Bra–ket notation

I moderna sammanhang kan Bra och Ket notation jämföras med moderna rad- och kolumnvektorer med komplexa komponenter. Matrismultiplikationsregler gäller med ett resultat som vanligtvis är mer än en rad och kolumn. Vector in- och utvändiga produkter följer också moderna regler. Paul Dirac uppfann notationen Bra och Ket innan den nuvarande notationen av rad- och kolumnvektorer utvecklades. De komplexa komponenterna är användbara för att härleda vågfunktioner såsom lösningar till Schrödinger-ekvationen och för att göra sannolikhetsberäkningar för partikelplacering eller rörelsemängd i kvantmekaniken. Bra och Ket-notation används fortfarande för att beskriva kvantmekanik.

Som skapad av Paul Dirac

Inom kvantmekaniken används bra–ket-notation , eller Dirac-notation , allestädes närvarande för att beteckna kvanttillstånd . Notationen använder vinkelparenteser , $\langle$ och $\rangle$ och en vertikal stapel $|$ , för att konstruera "bras" och "kets".

En ket har formen $|v\rangle$ . Matematiskt betecknar det en vektor , ${\boldsymbol {v}}$ , i ett abstrakt (komplext) vektorrum $V$ , och fysiskt representerar det ett tillstånd i något kvantsystem.

En behå har formen $\langle f|$ . Matematiskt betecknar det en linjär form $f:V\to \mathbb {C}$ , dvs en linjär karta som mappar varje vektor i $V$ till ett tal i det komplexa planet ${ \displaystyle \mathbb {C} }$ . Låter den linjära funktionella $\langle f|$ agerar på en vektor $|v\rangle$ skrivs som $\langle f|v\rangle \in \mathbb {C}$ .

Antag att det på $V$ finns en inre produkt $(\cdot ,\cdot )$ med antilinjärt första argument, vilket gör $V$ till ett inre produktutrymme . Sedan med denna inre produkt varje vektor ${\boldsymbol {\phi }}\equiv |\phi \rangle$ kan identifieras med en motsvarande linjär form, genom att placera vektorn i den antilinjära första luckan av den inre produkten: $({\boldsymbol {\phi }},\cdot )\equiv \langle \phi |$ . Överensstämmelsen mellan dessa beteckningar är då $({\boldsymbol {\phi }},{\boldsymbol {\psi }})\equiv \langle \phi |\psi \rangle$ . Den linjära formen $\langle \phi |$ är en kovektor till $|\phi \rangle$ , och mängden av alla kovektorer bildar ett delrum av det dubbla vektorrummet $V^{\vee }$ , till det initiala vektorrummet $V$ . Syftet med denna linjära form $\langle \phi |$ kan nu förstås som att man gör projektioner på tillståndet ${\displaystyle {\boldsymbol {\phi }}} ,$ för att hitta hur linjärt beroende två tillstånd är osv.

För vektorutrymmet $\mathbb {C} ^{n}$ kan kets identifieras med kolumnvektorer och bras med radvektorer. Kombinationer av bras, kets och linjära operatorer tolkas med matrismultiplikation . Om $\mathbb {C} ^{n}$ har den hermitiska standardinre produkten $({\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {w}} )=v^{\dolk }w$ , under denna identifiering tar identifieringen av kets och behåar och vice versa som tillhandahålls av den inre produkten det hermitiska konjugatet (betecknat ${\displaystyle \dagger } )$ .

Det är vanligt att undertrycka vektorn eller den linjära formen från bra–ket-notationen och bara använda en etikett inuti typografin för bh:n eller ket. Till exempel, spinoperatorn ${\hat {\sigma }}_{z}$ på ett tvådimensionellt utrymme $\Delta$ av spinorer har egenvärden ${\textstyle \pm {\frac {1}{2}}}$ med egenspinorer ${\boldsymbol {\psi }}_{+},{\boldsymbol {\psi }}_{-}\in \Delta$ . I bra–ket-notation betecknas detta vanligtvis som ${\displaystyle {\boldsymbol {\psi }}_{+}=|+\rangle } ,$ och ${\boldsymbol {\psi}}_{-}=|-\rangle$ . Som ovan tolkas kets och behåar med samma etikett som kets och behåar som motsvarar varandra med den inre produkten. I synnerhet när de också identifieras med rad- och kolumnvektorer, identifieras kets och bras med samma etikett med Hermitian konjugat kolumn- och radvektorer.

Bra–ket notation etablerades effektivt 1939 av Paul Dirac ; den är alltså också känd som Dirac-notation, trots att notationen har en föregångare i Hermann Grassmanns användning av $[\phi {\mid }\psi ]$ för inre produkter nästan 100 år tidigare.

Introduktion

Bra–ket-notation är en notation för linjär algebra och linjära operatorer på komplexa vektorrum tillsammans med deras dubbla rymd både i det finitdimensionella och oändligt dimensionella fallet. Den är speciellt utformad för att underlätta de typer av beräkningar som ofta förekommer inom kvantmekaniken . Dess användning inom kvantmekanik är ganska utbredd. Många fenomen som förklaras med kvantmekanik förklaras med bra–ket-notation.

Vektor utrymmen

Vektorer vs kets

I matematik används termen "vektor" för ett element i vilket vektorrum som helst. Inom fysiken är termen "vektor" dock mycket mer specifik: "vektor" syftar nästan uteslutande på kvantiteter som förskjutning eller hastighet , som har komponenter som direkt relaterar till de tre dimensionerna av rymden , eller relativistiskt, till rymdtidens fyra . Sådana vektorer betecknas vanligtvis med överpilar ( ${\vec {r}}$ ), fetstil ( $\mathbf {p}$ ) eller index ( $v^{\mu }$ ).

Inom kvantmekaniken representeras ett kvanttillstånd typiskt som ett element i ett komplext Hilbert-rum, till exempel det oändligt dimensionella vektorutrymmet för alla möjliga vågfunktioner (kvadratintegrerbara funktioner som kartlägger varje punkt i 3D-rymden till ett komplext tal) eller något mer abstrakt Hilbert utrymme konstruerat mer algebraiskt. Eftersom termen "vektor" redan används för något annat (se föregående stycke), och fysiker tenderar att föredra konventionell notation framför att ange vilket utrymme något är en del av, är det vanligt och användbart att beteckna ett element ϕ {\displaystyle $phi }$ av ett abstrakt komplext vektorutrymme som en ket $|\phi \rangle$ med vertikala streck och vinkelparenteser och hänvisar till dem som "kets" snarare än som vektorer och uttalas "ket- ${\displaystyle \phi } "$ eller "ket-A" för | A ⟩ .

Symboler, bokstäver, siffror eller till och med ord – oavsett vad som fungerar som en bekväm etikett – kan användas som etikett inuti en ket, med $|\ \rangle$ gör klart att etiketten indikerar en vektor i vektorrymden. Med andra ord har symbolen " | A ⟩ " en specifik och universell matematisk betydelse, medan bara " A " i sig inte har det. Till exempel |1⟩ + |2⟩ inte nödvändigtvis lika med |3⟩ . Icke desto mindre, för enkelhetens skull, finns det vanligtvis ett logiskt schema bakom etiketterna inuti kets, till exempel den vanliga praxisen att märka energiegenkets inom kvantmekaniken genom en lista över deras kvantnummer . Som enklast är etiketten inuti ket egenvärdet för en fysisk operator, som ${\hat {x}}$ , ${\hat {p}}$ , ${\hat {L}}_{z}$ osv.

Notation

Eftersom kets bara är vektorer i ett hermitiskt vektorrum, kan de manipuleras med de vanliga reglerna för linjär algebra. Till exempel:

${\begin{aligned}|A\rangle &=|B\rangle +|C\rangle \\|C\rangle &=(-1+2i)|D\rangle \\|D\rangle &= \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}|x\rangle \,\mathrm {d} x\,.\end{aligned}}$

Notera hur den sista raden ovan involverar oändligt många olika kets, en för varje reellt tal x .

Eftersom ket är ett element i ett vektorrum, är en behå $\langle A|$ är ett element i dess dubbla rymd , dvs en behå är en linjär funktion som är en linjär karta från vektorrummet till de komplexa talen. Därför är det användbart att tänka på kets och bras som element i olika vektorrum (se dock nedan) och båda är olika användbara koncept.

En bh $\langle \phi |$ och en ket $|\psi \rangle$ (dvs en funktionell och en vektor), kan kombineras till en operator $|\psi \rangle \langle \phi |$ av rang ett med yttre produkt

$|\psi \rangle \langle \phi |\colon |\xi \rangle \mapsto |\psi \rangle \langle \phi |\xi \rangle ~.$

Identifiering av inre produkt och bh-kåpa på Hilbert space

Huvudartikel: Inre produkt

Bra–ket-notationen är särskilt användbar i Hilbert-utrymmen som har en inre produkt som tillåter hermitisk konjugation och identifiering av en vektor med en kontinuerlig linjär funktionell, dvs en ket med en behå, och vice versa (se Riesz representationssats ). Den inre produkten på Hilbert space $(\ ,\ )$ (med det första argumentet antilinjär som föredras av fysiker) är helt ekvivalent med en (antilinjär) identifiering mellan utrymmet för kets och det för behåar i bra ket-notationen: för en vektor ket $\phi =|\phi \rangle$ definiera en funktionell (dvs behå) $f_{\phi }=\langle \phi |$ av

$(\phi ,\psi )=(|\phi \rangle ,|\psi \rangle )=:f_{\phi }(\psi )=\langle \phi |\,{\bigl (}|\psi \rangle {\bigr )}=:\langle \phi {\mid }\psi \rangle$

Bras och kets som rad- och kolumnvektorer

I det enkla fallet där vi betraktar vektorrummet $\mathbb {C} ^{n}$ , kan en ket identifieras med en kolumnvektor och en bra som en radvektor . Om vi ​​dessutom använder den hermitiska standardprodukten på $\mathbb {C} ^{n}$ , motsvarar behån en ket, i synnerhet en behå ⟨ m | och en ket | m ⟩ med samma etikett är konjugerade transponera . Dessutom är konventioner inställda på ett sådant sätt att att skriva bras, kets och linjära operatorer bredvid varandra helt enkelt innebär matrismultiplikation . I synnerhet den yttre produkten $|\psi \rangle \langle \phi |$ i en kolumn och en radvektor ket och bra kan identifieras med matrismultiplikation (kolumnvektor gånger radvektor är lika med matris).

För ett ändligt dimensionellt vektorutrymme, med hjälp av en fast ortonormal bas , kan den inre produkten skrivas som en matrismultiplikation av en radvektor med en kolumnvektor:

$$\langle A |B\rangle \doteq A_{1}^{*}B_{1}+A_{2}^{*}B_{2}+\cdots +A_{N}^{*}B_{N}={\ start{pmatrix}A_{1}^{*}&A_{2}^{*}&\cdots &A_{N}^{*}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}B_{1}\\B_ {2}\\\vdots \\B_{N}\end{pmatrix}}$$

Baserat på detta kan behåarna och kettarna definieras som:

$${\begin{aligned}\langle A|&\doteq {\begin{pmatrix}A_{1}^{*}&A_{2}^{*} &\cdots &A_{N}^{*}\end{pmatrix}}\\|B\rangle &\doteq {\begin{pmatrix}B_{1}\\B_{2}\\\vdots \\B_{ N}\end{pmatrix}}\end{aligned}}$$

och då förstås det att en behå bredvid en ket innebär matrismultiplikation .

Den konjugata transponeringen (även kallad Hermitian conjugate ) av en behå är motsvarande ket och vice versa:

$$\langle A|^{\dolk }=|A\rangle ,\quad |A\rangle ^{\dolk }=\langle A|$$

för om man börjar med bh:n

$${\begin{pmatrix}A_{1}^{*}&A_{2}^{*}&\cdots &A_{N}^{*}\ slut{pmatrix}}\,,$$

sedan utför en komplex konjugation , och sedan en matristransponering , slutar man med ket

$${\begin{pmatrix}A_{1}\\A_{2}\\\vdots \\A_{N}\end{pmatrix}}$$

Att skriva element av ett ändligt dimensionellt (eller mutatis mutandis , countably oändligt) vektorutrymme som en kolumnvektor av tal kräver att man väljer en bas . Att välja en bas är inte alltid till hjälp eftersom kvantmekaniska beräkningar innebär att man ofta växlar mellan olika baser (t.ex. positionsbas, momentumbas, energiegenbas), och man kan skriva något som " | m ⟩ " utan att förbinda sig till någon speciell bas. I situationer som involverar två olika viktiga basvektorer kan basvektorerna tas explicit i notationen och kommer här att hänvisas till som " | − ⟩ " och " | + ⟩ ".

Icke-normaliserbara tillstånd och icke-Hilbert-mellanrum

Bra–ket-notation kan användas även om vektorrymden inte är ett Hilbert-utrymme .

Inom kvantmekaniken är det vanligt att skriva ner kets som har oändlig norm , dvs icke- normaliserbara vågfunktioner . Exempel inkluderar tillstånd vars vågfunktioner är Dirac deltafunktioner eller oändliga plana vågor . Dessa hör tekniskt sett inte till själva Hilbert-rummet . Emellertid kan definitionen av "Hilbert-utrymme" breddas för att tillgodose dessa tillstånd (se Gelfand-Naimark-Segal-konstruktionen eller riggade Hilbert-utrymmen ). Bra–ket-notationen fortsätter att fungera på ett analogt sätt i detta bredare sammanhang.

Banach-utrymmen är en annan generalisering av Hilbert-utrymmen. I ett Banach-utrymme B kan vektorerna noteras med kets och de kontinuerliga linjära funktionalerna med bras. Över vilket vektorutrymme som helst utan topologi kan vi också notera vektorerna med kets och de linjära funktionalerna med bras. I dessa mer allmänna sammanhang har parentesen inte betydelsen av en inre produkt, eftersom Riesz-representationssatsen inte gäller.

Användning inom kvantmekanik

Kvantmekanikens matematiska struktur är till stor del baserad på linjär algebra :

• Vågfunktioner och andra kvanttillstånd kan representeras som vektorer i ett komplext Hilbertrum . (Den exakta strukturen av detta Hilbert-utrymme beror på situationen.) I bra–ket-notation, till exempel, kan en elektron vara i "tillstånd" | ψ ⟩ . (Tekniskt sett är kvanttillstånden strålar av vektorer i Hilbertrymden, eftersom c | ψ ⟩ motsvarar samma tillstånd för alla komplexa tal som inte är noll c .)
• Kvantsuperpositioner kan beskrivas som vektorsummor av de ingående tillstånden. Till exempel är en elektron i tillståndet 1 / √2 |1⟩ + i / √2 |2⟩ i en kvantöverlagring av tillstånden |1⟩ och |2⟩ .
• Mätningar är associerade med linjära operatorer (kallade observerbara ) på Hilbert-utrymmet av kvanttillstånd.
• Dynamik beskrivs också av linjära operatorer på Hilbert-rymden. Till exempel, i Schrödinger-bilden finns det en linjär tidsevolutionsoperator U med ψ ⟩ egenskapen att om en elektron är i tillstånd | just nu, vid ett senare tillfälle kommer det att vara i tillståndet U | ψ ⟩ , samma U för alla möjliga | ψ ⟩ .
• Vågfunktionsnormalisering är att skala en vågfunktion så att dess norm är 1.

Eftersom praktiskt taget varje beräkning inom kvantmekaniken involverar vektorer och linjära operatorer, kan den involvera, och involverar ofta, bra–ket-notation. Några exempel följer:

Spinless position-space wave-funktion

Diskreta komponenter A _k av en komplex vektor | A ⟩ = Σ _k A _k | e _k ⟩ , som tillhör ett räkningsbart oändligt dimensionellt Hilbertrum; det finns oräkneligt oändligt många k- värden och basvektorer | e _k ⟩ .

Kontinuerliga komponenter ψ ( x ) av en komplex vektor | ψ ⟩ = ∫ d x ψ ( x ) | x ⟩ , som tillhör ett oräkneligt oändligt dimensionellt Hilbertrum ; det finns oändligt många x- värden och basvektorer | x ⟩ .

Komponenter av komplexa vektorer plottade mot indexnummer; diskret k och kontinuerlig x . Två speciella komponenter av oändligt många lyfts fram.

Hilbertrymden för en spinn -0- | punktspartikel r ⟩ } överspänns av en "positionsbas " { , där etiketten r sträcker sig över uppsättningen av alla punkter i positionsrymden . Denna etikett är egenvärdet för positionsoperatorn som verkar på ett sådant bastillstånd, ${\hat {\mathbf {r} }}|\mathbf {r} \rangle =\mathbf {r} |\mathbf {r} \rangle$ . Eftersom det finns ett oräkneligt oändligt antal vektorkomponenter i basen, är detta ett oräkneligt oändligt dimensionellt Hilbert-rum. Dimensionerna för Hilbert-utrymmet (vanligtvis oändligt) och positionsutrymmet (vanligtvis 1, 2 eller 3) ska inte blandas ihop.

Med utgångspunkt från vilken ket |Ψ⟩ som helst i detta Hilbert-utrymme kan man definiera en komplex skalär funktion av r , känd som en vågfunktion ,

$\Psi (\mathbf {r} )\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \langle \mathbf {r} |\Psi \rangle \,.$

På vänster sida är Ψ( r ) en funktion som mappar vilken punkt som helst i rymden till ett komplext tal; på den högra sidan,

|Ψ⟩ = ∫ d ³ r Ψ( r ) | r ⟩

är en ket som består av en superposition av kets med relativa koefficienter specificerade av den funktionen.

Det är då vanligt att definiera linjära operatorer som verkar på vågfunktioner i termer av linjära operatorer som verkar på kets, genom att

$${\hat {A}}(\mathbf {r} )~\Psi (\mathbf {r} )\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \langle \mathbf {r} |{\hat {A}}|\Psi \rangle \,.$$

Till exempel har momentumoperatorn ${\hat {\mathbf {p} }}$ följande koordinatrepresentation,

$${\hat {\mathbf {p} }}(\mathbf {r} )~\Psi (\mathbf {r} )\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \langle \ mathbf {r} |{\hat {\mathbf {p} }}|\Psi \rangle =-i\hbar \nabla \Psi (\mathbf {r} )\,.$$

Ibland stöter man till och med på ett uttryck som $\nabla |\Psi \rangle$ , även om detta är något av ett missbruk av notation . Differentialoperatorn måste förstås vara en abstrakt operator, som verkar på kets, som har effekten att differentiera vågfunktioner när uttrycket projiceras på positionsbasen, $\nabla \langle \mathbf {r} |\Psi \rangle \,,$ även om, i momentumbasis, denna operator är en ren multiplikationsoperator (med iħ p ). Det vill säga,

$$\langle \mathbf {r} |{\hat {\mathbf {p} }}=-i\hbar \nabla \langle \mathbf {r} |~,$$

eller

$${\hat {\mathbf {p} }}=\int d^{3}\mathbf {r} ~|\mathbf {r} \rangle (-i\hbar \nabla )\langle \mathbf {r } |~.$$

Överlappning av stater

Inom kvantmekaniken uttrycket ⟨ φ | ψ ⟩ tolkas vanligtvis som sannolikhetens amplitud för att tillståndet ψ ska kollapsa till tillståndet φ . Matematiskt betyder detta koefficienten för projektionen av ψ på φ . Det beskrivs också som projektionen av tillstånd ψ på tillstånd φ .

Ändra grund för en spin-1/2 partikel

En stationär spin- 1 ⁄ 2 partikel har ett tvådimensionellt Hilbertrum. En ortonormal grund är:

$$|{\uparrow }_{z}\rangle \,,\;|{\downarrow }_{z}\rangle$$

där |↑ _z ⟩ är tillståndet med ett bestämt värde på snurroperatorn S _z lika med + 1 ⁄ 2 och |↓ _z ⟩ är tillståndet med ett bestämt värde för snurroperatorn S _z lika med − 1 ⁄ 2 .

Eftersom dessa är en bas , kan varje kvanttillstånd hos partikeln uttryckas som en linjär kombination (dvs kvantöverlagring ) av dessa två tillstånd:

$$|\psi \rangle =a_{\psi }|{\uparrow }_{z}\rangle +b_{\psi }|{\downarrow }_{z}\rangle$$

där a _ψ och b _ψ är komplexa tal.

En annan grund för samma Hilbert-utrymme är:

$$|{\uparrow }_{x}\rangle \,,\;|{\downarrow }_{x}\rangle$$

definieras i termer av Sz _Sx snarare _. än

Återigen, vilket tillstånd som helst av partikeln kan uttryckas som en linjär kombination av dessa två:

$$|\psi \rangle =c_{\psi }|{\uparrow }_{x}\rangle +d_{\psi }|{\downarrow }_{x}\rangle$$

I vektorform kan du skriva

$$|\psi \rangle \doteq {\begin{pmatrix}a_{\psi }\\b_{\psi }\end{pmatrix}}\quad {\text{eller }}\quad |\psi \rangle \doteq {\begin{pmatrix}c_{\psi }\\d_{\psi}\end{pmatrix}}$$

beroende på vilken grund du använder. Med andra ord beror "koordinaterna" för en vektor på vilken grund som används.

Det finns ett matematiskt samband mellan $a_{\psi }$ , $b_{\psi }$ , $c_{\psi }$ och $d_{\ psi }$ ; se förändring av underlag .

Fallgropar och tvetydiga användningsområden

Det finns vissa konventioner och användningar av notation som kan vara förvirrande eller tvetydiga för den icke-initierade eller tidiga studenten.

Separation av inre produkt och vektorer

En orsak till förvirring är att notationen inte skiljer den inre produktoperationen från notationen för en (bra) vektor. Om en (dubbelrum) bra-vektor är konstruerad som en linjär kombination av andra bra-vektorer (till exempel när man uttrycker den i någon grund) skapar notationen viss tvetydighet och döljer matematiska detaljer. Vi kan jämföra bra–ket notation med att använda fetstil för vektorer, som ${\boldsymbol {\psi }}$ och $(\cdot ,\cdot )$ för den inre produkten . Betrakta följande bra-vektor med dubbla mellanrum i basen $\{|e_{n}\rangle \}$ :

$$\langle \psi |=\sum _{n}\langle e_{n}|\psi _{n}$$

Det måste bestämmas genom konvention om de komplexa talen $\{\psi _{n}\}$ är inuti eller utanför den inre produkten, och varje konvention ger olika resultat.

$$\langle \psi |\equiv ({\boldsymbol {\psi }},\cdot )=\summa _{n}({\ fetstil {e}}_{n},\cdot )\,\psi _{n}$$

$$\langle \psi |\equiv ({\boldsymbol {\psi }},\ cdot )=\summa _{n}({\boldsymbol {e}}_{n}\psi _{n},\cdot )=\summa _{n}({\boldsymbol {e}}_{n} ,\cdot )\,\psi _{n}^{*}$$

Återanvändning av symboler

Det är vanligt att använda samma symbol för etiketter och konstanter . Till exempel, ${\displaystyle {\hat {\alpha }}|\alpha \rangle =\alpha |\alpha \rangle } ,$ där symbolen $\alpha$ används samtidigt som namnet på operatorn ${ \displaystyle {\hat {\alpha }}}$ , dess egenvektor $|\alpha \rangle$ och det tillhörande egenvärdet $\alpha$ . Ibland hatten också för operatörer, och man kan se notation som $A|a\rangle =a|a\rangle$

Hermitiskt konjugat av kets

Det är vanligt att se användningen ${\displaystyle |\psi \rangle ^{\dolk }=\langle \psi |} ,$ där dolken ( $\dagger$ ) motsvarar det hermitiska konjugatet . Detta är dock inte korrekt i teknisk mening, eftersom ket, $|\psi \rangle$ , representerar en vektor i ett komplext Hilbert-utrymme ${\mathcal {H}}$ , och behån, $\langle \psi |$ , är en linjär funktion på vektorer i ${\mathcal {H}}$ . Med andra ord, $|\psi \rangle$ är bara en vektor, medan $\langle \psi |$ är kombinationen av en vektor och en inre produkt.

Operationer inuti behåar och ketsar

Detta görs för en snabb notering av skalningsvektorer. Till exempel, om vektorn $\displaystyle |\alpha \rangle }$${\displaystyle 1/{\sqrt {2}}} ,$$|\alpha /{\sqrt {2}}\rangle$ med det kan betecknas . Detta kan vara tvetydigt eftersom $\alpha$ helt enkelt är en etikett för ett tillstånd och inte ett matematiskt objekt på vilket operationer kan utföras. Denna användning är vanligare när vektorer betecknas som tensorprodukter, där en del av etiketterna flyttas utanför det designade spåret, t.ex. $|\alpha \rangle =|\alpha /{\sqrt {2}}_{1}\rangle \otimes |\alpha /{\sqrt {2}}_{2}\rangle$ .

Linjära operatorer

Se även: Linjär operator

Linjära operatorer som verkar på kets

En linjär operator är en karta som matar in en ket och matar ut en ket. (För att kallas "linjär" krävs det att den har vissa egenskaper .) Med andra ord, om ${\hat {A}}$ är en linjär operator och $|\psi \rangle$ är en ket-vektor, sedan ${\hat {A}}|\psi \rangle$ är en annan ket-vektor.

I ett $N$ -dimensionellt Hilbert-rum kan vi lägga en bas på rummet och representera $|\psi \rangle$ i termer av dess koordinater som en $N\times 1$ kolumnvektor . Med samma grund för ${\hat {A}}$ representeras den av en $N\ gånger N$ komplex matris. ket-vektorn ${\hat {A}}|\psi \rangle$ kan nu beräknas genom matrismultiplikation .

Linjära operatorer är allestädes närvarande i teorin om kvantmekanik. Till exempel representeras observerbara fysiska storheter av självtillgränsande operatorer , såsom energi eller momentum , medan transformativa processer representeras av enhetliga linjära operatorer som rotation eller tidsförlopp.

Linjära operatorer som verkar på behåar

Operatörer kan också ses som agerar på behåar från höger sida . Specifikt, om A är en linjär operator och ⟨ φ | är en behå, då ⟨ φ | A är en annan behå som definieras av regeln

${\bigl (}\langle \phi |{\boldsymbol {A}}{\bigr )}|\psi \rangle =\langle \phi |{\bigl (}{\ fetstil {A}}|\psi \rangle {\bigr )}\,,$

(med andra ord en funktionssammansättning ). Detta uttryck skrivs vanligtvis som (jfr energi inre produkt )

$\langle \phi |{\boldsymbol {A}}|\psi \rangle \,.$

I ett N -dimensionellt Hilbertrum, ⟨ φ | kan skrivas som en 1 × N radvektor och A (som i föregående avsnitt) är en N × N matris. Sedan behån ⟨ φ | A kan beräknas genom normal matrismultiplikation .

Om samma tillståndsvektor visas på både bh- och ketsidan,

$$\langle \psi |{\boldsymbol {A}}|\psi \rangle \,,$$

då ger detta uttryck förväntningsvärdet , eller medel- eller medelvärde, av det observerbara som representeras av operator A för det fysiska systemet i tillståndet | ψ ⟩ .

Yttre produkter

Ett bekvämt sätt att definiera linjära operatorer på ett Hilbertrum H ges av den yttre produkten : om ⟨ ϕ | är en bh och | ψ ⟩ är en ket, den yttre produkten

$$|\phi \rangle \,\langle \psi |$$

betecknar rang-ett-operatören med regeln

$${\bigl (}|\phi \rangle \langle \psi |{\bigr )}(x)=\langle \psi |x\rangle |\phi \rangle .$$

För ett ändligt dimensionellt vektorrum kan den yttre produkten förstås som enkel matrismultiplikation:

$|\phi \rangle \,\{langle \psi}\bedotepmatrix\bedo \phi _{1}\\\phi _{2}\\\vdots \\\phi _{N}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\psi _{1}^{*}&\ psi _{2}^{*}&\cdots &\psi _{N}^{*}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\phi _{1}\psi _{1}^{ *}&\phi _{1}\psi _{2}^{*}&\cdots &\phi _{1}\psi _{N}^{*}\\\phi _{2}\psi _ {1}^{*}&\phi _{2}\psi _{2}^{*}&\cdots &\phi _{2}\psi _{N}^{*}\\\vdots &\ vdots &\ddots &\vdots \\\phi _{N}\psi _{1}^{*}&\phi _{N}\psi _{2}^{*}&\cdots &\phi _{ N}\psi _{N}^{*}\end{pmatrix}}$

Den yttre produkten är en N × N -matris, som förväntat för en linjär operator.

En av användningsområdena för den yttre produkten är att konstruera projektionsoperatorer . Givet en ket | ψ ⟩ av norm 1, den ortogonala projektionen på delrummet som spänns av | ψ ⟩ är

$$|\psi \rangle \,\langle \psi |\,.$$

Detta är en idempotent i algebra av observerbara som verkar på Hilbert-rummet.

Hermitisk konjugatoperator

Huvudartikel: Hermitiskt konjugat

Precis som kets och bras kan omvandlas till varandra (gör | ψ ⟩ till ⟨ ψ | ), elementet från det dubbla utrymmet som motsvarar A | ψ ⟩ är ⟨ ψ | A ^† , där A ^† betecknar det hermitiska konjugatet (eller adjunkten) för operatorn A . Med andra ord,

$$|\phi \rangle =A|\psi \rangle \quad {\text{if and only if}}\quad \langle \phi |=\langle \psi |A^{\dolk }\,.$$

Om A uttrycks som en N × N matris, är A ^† dess konjugerade transponering .

Self-adjoint operatorer, där A = A ^† , spelar en viktig roll i kvantmekaniken; till exempel beskrivs en observerbar alltid av en självadjoint operatör. Om A är en självadjoint operator, då ⟨ ψ | A | ψ ⟩ är alltid ett reellt tal (inte komplext). Detta innebär att förväntningsvärdena för observerbara objekt är verkliga.

Egenskaper

Bra–ket-notation utformades för att underlätta den formella manipuleringen av linjär-algebraiska uttryck. Några av egenskaperna som tillåter denna manipulation listas här. I det följande c ₁ och c ₂ godtyckliga komplexa tal , c * betecknar det komplexa konjugatet av c , A och B betecknar godtyckliga linjära operatorer, och dessa egenskaper ska gälla för alla val av bras och kets.

Linjäritet

• Eftersom behåar är linjära funktionella,
  $$\langle \phi |{\bigl (}c_{1}|\psi _{1}\rangle +c_{2}|\psi _{2}\rangle {\bigr )}=c_{1} \langle \phi |\psi _{1}\rangle +c_{2}\langle \phi |\psi _{2}\rangle \,.$$
• Genom definitionen av addition och skalär multiplikation av linjära funktionaler i det dubbla rummet ,
  $${\bigl (}c_{1}\langle \phi _{1}|+c_{2}\langle \phi _{2}|{\bigr )}|\psi \rangle =c_{1} \langle \phi _{1}|\psi \rangle +c_{2}\langle \phi _{2}|\psi \rangle \,.$$

Associativitet

Med tanke på alla uttryck som involverar komplexa tal, bras, kets, inre produkter, yttre produkter och/eller linjära operatorer (men inte addition), skrivna i bra–ket-notation, spelar de parentetiska grupperingarna ingen roll (dvs. den associativa egenskapen gäller ) . Till exempel:

${\begin{aligned}\langle \psi |{\bigl (}A|\phi \rangle {\bigr )}={\bigl (}\langle \psi |A{\bigr )}|\phi \rangle \,&{\stackrel {\text{def}}{=}}\,\langle \psi |A|\phi \rangle \\{\bigl (}A|\psi \rangle {\bigr )} \langle \phi |=A{\bigl (}|\psi \rangle \langle \phi |{\bigr )}\,&{\stackrel {\text{def}}{=}}\,A|\psi \rangle \langle \phi |\end{aligned}}$

och så vidare. Uttrycken till höger (utan någon som helst parentes) får skrivas entydigt på grund av jämlikheterna till vänster. Observera att den associativa egenskapen inte gäller för uttryck som inkluderar olinjära operatorer, såsom den antilinjära tidsomkastningsoperatorn i fysik.

Hermitisk konjugation

Bra–ket-notation gör det särskilt enkelt att beräkna det hermitiska konjugatet (även kallat dolk och betecknat † ) av uttryck. De formella reglerna är:

• Det hermitiska konjugatet av en behå är motsvarande ket, och vice versa.
• Det hermitiska konjugatet av ett komplext tal är dess komplexa konjugat.
• Det hermitiska konjugatet av det hermitiska konjugatet av vad som helst (linjära operatorer, behåar, kets, siffror) är sig själv – dvs.
  $$\left(x^{\dolk}\right)^{\dolk }=x\,.$$
• Givet alla kombinationer av komplexa tal, bh, kets, inre produkter, yttre produkter och/eller linjära operatorer, skrivna i bra–ket notation, kan dess hermitiska konjugat beräknas genom att vända om ordningen på komponenterna och ta den hermitiska konjugaten av varje.

Dessa regler är tillräckliga för att formellt skriva det hermitiska konjugatet av ett sådant uttryck; några exempel är följande:

• Kets:
  $${\bigl (}c_{1}|\psi _{1}\rangle +c_{2}|\psi _{2}\rangle {\bigr )}^{\dolk }=c_{1} ^{*}\langle \psi _{1}|+c_{2}^{*}\langle \psi _{2}|\,.$$
• Inre produkter:
  $$\langle \phi |\psi \rangle ^{*}=\langle \psi |\phi \rangle \,.$$
  Observera att ⟨ φ | ψ ⟩ är en skalär, så det hermitiska konjugatet är bara det komplexa konjugatet, dvs.
  $${\bigl (}\langle \phi |\psi \rangle {\bigr )}^{\dolk }=\langle \phi |\psi \rangle ^{*}$$
• Matriselement:
  $${\begin{aligned}\langle \phi |A|\psi \rangle ^{*}&=\left\langle \psi \left|A^{\dolk }\right|\phi \right\rangle \\\left\langle \phi \left|A^{\dolk }B^{\dolk }\right|\psi \right\rangle ^{*}&=\langle \psi |BA|\phi \rangle \ ,.\end{aligned}}$$
• Ytterprodukter:
  $${\Big (}{\bigl (}c_{1}|\phi _{1}\rangle \langle \psi _{1}|{\bigr )}+{\bigl (}c_{2} |\phi _{2}\rangle \langle \psi _{2}|{\bigr )}{\Big )}^{\dolk }={\bigl (}c_{1}^{*}|\psi _{1}\rangle \langle \phi _{1}|{\bigr )}+{\bigl (}c_{2}^{*}|\psi _{2}\rangle \langle \phi _{2 }|{\bigr )}\,.$$

Kompositbh:ar och kettor

av . Två Hilbertrum V och W kan bilda ett tredje mellanrum V⊗W en tensorprodukt Inom kvantmekaniken används detta för att beskriva sammansatta system. Om ett system är sammansatt av två delsystem som beskrivs i V respektive W , så är Hilbertrummet för hela systemet tensorprodukten av de två utrymmena. (Undantaget från detta är om delsystemen faktiskt är identiska partiklar . I så fall är situationen lite mer komplicerad.)

Om | ψ ⟩ är en ket i V och | φ ⟩ är en ket i W , tensorprodukten av de två kets är en ket i V ⊗ W . Detta är skrivet i olika notationer:

$|\psi \rangle |\phi \rangle \,,\quad |\psi \rangle \otimes |\phi \rangle \,,\quad |\psi \phi \rangle \,,\quad |\psi ,\phi \rangle \,.$

Se quantum intrassling och EPR-paradoxen för tillämpningar av denna produkt.

Enhetsoperatören

Överväg ett komplett ortonormalt system ( bas ),

$$\{e_{i}\ |\ i\in \mathbb {N} \}\,,$$

för ett Hilbert-utrymme H , med hänsyn till normen från en inre produkt ⟨·,·⟩ .

Från grundläggande funktionsanalys är det känt att varje ket $|\psi \rangle$ kan också skrivas som

$$|\psi \rangle =\sum _{i\in \mathbb {N} }\langle e_{i}|\psi \rangle |e_{i}\rangle ,$$

med ⟨·|·⟩ den inre produkten på Hilbert-utrymmet.

Av kommutativiteten hos kets med (komplexa) skalärer, följer det

$$\sum _{i\in \mathbb {N} }|e_{i}\rangle \langle e_{i}|=\mathbb {I}$$

måste vara identitetsoperatorn , som skickar varje vektor till sig själv.

Detta kan alltså infogas i vilket uttryck som helst utan att påverka dess värde; till exempel

$${\begin{aligned}\langle v|w\rangle &=\langle v|\left(\summa _{i\in \mathbb {N}}|e_{i}\rangle \langle e_{i}|\right)|w\rangle \\&=\langle v|\left(\summa _{i\in \mathbb {N} }|e_{i}\rangle \langle e_{i}| \right)\left(\sum _{j\in \mathbb {N} }|e_{j}\rangle \langle e_{j}|\right)|w\rangle \\&=\langle v|e_{ i}\rangle \langle e_{i}|e_{j}\rangle \langle e_{j}|w\rangle \,,\end{aligned}}$$

Einsteins summeringskonvention på sista raden har använts för att undvika skräp.

Inom kvantmekaniken förekommer det ofta att lite eller ingen information om den inre produkten ⟨ ψ | φ ⟩ av två godtyckliga (tillstånds-) kets är närvarande, medan det fortfarande är möjligt att säga något om expansionskoefficienterna ⟨ ψ | e _i ⟩ = ⟨ e _i | ψ ⟩ * och ⟨ e _i | φ ⟩ av dessa vektorer med avseende på en specifik (ortonormaliserad) bas. I det här fallet är det särskilt användbart att sätta in enhetsoperatören i konsolen en eller flera gånger.

För mer information, se Upplösning av identiteten ,

$${\mathbb {I} }=\int \!dx~|x\rangle \langle x|=\int \!dp~|p\rangle \langle p|,$$

var

$$|p\rangle =\int dx{\frac {e^{ixp/\hbar }|x\rangle }{\sqrt {2\pi \hbar }}}.$$

Sedan ⟨ x ′ | x ⟩ = δ ( x − x ′ ) , plana vågor följer,

$$\langle x|p\rangle ={\frac {e^{ixp/\hbar }}{\sqrt {2\pi \hbar }}}.$$

I sin bok (1958), Ch. III.20, Dirac definierar standarden ket som, upp till en normalisering, är det translationellt invarianta momentumegentillståndet ${\textstil |\varpi \rangle =\lim _{p\to 0}|p\rangle }$ i momentumrepresentationen, dvs ${\hat {p}}|\varpi \rangle =0$ . Följaktligen är motsvarande vågfunktion en konstant, $\langle x|\varpi \rangle {\sqrt {2\pi \hbar }}=1$ och

$$|x\rangle =\delta ({\hat {x}}-x)|\varpi \rangle {\sqrt {2\pi \hbar }},$$

såväl som

$$|p\rangle =\exp(ip{\hat {x}}/\hbar )|\varpi \rangle .$$

Vanligtvis när alla matriselement i en operatör som t.ex

$$\langle x|A|y\rangle$$

är tillgängliga, tjänar denna resolution till att återskapa hela operatören,

$$\int dx\,dy\,|x\rangle \langle x|A|y\rangle \langle y|=A\,.$$

Notation som används av matematiker

Objektet fysiker överväger när de använder bra–ket notation är ett Hilbert-utrymme (ett komplett inre produktutrymme) .

Låt $({\mathcal {H}},\langle \cdot ,\cdot \rangle )$ vara ett Hilbertrum och h ∈ H en vektor i H . Vad fysiker skulle beteckna med | h ⟩ är själva vektorn. Det är,

$$|h\rangle \in {\mathcal {H}}.$$

Låt H * vara det dubbla rummet av H . Detta är utrymmet för linjära funktionaler på H . Inbäddningen $\hookrightarrow {\mathcal {H}}^{*}}$ } definieras av $\Phi (h)=\varphi _{h}$ , där för varje h ∈ H den linjära funktionella $\varphi _{h}:{\mathcal {H}}\to \mathbb {C }$ uppfyller för varje g ∈ H funktionsekvationen $\varphi _{h}(g)=\langle h,g\rangle =\ langle h\mid g\rangle$ . Notationsförvirring uppstår när φ _h och g identifieras med ⟨ h | och | g ⟩ respektive. Detta beror på bokstavliga symboliska substitutioner. Låt $\varphi _{h}=H=\langle h\mid$ och låt g = G = | g ⟩ . Detta ger

$$\varphi _{h}(g)=H(g)=H(G)=\langle h|(G)=\langle h|{\bigl (}|g\rangle {\bigr )}\ ,.$$

Man ignorerar parentesen och tar bort de dubbla staplarna.

Dessutom skriver matematiker vanligtvis den dubbla entiteten inte i första hand, som fysikerna gör, utan på den andra, och de använder vanligtvis inte en asterisk utan en överlinje (som fysikerna reserverar för medelvärden och Dirac-spinor-adjoint ) för att beteckna komplexa konjugerade tal; dvs för skalära produkter brukar matematiker skriva

$$\langle \phi ,\psi \rangle =\int \phi (x)\cdot {\overline {\psi (x )}}\,\mathrm {d} x\,,$$

medan fysiker skulle skriva för samma kvantitet

$$\langle \psi |\phi \rangle =\int dx\,\psi ^{*}(x)\phi (x)~.$$

Se även

• Vinkelmomentdiagram (kvantmekanik)
• n -slits interferometrisk ekvation
• Kvanttillstånd
• Inre produktutrymme

Anteckningar

•    Dirac, PAM (1939). "En ny notation för kvantmekanik". Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society . 35 (3): 416–418. Bibcode : 1939PCPS...35..416D . doi : 10.1017/S0305004100021162 . S2CID 121466183 . . Se även hans standardtext, The Principles of Quantum Mechanics , IV edition, Clarendon Press (1958), ISBN 978-0198520115
• Grassmann, H. (1862). Förlängningsteori . Matematiska källors historia. 2000 översättning av Lloyd C. Kannenberg. American Mathematical Society, London Mathematical Society.
•   Cajori, Florian (1929). A History Of Mathematical Notations Volym II . Open Court Publishing . sid. 134 . ISBN 978-0-486-67766-8 .
•   Shankar, R. (1994). Principles of Quantum Mechanics (2:a upplagan). ISBN 0-306-44790-8 .
•   Feynman, Richard P.; Leighton, Robert B.; Sands, Matthew (1965). Feynman-föreläsningarna om fysik . Vol. III. Reading, MA: Addison-Wesley. ISBN 0-201-02118-8 .
•   Sakurai, JJ; Napolitano, J (2017). Modern Quantum Mechanics (2:a upplagan). Cambridge University Press. ISBN 978-1-108-42241-3 .

externa länkar

• Richard Fitzpatrick, "Quantum Mechanics: A graduate level course" , University of Texas i Austin. Inkluderar:
  • 1. Ket utrymme
  • 2. BH-utrymme
  • 3. Operatörer
  • 4. Den yttre produkten
  • 5. Egenvärden och egenvektorer
• Robert Littlejohn, föreläsningsanteckningar om "The Mathematical Formalism of Quantum mechanics", inklusive bra–ket notation. University of California, Berkeley.
•   Gieres, F. (2000). "Matematiska överraskningar och Diracs formalism i kvantmekanik". Rep. Prog. Phys . 63 (12): 1893–1931. arXiv : quant-ph/9907069 . Bibcode : 2000RPPh...63.1893G . doi : 10.1088/0034-4885/63/12/201 . S2CID 10854218 .