Yang–Mills existens och massklyfta

Yang –Mills existens- och massgapproblem är ett olöst problem inom matematisk fysik och matematik och ett av de sju millennieprisproblemen definierade av Clay Mathematics Institute, som har erbjudit ett pris på 1 000 000 USD för sin lösning.

Problemet är formulerat på följande sätt:

Yang–Mills existens och massgap. Bevisa att för vilken kompakt enkel gauge grupp G som helst, finns en icke-trivial kvant Yang–Mills teori på

\mathbb {R} ^{4}

och har ett massgap Δ > 0. Existens inkluderar att etablera axiomatiska egenskaper minst lika starka som de som citeras i Streater & Wightman (1964) , Osterwalder & Schrader (1973) och Osterwalder & Schrader (1975) .

I detta uttalande är en kvant Yang-Mills teori en icke-abelsk kvantfältteori som liknar den som ligger till grund för standardmodellen för partikelfysik ; $\mathbb {R} ^{4}$ är euklidiskt 4-mellanslag ; massgapet Δ är massan av den minst massiva partikeln som förutsägs av teorin .

Därför måste vinnaren bevisa att:

Yang-Mills teori existerar och uppfyller den rigoritetsstandard som kännetecknar samtida matematisk fysik , i synnerhet konstruktiv kvantfältteori , och
Massan av alla partiklar i kraftfältet som förutspås av teorin är strikt positiva.

Till exempel, i fallet med G=SU(3) – den starka kärnväxelverkan – måste vinnaren bevisa att limkulor har en lägre massabunden, och därför inte kan vara godtyckligt lätta.

Det allmänna problemet med att bestämma förekomsten av ett spektralgap i ett system är känt för att vara obestämbart .

Bakgrund

[...] man har ännu inte ett matematiskt komplett exempel på en kvantmätarteori i fyrdimensionell rum-tid , inte ens en exakt definition av kvantmätarteori i fyra dimensioner. Kommer detta att förändras under 2000-talet? Vi hoppas det!

— Från Clay Institutes officiella problembeskrivning av Arthur Jaffe och Edward Witten .

Problemet kräver konstruktionen av en QFT som uppfyller Wightmans axiom och visar att det finns ett massgap. Båda dessa ämnen beskrivs i avsnitten nedan.

Wightmans axiom

Millenniumproblemet kräver att den föreslagna Yang-Mills teorin uppfyller Wightmans axiom eller liknande stringenta axiom. Det finns fyra axiom:

W0 (antaganden om relativistisk kvantmekanik)

Kvantmekaniken beskrivs enligt von Neumann ; i synnerhet de rena tillstånden ges av strålarna, dvs de endimensionella underrummen, i något separerbart komplext Hilbertrum .

Wightmans axiom kräver att Poincaré-gruppen agerar enhetligt på Hilbert-rummet. Med andra ord har de positionsberoende operatorer som kallas kvantfält som bildar kovarianta representationer av Poincaré-gruppen .

Gruppen av rum-tidsöversättningar är kommutativa , så att operatorerna kan diagonaliseras samtidigt. Generatorerna för dessa grupper ger oss fyra självtillslutande operatorer , $P_{0},P_{j}$ , j = 1, 2, 3, som transformerar under den homogena gruppen som en fyrvektor , kallad fyrvektor för energimomentum .

Den andra delen av Wightmans nollte axiom är att representationen U ( a , A ) uppfyller det spektrala villkoret - att det samtidiga spektrumet av energimomentum finns i den främre konen:

P_{0}\geq 0,\;\;\;\;P_{0}^{2}-P_{j}P_{j}\ geq 0.

Den tredje delen av axiomet är att det finns ett unikt tillstånd, representerat av en stråle i Hilbert-rummet, som är invariant under verkan av Poincaré-gruppen. Det kallas vakuum.

W1 (antaganden om fältets domän och kontinuitet)

För varje testfunktion f finns det en uppsättning operatorer $A_{1}(f),\ldots ,A_{n}(f)$ som tillsammans med sina anslutningar, definieras på en tät delmängd av Hilbert-tillståndsrummet, innehållande vakuumet. Fälten A är operatörsvärderade tempererade distributioner . Hilbert-tillståndsrummet överspänns av fältpolynomen som verkar på vakuumet (cyklicitetstillstånd).

W2 (fältets transformationslag)

Fälten är samvarierande under verkan av Poincaré-gruppen , och de transformeras enligt någon representation S av Lorentz-gruppen , eller SL(2, C ) om spinnet inte är heltal:

{\displaystyle U(a,L)^{\dolk }A(x)U(a,L)=S(L)A(L^{-1}(xa)).} W3 (lokal kommutativitet eller mikroskopisk

kausalitet )

Om stöden för två fält är mellanrumsliknande separerade, så pendlar fälten antingen eller antipendlar.

Ett vakuums cyklicitet och det unika hos ett vakuum betraktas ibland separat. Det finns också egenskapen för asymptotisk fullständighet - att Hilbert-tillståndsutrymmet spänns över av de asymptotiska utrymmena $H^{in}$ och ${\displaystyle H^{out}} ,$ som förekommer i kollisions S-matrisen . Den andra viktiga egenskapen hos fältteorin är massgapet som inte krävs av axiomen - att energimomentumspektrat har ett gap mellan noll och något positivt tal.

Massgap

I kvantfältteorin är massgapet skillnaden i energi mellan vakuumet och det näst lägsta energitillståndet . Vakuumets energi är noll per definition, och om man antar att alla energitillstånd kan ses som partiklar i plana vågor, är massgapet massan av den lättaste partikeln.

För ett givet reellt fält $\phi (x)$ , kan vi säga att teorin har ett massgap om tvåpunktsfunktionen har egenskapen

{\displaystyle \langle \phi (0,t)\phi (0,0)\rangle \sim \sum

där $\Delta _{0}>0$ är det lägsta energivärdet i Hamiltonianens spektrum och därmed massgapet. Denna kvantitet, lätt att generalisera till andra fält, är vad som vanligtvis mäts i gitterberäkningar. Det bevisades på detta sätt att Yang–Mills teori utvecklar ett massgap på ett gitter.

Betydelsen av Yang-Mills teori

De flesta kända och icke-triviala (dvs interagerande) kvantfältsteorier i 4 dimensioner är effektiva fältteorier med en cutoff -skala. Eftersom beta-funktionen är positiv för de flesta modeller, verkar det som att de flesta sådana modeller har en Landau-stolpe eftersom det inte alls är klart om de har icke-triviala UV-fixpunkter eller inte . Detta innebär att om en sådan QFT är väldefinierad på alla skalor, som den måste vara för att tillfredsställa axiomen för den axiomtiska kvantfältteorin, så måste den vara trivial (dvs. en frifältsteori ).

Quantum Yang-Mills teori med en icke-abelisk mätgrupp och inga kvarkar är ett undantag, eftersom asymptotisk frihet kännetecknar denna teori, vilket betyder att den har en trivial UV-fixpunkt . Därför är det den enklaste icke-triviala konstruktiva QFT i 4 dimensioner. ( QCD är en mer komplicerad teori eftersom den involverar kvarkar .)

Quarkfängelse

På nivån av rigor av teoretisk fysik har det varit väl etablerat att kvant Yang-Mills teorin för en icke-abelisk Lie-grupp uppvisar en egenskap som kallas instängning ; även om korrekt matematisk fysik har mer krävande krav på ett bevis. En konsekvens av denna egenskap är att ovanför inneslutningsskalan är färgladdningarna sammankopplade med kromodynamiska flödesrör som leder till en linjär potential mellan laddningarna. Därför kan gratis färgavgift och fria gluoner inte existera. I frånvaro av inneslutning skulle vi förvänta oss att se masslösa gluoner, men eftersom de är instängda, är allt vi ser är färgneutralt bundna tillstånd av gluoner, kallade limbollar . Om limkulor finns är de massiva, varför ett massgap förväntas.

Vidare läsning

Streater, R.; Wightman, A. (1964). PCT, Spin och statistik och allt det där . WA Benjamin.
Osterwalder, K.; Schrader, R. (1973). "Axiom för Euclidean Greens funktioner" . Kommunikationer i matematisk fysik . 31 (2): 83–112. Bibcode : 1973CMaPh..31...83O . doi : 10.1007/BF01645738 . S2CID 189829853 .
Osterwalder, K.; Schrader, R. (1975). "Axiom för Euclidean Greens funktioner II" . Kommunikationer i matematisk fysik . 42 (3): 281–305. Bibcode : 1975CMaPh..42..281O . doi : 10.1007/BF01608978 . S2CID 119389461 .
Bogoliubov, N.; Logunov, A.; Oksak; Todorov, I. (1990). Allmänna principer för kvantfältteorin . Kluver.
Strocchi, F. (1994). Utvalda ämnen av kvantfältteorins allmänna egenskaper FF . World Scientific.
Dynin, A. (2014). "Quantum Yang-Mills-Weyl-dynamik i Schroedinger-paradigmet". Russian Journal of Mathematical Physics . 21 (2): 169–188. Bibcode : 2014RJMP...21..169D . doi : 10.1134/S1061920814020046 . S2CID 121878861 .
Dynin, A. (2014). "Om Yang-Mills Mass Gap-problemet". Russian Journal of Mathematical Physics . 21 (3): 326–328. Bibcode : 2014RJMP...21..326D . doi : 10.1134/S1061920814030042 . S2CID 120135592 .
Bushhorn, G.; Wess, J. (2004). Heisenberg Centennial Symposium "Utvecklingar i modern fysik" . Springer.

externa länkar

Millenniumprisproblemen: Yang–Mills och Mass Gap