Mätgrupp (matematik)

En mätgrupp är en grupp av mätare symmetrier i Yang-Mills mätteorin för huvudsakliga anslutningar på en huvudbunt . Givet ett huvudpaket $P\to X$ med en struktur Lie group $G$ definieras en gauge-grupp som en grupp av dess vertikala automorfismer. Denna grupp är isomorf till gruppen $G(X)$ av globala sektioner av det associerade grupppaketet ${\widetilde {P}}\to X$ vars typiska fiber är en grupp $G$ som verkar på sig själv genom den adjoint representation . Enhetselementet för $G(X)$ är en konstant enhetsvärderad sektion $g(x)=1$ av ${\widetilde {P}}\till X$ .

Samtidigt exemplifierar gauge gravitation teori fältteori på ett huvudramknippe vars gauge symmetri är generella kovarianta transformationer som inte är element i en gauge grupp.

I den fysiska litteraturen om mätteori kallas en strukturgrupp i ett huvudpaket ofta för mätargruppen .

I kvantmätarteorin betraktar man en normal undergrupp $G^{0}(X)$ av en mätgrupp $G(X)$ som är stabilisatorn

G^{0}(X)=\{g(x)\in G(X) )\quad :\quad g(x_{0})=1\in {\widetilde {P}}_{x_{0}}\}

av någon punkt $1\in {\widetilde {P}}_{x_{0}}$ av ett grupppaket ${\widetilde {P}}\to X$ . Den kallas spetsgagegruppen . Denna grupp agerar fritt på ett utrymme av huvudsakliga kopplingar. Uppenbarligen är $G(X)/G^{0}(X)=G$ . Man introducerar också den effektiva mätargruppen ${\overline {G}}(X)=G(X)/Z$ där $Z$ är mitten av en mätargrupp $G(X)$ . Denna grupp ${\overline {G}}(X)$ verkar fritt på ett utrymme av irreducerbara huvudkopplingar.

Om en strukturgrupp $G$ är en komplex halvenkel matrisgrupp , Sobolev-kompletteringen ${\overline {G}}_{k}(X)$ för en mätgrupp $G(X)$ kan introduceras. Det är en Lie-grupp. En nyckelpunkt är att åtgärden av ${\overline {G}}_{k}(X)$ på en Sobolev-komplettering $A_{k}$ av ett mellanslag på huvudsakliga anslutningar är jämna och att ett omloppsrum $A_{k}/{\overline {G}}_{k}(X)$ är ett Hilbert-rum . Det är ett konfigurationsutrymme för kvantmätarteorin.

Mitter, P., Viallet, C., On the bunt of connections and the gauge orbit manifold in Yang – Mills theory, Commun. Matematik. Phys. 79 (1981) 457.
Marathe, K., Martucci, G., The Mathematical Foundations of Gauge Theories (North Holland, 1992) ISBN 0-444-89708-9 .
Mangiarotti, L., Sardanashvily, G. , Connections in Classical and Quantum Field Theory (World Scientific, 2000) ISBN 981-02-2013-8

Se även