Phonon

Ej att förväxla med photon , Phonon (mjukvara) eller Phonon (företag) .

Inom fysiken är en fonon en kollektiv excitation i ett periodiskt, elastiskt arrangemang av atomer eller molekyler i kondenserad materia , speciellt i fasta ämnen och vissa vätskor . En typ av kvasipartikel , en fonon är ett exciterat tillstånd i den kvantmekaniska kvantiseringen av vibrationssätten för elastiska strukturer av interagerande partiklar. Fononer kan ses som kvantiserade ljudvågor , liknande fotoner som kvantiserade ljusvågor .

Studiet av fononer är en viktig del av den kondenserade materiens fysik. De spelar en viktig roll i många av de fysiska egenskaperna hos system med kondenserad materia, såsom värmeledningsförmåga och elektrisk ledningsförmåga , såväl som i modeller för neutronspridning och relaterade effekter.

Begreppet fononer introducerades 1932 av den sovjetiske fysikern Igor Tamm . Namnet fonon kommer från det grekiska ordet φωνή ( phonē ), som översätts till ljud eller röst , eftersom långvågiga fononer ger upphov till ljud . Namnet är analogt med ordet foton .

Definition

En fonon är den kvantmekaniska beskrivningen av en elementär vibrationsrörelse där ett gitter av atomer eller molekyler jämnt oscillerar vid en enda frekvens . I klassisk mekanik betecknar detta ett normalt vibrationssätt. Normala moder är viktiga eftersom varje godtycklig gittervibration kan anses vara en överlagring av dessa elementära vibrationsmoder (jfr Fourieranalys ) . Medan normala lägen är vågliknande fenomen i klassisk mekanik, har fononer också partikelliknande egenskaper, på ett sätt relaterat till våg-partikeldualiteten i kvantmekaniken.

Gitterdynamik

Ekvationerna i detta avsnitt använder inte kvantmekanikens axiom utan använder istället relationer för vilka det finns en direkt överensstämmelse i klassisk mekanik.

Till exempel: ett styvt regelbundet, kristallint (inte amorft ) gitter består av N- partiklar. Dessa partiklar kan vara atomer eller molekyler. N är ett stort tal, säg i storleksordningen 10 ²³ , eller i storleksordningen Avogadro-talet för ett typiskt prov av en fast substans. Eftersom gittret är styvt måste atomerna utöva krafter på varandra för att hålla varje atom nära sin jämviktsposition. Dessa krafter kan vara Van der Waals-krafter , kovalenta bindningar , elektrostatiska attraktioner och andra, som alla i slutändan beror på den elektriska kraften. Magnetiska och gravitationskrafter är i allmänhet försumbara. Krafterna mellan varje par av atomer kan karakteriseras av en potentiell energifunktion V som beror på atomernas separationsavstånd. Den potentiella energin för hela gittret är summan av alla parvisa potentiella energier multiplicerat med en faktor 1/2 för att kompensera för dubbelräkning:

${\frac {1}{2}}\summa _{i\neq j}V\left(r_{i}-r_{j}\ höger)$

där r _i är positionen för den i: te atomen och V är den potentiella energin mellan två atomer.

Det är svårt att lösa detta många kroppsproblem explicit i antingen klassisk eller kvantmekanik. För att förenkla uppgiften åläggs vanligtvis två viktiga approximationer . För det första utförs summan endast över angränsande atomer. Även om de elektriska krafterna i verkliga fasta ämnen sträcker sig till oändligheten, är denna approximation fortfarande giltig eftersom fälten som produceras av avlägsna atomer effektivt avskärmas . För det andra behandlas potentialerna V som harmoniska potentialer . Detta är tillåtet så länge som atomerna förblir nära sina jämviktspositioner. Formellt åstadkoms detta genom att Taylor expanderar V om dess jämviktsvärde till kvadratisk ordning, vilket ger V proportionell mot förskjutningen x ² och den elastiska kraften helt enkelt proportionell mot x . Felet i att ignorera termer av högre ordning förblir litet om x förblir nära jämviktspositionen.

Det resulterande gallret kan visualiseras som ett system av kulor förbundna med fjädrar. Följande figur visar ett kubiskt gitter, som är en bra modell för många typer av kristallint fast material. Andra gitter inkluderar en linjär kedja, vilket är ett mycket enkelt gitter som vi inom kort kommer att använda för att modellera fononer. (För andra vanliga gitter, se kristallstruktur .)

Den potentiella energin för gittret kan nu skrivas som

$\sum _{\{ij\}(\mathrm {nn} )}{\tfrac {1}{2}}m\omega ^{2}\left(R_{i}-R_{j}\ höger)^{2}.$

Här är ω den naturliga frekvensen för de harmoniska potentialerna, som antas vara desamma eftersom gittret är regelbundet. R _i är positionskoordinaten för den i: te atomen, som vi nu mäter från dess jämviktsposition. Summan över närmaste grannar betecknas (nn).

Det är viktigt att nämna att den matematiska behandlingen som ges här är mycket förenklad för att göra den tillgänglig för icke-experter. Förenklingen har uppnåtts genom att göra två grundläggande antaganden i uttrycket för kristallens totala potentiella energi. Dessa antaganden är att (i) den totala potentiella energin kan skrivas som summan av parvisa interaktioner, och (ii) varje atom interagerar med endast sina närmaste grannar. Dessa används endast sparsamt i modern gitterdynamik. Ett mer generellt tillvägagångssätt är att uttrycka den potentiella energin i termer av kraftkonstanter. Se till exempel Wiki-artikeln om multiscale Greens funktioner.

Gittervågor

Fonon som fortplantar sig genom ett kvadratiskt gitter (atomförskjutningar kraftigt överdrivna)

På grund av kopplingarna mellan atomer ger förskjutningen av en eller flera atomer från deras jämviktspositioner upphov till en uppsättning vibrationsvågor som utbreder sig genom gittret. En sådan våg visas i figuren till höger. amplitud ges av atomernas förskjutningar från deras jämviktspositioner . Våglängden λ är markerad .

Det finns en minsta möjliga våglängd, given av två gånger jämviktsseparationen a mellan atomer. Vilken våglängd som helst som är kortare än denna kan mappas till en våglängd längre än 2 a , på grund av gallrets periodicitet. Detta kan ses som en konsekvens av Nyquist-Shannon samplingssats , där gitterpunkterna ses som "provtagningspunkterna" för en kontinuerlig våg.

Inte alla möjliga gittervibrationer har en väldefinierad våglängd och frekvens. De normala lägena har dock väldefinierade våglängder och frekvenser .

Endimensionell galler

Animation som visar 6 normala lägen av ett endimensionellt gitter: en linjär kedja av partiklar. Den kortaste våglängden är på toppen, med progressivt längre våglängder under. I de lägsta linjerna kan vågornas rörelse åt höger ses.

För att förenkla analysen som behövs för ett 3-dimensionellt gitter av atomer, är det bekvämt att modellera ett 1-dimensionellt gitter eller linjär kedja. Denna modell är tillräckligt komplex för att visa de framträdande egenskaperna hos fononer.

Klassisk behandling

Krafterna mellan atomerna antas vara linjära och närmaste, och de representeras av en elastisk fjäder. Varje atom antas vara en punktpartikel och kärnan och elektronerna rör sig i steg ( adiabatisk sats) :

         n − 1 n n + 1 ← a →

···o+++++++o++++++o++++++++++++++o++++++o++++++o++++ ++o++++++o++++++o···

   →→ → →→→

   u _{n − 1} u _n u _{n + 1}

där n markerar den n: te atomen av totalt N , a är avståndet mellan atomerna när kedjan är i jämvikt, och u _n förskjutningen av den n :te atomen från dess jämviktsposition.

Om C är fjäderns elastiska konstant och m atomens massa, så är rörelseekvationen för den n :te atomen

$-2Cu_{n}+C\left(u_{n+1}+u_{n-1}\right)=m{\frac {d^{2}u_{n}}{dt^{2 }}}.$

Detta är en uppsättning kopplade ekvationer.

Eftersom lösningarna förväntas vara oscillerande, definieras nya koordinater av en diskret Fouriertransform för att frikoppla dem.

Sätta

$u_{n}=\sum _{Nak/2\pi =1}^{N}Q_{k}e^{ikna}.$

Här motsvarar na och övergår till den kontinuerliga variabeln x i skalärfältteorin. Qk φk _är kända som normalkoordinaterna , _. kontinuumfältlägen

Substitution i rörelseekvationen producerar följande frikopplade ekvationer (detta kräver en betydande manipulation med användning av ortonormalitets- och fullständighetsrelationerna för den diskreta Fouriertransformen),

$2C(\cos {ka-1})Q_{k}=m{\frac {d^{2}Q_{k}}{dt^{2}}}.$

Det här är ekvationerna för frikopplade harmoniska oscillatorer som har lösningen

$Q_{k}=A_{k}e^{i\omega _{k}t};\qquad \omega _{k}={\sqrt {{\frac {2C}{m}}(1 -\cos {ka})}}.$

Varje normalkoordinat Qk _normalt representerar ett oberoende vibrationsläge för gittret med vågnummer k , vilket är känt som ett läge .

Den andra ekvationen, för ω _k , är känd som spridningsrelationen mellan vinkelfrekvensen och vågnumret .

I kontinuumgränsen , a →0, N →∞, med Na hållen fixerad, u _n → φ ( x ) , ett skalärt fält och $\omega (k)\propto ka$ . Detta motsvarar klassisk fri skalärfältteori , en sammansättning av oberoende oscillatorer.

Kvantbehandling

En endimensionell kvantmekanisk harmonisk kedja består av N identiska atomer. Detta är den enklaste kvantmekaniska modellen av ett gitter som låter fononer uppstå från det. Formalismen för denna modell är lätt generaliserbar till två och tre dimensioner.

I viss motsats till föregående avsnitt betecknas massornas positioner inte med u _i , utan istället med x ₁ , x ₂ …, mätt från deras jämviktspositioner (dvs x _i = 0 om partikel i är vid dess jämviktsposition.) I två eller flera dimensioner _är x i vektorstorheter. Hamiltonian för detta system är

${\mathcal {H}}=\summa _{ i=1}^{N}{\frac {p_{i}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}\summa _{\{ij \}(\mathrm {nn} )}\left(x_{i}-x_{j}\right)^{2}$

där m är massan för varje atom (förutsatt att den är lika för alla), och x _i och pi _är positions- respektive momentumoperatorerna för den i :te atomen och summan görs över de närmaste grannarna (nn). Men man förväntar sig att det i ett gitter också kan uppstå vågor som beter sig som partiklar. Det är vanligt att hantera vågor i Fourierrymden som använder normala lägen för vågvektorn som variabler istället för koordinater för partiklar. Antalet normala lägen är samma som antalet partiklar. Fourierutrymmet är dock mycket användbart med tanke på systemets periodicitet .

En uppsättning av N "normala koordinater" definierade _Qk kan _Πk införas, definierade som de diskreta Fouriertransformerna av xk _som och N pk _" konjugerade momenta" Fouriertransformerna av :

${\begin{aligned}Q_{k}&={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{l}e^{ikal}x_{l}\\\Pi _{ k}&={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{l}e^{-ikal}p_{l}.\end{aligned}}$

Kvantiteten k _n visar sig vara fononens vågnummer , dvs 2 π dividerat med våglängden .

Detta val bibehåller de önskade kommuteringsrelationerna i antingen verkligt rum eller vågvektorutrymme

${\begin{aligned}\ vänster[x_{l},p_{m}\right]&=i\hbar \delta _{l,m}\\\left[Q_{k},\Pi _{k'}\right]&={ \frac {1}{N}}\sum _{l,m}e^{ikal}e^{-ik'am}\left[x_{l},p_{m}\right]\\&={ \frac {i\hbar }{N}}\sum _{l}e^{ial\left(kk'\right)}=i\hbar \delta _{k,k'}\\\left[Q_{ k},Q_{k'}\right]&=\left[\Pi _{k},\Pi _{k'}\right]=0\end{aligned}}$

Från det allmänna resultatet

${\begin{aligned}\summa _{l}x_{l}x_{l+m}&={\frac {1}{N} }\sum _{kk'}Q_{k}Q_{k'}\sum _{l}e^{ial\left(k+k'\right)}e^{iamk'}=\summa _{k }Q_{k}Q_{-k}e^{iamk}\\\summa _{l}{p_{l}}^{2}&=\summa _{k}\Pi _{k}\Pi _ {-k}\end{aligned}}$

Den potentiella energitermen är

${\tfrac {1}{2}}m\omega ^{2}\summa _{j}\left(x_{j}-x_{j+1}\right )^{2}={\tfrac {1}{2}}m\omega ^{2}\sum _{k}Q_{k}Q_{-k}(2-e^{ika}-e^{ -ika})={\tfrac {1}{2}}\sum _{k}m{\omega _{k}}^{2}Q_{k}Q_{-k}$

var

$\omega _{k}={\sqrt {2\omega ^{2}\left(1-\cos {ka}\right)}}=2\omega \left|\sin {\frac {ka }{2}}\right|$

Hamiltonian kan skrivas i vågvektorrymden som

${\mathcal {H}}={\frac {1}{2m}}\sum _{ k}\left(\Pi _{k}\Pi _{-k}+m^{2}\omega _{k}^{2}Q_{k}Q_{-k}\right)$

Kopplingarna mellan positionsvariablerna har transformerats bort; om Q och Π var hermitiska (vilket de inte är), skulle den transformerade Hamiltonian beskriva N frikopplade harmoniska oscillatorer.

Kvantiseringens form beror på valet av randvillkor; För enkelhetens skull periodiska randvillkor som definierar ( N + 1):e atomen som ekvivalent med den första atomen. Fysiskt motsvarar detta att sammanfoga kedjan i dess ändar. Den resulterande kvantiseringen är

$k=k_{n}={\frac {2\pi n}{Na}}\quad {\mbox{for }}n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots \pm {\ frac {N}{2}}.\$

Den övre gränsen till n kommer från den minsta våglängden, som är två gånger gitteravståndet a , som diskuterats ovan.

De harmoniska oscillatorns egenvärden eller energinivåer för moden ω _k är:

$E_{n}=\left({\tfrac {1}{2}}+n\right)\hbar \ omega _{k}\qquad n=0,1,2,3\ldots$

Nivåerna är jämnt fördelade på:

${\tfrac {1}{2}}\hbar \omega ,\ {\tfrac {3}{2}}\hbar \omega ,\ {\tfrac {5}{2}}\hbar \omega \ \cdots$

där 1/2 . för ħω är nollpunktsenergin en kvantharmonisk oscillator

En exakt mängd energi ħω måste tillföras till det harmoniska oscillatorgittret för att driva det till nästa energinivå. I jämförelse med fotonfallet när det elektromagnetiska fältet kvantiseras, kallas kvantiteten av vibrationsenergi en fonon.

Alla kvantsystem uppvisar vågliknande och partikelliknande egenskaper samtidigt. De partikelliknande egenskaperna hos fononen förstås bäst med användning av metoderna för andra kvantisering och operatörstekniker som beskrivs senare.

Se även: Kanonisk kvantisering § Verkligt skalärt fält

Tredimensionellt galler

Detta kan generaliseras till ett tredimensionellt gitter. Vågnumret k ersätts av en tredimensionell vågvektor k . Dessutom är varje k nu associerad med tre normala koordinater.

De nya indexen s = 1, 2, 3 betecknar fononernas polarisering . I den endimensionella modellen var atomerna begränsade till att röra sig längs linjen, så fononerna motsvarade longitudinella vågor . I tre dimensioner är vibration inte begränsad till utbredningsriktningen, utan kan också förekomma i de vinkelräta planen, som tvärgående vågor . Detta ger upphov till de ytterligare normala koordinaterna, som, som formen av Hamiltonian indikerar, vi kan se som oberoende arter av fononer.

Spridningsförhållande

Dispersionskurvor i linjär diatomisk kedja

Optiska och akustiska vibrationer i en linjär diatomisk kedja.

Dispersionsrelation ω = ω ( k ) för vissa vågor som motsvarar gittervibrationer i GaAs.

För en endimensionell alternerande grupp av två typer av joner eller atomer med massa m ₁ , m ₂ upprepade periodiskt på ett avstånd a , sammankopplade med fjädrar av fjäderkonstanten K , resulterar två vibrationssätt:

$\omega _{\pm }^ {2}=K\left({\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}\right)\pm K{\sqrt {\left({\ frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}\right)^{2}-{\frac {4\sin ^{2}{\frac {ka} {2}}}{m_{1}m_{2}}}}},$

där k är vågvektorn för vibrationen relaterad till dess våglängd med $k={\tfrac {2\pi }{\lambda }}$ .

Kopplingen mellan frekvens och vågvektor, ω = ω ( k ), är känd som en dispersionsrelation . Plustecknet resulterar i det så kallade optiska läget och minustecknet till det akustiska läget. I det optiska läget rör sig två intilliggande olika atomer mot varandra, medan de i det akustiska läget rör sig tillsammans.

Utbredningshastigheten för en akustisk fonon, som också är ljudets hastighet i gittret, ges av lutningen för den akustiska spridningsrelationen, ∂ ω _k / ∂ k (se grupphastighet .) Vid låga värden på k (dvs. långa våglängder), är spridningsrelationen nästan linjär och ljudhastigheten är ungefär ωa , oberoende av fononfrekvensen. Som ett resultat kan paket av fononer med olika (men långa) våglängder fortplanta sig över stora avstånd över gittret utan att bryta isär. Detta är anledningen till att ljud fortplantar sig genom fasta ämnen utan betydande distorsion. Detta beteende misslyckas vid stora värden på k , dvs korta våglängder, på grund av gittrets mikroskopiska detaljer.

För en kristall som har minst två atomer i sin primitiva cell , uppvisar dispersionsförhållandena två typer av fononer, nämligen optiska och akustiska lägen som motsvarar den övre blå respektive den nedre röda kurvan i diagrammet. Den vertikala axeln är fononens energi eller frekvens, medan den horisontella axeln är vågvektorn . Gränserna vid − π / a och π / a är de för den första Brillouin-zonen . En kristall med N ≥ 2 olika atomer i den primitiva cellen uppvisar tre akustiska moder: en longitudinell akustisk mod och två transversella akustiska moder . Antalet optiska moder är 3 N – 3. Den nedre figuren visar spridningsförhållandena för flera fononmoder i GaAs som funktion av vågvektorn k i huvudriktningarna för dess Brillouin-zon.

Lägena kallas också för fononspridningens grenar. I allmänhet, om det finns p-atomer (betecknat med N tidigare) i den primitiva enhetscellen, kommer det att finnas 3p-grenar av fononspridning i en 3-dimensionell kristall. Av dessa motsvarar 3 grenar akustiska lägen och de återstående 3p-3 grenarna kommer att motsvara optiska lägen. I vissa speciella riktningar sammanfaller vissa grenar på grund av symmetri. Dessa grenar kallas degenererade. I akustiska lägen vibrerar alla p-atomer i fas. Så det finns ingen förändring i de relativa förskjutningarna av dessa atomer under vågutbredningen.

Studie av fonondispersion är användbar för att modellera utbredning av ljudvågor i fasta ämnen, som kännetecknas av fononer. Energin för varje fonon, som tidigare angivits, är ħω. Vågens hastighet anges också i termer av ω och k . Riktningen på vågvektorn är riktningen för vågens utbredning och fononpolarisationsvektorn anger riktningen i vilken atomerna vibrerar. Faktiskt, i allmänhet, är våghastigheten i en kristall olika för olika riktningar av k. Med andra ord är de flesta kristaller anisotropa för fononutbredning.

En våg är longitudinell om atomerna vibrerar i samma riktning som vågens utbredning. I en tvärvåg vibrerar atomerna vinkelrätt mot vågutbredningen. Men förutom isotropa kristaller är vågorna i en kristall inte exakt längsgående eller tvärgående. För allmänna anisotropa kristaller är fononvågorna longitudinella eller tvärgående endast i vissa speciella symmetririktningar. I andra riktningar kan de vara nästan längsgående eller nästan tvärgående. Det är bara för bekvämlighets skull som de ofta kallas longitudinella eller tvärgående men är faktiskt kvasi-längsgående eller kvasi-tvärgående. Observera att i det tredimensionella fallet finns det två riktningar vinkelräta mot en rät linje vid varje punkt på linjen. Därför finns det alltid två (kvasi) tvärgående vågor för varje (kvasi) longitudinell våg.

Många fononspridningskurvor har uppmätts genom oelastisk neutronspridning .

Fysiken för ljud i vätskor skiljer sig från fysik för ljud i fasta ämnen, även om båda är densitetsvågor: ljudvågor i vätskor har bara longitudinella komponenter, medan ljudvågor i fasta ämnen har longitudinella och tvärgående komponenter. Detta beror på att vätskor inte kan stödja skjuvspänningar (men se viskoelastiska vätskor, som endast gäller höga frekvenser).

Tolkning av fononer med hjälp av andra kvantiseringstekniker

Den ovan härledda Hamiltonian kan se ut som en klassisk Hamiltonian funktion, men om den tolkas som en operator , så beskriver den en kvantfältteori för icke-interagerande bosoner . Den andra kvantiseringstekniken , som liknar stegoperatormetoden som används för kvantharmoniska oscillatorer , är ett sätt att extrahera energiegenvärden utan att direkt lösa differentialekvationerna. Givet Hamiltonian, ${\mathcal {H}}$ , såväl som den konjugerade positionen, $Q_{k}$ och konjugerat momentum $\Pi _{k}$ definieras i avsnittet om kvantbehandling ovan, kan vi definiera skapande och förintelseoperatorer :

$b_{k}={\sqrt {\frac {m\omega _{k}}{2\hbar }}} \left(Q_{k}+{\frac {i}{m\omega _{k}}}\Pi _{-k}\right)$ och ${b_{k}}^{\dolk }={\sqrt {\frac {m\omega _{k}}{2\hbar }}}\left(Q_{- k}-{\frac {i}{m\omega _{k}}}\Pi _{k}\right)$

Följande kommutatorer kan enkelt erhållas genom att ersätta i den kanoniska kommuteringsrelationen :

$\left[b_{k},{b_{ k'}}^{\dolk }\right]=\delta _{k,k'},\quad {\Big [}b_{k},b_{k'}{\Big ]}=\left[{ b_{k}}^{\dolk },{b_{k'}}^{\dolk }\right]=0$

Med detta kan operatorerna b _k ^† och b _k inverteras för att omdefiniera den konjugerade positionen och momentumet som:

$Q_{k}={\sqrt {\frac {\hbar }{2m\omega _{k}}}}\left({ b_{k}}^{\dolk }+b_{-k}\right)$ och $\Pi _{k}=i {\sqrt {\frac {\hbar m\omega _{k}}{2}}}\left({b_{k}}^{\dolk }-b_{-k}\right)$

Att direkt ersätta dessa definitioner för $Q_{k}$ och $\Pi _{k}$ i vågvektorrummet Hamiltonian, som den definieras ovan, och förenkling resulterar i att Hamiltonian tar formen :

${\mathcal {H}}=\summa _{k}\hbar \omega _{k}\left({b_{k} }^{\dolk }b_{k}+{\tfrac {1}{2}}\right)$

Detta är känt som den andra kvantiseringstekniken, även känd som yrkesnummerformuleringen, där n _k = b _k ^† b _k är yrkesnumret. Detta kan ses vara en summa av N oberoende oscillator Hamiltonians, var och en med en unik vågvektor och kompatibla med metoderna som används för den kvantharmoniska oscillatorn (observera att nk _. är hermitisk ) När en Hamiltonian kan skrivas som summan av pendlande sub-Hamiltonianer, kommer energiegentillstånden att ges av produkterna av egentillstånd för var och en av de separata sub-Hamiltonianerna. Motsvarande energispektrum ges då av summan av de individuella egenvärdena för sub-Hamiltonerna .

Liksom med kvantharmonisk oscillator kan man visa att b _k ^† respektive b _k skapar och förstör en enda fältexcitation, en fonon, med en energi på ħω _k .

Tre viktiga egenskaper hos fononer kan härledas från denna teknik. För det första är fononer bosoner , eftersom valfritt antal identiska excitationer kan skapas genom upprepad tillämpning av skapande operatorn b _k ^† . För det andra är varje fonon ett "kollektivt läge" som orsakas av varje atoms rörelse i gittret. Detta kan ses av det faktum att skapelse- och förintelseoperatorerna, definierade här i momentumrymden, innehåller summor över positions- och momentumoperatorerna för varje atom när de är skrivna i positionsrymden (Se position and momentum space ) . Slutligen, med hjälp av position-position korrelationsfunktionen , kan det visas att fononer fungerar som vågor av gitterförskjutning.

Denna teknik generaliseras lätt till tre dimensioner, där Hamiltonian tar formen:

${\mathcal {H}}=\sum _{k}\sum _{s=1}^{3}\hbar \,\omega _{k,s}\left({b_{k,s }}^{\dolk }b_{k,s}+{\tfrac {1}{2}}\right).$

Vilket kan tolkas som summan av 3N oberoende oscillator Hamiltonians, en för varje vågvektor och polarisation.

Akustiska och optiska fononer

Fasta ämnen med mer än en atom i den minsta enhetscellen uppvisar två typer av fononer: akustiska fononer och optiska fononer.

Akustiska fononer är koherenta rörelser av atomer i gittret ut ur deras jämviktspositioner. Om förskjutningen är i utbredningsriktningen kommer atomerna i vissa områden att vara närmare, i andra längre ifrån varandra, som i en ljudvåg i luft (därav namnet akustisk). Förskjutning vinkelrätt mot utbredningsriktningen är jämförbar med vågor på en sträng. Om våglängden för akustiska fononer går till oändlighet, motsvarar detta en enkel förskjutning av hela kristallen, och detta kostar noll deformationsenergi. Akustiska fononer uppvisar ett linjärt förhållande mellan frekvens och fononvågvektor för långa våglängder. Frekvenserna för akustiska fononer tenderar att bli noll med längre våglängd. Longitudinella och tvärgående akustiska fononer förkortas ofta som LA- respektive TA-fononer.

Optiska fononer är ur-fasrörelser av atomerna i gittret, en atom som rör sig till vänster och dess granne till höger. Detta inträffar om gitterbasen består av två eller flera atomer. De kallas optiska eftersom i joniska kristaller, såsom natriumklorid , skapar fluktuationer i förskjutningen en elektrisk polarisation som kopplas till det elektromagnetiska fältet. Därför kan de exciteras av infraröd strålning , ljusets elektriska fält kommer att flytta varje positiv natriumjon i fältets riktning och varje negativ kloridjon i den andra riktningen, vilket får kristallen att vibrera.

Optiska fononer har en frekvens som inte är noll i Brillouin-zonens centrum och visar ingen spridning nära den långa våglängdsgränsen. Detta beror på att de motsvarar ett vibrationssätt där positiva och negativa joner vid intilliggande gitterplatser svänger mot varandra, vilket skapar ett tidsvarierande elektriskt dipolmoment . Optiska fononer som interagerar på detta sätt med ljus kallas infraröda aktiva . Optiska fononer som är Raman-aktiva kan också interagera indirekt med ljus, genom Raman-spridning . Optiska fononer förkortas ofta som LO- och TO-fononer, för longitudinella respektive transversella moder; uppdelningen mellan LO- och TO-frekvenser beskrivs ofta noggrant av Lyddane-Sachs-Teller-relationen .

Vid experimentell mätning av optisk fononenergi ges ibland optiska fononfrekvenser i spektroskopisk vågnummernotation , där symbolen ω representerar vanlig frekvens (inte vinkelfrekvens), och uttrycks i enheter av cm ⁻¹ . Värdet erhålls genom att dividera frekvensen med ljusets hastighet i vakuum . Med andra ord motsvarar vågtalet i cm ⁻¹ enheter inversen av våglängden för en foton i vakuum som har samma frekvens som den uppmätta fononen.

Kristall fart

Huvudartikel: Crystal momentum

k-vektorer som överskrider den första Brillouin-zonen (röd) har inte mer information än deras motsvarigheter (svarta) i den första Brillouin-zonen.

I analogi med fotoner och materiavågor har fononer behandlats med vågvektor k som om den hade ett momentum ħk ; detta är dock inte strikt korrekt, eftersom ħk faktiskt inte är ett fysiskt momentum; det kallas kristallmomentet eller pseudomomentum . Detta beror på att k endast bestäms fram till addition av konstanta vektorer (de reciproka gittervektorerna och heltalsmultiplar därav). Till exempel, i den endimensionella modellen är normalkoordinaterna Q och Π definierade så att

$Q_{k}{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}Q_{k+K};\quad \Pi _{k}{\stackrel { \mathrm {def} }{=}}\Pi _{k+K}$

var

$K={\frac {2n\pi }{a}}$

för vilket heltal som helst n . En fonon med vågnummer k är alltså ekvivalent med en oändlig familj av fononer med vågnummer k ± 2 π / a , k ± 4 π / a , och så vidare. Fysiskt fungerar de ömsesidiga gittervektorerna som ytterligare bitar av momentum som gittret kan ge till fononen. Bloch-elektroner lyder en liknande uppsättning restriktioner.

Brillouin-zoner, (a) i ett kvadratiskt gitter och (b) i ett sexkantigt gitter

Det är vanligtvis bekvämt att överväga fononvågvektorer k som har den minsta magnituden | k | i deras "familj". Uppsättningen av alla sådana vågvektorer definierar den första Brillouin-zonen . Ytterligare Brillouin-zoner kan definieras som kopior av den första zonen, förskjutna av någon reciprok gittervektor.

Termodynamik

De termodynamiska egenskaperna hos ett fast ämne är direkt relaterade till dess fononstruktur. Hela uppsättningen av alla möjliga fononer som beskrivs av fononspridningsrelationerna kombineras i vad som är känt som fonondensiteten av tillstånd som bestämmer värmekapaciteten hos en kristall. På grund av denna fördelnings natur domineras värmekapaciteten av den högfrekventa delen av distributionen, medan värmeledningsförmågan i första hand är resultatet av lågfrekvensområdet.

Vid absolut nolltemperatur ligger ett kristallgitter i sitt grundtillstånd och innehåller inga fononer. Ett gitter vid en temperatur som inte är noll har en energi som inte är konstant, utan fluktuerar slumpmässigt kring något medelvärde . Dessa energifluktuationer orsakas av slumpmässiga gittervibrationer, som kan ses som en gas av fononer. Eftersom dessa fononer genereras av gittrets temperatur, betecknas de ibland för termiska fononer.

Termiska fononer kan skapas och förstöras av slumpmässiga energifluktuationer. På det statistiska mekanikens språk betyder detta att den kemiska potentialen för att lägga till en fonon är noll. Detta beteende är en förlängning av den harmoniska potentialen till den anharmoniska regimen. Termiska fononers beteende liknar fotongasen som produceras av en elektromagnetisk kavitet , där fotoner kan sändas ut eller absorberas av kavitetens väggar. Denna likhet är inte en tillfällighet, för det visar sig att det elektromagnetiska fältet beter sig som en uppsättning harmoniska oscillatorer, vilket ger upphov till strålning från den svarta kroppen . Båda gaserna följer Bose-Einstein-statistiken : i termisk jämvikt och inom den harmoniska regimen är sannolikheten för att hitta fononer eller fotoner i ett givet tillstånd med en given vinkelfrekvens:

$n\left(\omega _{k,s}\right)={\frac {1}{\ exp \left({\dfrac {\hbar \omega _{k,s}}{k_{\mathrm {B} }T}}\right)-1}}$

där ω _{k , s} är frekvensen för fononerna (eller fotonerna) i tillståndet, k _B är Boltzmann-konstanten och T är temperaturen.

Fonon tunnling

Fononer har visat sig uppvisa Quantum tunneling beteende (eller phonon tunneling ) där värme kan strömma över mellanrum upp till en nanometer breda via fononer som "tunnlar" mellan två material. Denna typ av värmeöverföring fungerar mellan avstånd som är för stora för att ledning ska ske men för små för att strålning ska uppstå och kan därför inte förklaras med klassiska värmeöverföringsmodeller .

Operatörsformalism

Fononen Hamiltonian ges av

${\mathcal {H}}={\tfrac {1}{2}}\sum _{\alpha } \left(p_{\alpha }^{2}+\omega _{\alpha }^{2}q_{\alpha }^{2}-\hbar \omega _{\alpha }\right)$

När det gäller skapande och förintelseoperatörer ges dessa av

${\mathcal {H}}=\sum _{\alpha }\hbar \omega _{\alpha }{a_{\alpha }}^{\dolk }a_{\alpha }$

Här, när vi uttrycker Hamiltonian i operatorformalism, har vi inte tagit hänsyn till 1 / 2 ħω _q - / 2 termen eftersom, givet ett kontinuum eller oändligt gitter , 1 ħω _q -termerna kommer att läggas ihop och ger en oändlig term . Därför " renormaliseras " den genom att sätta faktorn 1 / 2 ħω _q till 0, med argumentet att skillnaden i energi är vad vi mäter och inte det absoluta värdet av den. Därför saknas 1/2 för . ħω _q - faktorn i det operatorformaliserade uttrycket Hamiltonian

Grundtillståndet, även kallat " vakuumtillståndet ", är det tillstånd som inte består av några fononer. Därför är energin i grundtillståndet 0. När ett system är i tillståndet | n ₁ n ₂ n ₃ …⟩ , vi säger att det finns n _α- fononer av typen α , där n _α är fononernas sysselsättningsnummer. Energin för en enkel fonon av typ α ges av ħω _q och den totala energin för ett allmänt fononsystem ges av n ₁ ħω ₁ + n ₂ ħω ₂ +…. Eftersom det inte finns några korstermer (t.ex. n ₁ ħω ₂ ), sägs fononerna vara icke-interagerande. Handlingen av skapelse- och förintelseoperatörerna ges av:

${a_{\alpha }}^{\dolk }{\Big |}n_{1}\ldots n_{ \alpha -1}n_{\alpha }n_{\alpha +1}\ldots {\Big \rangle }={\sqrt {n_{\alpha }+1}}{\Big |}n_{1}\ldots ,n_{\alpha -1},(n_{\alpha }+1),n_{\alpha +1}\ldots {\Big \rangle }$

och,

$a_{\alpha }{\Big |}n_{1}\ldots n_{\alpha -1}n_ {\alpha }n_{\alpha +1}\ldots {\Big \rangle }={\sqrt {n_{\alpha }}}{\Big |}n_{1}\ldots ,n_{\alpha -1} ,(n_{\alpha }-1),n_{\alpha +1},\ldots {\Big \rangle }$

Skapandeoperatorn, en _α ^† skapar en fonon av typen α medan en _α förintar en. Därför är de respektive skapar- och förintelseoperatorer för fononer. Analogt med kvantharmonisk oscillatorfallet kan vi definiera partikelnummeroperator som

$N=\sum _{\alpha }{a_{\alpha }}^{\dolk }a_{\alpha }.$

Nummeroperatören pendlar med en rad produkter från skapande- och förintelseoperatörerna om och endast om antalet skapandeoperatörer är lika med antalet annihileringsoperatörer.

Det kan visas att fononer är symmetriska under utbyte (dvs | α , β ⟩ = | β , α ⟩ ), så därför anses de bosoner .

Icke-linjäritet

Förutom fotoner kan fononer interagera via parametrisk nedkonvertering och bilda sammanpressade tillstånd .

Förutspådda egenskaper

Ny forskning har visat att fononer och rotoner kan ha en icke försumbar massa och påverkas av gravitationen precis som standardpartiklar. I synnerhet förutspås fononer ha en sorts negativ massa och negativ gravitation. Detta kan förklaras av hur fononer är kända för att färdas snabbare i tätare material. Eftersom den del av ett material som pekar mot en gravitationskälla är närmare föremålet, blir den tätare i den änden. Från detta förutspås det att fononer skulle avböjas bort när de upptäcker skillnaden i densiteter och uppvisar egenskaperna hos ett negativt gravitationsfält. Även om effekten skulle vara för liten för att mäta, är det möjligt att framtida utrustning kan leda till framgångsrika resultat.

Fononer har också förutspåtts spela en nyckelroll i supraledning i material och förutsägelse av supraledande föreningar.

Annan forskning

Under 2019 kunde forskare isolera enskilda fononer utan att förstöra dem för första gången.

De har också visat sig bilda "fononvindar" där en elektrisk ström i en grafenyta genereras av ett vätskeflöde ovanför den på grund av de viskösa krafterna vid gränsytan mellan vätska och fast substans.

Se även

• Boson
• Brillouin-spridning
• Fracton
• Linjär elasticitet
• Mekanisk våg
• Fononspridning
• Bärarspridning
• Fonisk kristall
• Rayleigh våg
• Relativistisk värmeledning
• Styva enhetslägen
• SASER
• Andra ljudet
• Akustisk ytvåg
• Ytfonon
• Värmeledningsförmåga
• Vibration

externa länkar

• Citat relaterade till Phonon på Wikiquote
• Förklarat: Phonons , MIT News, 2010.
• Optiska och akustiska lägen
• Fononer i en endimensionell mikroflödeskristall [1] och [2] med filmer i [3] .