Lokal dolda-variabel teori

I tolkningen av kvantmekaniken är en lokal gömd-variabel-teori en gömd-variabel teori som uppfyller villkoret att vara förenlig med lokal realism . Denna definition begränsar alla typer av de teorier som försöker redogöra för kvantmekanikens probabilistiska egenskaper via mekanismen för underliggande otillgängliga variabler med det ytterligare kravet att avlägsna händelser är oberoende, vilket utesluter momentana (det vill säga snabbare än ljuset ) interaktioner mellan olika händelser.

De matematiska implikationerna av en lokal teori om dolda variabler med avseende på fenomenet kvantintrassling utforskades av fysikern John Stewart Bell , som 1964 bevisade att breda klasser av teorier med lokala dolda variabler inte kan reproducera korrelationerna mellan mätresultat som kvantmekaniken förutsäger. . Det mest anmärkningsvärda undantaget är superdeterminism . Superdeterministiska teorier om dolda variabler kan vara lokala och ändå vara kompatibla med observationer.

Lokala dolda variabler och Bell-testerna

Bells teorem börjar med implikationen av principen om lokal realism , att separerade mätprocesser är oberoende. Baserat på denna premiss kan sannolikheten för ett sammanfall mellan separerade mätningar av partiklar med korrelerade (t.ex. identiska eller motsatta) orienteringsegenskaper skrivas:

$P(a,b)=\int d\lambda \cdot \ rho (\lambda )\cdot p_{A}(a,\lambda )\cdot p_{B}(b,\lambda ),$

 

 

 

 

()

där $p_{A}(a,\lambda )$ är sannolikheten för detektion av partikel $A$ med dold variabel $\lambda$ av detektor ${\ displaystyle A}$ , satt i riktning $a$ , och på liknande sätt är $p_{B}(b,\lambda )$ sannolikheten vid detektor $B$ , set i riktning $b$ , för partikel $B$ , som delar samma värde på $\lambda$ . Källan antas producera partiklar i tillståndet $\lambda$ med sannolikhet $\rho (\lambda )$ .

Med hjälp av ( 1 ) kan olika Bell-ojämlikheter härledas, vilket ger gränser för det möjliga beteendet hos lokala modeller med dolda variabler.

När John Stewart Bell ursprungligen härledde sin ojämlikhet, var det i förhållande till par av intrasslade spin-1/2- partiklar, var och en av de som sänds ut detekterades. Bell visade att när detektorer roteras i förhållande till varandra måste lokala realistiska modeller ge en korrelationskurva som är begränsad av en rät linje mellan maxima (detektorer inriktade), medan kvantkorrelationskurvan är ett cosinusförhållande . De första Bell-testerna utfördes inte med spin-1/2-partiklar, utan med fotoner, som har spin 1. En klassisk lokal gömd-variabel förutsägelse för fotoner, baserad på Maxwells ekvationer , ger en cosinuskurva , men med reducerad amplitud, t.ex. att kurvan fortfarande ligger inom de rätlinjegränser som anges i den ursprungliga Bell-olikheten.

Bells teorem antar att mätinställningar är helt oberoende, och inte i princip bestäms av universum i stort. Om detta antagande skulle vara felaktigt, som föreslagits i superdeterminism , kan slutsatser som dras från Bells teorem ogiltigförklaras. Teoremet bygger också på mycket effektiva och rymdliknande separerade mätningar. Sådana brister kallas i allmänhet kryphål . En kryphålsfri experimentell verifiering av en Bell-ojämlikhetskränkning utfördes 2015.

Klocktest utan "icke-detektioner"

Betrakta till exempel David Bohms tankeexperiment, där en molekyl går sönder i två atomer med motsatta snurr. Antag att detta snurr kan representeras av en verklig vektor, som pekar i vilken riktning som helst. Det kommer att vara den "dolda variabeln" i vår modell. Om det är en enhetsvektor representeras alla möjliga värden för den dolda variabeln av alla punkter på ytan av en enhetssfär.

Antag att spinnet ska mätas i riktningen a . Sedan är det naturliga antagandet, givet att alla atomer detekteras, att alla atomer vars projektion vars spinn i riktningen a är positiv kommer att detekteras som spin-up (kodas som +1), medan alla vars projektion är negativ kommer att detekteras som spin-down (kodad som −1). Sfärens yta kommer att delas in i två områden, en för +1, en för −1, åtskilda av en storcirkel i planet vinkelrätt mot a . Om man för enkelhets skull antar att a är horisontell, motsvarande vinkeln a med avseende på någon lämplig referensriktning, kommer delningscirkeln att vara i ett vertikalt plan. Hittills har vi modellerat sida A av vårt experiment.

Nu till modellsidan B. Antag att även b är horisontell, motsvarande vinkeln b . Det kommer att ritas en andra storcirkel på samma sfär, på vars ena sida har vi +1, den andra −1 för partikel B. Cirkeln kommer återigen att vara i ett vertikalt plan.

De två cirklarna delar upp sfärens yta i fyra regioner. Typen av "sammanfall" (++, −−, +− eller −+) som observeras för ett givet par av partiklar bestäms av det område inom vilket deras dolda variabel faller. Om man antar att källan är "rotationsinvariant" (för att producera alla möjliga tillstånd λ med lika sannolikhet), kommer sannolikheten för en given typ av sammanträffande helt klart att vara proportionell mot motsvarande area, och dessa områden kommer att variera linjärt med vinkeln mellan a och b . (För att se detta, tänk på en apelsin och dess segment. Skalarean som motsvarar ett antal n segment är ungefär proportionell mot n . Mer exakt är den proportionell mot vinkeln i mitten.)

Formeln ( 1 ) ovan har inte använts explicit – den är knappast relevant när, som här, situationen är helt deterministisk. Problemet skulle kunna omformuleras i termer av funktionerna i formeln, med ρ konstant och sannolikhetsfunktionerna stegfunktioner. Principen bakom ( 1 ) har faktiskt använts, men rent intuitivt.

Den realistiska förutsägelsen (heldragna linjer) för kvantkorrelation när det inte finns några icke-detekteringar. Den kvantmekaniska förutsägelsen är den prickade kurvan.

Således är den lokala förutsägelsen av dolda variabeln för sannolikheten för sammanträffande proportionell mot vinkeln ( b − a ) mellan detektorinställningarna. Kvantkorrelationen definieras som förväntningsvärdet för summan av de individuella resultaten, och detta är

$E=P_{++}+P_{--}-P_{+-}-P_{-+},$

 

 

 

 

()

där P ₊₊ är sannolikheten för ett "+"-utfall på båda sidor, P ₊₋ det för ett "+" på sida A, ett "−" på sida B, etc.

Eftersom varje enskild term varierar linjärt med skillnaden ( b − a ), så varierar deras summa också.

Resultatet visas i figuren.

Optical Bell tester

I nästan alla verkliga tillämpningar av Bells ojämlikheter har partiklarna som använts varit fotoner. Det antas inte nödvändigtvis att fotonerna är partikellika. De kan bara vara korta pulser av klassiskt ljus. Det antas inte att varenda en upptäcks. Istället tas den dolda variabeln som är inställd vid källan endast för att bestämma sannolikheten för ett givet utfall, varvid de faktiska individuella utfallen delvis bestäms av andra dolda variabler lokala för analysatorn och detektorn. Det antas att dessa andra dolda variabler är oberoende av experimentets två sidor.

I denna stokastiska modell, i motsats till ovanstående deterministiska fall, behöver vi ekvation ( 1 ) för att hitta den lokalrealistiska förutsägelsen för tillfälligheter. Det är nödvändigt att först göra några antaganden om funktionerna $p_{A}(a,\lambda )$ och $p_{B}(a, \lambda )$ , den vanliga är att dessa båda är cosinuskvadrater, i linje med Malus lag . Om man antar att den dolda variabeln är polarisationsriktning (parallell på de två sidorna i verkliga tillämpningar, inte ortogonal), blir ekvation ( 1 )

${\style b)=\int d\lambda \cdot \rho (\lambda )\cdot \cos ^{2}(a-\lambda )\cdot \cos ^{2}(b-\lambda )={\frac {1 }{8}}+{\frac {\cos ^{2}\phi }{4}},}$

 

 

 

 

()

där $\phi =ba$ .

Den förutsagda kvantkorrelationen kan härledas från detta och visas i figuren.

Den realistiska förutsägelsen (heldragen kurva) för kvantkorrelation i ett optiskt Bell-test. Den kvantmekaniska förutsägelsen är den prickade kurvan.

I optiska test är det för övrigt inte säkert att kvantkorrelationen är väldefinierad. Under en klassisk modell av ljus kan en enda foton gå delvis in i "+"-kanalen, delvis in i "−"-kanalen, vilket resulterar i möjligheten för samtidiga detekteringar i båda. Även om experiment såsom av Grangier et al. har visat att denna sannolikhet är mycket låg är det inte logiskt att anta att den faktiskt är noll. Definitionen av kvantkorrelation är anpassad till idén att utfall alltid kommer att vara +1, −1 eller 0. Det finns inget uppenbart sätt att inkludera någon annan möjlighet, vilket är en av anledningarna till att Clauser och Hornes Bell-test från 1974 använder singel. -kanalpolarisatorer, bör användas istället för CHSH Bell-testet . CH74 - ojämlikheten gäller bara sannolikheter för upptäckt, inte kvantkorrelationer.

Kvanttillstånd med en lokal dold-variabel modell

För separerbara tillstånd av två partiklar finns det en enkel dold-variabel modell för eventuella mätningar på de två parterna. Överraskande nog finns det också intrasslade tillstånd för vilka alla von Neumann-mätningar kan beskrivas med en dold-variabel modell. Sådana tillstånd är intrasslade, men bryter inte mot någon Bell-ojämlikhet. De så kallade Werner-tillstånden är en enparameterfamilj av tillstånd som är invarianta under varje transformation av typen $U\otimes U,$ där $U$ är en enhetlig matris. För två qubits är de bullriga singletter som ges som

$\varrho =p\vert \psi ^{-}\rangle \langle \psi ^{-}\vert +(1-p){\frac {\mathbb {I } }{4}},$

 

 

 

 

()

där singletten definieras som $\vert \psi ^{-}\rangle ={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\left(\vert 01\ rangle -\vert 10\rangle \right)$ .

RF Werner visade att sådana tillstånd tillåter en dold-variabel modell för $displaystyle p\leq 1/2} , medan$$\displaystyle p>1/3}$ är intrasslade om . ${\displaystyle p=2/3$ för modeller med dolda variabler kan förbättras tills . Dolda-variable-modeller har konstruerats för Werner-stater även om POVM- mätningar är tillåtna, inte bara von Neumann-mätningar. Dolda variabla modeller konstruerades också för störande maximalt intrasslade tillstånd, och utvidgades till och med till godtyckliga rena tillstånd blandat med vitt brus. Förutom tvådelade system finns det också resultat för flerpartsfallet. En dold-variabel modell för eventuella von Neumann-mätningar vid parterna har presenterats för ett tre-qubit-kvanttillstånd.

Generaliseringar av modellerna

Genom att variera de antagna sannolikhets- och densitetsfunktionerna i ekvation ( 1 ), kan vi komma fram till en stor variation av lokalrealistiska förutsägelser.

Tidseffekter

Tidigare antogs några nya hypoteser om tidens roll för att konstruera teorin om dolda variabler. Ett tillvägagångssätt föreslogs av K. Hess och W. Philipp och förlitar sig på möjliga konsekvenser av tidsberoende av dolda variabler; denna hypotes har kritiserats av R. D. Gill, G. Weihs, A. Zeilinger och M. Żukowski, samt DM Appleby.

Optiska modeller som avviker från Malus lag

Ytterligare information: Malus lag

Om vi ​​gör realistiska (vågbaserade) antaganden om ljusets beteende vid möte med polarisatorer och fotodetektorer, finner vi att vi inte är tvungna att acceptera att sannolikheten för detektion kommer att spegla Malus lag exakt.

Vi kan kanske anta att polarisatorerna är perfekta, med polarisatorns A-utgångsintensitet proportionell mot cos ² ( a − λ ), men förkastar det kvantmekaniska antagandet att funktionen som relaterar denna intensitet till sannolikheten för detektion är en rät linje genom ursprung. Verkliga detektorer har trots allt "mörktal" som finns där även när ingångsintensiteten är noll, och blir mättad när intensiteten är mycket hög. Det är inte möjligt för dem att producera utdata i exakt proportion till ingångsintensiteten för alla intensiteter.

Genom att variera våra antaganden verkar det möjligt att den realistiska förutsägelsen kan närma sig den kvantmekaniska inom gränserna för experimentella fel, även om en kompromiss helt klart måste uppnås. Vi måste matcha både beteendet hos den individuella ljusstrålen vid passage genom en polarisator och de observerade koincidenskurvorna. Den förra skulle förväntas följa Malus lag ganska noggrant, även om experimentella bevis här inte är så lätta att få fram. Vi är intresserade av beteendet hos mycket svagt ljus och lagen kan skilja sig något från den för starkare ljus.

Se även

• EPR paradox
• Bohr–Einstein-debatter

Vidare läsning

•    Shadbolt, PJ; Verde, MR; Peruzzo, A.; Politi, A.; Laing, A.; Lobino, M.; Matthews, JCF; Thompson, MG; O'Brien, JL (januari 2012). "Generera, manipulera och mäta intrassling och blandning med en omkonfigurerbar fotonisk krets" . Naturfotonik . 6 (1): 45–49. arXiv : 1108.3309 . doi : 10.1038/nphoton.2011.283 . hdl : 10072/53103 . ISSN 1749-4885 . S2CID 56206588 . Figur 5 belyser experimentella datapunkter som är oförklarliga av lokal teori om dolda variabler.