Paulis ekvation

Inom kvantmekaniken är Pauli -ekvationen eller Schrödinger–Pauli-ekvationen formuleringen av Schrödinger-ekvationen för spin-½- partiklar, som tar hänsyn till interaktionen av partikelns spinn med ett externt elektromagnetiskt fält . Det är den icke- relativistiska gränsen för Dirac-ekvationen och kan användas där partiklar rör sig med hastigheter mycket mindre än ljusets hastighet , så att relativistiska effekter kan försummas. Den formulerades av Wolfgang Pauli 1927.

Ekvation

För en partikel med massa $m$ och elektrisk laddning $q$ , i ett elektromagnetiskt fält som beskrivs av den magnetiska vektorpotentialen $\mathbf {A}$ och den elektriska skalära potentialen $\phi$ , Pauli-ekvationen lyder:

Paulis ekvation (allmänt)

$\left[{\frac {1}{2m}}({\boldsymbol {\sigma }}\cdot (\mathbf {\hat {p}} -q\mathbf {A} ))^{ 2}+q\phi \right]|\psi \rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi \rangle$

Här är ${\boldsymbol {\sigma }}=(\sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z})$ Pauli-operatorer samlas in i en vektor för enkelhets skull, och $\mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla$ är momentumoperatorn i positionsrepresentation. Systemets tillstånd, $|\psi \rangle$ (skriven i Dirac-notation ), kan betraktas som en tvåkomponents spinorvågfunktion , eller en kolumnvektor ( efter val av bas):

$|\psi \rangle =\psi _{+}|{\mathord {\uparrow }}\rangle +\psi _{-}|{\mathord {\downarrow }}\rangle \,{\stackrel {\cdot }{=}}\,{\begin{bmatrix}\psi _{+}\\\psi _{-}\end{bmatrix}}$ .

Hamilton -operatorn är en 2 × 2-matris på grund av Pauli-operatorerna .

${\hat {H}}={\frac {1}{2m}}\left[{\boldsymbol {\ sigma }}\cdot (\mathbf {\hat {p}} -q\mathbf {A} )\right]^{2}+q\phi$

Substitution i Schrödinger-ekvationen ger Pauli-ekvationen. Denna Hamiltonian liknar den klassiska Hamiltonian för en laddad partikel som interagerar med ett elektromagnetiskt fält. Se Lorentz kraft för detaljer om detta klassiska fall. Den kinetiska energitermen för en fri partikel i frånvaro av ett elektromagnetiskt fält är bara ${\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2m}}$ där $\mathbf {p}$ är det kinetiska momentumet , medan det i närvaro av ett elektromagnetiskt fält involverar den minimala kopplingen $\mathbf {\Pi } =\mathbf {p} -q\mathbf {A}$ , där nu $\mathbf {\Pi }$ är den kinetiska rörelsemängden och $\mathbf {p}$ är den kanoniska rörelsemängden .

Pauli-operatorerna kan tas bort från den kinetiska energitermen med hjälp av Pauli-vektoridentiteten :

$({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {a} )({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {b} )=\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} +i{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {a} \times \mathbf {b} \höger)$

Observera att till skillnad från en vektor, differentialoperatorn $\mathbf {\hat {p}} -q\mathbf {A} =-i\hbar \nabla -q \mathbf {A}$ har en korsprodukt som inte är noll med sig själv. Detta kan ses genom att betrakta korsprodukten som tillämpas på en skalär funktion $\psi$ :

$\left[\left(\mathbf {\hat {p}} -q\mathbf {A} \right)\times \left(\mathbf {\hat {p}} -q\mathbf {A} \right)\right]\psi =-q\ vänster[\mathbf {\hat {p}} \times \left(\mathbf {A} \psi \right)+\mathbf {A} \times \left(\mathbf {\hat {p}} \psi \right )\right]=iq\hbar \left[\nabla \times \left(\mathbf {A} \psi \right)+\mathbf {A} \times \left(\nabla \psi \right)\right]= iq\hbar \left[\psi \left(\nabla \times \mathbf {A} \right)-\mathbf {A} \times \left(\nabla \psi \right)+\mathbf {A} \times \ left(\nabla \psi \right)\right]=iq\hbar \mathbf {B} \psi$

där $\mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A}$ är magnetfältet.

För hela Pauli-ekvationen får man då

Paulis ekvation (standardform)

${\hat {H}}|\psi \rangle =\left[{\frac {1}{2m}}\left[\left(\mathbf {\hat {p}} -q\mathbf {A} \right)^{2}-q\hbar {\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {B} \right]+q\phi \right]|\psi \rangle =i\hbar {\ frac {\partial }{\partial t}}|\psi \rangle$

Svaga magnetfält

För fallet där magnetfältet är konstant och homogent kan man expandera ${\textstyle (\mathbf {\hat {p}} -q\mathbf {A} )^{2}}$ med den symmetriska mätaren ${\textstyle \mathbf {\hat {A}} ={\frac {1}{2}}\mathbf {B} \times \mathbf {\hat {r }} }$ , där ${\textstyle \mathbf {r} }$ är positionsoperatorn och A nu är en operator. Vi får

$(\mathbf {\hat {p}} -q\mathbf {\hat {A}} )^{2}=|\mathbf {\hat {p}} |^{2}-q(\mathbf {\hat {r}} \times \mathbf {\hat {p}} )\cdot \mathbf {B} +{\frac {1}{4}}q^{2}\left(|\mathbf {B} |^ {2}|\mathbf {\hat {r}} |^{2}-|\mathbf {B} \cdot \mathbf {\hat {r}} |^{2}\right)\approx \mathbf {\ hatt {p}} ^{2}-q\mathbf {\hat {L}} \cdot \mathbf {B} \,,$

där ${\textstyle \mathbf {\hat {L}} }$ är partikelns vinkelmomentoperator och vi försummade termer i magnetfältet i kvadrat ${\textstyle B^{2}}$ . Därför får vi

Paulis ekvation (svaga magnetfält)

$\left[{\frac {1}{2m}}\left[\left(|\mathbf {\hat {p}} |^{2}-q(\mathbf {\hat {L} } +2\mathbf {\hat {S}} )\cdot \mathbf {B} \right)\right]+q\phi \right]|\psi \rangle =i\hbar {\frac {\partial }{ \partial t}}|\psi \rangle$

där ${\textstyle \mathbf {S} =\hbar {\boldsymbol {\sigma }}/2}$ är partikelns spinn . Faktorn 2 framför snurret är känd som Dirac g -faktor . Termen i ${\textstyle \mathbf {B} }$ , har formen ${\textstyle -{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} }$ som är den vanliga interaktionen mellan en magnetisk moment ${\textstyle {\boldsymbol {\mu }}}$ och ett magnetfält, som i Zeeman-effekten .

För en laddningselektron ${\textstyle -e}$ i ett isotropiskt konstant magnetfält kan man ytterligare reducera ekvationen genom att använda det totala rörelsemängdsmängd ${\textstyle \mathbf {J} =\mathbf {L} +\mathbf {S} }$ och Wigner-Eckarts sats . Så finner vi

$\left[{\frac {|\mathbf {p} |^{2}}{2m}}+\mu _{\rm {B}}g_{J}m_{j}|\mathbf {B} |-e\phi \right]|\psi \rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi \rangle$

där ${\textstyle \mu _{\rm {B}}={\frac {e\hbar }{2m}}} är Bohr-$ magneten och m $\textstyle m_{j}}$ är det magnetiska kvanttalet relaterat till ${\textstyle \mathbf {J} }$ . Termen ${\textstyle g_{J}}$ är känd som Landé g-faktor och ges här av

$g_{J}={\frac {3}{2}}+{\frac {{\frac { 3}{4}}-\ell (\ell +1)}{2j(j+1)}},$

där $\ell$ är det orbitala kvanttalet relaterat till $L^{2}$ och $j$ är det totala orbitala kvanttalet relaterat till $J^{2 }$ .

Från Dirac ekvation

Pauli-ekvationen är den icke-relativistiska gränsen för Dirac-ekvationen , den relativistiska kvantekvanten för rörelse för partiklar spin-½.

Härledning

Dirac ekvation kan skrivas som:

$$_ hbar \,\partial _{t}{\begin{pmatrix}\psi _{1}\\\psi _{2}\end{pmatrix}}=c\,{\begin{pmatrix}{\boldsymbol {\ sigma }}\cdot {\boldsymbol {\Pi }}\,\psi _{2}\\{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {\Pi }}\,\psi _{1}\ end{pmatrix}}+q\,\phi \,{\begin{pmatrix}\psi _{1}\\\psi _{2}\end{pmatrix}}+mc^{2}\,{\begin {pmatrix}\psi _{1}\\-\psi _{2}\end{pmatrix}},}$$

där ${\textstil \partial _{t}={\frac {\partial }{\partial t}}}$ och $\psi _{1},\psi _ {2}$ är tvåkomponentsspinor , som bildar en bispinor.

Använder följande ansatz:

$${\begin{pmatrix}\psi _{1}\\\psi _{2}\end{pmatrix}}= e^{-i{\tfrac {mc^{2}t}{\hbar }}}{\begin{pmatrix}\psi \\\chi \end{pmatrix}},$$

med två nya spinorer $\psi ,\chi$ blir ekvationen

$$i\hbar \partial _{t}{\begin{pmatrix}\psi \\\chi \end{pmatrix}}=c\,{\begin{pmatrix}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {\Pi }}\,\chi \\{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {\Pi }}\,\psi \end{pmatrix}}+q\,\phi \, {\begin{pmatrix}\psi \\\chi \end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\-2\,mc^{2}\,\chi \end{pmatrix}}.$$

I den icke-relativistiska gränsen är $\partial _{t}\chi$ och de kinetiska och elektrostatiska energierna små med avseende på restenergin $mc^{2}$ .

Således

$$\chi \approx {\frac {{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {\Pi }}\,\psi }{2\,mc}}\,.$$

Insatt i den övre komponenten av Dirac ekvation, hittar vi Pauli ekvation (allmän form):

$$i\hbar \,\partial _{t}\,\psi =\left[{\frac {({\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {\Pi }})^{2} }{2\,m}}+q\,\phi \right]\psi .$$

Från en Foldy–Wouthuysen-förvandling

Man kan också rigoröst härleda Pauli-ekvationen, utgående från Dirac-ekvationen i ett externt fält och utföra en Foldy–Wouthuysen-transformation .

Pauli koppling

Paulis ekvation härleds genom att kräva minimal koppling , vilket ger en g -faktor g =2. De flesta elementarpartiklar har anomala g -faktorer, som skiljer sig från 2. Inom området relativistisk kvantfältteori definierar man en icke-minimal koppling, ibland kallad Pauli-koppling, för att lägga till en anomal faktor

$\gamma ^{\mu }p_{\mu }\to \gamma ^{\mu }p_{\ mu }-q\gamma ^{\mu }A_{\mu }+a\sigma _{\mu \nu }F^{\mu \nu }$

där $p_{\mu }$ är fyrmomentumoperatorn , $A_{\mu }$ är den elektromagnetiska fyrpotentialen , $a$ är proportionell mot den anomala magnetiska dipolen moment , $F^{\mu \nu }=\partial ^{\mu }A^{\nu}-\partial ^{\nu }A^ {\mu }$ är den elektromagnetiska tensorn och ${\textstyle \sigma _{\mu \nu }={\frac {i}{2}}[\gamma _{\mu },\gamma _{\nu }]}$ är de Lorentziska spinnmatriserna och kommutatorn för gammamatriserna γ $\displaystyle \gamma ^{\mu }}$ . I kontexten av icke-relativistisk kvantmekanik, istället för att arbeta med Schrödinger-ekvationen, är Pauli-koppling likvärdig med att använda Pauli-ekvationen (eller postulera Zeeman-energi ) för en godtycklig g -faktor.

Se även

• Semiklassisk fysik
• Atom-, molekyl- och optisk fysik
• Gruppsammandragning
• Gordons nedbrytning

Fotnoter

Böcker

•   Schwabl, Franz (2004). Quantenmechanik I . Springer. ISBN 978-3540431060 .
•   Schwabl, Franz (2005). Quantenmechanik für Fortgeschrittene . Springer. ISBN 978-3540259046 .
•   Claude Cohen-Tannoudji; Bernard Diu; Frank Laloe (2006). Kvantmekanik 2 . Wiley, J. ISBN 978-0471569527 .