Ryu–Takayanagi gissningar

Ryu -Takayanagi-förmodan är en gissning inom holografi som anger ett kvantitativt förhållande mellan entanglement-entropin i en konform fältteori och geometrin hos en tillhörande anti-de Sitter- rumtid. Formeln kännetecknar "holografiska skärmar" i bulk; det vill säga det specificerar vilka regioner av bulkgeometrin som är "ansvariga för särskild information i den dubbla CFT". Gissningen är uppkallad efter Shinsei Ryu och Tadashi Takayanagi , som tillsammans publicerade resultatet 2006. Som ett resultat tilldelades författarna 2015 års New Horizons in Physics Prize för "grundläggande idéer om entropi i kvantfältteori och kvantgravitation". Formeln generaliserades till en kovariant form 2007.

Motivering

Termodynamiken hos svarta hål antyder vissa samband mellan entropin hos svarta hål och deras geometri. Specifikt antar Bekenstein-Hawking area formeln att entropin för ett svart hål är proportionell mot dess yta:

$S_{\text{BH}}={\frac {k_{\text{B}}A}{4\ell _{\text{P}}^{ 2}}}$

Bekenstein–Hawking-entropin $S_{\text{BH}}$ är ett mått på informationen som går förlorad för externa observatörer på grund av närvaron av horisonten. Horisonten för det svarta hålet fungerar som en "skärm" som särskiljer en region av rumtiden ( i det här fallet det svarta hålets yttre) som inte påverkas av en annan region (i detta fall det inre). Lagen om området Bekenstein-Hawking säger att arean av denna yta är proportionell mot entropin av informationen som förloras bakom den.

Bekenstein-Hawking-entropin är ett uttalande om gravitationsentropin i ett system; dock finns det en annan typ av entropi som är viktig i kvantinformationsteorin, nämligen entanglement (eller von Neumann) entropin . Denna form av entropi ger ett mått på hur långt från ett rent tillstånd ett givet kvanttillstånd är, eller, motsvarande, hur intrasslat det är. Entanglement-entropin är ett användbart begrepp inom många områden, till exempel inom den kondenserade materiens fysik och kvantmångkroppssystem. Med tanke på dess användning, och dess suggestiva likhet med Bekenstein-Hawking-entropin, är det önskvärt att ha en holografisk beskrivning av entanglement-entropin i termer av gravitation.

Holografiska förberedelser

Huvudartikel: Holografisk princip

Den holografiska principen säger att gravitationsteorier i en given dimension är dubbla till en gauge-teori i en lägre dimension. AdS /CFT-korrespondensen är ett exempel på en sådan dualitet. Här definieras fältteorin på en fast bakgrund och motsvarar en kvantgravitationsteori vars olika tillstånd var och en motsvarar en möjlig rumtidsgeometri. Den konforma fältteorin ses ofta som att den lever på gränsen till det högre dimensionella rymden vars gravitationsteori den definierar. Resultatet av en sådan dualitet är en ordbok mellan de två motsvarande beskrivningarna. Till exempel, i en CFT definierad på $d$ dimensionellt Minkowski-utrymme motsvarar vakuumtillståndet rent AdS-utrymme, medan det termiska tillståndet motsvarar ett plant svart hål. Viktigt för den aktuella diskussionen är att det termiska tillståndet för en CFT definierad på den $d$ motsvarar det $d+1$ dimensionella Schwarzschild svarta hålet i AdS-utrymmet.

Lagen om området Bekenstein–Hawking, som hävdar att området för det svarta hålets horisont är proportionellt mot det svarta hålets entropi, ger inte en tillräcklig mikroskopisk beskrivning av hur denna entropi uppstår. Den holografiska principen ger en sådan beskrivning genom att relatera det svarta hålssystemet till ett kvantsystem som tillåter en sådan mikroskopisk beskrivning. I detta fall har CFT diskreta egentillstånd och det termiska tillståndet är den kanoniska ensemblen av dessa tillstånd. Entropin för denna ensemble kan beräknas på normala sätt och ger samma resultat som förutspått av områdeslagen. Detta visar sig vara ett specialfall av Ryu-Takayanagi-förmodan.

Gissa

Betrakta ett rumsligt segment $\Sigma$ av ett annonsutrymmestid på vars gräns vi definierar den dubbla CFT. Ryu-Takayanagi-formeln säger:

$S_{A}={\frac {{\text{Area av }}\gamma _{A}}{4G}}$

 

 

 

 

()

där $S_{A}$ är entanglementsentropin för CFT i någon rumslig delregion $A\subset \partial \Sigma$ med dess komplement $B$ , och $\gamma _{A}$ är Ryu–Takayanagi-ytan i bulken. Denna yta måste uppfylla tre egenskaper:

1. $\gamma _{A}$ har samma gräns som $A$ .
2. $\gamma _{A}$ är homolog med A.
3. $\gamma _{A}$ extremiserar området. Om det finns flera extrema ytor $\gamma _{A}$ den med minst area.

På grund av egenskapen (3) kallas denna yta vanligtvis för den minimala ytan när sammanhanget är tydligt. Dessutom säkerställer egenskapen (1) att formeln bevarar vissa egenskaper hos entanglemententropin, såsom $S_{A}=S_{B}$ och $S_{A_{1}+A_{2}}\geq S_{A_{1}\cup A_{2}}$ . Gissningen ger en explicit geometrisk tolkning av intrasslingsentropin för gränsen CFT, nämligen som arean av en yta i bulken.

Exempel

I sin originaltidning visar Ryu och Takayanagi detta resultat uttryckligen för ett exempel i ${\text{AdS}}_{3}/{\text{CFT}}_{2}$ där en uttryck för entanglemententropin är redan känt. För ett ${\text{AdS}}_{3}$ utrymme med radie $R$ har den dubbla CFT en central laddning som ges av

$c={\frac {3R}{2G}}$

 

 

 

 

()

Dessutom har ${\text{AdS}}_{3}$ måttet

$ds^{2}=R^{2}(-\cosh {\rho ^ {2}dt^{2}}+d\rho ^{2}+\sinh {\rho ^{2}d\theta ^{2}})$

i $(t,\rho ,\theta )$ (i huvudsak en stack hyperboliska skivor ). Eftersom detta mått avviker vid $\rho \to \infty$ , är $\rho$ begränsad till $\rho \leq \rho _{0}$ . Denna handling att införa ett maximalt $\rho$ är analogt med att motsvarande CFT har en UV-cutoff. Om $L$ är längden på CFT-systemet, i detta fall cylinderns omkrets beräknad med lämplig metrik, och $a$ är gitteravståndet, har vi

$e^{\rho _{0}}\sim L/a$ .

I det här fallet lever gränsen CFT vid koordinaterna $(t,\rho _{0},\theta )=(t,\theta )$ . Betrakta en fast $t$ skiva och anta att subregion A av gränsen är $\theta \in [0,2\pi l/L]$ där $l$ är längden på $A$ . Den minimala ytan är lätt att identifiera i detta fall, eftersom det bara är geodetiken genom bulken som förbinder $\theta =0$ och $\theta =2\pi l /L$ . Med tanke på gitteravskärningen kan längden på geodetiken beräknas som

$\cosh {(L_{\gamma _{A}}/R)}=1+2\sinh ^ {2}\rho _{0}\sin ^{2}{\frac {\pi l}{L}}$

 

 

 

 

()

Om det antas att $e^{\rho _{0}}>>1$ , använd sedan Ryu–Takayanagi-formeln för att beräkna entanglementsentropin. Om man pluggar in längden på den minimala ytan beräknad i ( 3 ) och återkallar den centrala laddningsladdningen ( 2 ), ges entanglementsentropin av

$S_{A}={\frac {R}{4G} }\log {(e^{2\rho _{0}}\sin ^{2}{\frac {\pi l}{L}})}={\frac {c}{3}}\log { (e^{\rho _{0}}\sin {\frac {\pi l}{L}})}$

 

 

 

 

()

Detta överensstämmer med resultatet beräknat på vanliga sätt.