visar exemplet på Lie-algebra sl(3,C), vars rotsystem är $A_{2}$ rotsystem. Det finns två enkla rötter, $\gamma _{1}$ och $\gamma _{2}$ . Den första grundvikten, $\omega _{1}$ , bör vara ortogonal mot $\gamma _{2}$ och ska projicera ortogonalt till hälften av $\gamma _{ 1}$ , och på liknande sätt för $\omega _{2}$ . Viktgittret är då det triangulära gittret.

Antag nu att Lie-algebra ${\mathfrak {g}}$ är Lie-algebra för en Lie-grupp G . Sedan säger vi att $\lambda \in {\mathfrak {h}}_{0}$ är analytiskt integral ( G-integral ) om för varje t i ${\mathfrak {h}}$ så att $\exp(t)=1\i G$ vi har $\langle \lambda ,t\rangle \ i 2\pi i\mathbf {Z}$ . Anledningen till att göra denna definition är att om en representation av ${\mathfrak {g}}$ uppstår från en representation av G , så kommer vikterna av representationen att vara G -integral. För G semisimple är mängden av alla G -integralvikter ett subgitter P ( G ) ⊂ P ( ${\displaystyle {\mathfrak {g}}} )$ . Om G helt enkelt är ansluten är P ( G ) = P ( ${\displaystyle {\mathfrak {g}}} )$ . Om G inte bara är ansluten, så är gittret P ( G ) mindre än P ( ${\mathfrak {g}}$ ) och deras kvot är isomorf till grundgruppen av G .

Delordning på vikternas utrymme

Om de positiva rötterna är

\alpha _{1}

,

\alpha _{2}

och

\alpha _{3}

är det skuggade området uppsättning punkter högre än

\lambda

Vi introducerar nu en partiell ordning på mängden vikter, som kommer att användas för att formulera satsen för den högsta vikten som beskriver representationerna av g . Kom ihåg att R är uppsättningen rötter; vi fixar nu en uppsättning $R^{+}$ med positiva rötter .

Betrakta två element $\mu$ och $\lambda$ av ${\mathfrak {h}}_{0}$ . Vi är främst intresserade av fallet där $\mu$ och $\lambda$ är integral, men detta antagande är inte nödvändigt för den definition vi ska introducera. Vi säger då att $\mu$ är högre än $\lambda$ , vilket vi skriver som $\mu \succeq \lambda$ , om $\mu - \lambda$ kan uttryckas som en linjär kombination av positiva rötter med icke-negativa reella koefficienter. Detta betyder ungefär att "högre" betyder i de positiva rötternas riktningar. Vi säger på samma sätt att $\lambda$ är "lägre" än $\mu$ , som vi skriver som $\lambda \preceq \mu$ .

Detta är endast en delbeställning ; det kan lätt hända att $\mu$ varken är högre eller lägre än $\lambda$ .

Dominant vikt

Ett integralelement λ är dominant om $\langle \lambda ,\gamma \rangle \geq 0$ för varje positiv rot γ . På motsvarande sätt är λ dominant om det är en icke-negativ heltalskombination av de fundamentala vikterna. I $A_{2}$ lever de dominerande integralelementen i en 60-graderssektor. Uppfattningen att vara dominant är inte detsamma som att vara högre än noll. Observera att det grå området i bilden till höger är en 120-graderssektor, strikt innehållande den 60-graderssektor som motsvarar de dominerande integralelementen.

Mängden av alla λ (inte nödvändigtvis integral) så att $\langle \lambda ,\gamma \rangle \geq 0$ är känd som den fundamentala Weyl-kammaren associerad med den givna uppsättningen positiva rötter.

Sats om högsta vikt

En vikt $\lambda$ av en representation $V$ av ${\mathfrak {g}}$ kallas en högsta vikt om varannan vikt av $V$ är lägre än $\lambda$ .

Teorin som klassificerar de finita dimensionella irreducerbara representationerna av ${\mathfrak {g}}$ är med hjälp av en "sats med högsta vikt." Teoremet säger det

(1) varje irreducerbar (ändlig-dimensionell) representation har en högsta vikt,

(2) den högsta vikten är alltid ett dominant, algebraiskt integrerat element, (

3) två irreducerbara representationer med samma högsta vikt är isomorfa, och

(4) varje dominant, algebraiskt integrerat element är den högsta vikten av en irreducerbar representation.

Den sista punkten är den svåraste; representationerna kan konstrueras med hjälp av Verma-moduler .

Modul med högsta vikt

En representation (inte nödvändigtvis ändlig dimensionell) V av ${\mathfrak {g}}$ kallas modul med högst vikt om den genereras av en viktvektor v ∈ V som förstörs av verkan av alla positiva rotrum in ${\mathfrak {g}}$ . Varje irreducerbar ${\mathfrak {g}}$ -modul med högst vikt är nödvändigtvis en modul med högst vikt, men i det oändliga dimensionsfallet behöver en modul med högst vikt inte vara irreducerbar. För varje $\lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}$ —inte nödvändigtvis dominant eller integral — finns det en unik (upp till isomorfism) enkel högst vikt ${ \mathfrak {g}}$ -modul med högsta vikt λ, som betecknas L (λ), men denna modul är oändlig dimensionell om inte λ är dominant integral. Det kan visas att varje högst viktmodul med högst vikt λ är en kvot av Verma-modulen M (λ). Detta är bara en omformulering av universalitetsegenskapen i definitionen av en Verma-modul.

Varje ändlig dimensionell högviktsmodul är irreducerbar.

Se även

Anteckningar

Fulton, William ; Harris, Joe (1991). Representationsteori. En första kurs . Graduate Texts in Mathematics , Readings in Mathematics. Vol. 129. New York: Springer-Verlag. doi : 10.1007/978-1-4612-0979-9 . ISBN 978-0-387-97495-8 . MR 1153249 . OCLC 246650103 . .
Goodman, Roe; Wallach, Nolan R. (1998), Representations and Invariants of the Classical Groups , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-66348-9 .
Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction , Graduate Texts in Mathematics, vol. 222 (andra upplagan), Springer, ISBN 978-3319134666
Humphreys, James E. (1972a), Introduction to Lie Algebras and Representation Theory , Birkhäuser, ISBN 978-0-387-90053-7 .
Humphreys, James E. (1972b), Linear Algebraic Groups , Graduate Texts in Mathematics, vol. 21, Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90108-4 , MR 0396773
Knapp, Anthony W. (2002), Lie Groups Beyond an Introduction (2nd ed.), Birkhäuser, ISBN 978-0-8176-4259-4 .