Projektion (linjär algebra)

"Ortogonal projektion" omdirigerar här. För det tekniska ritningskonceptet, se Ortografisk projektion . För en konkret diskussion av ortogonala projektioner i ändligdimensionella linjära utrymmen, se Vektorprojektion .

Transformationen P är den ortogonala projektionen på linjen m .

I linjär algebra och funktionell analys är en projektion en linjär transformation $P$ från ett vektorrum till sig självt (en endomorphism ) så att $P\circ P=P$ . Det vill säga, närhelst $P$ tillämpas två gånger på vilken vektor som helst, ger det samma resultat som om det tillämpades en gång (dvs $P$ är idempotent ). Den lämnar sin bild oförändrad. Denna definition av "projektion" formaliserar och generaliserar idén om grafisk projektion . Man kan också överväga effekten av en projektion på ett geometriskt objekt genom att undersöka effekten av projektionen på punkter i objektet.

Definitioner

En projektion på ett vektorrum $V$ är en linjär operator $P:V\to V$ så att $P^{2}=P$ .

När $V$ har en inre produkt och är komplett (dvs. när $V$ är ett Hilbertrum ) kan begreppet ortogonalitet användas. En projektion $P$ på ett Hilbert-utrymme $V$ kallas en ortogonal projektion om den uppfyller $\langle P\mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =\langle \mathbf {x} ,P\mathbf {y} \rangle$ för alla $\mathbf {x} ,\mathbf {y} \in V$ . En projektion på ett Hilbertrum som inte är ortogonalt kallas en snedprojektion .

Projektionsmatris

• I det finita dimensionella fallet kallas en kvadratisk matris ${\displaystyle P} en$ projektionsmatris om den är lika med sin kvadrat, dvs om $P^{2}=P$ .
• En kvadratisk matris $P$ kallas en ortogonal projektionsmatris om $P^{2}=P=P^{\mathrm {T} }$ för en reell matris , och respektive $P^{2}=P=P^{*}$ för en komplex matris, där $P^{\mathrm {T} }$ anger transponeringen av $P$ och $P^{*}$ anger den adjoint eller hermitiska transponeringen av $P$ .
• En projektionsmatris som inte är en ortogonal projektionsmatris kallas en snedprojektionsmatris .

Egenvärdena för en projektionsmatris måste vara 0 eller 1 .

Exempel

Ortogonal projektion

Till exempel, funktionen som mappar punkten $(x,y,z)$ i tredimensionellt utrymme $\mathbb {R} ^{3}$ till punkten $(x,y,0)$ är en ortogonal projektion på xy -planet. Denna funktion representeras av matrisen

$$P={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{bmatrix}}.$$

Verkan av denna matris på en godtycklig vektor är

$$P{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x\\y\\0\end{bmatrix}}.$$

För att se att $P$ verkligen är en projektion, dvs $P=P^{2}$ , beräknar vi

$$P^{2}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}=P{\begin{bmatrix}x\\y\\0\end{bmatrix}}={ \begin{bmatrix}x\\y\\0\end{bmatrix}}=P{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}.$$

Att observera att $P^{\mathrm {T} }=P$ visar att projektionen är en ortogonal projektion.

Sned projektion

Ett enkelt exempel på en icke-ortogonal (sned) projektion är

$$P={\begin{bmatrix}0&0\\\alpha &1\end{bmatrix}}.$$

Via matrismultiplikation ser man det

$$P^{2}={\begin{bmatrix}0&0\\\alpha &1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&0\\\alpha &1\end{bmatrix}}={\begin{ bmatrix}0&0\\\alpha &1\end{bmatrix}}=P.$$

visar att $P$ verkligen är en projektion.

Projektionen $P$ är ortogonal om och endast om $\alpha =0$ eftersom endast då $P^{\mathrm {T} }=P.$

Egenskaper och klassificering

Transformationen T är projektionen längs k på m . Området för T är m och nollutrymmet är k .

Idempotens

är en projektion $P$ idempotent (dvs ${\displaystyle P^{2}=P} )$ .

Öppna kartan

Varje projektion är en öppen karta , vilket betyder att den mappar varje öppen uppsättning i domänen till en öppen uppsättning i bildens subrymdstopologi . Det vill säga för vilken vektor som helst $\mathbf {x}$ och vilken boll som helst $B_{\mathbf {x} }$ (med positiv radie) centrerad på $\mathbf {x}$ , det finns en boll $B_{P\mathbf {x} }$ (med positiv radie) centrerad på $P\mathbf {x}$ som helt och hållet ingår i bild $P(B_{\mathbf {x} })$ .

Komplementaritet av bild och kärna

Låt $W$ vara ett ändligt dimensionellt vektorrum och $P$ vara en projektion på $W$ . Antag att delrymden $U$ och $V$ är bilden och kärnan av $P$ respektive. Då $P$ följande egenskaper:

1. $P$ är identitetsoperatorn $I$ på $U$ :
   $$\forall \mathbf {x} \in U:P\mathbf {x} =\mathbf {x} .$$
2. Vi har en direkt summa $W=U\oplus V$ . Varje vektor $\mathbf {x} \in W$ kan dekomponeras unikt som $\mathbf {x} =\mathbf {u} +\mathbf {v}$ med $\mathbf {u} =P\mathbf {x}$ och $\mathbf {v} =\mathbf {x} -P\ mathbf {x} =\left(IP\right)\mathbf {x}$ , och där $\mathbf {u} \in U,\mathbf {v} \in V.$

Bilden och kärnan i en projektion är komplementära , liksom $P$ och $Q=IP$ . Operatören $Q$ är också en projektion eftersom bilden och kärnan av $P$ blir kärnan och bilden av $Q$ och vice versa. Vi säger att $P$ är en projektion längs $V$ på $U$ (kärna/bild) och $Q$ är en projektion längs $U$ på ${ \displaystyle V}$ .

Spektrum

I oändligt dimensionella vektorutrymmen finns spektrumet för en projektion i $\{0,1\}$ som

$$(\lambda IP)^{-1}={\frac {1}{\lambda }}I+{\frac {1}{\lambda (\lambda -1)}}P.$$

Endast 0 eller 1 kan vara ett egenvärde för en projektion. Detta innebär att en ortogonal projektion $P$ alltid är en positiv semidefinitiv matris . I allmänhet är motsvarande egenutrymmen (respektive) kärnan och omfånget för projektionen. Nedbrytning av ett vektorrum till direkta summor är inte unikt. Därför, givet ett underutrymme $V$ , kan det finnas många projektioner vars intervall (eller kärna) är $V$ .

Om en projektion är icke-trivial har den ett minimalt polynom ${\displaystyle x^{2}-x=x(x-1)} ,$ vilket faktorer in i distinkta linjära faktorer, och därmed ${ \displaystyle P}$ är diagonaliserbar .

Produkt av projektioner

Produkten av projektioner är i allmänhet inte en projektion, även om de är ortogonala. Om två projektioner pendlar så är deras produkt en projektion, men det omvända är falskt: produkten av två icke-pendlingsprojektioner kan vara en projektion.

Om två ortogonala projektioner pendlar så är deras produkt en ortogonal projektion. Om produkten av två ortogonala projektioner är en ortogonal projektion, så pendlar de två ortogonala projektionerna (mer allmänt: två självadjointa endomorfismer pendlar om och endast om deras produkt är självadjoint).

Ortogonala projektioner

Huvudartiklar: Hilberts projektionssats och kompletterat delrum

När vektorrymden $W$ har en inre produkt och är komplett (är ett Hilbert-utrymme ) kan begreppet ortogonalitet användas. En ortogonal projektion är en projektion för vilken området $U$ och nollutrymmet $V$ är ortogonala delrum . Således, för varje $\mathbf {x}$ och $\mathbf {y}$ i $W$ , $\langle P\mathbf {x} ,(\mathbf {y} -P\mathbf {y} )\rangle =\langle (\mathbf {x} -P\mathbf {x } ),P\mathbf {y} \rangle =0$ . Motsvarande:

$$\langle \mathbf {x} ,P\mathbf {y} \rangle =\langle P\mathbf {x} ,P\mathbf {y} \rangle =\langle P\mathbf {x} ,\mathbf { y} \rangle .$$

En projektion är ortogonal om och endast om den är självadjoint . Genom att använda de självtillslutande och idempotenta egenskaperna för $P$ , för alla $\mathbf {x}$ och $\mathbf {y}$ i $W$ har vi $P\mathbf {x} \in U$ , ${\displaystyle \mathbf {y} -P\mathbf {y} \in V} ,$ och

$$\langle P\mathbf {x} ,\mathbf {y} -P\mathbf {y} \rangle =\ langle \mathbf {x} ,\left(PP^{2}\right)\mathbf {y} \rangle =0$$

där $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ är den inre produkten associerad med $W$ . Därför $P$ och $IP$ ortogonala projektioner. Den andra riktningen, nämligen att om $P$ är ortogonal så är den självadjoint, följer av implikationen från $\langle (\mathbf {x} -P\mathbf {x} ),P\mathbf {y} \rangle =\langle P\mathbf {x} ,(\mathbf {y} -P\mathbf { y} )\rangle =0$ till

$$\langle \mathbf {x} ,P\mathbf {y} \rangle =\ langle P\mathbf {x} ,P\mathbf {y} \rangle =\langle P\mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =\langle \mathbf {x} ,P^{*}\mathbf { y} \rangle$$

för varje $x$ och $y$ i $W$ ; alltså $P=P^{*}$ .

Bevis på existens

Låt $H$ vara ett komplett metriskt utrymme med en inre produkt , och låt $U$ vara ett slutet linjärt delrum av $H$ (och därmed komplett också).

För varje $\mathbf {x}$ följer följande uppsättning icke-negativa norm -värden $\{\|\mathbf {x} -\mathbf {u } \|:\mathbf {u} \in U\}$ har ett infimum , och på grund av fullständigheten av $U$ är det ett minimum . Vi definierar $P\mathbf {x}$ som den punkt i $U$ där detta minimum erhålls.

Uppenbarligen är $P\mathbf {x}$ i $U$ . Det återstår att visa att $P\mathbf {x}$ uppfyller $\langle \mathbf {x} -P\mathbf {x} ,P\mathbf { x} \rangle =0$ och att den är linjär.

Låt oss definiera $\mathbf {a} =\mathbf {x} -P\mathbf {x}$ . För varje $\mathbf {v}$ som inte är noll i $U$ gäller följande:

$$\left\|\mathbf {a} -{\frac {a} -{\frac \mathbf {a} ,\mathbf {v} \rangle }{\|\mathbf {v} \|^{2}}}\mathbf {v} \right\|^{2}=\|\mathbf {a } \|^{2}-{\frac {{\langle \mathbf {a} ,\mathbf {v} \rangle }^{2}}{\|\mathbf {v} \|^{2}}}$$

Genom att definiera $\mathbf {w} =P\mathbf {x} +{\frac {\langle \mathbf {a} ,\mathbf {v} \rangle }{\|\mathbf {v} \|^{2}}}\mathbf {v}$ vi ser att ${\displaystyle \|\mathbf {x} -\mathbf {w} \|<\|\mathbf {x} -P\mathbf {x} \|} om inte ⟨$ a $displaystyle \langle \mathbf {a} ,\mathbf {v} \rangle }$ försvinner. Eftersom $P\mathbf {x}$ valdes som minimum av den tidigare nämnda uppsättningen, följer det att $\langle \mathbf {a} ,\mathbf {v} \rangle$ verkligen försvinner. Speciellt (för $\mathbf {y} =P\mathbf {x}$ ): $\langle \mathbf {x} -P\ mathbf {x} ,P\mathbf {x} \rangle =0$ .

Linjäritet följer av försvinnandet av $\langle \mathbf {x} -P\mathbf {x} ,\mathbf {v} \rangle$ för varje $\mathbf {v} \in U$ :

$$\langle \left(\mathbf {x} +\mathbf {y} \right)-P\left(\mathbf {x} + \mathbf {y} \right),\mathbf {v} \rangle =0$$

$$\langle \left(\mathbf {x} -P\mathbf {x} \right)+\left(\mathbf {y} -P\mathbf {y} \right),\mathbf {v} \rangle =0$$

Genom att ta skillnaden mellan de ekvationer vi har

$$\langle P\mathbf {x} +P\mathbf {y} -P\left(\mathbf {x} +\mathbf {y } \right),\mathbf {v} \rangle =0$$

Men eftersom vi kan välja $\mathbf {v} =P\mathbf {x} +P\mathbf {y} -P(\mathbf {x} + \mathbf {y} )$ (som det är sig självt i $U$ ) det följer att $P\mathbf {x} +P\mathbf {y } =P(\mathbf {x} +\mathbf {y} )$ . På liknande sätt har vi $\lambda P\mathbf {x} =P(\lambda \mathbf {x} )$ för varje skalär $\lambda$ .

Fastigheter och specialfall

En ortogonal projektion är en avgränsad operator . Detta beror på att för varje $\mathbf {v}$ i vektorrummet vi har, av Cauchy–Schwarz-olikheten :

$$\left\|P\mathbf {v} \right\|^{2} =\langle P\mathbf {v} ,P\mathbf {v} \rangle =\langle P\mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle \leq \left\|P\mathbf {v} \right\ |\cdot \left\|\mathbf {v} \right\|$$

Således $\left\|P\mathbf {v} \right\|\leq \left\|\mathbf {v} \right\|$ .

För ändligdimensionella komplexa eller reella vektorrum kan standardinre produkten ersätta $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ .

Formler

Ett enkelt fall uppstår när den ortogonala projektionen är på en linje. Om $\mathbf {u}$ är en enhetsvektor på linjen, så ges projektionen av den yttre produkten

$$P_{\mathbf {u} }=\mathbf {u} \mathbf {u} ^{\mathsf {T}}.$$

(Om $\mathbf {u}$ har ett komplext värde ersätts transponeringen i ovanstående ekvation med en hermitisk transponering). Denna operator lämnar u invariant, och den förstör alla vektorer ortogonala mot ${\displaystyle \mathbf {u} } ,$ vilket bevisar att det verkligen är den ortogonala projektionen på linjen som innehåller u . Ett enkelt sätt att se detta är att betrakta en godtycklig vektor $\mathbf {x}$ som summan av en komponent på linjen (dvs den projicerade vektorn vi söker) och en annan vinkelrät mot den, $\mathbf {x} =\mathbf {x} _{\parallel }+\mathbf {x} _{\perp }$ . Att tillämpa projektion, vi får

$$P_{\mathbf {u} }\mathbf {x} =\mathbf {u} \mathbf {u} ^{\mathsf {T}}\mathbf {x} _{\parallel }+\mathbf {u} \mathbf {u} ^{\mathsf {T} }\mathbf {x} _{\perp }=\mathbf {u} \left(\operatörsnamn {sgn} \left(\mathbf {u} ^{\mathsf {T}}\mathbf {x} _{\parallel }\right)\left\|\mathbf {x} _{\parallel }\right\|\right)+\mathbf {u} \cdot \mathbf {0} =\mathbf {x} _{\parallel }$$

genom egenskaperna hos prickprodukten av parallella och vinkelräta vektorer.

Denna formel kan generaliseras till ortogonala projektioner på ett delrum med godtycklig dimension . Låt $\mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{k}$ vara en ortonormal bas för delrummet $U$ , med antag att heltal $k\geq 1$ , och låt $A$ beteckna matrisen $n\ gånger k$ vars kolumner är ${\ displaystyle \mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{k}} ,$ dvs $A={\begin{bmatrix}\mathbf { u} _{1}&\cdots &\mathbf {u} _{k}\end{bmatrix}}$ . Sedan ges projektionen av:

$$P_{A}=AA^{\mathsf {T}}$$

som kan skrivas om som

$$P_{A}=\sum _{i}\langle \mathbf {u} _{i},\cdot \rangle \mathbf {u} _{i}.$$

Matrisen $A^{\mathsf {T}}$ är den partiella isometrin som försvinner på det ortogonala komplementet av $U$ och $A$ är isometrin som bäddar in $U$ i det underliggande vektorutrymmet. Området för $P_{A}$ är därför det slutliga utrymmet för $A$ . Det är också tydligt att $AA^{\mathsf {T}}$ är identitetsoperatorn på $U$ .

Ortonormalitetstillståndet kan också släppas. Om ${\displaystyle \mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{k}} är$ en (inte nödvändigtvis ortonormal) bas med $k \geq 1$ och $A$ är matrisen med dessa vektorer som kolumner, då är projektionen:

$$P_{A}=A\left(A^{\mathsf {T}}A\right)^{-1}A^{\mathsf {T}}.$$

Matrisen $A$ bäddar fortfarande in $U$ i det underliggande vektorutrymmet men är inte längre en isometri i allmänhet. Matrisen $\left(A^{\mathsf {T}}A\right)^{-1}$ är en "normaliserande faktor" som återställer normen. Till exempel rank -1 operatorn $\mathbf {u} \mathbf {u} ^{\mathsf {T}}$ inte en projektion om $\left\ |\mathbf {u} \right\|\neq 1.$ Efter att ha dividerat med $\mathbf {u} ^{\mathsf {T}}\mathbf {u} =\ vänster\|\mathbf {u} \right\|^{2},$ får vi projektionen $\mathbf {u} \left(\mathbf {u} ^{ \mathsf {T}}\mathbf {u} \right)^{-1}\mathbf {u} ^{\mathsf {T}}$ på delutrymmet som spänns av $u$ .

I det allmänna fallet kan vi ha en godtycklig positiv bestämd matris $D$ som definierar en inre produkt $\langle x,y\rangle _{D}=y ^{\dolk }Dx$ , och projektionen $P_{A}$ ges av ${\textstyle P_{A }x=\operatörsnamn {argmin} _{y\in \operatörsnamn {intervall} (A)}\left\|xy\right\|_{D}^{2}}$ . Sedan

$$P_{A}=A\left(A^{\mathsf {T}}DA\right)^{-1}A^{\mathsf {T}}D.$$

När räckviddsutrymmet för projektionen genereras av en ram (dvs antalet generatorer är större än dess dimension), har formeln för projektionen formen: $P_{A}=AA^ {+}$ . Här står ${\displaystyle A^{+}} för$ Moore–Penrose-pseudoinversen . Detta är bara ett av många sätt att konstruera projektionsoperatören.

Om ${\begin{bmatrix}A&B\end{bmatrix}}$ är en icke-singular matris och $A^{\mathsf {T}}B=0$ ( dvs $B$ är nollrymdsmatrisen för $A$ ), följande gäller:

$${ \begin{aligned}I&={\begin{bmatrix}A&B\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A&B\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}A^{\mathsf { T}}\\B^{\mathsf {T}}\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}A^{\mathsf {T}}\\B^{\mathsf {T} }\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}A&B\end{bmatrix}}\left({\begin{bmatrix}A^{\mathsf {T}}\\B^{\mathsf { T}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A&B\end{bmatrix}}\right)^{-1}{\begin{bmatrix}A^{\mathsf {T}}\\B^{ \mathsf {T}}\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}A&B\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A^{\mathsf {T}}A&O\\O&B^{ \mathsf {T}}B\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}A^{\mathsf {T}}\\B^{\mathsf {T}}\end{bmatrix}} \\[4pt]&=A\left(A^{\mathsf {T}}A\right)^{-1}A^{\mathsf {T}}+B\left(B^{\mathsf {T) }}B\right)^{-1}B^{\mathsf {T}}\end{aligned}}$$

Om det ortogonala tillståndet förbättras till $A^{\mathsf {T}}WB=A^{\mathsf {T}}W^{\mathsf {T}} B=0$ med $W$ icke-singular, gäller följande:

$$I={\begin{bmatrix}A&B\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\left(A^{\mathsf {T}}WA\right)^{-1}A^{\mathsf {T}}\\\left(B^{\mathsf {T}}WB\right)^{-1}B^{\mathsf {T}}\end{bmatrix}}W.$$

Alla dessa formler gäller även för komplexa inre produktutrymmen, förutsatt att den konjugerade transponeringen används istället för transponeringen. Ytterligare detaljer om summor av projektorer finns i Banerjee och Roy (2014). Se även Banerjee (2004) för tillämpning av summor av projektorer i grundläggande sfärisk trigonometri .

Sned projektioner

Termen sneda projektioner används ibland för att hänvisa till icke-ortogonala projektioner. Dessa projektioner används också för att representera rumsliga figurer i tvådimensionella ritningar (se snedprojektion ), dock inte lika ofta som ortogonala projektioner. Medan beräkning av det anpassade värdet av en vanlig minsta kvadratregression kräver en ortogonal projektion, kräver beräkning av det anpassade värdet för en instrumentell variabelregression en snedprojektion.

Projektioner definieras av deras nollutrymme och basvektorerna som används för att karakterisera deras intervall (som är komplementet till nollutrymmet). När dessa basvektorer är ortogonala mot nollrummet, är projektionen en ortogonal projektion. När dessa basvektorer inte är ortogonala mot nollrummet är projektionen en snedprojektion, eller bara en allmän projektion.

En matrisrepresentationsformel för en projektionsoperator som inte är noll

Låt $P$ vara en linjär operator $P:V\to V$ så att $P^{2}=P$ och antag att $P:V\to V$ är inte nolloperatorn. Låt vektorerna $\mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{k}$ utgöra en grund för projektionens räckvidd, och sätt ihop dessa vektorer i $n\times k$ matrisen $A$ . Därför är heltal $k\geq 1$ , annars är $k=0$ och $P$ nolloperatorn. Området och nollutrymmet är komplementära mellanslag, så nollutrymmet har dimensionen $nk$ . Det följer att det ortogonala komplementet av nollutrymmet har dimensionen $k$ . Låt $\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{k}$ utgöra en grund för det ortogonala komplementet av projektionens nollrum, och sätt ihop dessa vektorer i matrisen $B$ . Då ges projektionen $P$ (med villkoret ${\displaystyle k\geq 1} ) av$

$$P=A\left(B^{\mathsf {T}}A\right)^{-1}B^{\mathsf {T}}.$$

Detta uttryck generaliserar formeln för ortogonala projektioner som ges ovan. Ett standardbevis för detta uttryck är följande. För vilken vektor som helst $\mathbf {x}$ i vektorrymden $V$ kan vi dekomponera $\mathbf {x} =\mathbf {x} _{ 1}+\mathbf {x} _{2}$ , där vektor $\mathbf {x} _{1}=P(\mathbf {x} )$ finns i bilden av $P$ , och vektor $\mathbf {x} _{2}=\mathbf {x} -P(\mathbf {x} )$ . Så $P(\mathbf {x} _{2})=P(\mathbf {x} )-P^{2}(\ mathbf {x} )=\mathbf {0}$ , och sedan är $\mathbf {x} _{2}$ i nollutrymmet för $P$ . Med andra ord, vektorn $\mathbf {x} _{1}$ finns i kolumnutrymmet för $A$ , så $\mathbf {x} _{ 1}=A\mathbf {w}$ för vissa $k$ dimensionsvektor $\mathbf {w}$ och vektorn $\mathbf {x} _{2}$ uppfyller $B^{\mathsf {T}}\mathbf {x} _{2}=\mathbf {0}$ genom konstruktionen av $B$ . Sätt ihop dessa villkor och vi hittar en vektor $\mathbf {w}$ så att $B^{\mathsf {T}}(\mathbf {x} - A\mathbf {w} )=\mathbf {0}$ . Eftersom matriserna $A$ och $B$ har full rang $k$ genom sin konstruktion, $k\times k$ -matrisen $B ^{\mathsf {T}}A$ är inverterbar. Så ekvationen $B^{\mathsf {T}}(\mathbf {x} -A\mathbf {w} )=\mathbf {0}$ ger vektorn ${\displaystyle \mathbf {w} =(B^{\mathsf {T}}A)^{-1}B^{\mathsf {T}}\mathbf {x} .} På detta sätt$ , $P\mathbf {x} =\mathbf {x} _{1}=A\mathbf {w} =A(B^{\mathsf {T}}A)^{-1}B^{\mathsf {T}}\mathbf {x}$ för vilken vektor som helst $\mathbf {x} \in V$ och därmed $P=A(B^{\mathsf {T}}A)^{-1}B^{\mathsf {T}}$ .

I det fall $P$ är en ortogonal projektion kan vi ta ${\displaystyle A=B} ,$$P= A\left(A^{\mathsf {T}}A\right)^{-1}A^{\mathsf {T}}$ det följer att . Genom att använda denna formel kan man enkelt kontrollera att $P=P^{\mathsf {T}}$ . I allmänhet, om vektorrymden är över komplexa talfält, använder man den hermitiska transponeringen $A^{*}$ och har formeln $P =A\left(A^{*}A\right)^{-1}A^{*}$ . Kom ihåg att man kan definiera Moore–Penrose-inversen av matrisen $A$ med $A^{+}=(A^{*}A)^ {-1}A^{*}$ eftersom $A$ har full kolumnrankning, så $P=AA^{+}$ .

Singular värden

Observera att $IP$ också är en snedprojektion. Singularvärdena för $P$ och $IP$ kan beräknas på en ortonormal basis av $A$ . Låt $Q_{A}$ vara en ortonormal bas för $A$ och låt $Q_{A}^{\perp }$ vara det ortogonala komplementet till $Q_{A}$ . Beteckna singularvärdena för matrisen $Q_{A}^{T}A(B^{T}A)^{-1}B^ {T}Q_{A}^{\perp }$ med de positiva värdena $\gamma _{1}\geq \gamma _{2}\geq \ldots \geq \gamma _{k}$ . Med detta är singularvärdena för ${\displaystyle P} :$

$$\sigma _{i}={\begin{cases}{\sqrt {1+\gamma _{i}^{2}}}&1 \leq i\leq k\\0&{\text{annars}}\end{fall}}$$

och singularvärdena för $IP$ är

$$\sigma _{i}={\begin{cases}{\sqrt {1+\gamma _ {i}^{2}}}&1\leq i\leq k\\1&k+1\leq i\leq nk\\0&{\text{annars}}\end{cases}}$$

Detta innebär att de största singularvärdena för $P$ och $IP$ är lika, och därmed att matrisnormen för de sneda projektionerna är densamma. Villkorsnumret uppfyller dock relationen ${\displaystyle \kappa (IP)={\frac {\sigma _{1}}{1 }}\geq {\frac {\sigma _{1}}{\sigma _{k}}}=\kappa (P)} ,$ och är därför inte nödvändigtvis lika.

Hitta projektion med en inre produkt

Låt $V$ vara ett vektorrum (i detta fall ett plan) som sträcks av ortogonala vektorer $\mathbf {u} _{1},\mathbf {u} _{2},\dots ,\mathbf {u} _{p}$ . Låt $y$ vara en vektor. Man kan definiera en projektion av $\mathbf {y}$ på $V$ som

$$\operatorname {proj} _{V}\mathbf {y} ={\frac {\mathbf {y} \cdot \mathbf {u} ^{i}}{\mathbf {u} ^{i}\cdot \mathbf {u} ^{i}}}\mathbf {u} ^{i}$$

där upprepade index summeras ( Einstein sumnotation ). Vektorn $\mathbf {y}$ kan skrivas som en ortogonal summa så att $\mathbf {y} =\operatörsnamn {proj} _{V}\mathbf { y} +\mathbf {z}$ . $\operatorname {proj} _{V}\mathbf {y}$ betecknas ibland som ${\hat {\mathbf {y} }}$ . Det finns ett teorem i linjär algebra som säger att denna $\mathbf {z}$ är det minsta avståndet (det ortogonala avståndet ) från $\mathbf {y}$ till $V$ och är används ofta inom områden som maskininlärning .

y projiceras på vektorrummet V .

Kanoniska former

Varje projektion $P=P^{2}$ på ett vektorrum med dimensionen $d$ över ett fält är en diagonaliserbar matris , eftersom dess minimala polynom delar $x ^{2}-x$ , som delas upp i distinkta linjära faktorer. Det finns alltså en grund där $P$ har formen

$P=I_{r}\oplus 0_{dr}$

där $r$ är rangordningen för $P$ . Här är $I_{r}$ identitetsmatrisen för storlek $r$ , $0_{dr}$ är nollmatrisen för storlek $dr$ , och $\oplus$ är den direkta summaoperatorn . Om vektorrymden är komplex och utrustad med en inre produkt , så finns det en ortonormal bas där matrisen för P är

$P={\begin{bmatrix}1&\sigma _{1}\\0&0\end{bmatrix}}\oplus \cdots \oplus {\begin{bmatrix}1&\sigma _{k}\\0&0\ end{bmatrix}}\oplus I_{m}\oplus 0_{s}.$

där $\sigma _{1}\geq \sigma _{2}\geq \dots \geq \sigma _{k}>0$ . Heltalen k $k,s,m$ och de reella talen $\sigma _{i}$ unikt bestämda. Observera att $2k+s+m=d$ . Faktorn $I_{m}\oplus 0_{s}$ motsvarar det maximala invarianta delutrymmet på vilket $P$ fungerar som en ortogonal projektion (så att P själv är ortogonal om och endast om $k=0$ ) och $\sigma _{i}$ -blocken motsvarar de sneda komponenterna.

Projektioner på normerade vektorrum

När det underliggande vektorutrymmet $X$ är ett (inte nödvändigtvis finitdimensionellt) normerat vektorrum , måste analytiska frågor, irrelevanta i det finitdimensionella fallet, övervägas. Antag nu att $X$ är ett Banach-mellanslag .

Många av de algebraiska resultaten som diskuterats ovan överlever passagen till detta sammanhang. En given direkt summauppdelning av $X$ till komplementära delrum specificerar fortfarande en projektion, och vice versa. Om $X$ är den direkta summan $X=U\oplus V$ , då är operatorn definierad av $P(u+v)= u$ är fortfarande en projektion med intervall $U$ och kärna $V$ . Det är också tydligt att $P^{2}=P$ . Omvänt, om $P$ är projektion på $X$ , dvs $P^{2}=P$ , då kan det enkelt verifieras att $(1-P)^{2}=(1-P)$ . Med andra ord, $1-P$ är också en projektion. Relationen $P^{2}=P$ innebär $1=P+(1-P)$ och $X$ är den direkta summan $\operatorname {rg} (P)\oplus \operatorname {rg} (1-P)$ .

Emellertid, i motsats till det finita dimensionella fallet, behöver projektioner inte vara kontinuerliga i allmänhet. Om ett delutrymme $U$ av $X$ inte är stängt i normtopologin, är projektionen på $U$ inte kontinuerlig. Med andra ord måste området för en kontinuerlig projektion $P$ vara ett slutet delrum. Dessutom är kärnan i en kontinuerlig projektion (i själva verket en kontinuerlig linjär operator i allmänhet) stängd. Således ger en kontinuerlig projektion $P$ en nedbrytning av $X$ i två komplementära slutna delrum: $X=\operatörsnamn {rg} (P)\oplus \ker(P)=\ker(1-P)\oplus \ker(P)$ .

Det omvända gäller också, med ett ytterligare antagande. Antag att $U$ är ett slutet delrum av $X$ . Om det finns ett slutet delrum $V$ så att X = U ⊕ V , så är projektionen $P$ med intervallet $U$ och kärnan $V$ kontinuerlig. Detta följer av den slutna grafsatsen . Antag att x _n → x och Px _n → y . Man måste visa att $Px=y$ . Eftersom $U$ är stängd och { Px _n } ⊂ U , ligger y i $U$ , dvs Py = y . Även xn _n − Px ₌ ( I − P ) x _n → x − y . Eftersom $V$ är stängd och {( I − P ) x _n } ⊂ V , har vi $xy\in V$ , dvs ${\displaystyle P(xy)=Px-Py=Px-y=0} ,$ vilket bevisar påståendet.

Ovanstående argument använder sig av antagandet att både $U$ och $V$ är stängda. I allmänhet, givet ett slutet delrum $U$ , behöver det inte existera ett komplementärt slutet delrum $V$ , även om detta för Hilbert-utrymmen alltid kan göras genom att ta det ortogonala komplementet . För Banach-rum har ett endimensionellt delrum alltid ett slutet komplementärt delrum. Detta är en omedelbar konsekvens av Hahn–Banachs sats . Låt $U$ vara det linjära spannet av $u$ . Enligt Hahn–Banach finns det en avgränsad linjär funktionell $\varphi$ så att φ ( u ) = 1 . Operatorn $P(x)=\varphi (x)u$ uppfyller $P^{2}=P$ , dvs det är en projektion. Avgränsning av $\varphi$ innebär kontinuitet av $P$ och därför $\ker(P)=\operatörsnamn {rg} (IP)$ är ett slutet komplementärt delrum till $U$ .

Ansökningar och ytterligare överväganden

Projektioner (ortogonala och andra) spelar en viktig roll i algoritmer för vissa linjära algebraproblem:

• QR-nedbrytning (se Hushållaromvandling och Gram–Schmidt-nedbrytning );
• Singulärvärdesfaktorisering
• Reduktion till Hessenberg -form (det första steget i många egenvärdealgoritmer )
• Linjär regression
• Projektiva element i matrisalgebror används i konstruktionen av vissa K-grupper i Operator K-teorin

Som nämnts ovan är projektioner ett specialfall av idempotenta. Analytiskt är ortogonala projektioner icke-kommutativa generaliseringar av karakteristiska funktioner . Idempotenter används för att klassificera, till exempel, semisimpla algebror , medan måttteori börjar med att beakta karakteristiska funktioner för mätbara mängder . Därför, som man kan föreställa sig, påträffas projektioner mycket ofta i samband med operatoralgebror . I synnerhet genereras en von Neumann-algebra av dess kompletta gitter av projektioner.

Generaliseringar

Mer generellt, givet en karta mellan normerade vektorrum $T\colon V\to W,$ kan man analogt begära att denna karta ska vara en isometri på kärnans ortogonala komplement: att $(\ker T)^{\perp }\to W$ vara en isometri (jämför Partiell isometri ); i synnerhet måste det vara på . Fallet med en ortogonal projektion är när W är ett delrum av V. I Riemannsk geometri används detta i definitionen av en Riemannisk nedsänkning .

Se även

• Centreringsmatris , som är ett exempel på en projektionsmatris.
• Dykstras projektionsalgoritm för att beräkna projektionen på en skärningspunkt av mängder
• Invariant delrum
• Minsta kvadraters spektralanalys
• Ortogonalisering
• Egenskaper för spår

Anteckningar

•   Banerjee, Sudipto; Roy, Anindya (2014), Linjär algebra och matrisanalys för statistik , Texter i statistisk vetenskap (1:a upplagan), Chapman och Hall/CRC, ISBN 978-1420095388
• Dunford, N.; Schwartz, JT (1958). Linjära operatorer, del I: Allmän teori . Intervetenskap.
•   Meyer, Carl D. (2000). Matrisanalys och tillämpad linjär algebra . Föreningen för industriell och tillämpad matematik. ISBN 978-0-89871-454-8 .

externa länkar

• på YouTube , från MIT OpenCourseWare
• på YouTube , av Pavel Grinfeld .
• Handledning för plana geometriska projektioner – en enkel handledning som förklarar de olika typerna av plana geometriska projektioner.