Elementär abelisk grupp

I matematik , specifikt i gruppteorin , är en elementär abelisk grupp en abelisk grupp där alla andra element än identiteten har samma ordning. Denna gemensamma ordning måste vara ett primtal , och de elementära abelska grupperna där den gemensamma ordningen är p är en speciell typ av p -grupp . En grupp för vilken p = 2 (det vill säga en elementär abelsk 2-grupp) kallas ibland en boolesk grupp .

Varje elementär abelisk p -grupp är ett vektorrum över primfältet med p element, och omvänt är varje sådant vektorrum en elementär abelisk grupp. Genom klassificeringen av ändligt genererade abelska grupper , eller genom att varje vektorrum har en bas , måste varje ändlig elementär abelisk grupp ha formen ( Z / p Z ) ⁿ för n ett icke-negativt heltal (kallas ibland gruppens rang ). Här betecknar Z / p Z den cykliska gruppen av ordningen p (eller motsvarande heltal mod p ), och den upphöjda notationen betyder den n -faldiga direkta produkten av grupper .

I allmänhet är en (möjligen oändlig) elementär abelsk p -grupp en direkt summa av cykliska grupper av ordningen p . (Observera att i det finita fallet sammanfaller den direkta produkten och den direkta summan, men så är det inte i det oändliga fallet.)

I resten av den här artikeln antas alla grupper vara ändliga .

Exempel och egenskaper

Den elementära abelska gruppen ( Z /2 Z ) ² har fyra element: {(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)} . Addition utförs komponentvis, med resultatet modulo 2. Till exempel, (1,0) + (1,1) = (0,1) . Detta är i själva verket Klein fyra-gruppen .
I gruppen som genereras av den symmetriska skillnaden på en (inte nödvändigtvis ändlig) mängd, har varje element ordning 2. Varje sådan grupp är nödvändigtvis abelsk eftersom, eftersom varje element är sin egen invers, xy = ( xy ) ⁻¹ = y ⁻¹ x ⁻¹ = yx . En sådan grupp (även kallad en boolesk grupp) generaliserar Klein fyrgruppsexemplet till ett godtyckligt antal komponenter.
( Z / p Z ) ⁿ genereras av n element, och n är minsta möjliga antal generatorer. Speciellt är mängden { e ₁ , ..., e _n } , där e _i har en 1 i den i :te komponenten och 0 på andra ställen, en minimal genereringsmängd.
Varje elementär abelisk grupp har en ganska enkel finit presentation .

(\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} ) ^{n}\cong \langle e_{1},\ldots ,e_{n}\mid e_{i}^{p}=1,\ e_{i}e_{j}=e_{j}e_{i }\rangle

Vektor utrymme struktur

Antag att V $\cong$ ( Z / p Z ) ⁿ är en elementär abelsk grupp. Eftersom Z / p Z $\cong$ F _p , det finita fältet för p element, har vi V = ( Z / p Z ) ⁿ $\cong$ F _pⁿ , därför kan V betraktas som ett n - dimensionellt vektorrum över fältet Fp _. Observera att en elementär abelsk grupp i allmänhet inte har en distingerad grund: val av isomorfism V ${\displaystyle {\overset {\cong }{\to }}} ($ Z / p Z ) n ^motsvarar ett val av grund .

För den observanta läsaren kan det tyckas att F _pⁿ har mer struktur än gruppen V , i synnerhet att den har skalär multiplikation utöver (vektor/grupp) addition. V som en abelisk grupp har emellertid en unik Z - modulstruktur där verkan av Z motsvarar upprepad addition, och denna Z -modulstruktur är förenlig med F _p skalär multiplikation. Det vill säga c · g = g + g + ... + g ( c gånger) där c i F _p (betraktat som ett heltal med 0 ≤ c < p ) ger V en naturlig F _p -modulstruktur.

Automorfism grupp

Som ett vektorrum har V en bas { e ₁ , ..., e _n } som beskrivs i exemplen, om vi tar { v ₁ , ..., v _n } för att vara n element av V , då med linjär algebra har vi att avbildningen T ( e _i ) = v _i sträcker sig unikt till en linjär transformation av V . Varje sådan T kan betraktas som en grupphomomorfism från V till V (en endomorfism ) och likaså kan varje endomorfism av V betraktas som en linjär transformation av V som ett vektorrum.

Om vi begränsar vår uppmärksamhet till automorfismer av V har vi Aut( V ) = { T : V → V | ker T = 0 } = GL _n ( F _p ), den allmänna linjära gruppen av n × n inverterbara matriser på F _p .

Automorfismgruppen GL( V ) = GL _n ( F _p ) verkar transitivt på V \ {0} (som är sant för alla vektorrum). Detta kännetecknar faktiskt elementära abelska grupper bland alla finita grupper: om G är en finit grupp med identitet e sådan att Aut( G ) verkar transitivt på G \ {e} , så är G elementär abelsk. (Bevis: om Aut( G ) verkar transitivt på G \ {e} , så har alla icke-identitetselement i G samma (nödvändigtvis primtal) ordning. Då är G en p -grupp. Det följer att G har ett icke-trivialt centrum , vilket är nödvändigtvis invariant under alla automorfismer, och är således lika med hela G .)

En generalisering till högre ordning

Det kan också vara av intresse att gå bortom prime order-komponenter till prime-power order. Betrakta en elementär abelsk grupp G vara av typen ( p , p ,..., p ) för något primtal p . En homocyklisk grupp (av rang n ) är en abelisk grupp av typ ( m , m ,..., m ) dvs den direkta produkten av n isomorfa cykliska grupper av ordningen m , varav grupper av typ ( p ^k , p ^k , ..., p ^k ) är ett specialfall.

Relaterade grupper

De extra speciella grupperna är förlängningar av elementära abelska grupper med en cyklisk grupp av ordningen p, och är analoga med Heisenberg-gruppen .

Se även