Fourier–Bros–Iagolnitzer-transform

Inom matematik är FBI -transformen eller Fourier-Bros-Iagolnitzer-transformen en generalisering av Fourier-transformen utvecklad av de franska matematiska fysikerna Jacques Bros och Daniel Iagolnitzer för att karakterisera den lokala analyticiteten av funktioner (eller distributioner ) på R ⁿ . Transformen ger ett alternativt tillvägagångssätt till analytiska vågfrontsuppsättningar av distributioner, utvecklade oberoende av de japanska matematikerna Mikio Sato , Masaki Kashiwara och Takahiro Kawai i deras tillvägagångssätt för mikrolokal analys . Det kan också användas för att bevisa analyticiteten hos lösningar av analytiska elliptiska partiella differentialekvationer samt en version av den klassiska unikhetssatsen, vilket stärker Cauchy–Kowalevski-satsen , på grund av den svenske matematikern Erik Albert Holmgren (1872–1943).

Definitioner

Fouriertransformen av en Schwartz-funktion f i S ( Rn ) ^definieras av

$({\mathcal {F}}f)(t)=(2\pi )^{-n/2}\int _{{\mathbf {R} }^{n}}f(x)e ^{-ix\cdot t}\,dx.$

FBI -transformen av f definieras för a ≥ 0 by

$({\mathcal {F}}_{a}f)(t,y)=(2\pi )^{-n/2}\int _{{\mathbf {R} }^{n} }f(x)e^{-a|xy|^{2}/2}e^{-ix\cdot t}\,dx.$

Sålunda, när a = 0, sammanfaller det väsentligen med Fouriertransformen.

Samma formler kan användas för att definiera Fourier- och FBI-transformerna av ^tempererade distributioner i S' ( Rn ).

Inversionsformel

Fourier -inversionsformeln

$f(x)={\mathcal {F}}^{2}f(-x)$

tillåter en funktion f att återställas från dess Fouriertransform.

Särskilt

$f(x)=(2\pi )^{-n/2} \int _{{\mathbf {R} }^{n}}e^{it\cdot x}{\mathcal {F}}(f)(t)\,dt$

På liknande sätt, vid ett positivt värde av a , kan f (0) återvinnas från FBI-transformeringen av f ( x ) genom inversionsformeln

${\displaystyle f(x)=(2\pi )^{-n/2}\int _{{\mathbf {R} }^{$

Kriterium för lokal analys

Bros och Iagolnitzer visade att en fördelning f lokalt är lika med en reell analytisk funktion vid y , i riktningen ξ om och endast om dess FBI-transform uppfyller en olikhet i formen

$|({\mathcal {F}}_{|\xi |}f)(\xi ,y)|\leq Ce^{-\varepsilon |\xi |},$

för |ξ| tillräckligt stor.

Holmgrens unikhetssats

En enkel konsekvens av Bros och Iagolnitzers karakterisering av lokal analyticitet är följande regularitetsresultat av Lars Hörmander och Mikio Sato ( Sjöstrand (1982)) .

Sats. Låt P vara en elliptisk partiell differentialoperator med analytiska koefficienter definierade på en öppen delmängd X av Rn ^. Om Pf är analytisk i X så är det också f .

När "analytisk" ersätts med "smidig" i denna sats, är resultatet bara Hermann Weyls klassiska lemma om elliptisk regelbundenhet , vanligtvis bevisat med Sobolev-mellanslag (Warner 1983). Det är ett specialfall av mer generella resultat som involverar den analytiska vågfrontmängden (se nedan), som innebär Holmgrens klassiska förstärkning av Cauchy–Kowalevski-satsen på linjära partiella differentialekvationer med reella analytiska koefficienter. I modernt språk säger Holmgrens unika teorem att varje distributionslösning av ett sådant ekvationssystem måste vara analytisk och därför unik, enligt Cauchy–Kowalevski-satsen.

Den analytiska vågfronten

Den analytiska vågfrontmängden eller singulära spektrumet WF _A ( f ) för en fördelning f (eller mer allmänt för en hyperfunktion ) kan definieras i termer av FBI-transformen ( Hörmander (1983)) som komplementet till den koniska uppsättningen punkter ( x , λ ξ) (λ > 0) så att FBI-transformen uppfyller Bros–Iagolnitzer-ojämlikheten

$|({\mathcal {F}}_{|\xi |}f)(\xi ,y)|\leq Ce^{-\varepsilon |\xi |},$

för y den punkt vid vilken man skulle vilja testa för analyticitet, och | ξ | tillräckligt stor och pekar i den riktning man skulle vilja leta efter vågfronten, det vill säga den riktning i vilken singulariteten vid y , om den existerar, utbreder sig. JM Bony ( Sjöstrand (1982) , Hörmander (1983) ) bevisade att denna definition sammanföll med andra definitioner som införts oberoende av Sato, Kashiwara och Kawai och av Hörmander. Om P är en linjär differentialoperator av m :te ordningen med analytiska koefficienter

$P=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }(x)D^{\alpha },$

med huvudsymbol

$\sigma _{P}(x,\xi )=\summa _{|\alpha |=m}a_{\alpha }(x)\xi ^{\ alfa },$

och karakteristisk variation

${\rm {char}}\,P=\{(x,\xi ):\ xi \neq 0,\,\sigma _{P}(x,\xi )=0\},$

sedan

• $\operatorname {WF} _{A}(Pf)\subseteq \operatorname {WF} _{A}(f)$
• $\operatörsnamn {WF} _{A}(f)\subseteq \operatörsnamn {WF} _{A}(Pf)\cup \operatörsnamn {char} P.$

I synnerhet när P är elliptisk, char P = ø, så att

WFA ₍ Pf ) = _WFA ( f ) .

Detta är en förstärkning av den analytiska versionen av elliptisk regelbundenhet som nämnts ovan.

•   Folland, Gerald B. (1989), Harmonic Analysis in Phase Space , Annals of Mathematics Studies, vol. 122, Princeton University Press, ISBN 0-691-08528-5
•   Gårding, Lars (1998), Mathematics and Mathematicians: Mathematics in Sweden Before 1950 , American Mathematical Society , ISBN 0-8218-0612-2
•   Hörmander, Lars (1983), Analysis of Partial Differential Operators I , Springer-Verlag, ISBN 3-540-12104-8 (Kapitel 9.6, The Analytic Wavefront Set.)
• Iagolnitzer, Daniel (1975), Mikrolokalt väsentligt stöd för en distribution och lokala nedbrytningar – en introduktion. In Hyperfunctions and theoretical physics , Lecture Notes in Mathematics, vol. 449, Springer-Verlag, s. 121–132
•    Krantz, Steven ; Parks, Harold R. (1992), A Primer of Real Analytic Functions , Birkhäuser, ISBN 0-8176-4264-1 . 2:a uppl., Birkhäuser (2002), ISBN 0-8176-4264-1 .
• Sjöstrand, Johannes (1982), "Singularités analytiques microlocales. [Microlocal analytic singularities]", Astérisque , 95 : 1–166
•   Trèves, François (1992), Hypoanalytiska strukturer: Lokal teori , Princeton Mathematical Series, vol. 40, Princeton University Press, ISBN 0-691-08744-X (Kapitel 9, FBI Transform in a Hypo-Analytic Manifold.)
•   Warner, Frank (1983), Foundations of differential geometri and Lie groups , Graduate texts in mathematics, vol. 94, Springer-Verlag, ISBN 0-387-90894-3