Elliptisk operatör

En lösning till Laplaces ekvation definierad på en annulus . Laplace -operatorn är det mest kända exemplet på en elliptisk operator.

I teorin om partiella differentialekvationer är elliptiska operatorer differentialoperatorer som generaliserar Laplace - operatorn . De definieras av villkoret att koefficienterna för de högsta ordningens derivator är positiva, vilket innebär nyckelegenskapen att huvudsymbolen är inverterbar, eller motsvarande att det inte finns några verkliga karakteristiska riktningar.

Elliptiska operatorer är typiska för potentialteori , och de förekommer ofta inom elektrostatik och kontinuummekanik . Elliptisk regelbundenhet innebär att deras lösningar tenderar att vara jämna funktioner (om koefficienterna i operatören är jämna). Steady-state-lösningar till hyperboliska och paraboliska ekvationer löser i allmänhet elliptiska ekvationer.

Definitioner

Låt $L$ vara en linjär differentialoperator av ordningen m på en domän $\Omega$ i R ⁿ given av

$$Lu=\summa _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }(x)\partial ^{\alpha }u$$

där $\alpha =(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})$ anger ett multiindex och $\partial ^{\alpha }u=\partial _{1}^{\alpha _{1}}\cdots \partial _{n}^{\alpha _{n }}u$ betecknar den partiella derivatan av ordningen $\alpha _{i}$ i $x_{i}$ .

Då kallas $L$ elliptisk om för varje x i $\Omega$ och varje icke-noll $\xi$ i R ⁿ ,

$$\sum _{|\alpha |=m}a_{\alpha }(x)\xi ^{\alpha }\neq 0,$$

där $\xi ^{\alpha }=\xi _{1}^{\alpha _{1}}\cdots \xi _{n}^{\ alfa _{n}}$ .

I många tillämpningar är detta villkor inte tillräckligt starkt, och istället kan ett enhetligt elliptiskt villkor införas för operatörer av storleksordningen m = 2 k :

$$(-1)^{k}\sum _{|\alpha |=2k}a_{\alpha }(x)\xi ^{\alpha }>C|\xi |^{2k} ,$$

där C är en positiv konstant. Observera att elliptiskhet endast beror på termerna av högsta ordningen .

En olinjär operator

$$L(u)=F\left(x,u,\left(\partial ^{\alpha }u\ höger)_{|\alpha |\leq m}\right)$$

är elliptisk om dess linearisering är; dvs första ordningens Taylor-expansion med avseende på u och dess derivator kring vilken punkt som helst är en elliptisk operator.

Exempel 1

Negativet av Laplacian i R ^d ges av

$$-\Delta u=-\summa _{i=1}^{d}\partial _{i}^{2}u$$

är en enhetligt elliptisk operator. Laplace-operatören förekommer ofta vid elektrostatik. Om ρ är laddningstätheten inom något område Ω måste potentialen Φ uppfylla ekvationen

$$-\Delta \Phi =4\pi \rho .$$

Exempel 2

Givet en matrisvärderad funktion A ( x ) som är symmetrisk och positiv bestämd för varje x , med komponenterna a ^ij , operatorn

$$Lu=-\partial _{i}\left(a^{ij}( x)\partial _{j}u\right)+b^{j}(x)\partial _{j}u+cu$$

är elliptisk. Detta är den mest allmänna formen av en linjär elliptisk differentialoperator av andra ordningens divergensform. Laplace-operatorn erhålls genom att ta A = I . Dessa operatörer förekommer också i elektrostatik i polariserat media.

Exempel 3

För p ett icke-negativt tal är p-laplacian en olinjär elliptisk operator definierad av

$$L(u)=-\summa _{i=1}^{d}\partial _{i}\left(|\nabla u|^{p-2}\partial _{i}u\right ).$$

En liknande olinjär operator förekommer inom glaciärmekanik . Cauchy- spänningstensorn hos is, enligt Glens flödeslag, ges av

$$\tau _{ij}=B\ vänster(\summa _{k,l=1}^{3}\left(\partial _{l}u_{k}\right)^{2}\right)^{-{\frac {1}{3 }}}\cdot {\frac {1}{2}}\left(\partial _{j}u_{i}+\partial _{i}u_{j}\right)$$

för någon konstant B . Hastigheten för ett inlandsis i stationärt tillstånd kommer då att lösa det olinjära elliptiska systemet

$$\sum _{j=1}^{3}\partial _{j}\tau _{ij}+\ rho g_{i}-\partial _{i}p=Q,$$

där ρ är isdensiteten, g är gravitationsaccelerationsvektorn, p är trycket och Q är en påtvingande term.

Elliptisk regularitetssats

Låt L vara en elliptisk operator av ordningen 2 k med koefficienter som har 2 k kontinuerliga derivator. Dirichlet-problemet för L är att hitta en funktion u , givet en funktion f och några lämpliga gränsvärden, så att Lu = f och så att u har lämpliga gränsvärden och normalderivator. Existensteorin för elliptiska operatorer, med användning av Gårdings ojämlikhet och Lax–Milgram-lemmat , garanterar bara att en svag lösning u existerar i Sobolev-rummet H ^k .

Denna situation är i slutändan otillfredsställande, eftersom den svaga lösningen u kanske inte har tillräckligt med derivator för att uttrycket Lu ska vara väldefinierat i klassisk mening.

Den elliptiska regularitetssatsen garanterar att, förutsatt att f är kvadratintegrerbar, kommer u faktiskt att ha 2k kvadratintegrerbara svaga derivator. I synnerhet, om f är oändligt-ofta differentierbar, så är u så också .

Varje differentialoperator som uppvisar denna egenskap kallas en hypoelliptisk operator ; sålunda är varje elliptisk operator hypoelliptisk. Egenskapen innebär också att varje grundläggande lösning av en elliptisk operator är oändligt differentierad i alla områden som inte innehåller 0.

Som en applikation, anta att en funktion $f$ uppfyller Cauchy–Riemanns ekvationer . Eftersom Cauchy-Riemann-ekvationerna bildar en elliptisk operator, följer det att $f$ är jämn.

Allmän definition

Låt $D$ vara en (möjligen olinjär) differentialoperator mellan vektorbuntar av valfri rang. Ta dess huvudsymbol $\sigma _{\xi }(D)$ med avseende på en enformig $\xi$ . (I grund och botten är det vi gör att ersätta de högsta ordningens kovariantderivator $\nabla$ med vektorfält $\xi$ .)

Vi säger att $D$ är svagt elliptisk om $\sigma _{\xi }(D)$ är en linjär isomorfism för varje icke-noll $\xi$ .

Vi säger att $D$ är (likformigt) starkt elliptisk om för någon konstant $c>0$ ,

$$\left([\sigma _{\xi}(D)](v),v\right)\geq c\ |v\|^{2}$$

för alla $\|\xi \|=1$ och alla $v$ . Det är viktigt att notera att definitionen av ellipticitet i föregående del av artikeln är stark elliptisk . Här $(\cdot ,\cdot )$ en inre produkt. Lägg märke till att $\xi$ är kovektorfält eller enformer, men $v$ är element i vektorbunten som $D$ verkar på.

Det typiska exemplet på en (starkt) elliptisk operator är Laplacian (eller dess negativa, beroende på konvention). Det är inte svårt att se att $D$ måste vara av jämn ordning för att stark elliptiskhet ens ska vara ett alternativ. Annars, överväg bara att koppla in både $\xi$ och dess negativa. Å andra sidan kan en svagt elliptisk första ordningens operator, såsom Dirac-operatorn, torgföras för att bli en starkt elliptisk operator, såsom Laplacian. Sammansättningen av svagt elliptiska operatorer är svagt elliptisk.

Svag elliptiskhet är ändå tillräckligt stark för Fredholm-alternativet , uppskattar Schauder , och Atiyah–Singer-indexsatsen . Å andra sidan behöver vi stark elliptiskhet för maximiprincipen och för att garantera att egenvärdena är diskreta och att deras enda gränspunkt är oändlighet.

Se även

• Elliptisk partiell differentialekvation
• Hyperbolisk partiell differentialekvation
• Parabolisk partiell differentialekvation
• Hopp maximal princip
• Elliptiskt komplex
• Ultrahyperbolisk vågekvation
• Semi-elliptisk operatör
• Weyls lemma

Anteckningar

• 
  
     Evans, LC (2010) [1998], Partiella differentialekvationer , Graduate Studies in Mathematics , vol. 19 (2nd ed.), Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-4974-3 , MR 2597943 Recension: Rauch, J. (2000). "Partial differentialekvationer, av LC Evans" (PDF) . Journal of the American Mathematical Society . 37 (3): 363–367. doi : 10.1090/s0273-0979-00-00868-5 .
•    Gilbarg, D.; Trudinger, NS (1983) [1977], Elliptiska partiella differentialekvationer av andra ordningen, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 224 (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-13025-3 , MR 0737190
• Shubin, MA (2001) [1994], "Elliptic operator" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press

externa länkar

• Linjära elliptiska ekvationer på EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• Icke-linjära elliptiska ekvationer på EqWorld: The World of Mathematical Equations.