Gammamatriser

I matematisk fysik är gammamatriserna , $gamma ^{1},\gamma ^{2},\gamma ^{3}\right\}}$ , \ , även kallade Dirac- matriserna , är en uppsättning konventionella matriser med specifika antikommutationsrelationer som säkerställer att de genererar en matrisrepresentation av Clifford-algebra Cl _1,3 ( $\mathbb {R }$ ). Det är också möjligt att definiera högre dimensionella gammamatriser . När de tolkas som matriserna för verkan av en uppsättning ortogonala basvektorer för kontravarianta vektorer i Minkowski-rymden , blir kolumnvektorerna på vilka matriserna agerar ett utrymme av spinorer , på vilka Clifford-algebra av rumtid verkar. Detta gör det i sin tur möjligt att representera infinitesimala rumsrotationer och Lorentz-förstärkningar . Spinorer underlättar rumtidsberäkningar i allmänhet och är i synnerhet grundläggande för Dirac-ekvationen för relativistiska spin- 1 / 2 -partiklar.

I Dirac-representation är de fyra kontravarianta gammamatriserna

${\begin{aligned}\gamma ^{0}&={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}},&\gamma ^{1 }&={\begin{pmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&-1&0&0\\-1&0&0&0\end{pmatrix}},\\\\\gamma ^{2}&={\begin{pmatrix}0&0&0&-i \\0&0&i&0\\0&i&0&0\\-i&0&0&0\end{pmatrix}},&\gamma ^{3}&={\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&-1\\-1&0&0&0\\0&1&0&0}\end{pmatrix }~.\end{aligned}}$

$\gamma ^{0}$ är den tidsliknande, hermitiska matrisen . De andra tre är rymdliknande, anti-hermitiska matriser . Mer kompakt, ${\displaystyle \gamma ^{0}=\sigma ^{3}\otimes I} ,$ och $\ \gamma ^{j }=i\sigma ^{2}\otimes \sigma ^{j}\ ,$ där $\otimes$ betecknar Kronecker-produkten och $\sigma ^{j}$ (för j = 1, 2, 3 ) betecknar Pauli-matriserna .

Gammamatriserna har en gruppstruktur, gammagruppen , som delas av alla matrisrepresentationer av gruppen, oavsett dimension, för varje signatur av måttet. Till exempel Pauli-matriserna en uppsättning "gamma"-matriser i dimension 3 med metrik av euklidisk signatur (3, 0). I 5 rumtidsdimensioner genererar de 4 gammas ovan tillsammans med den femte gammamatrisen som presenteras nedan Clifford-algebra.

Matematisk struktur

Den definierande egenskapen för gammamatriserna för att generera en Clifford-algebra är antikommutationsrelationen

$\left\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right\ }=\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\nu}\gamma ^{\mu }=2\eta ^{\mu \nu }I_{4}\ ,$

där $\{,\}$ är antikommutatorn , $\eta ^{\mu \nu }$ är Minkowski-måttet med signatur (+ − − −) , och ${ \displaystyle I_{4}}$ är 4 × 4 identitetsmatrisen .

Denna definierande egenskap är mer fundamental än de numeriska värden som används i den specifika representationen av gammamatriserna. Kovarianta gammamatriser definieras av

$\gamma _{\mu }=\eta _{\mu \nu }\gamma ^{\ nu }=\vänster\{\gamma ^{0},-\gamma ^{1},-\gamma ^{2},-\gamma ^{3}\right\}\ ,$

och Einstein-notation antas.

Observera att den andra teckenkonventionen för metriken, (− + + +) kräver antingen en förändring i den definierande ekvationen:

$\left\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu}\right\}=-2\eta ^{\mu \nu }I_{4}$

eller en multiplikation av alla gammamatriser med $i$ , vilket naturligtvis ändrar deras hermiticitetsegenskaper som beskrivs nedan. Under den alternativa teckenkonventionen för metriken definieras sedan de kovarianta gammamatriserna av

$\gamma _{\mu }=\eta _{\mu \nu}\gamma ^{\nu }=\left\{-\gamma ^{0},+\gamma ^{1},+\ gamma ^{2},+\gamma ^{3}\right\}~.$

Fysisk struktur

Clifford-algebra Cl _1,3 ( $\mathbb {R}$ ) över rymdtid V kan betraktas som en uppsättning verkliga linjära operatorer från V till sig själv, End( V ) , eller mer allmänt, när de komplexiseras till Cl _1,3 ( $\mathbb {R}$ ) _{${\displaystyle \mathbb {C} } ,$} som mängden linjära operatorer från ett 4-dimensionellt komplext vektorrum till sig själv. Enklare, givet en grund för V , är Cl _1,3 ( $\mathbb {R}$ ) _{$\mathbb {C}$} bara mängden av alla 4×4 komplexa matriser, men utrustad med en Clifford algebrastruktur. Rymdtiden antas vara utrustad med Minkowski-metriken η _μν . Ett utrymme av bispinorer, U _x , antas också vid varje punkt i rymdtiden, försett med bispinorrepresentationen av Lorentz-gruppen . Bispinorfälten Ψ i Dirac-ekvationerna, utvärderade vid vilken punkt som helst x i rumtiden, är element av U _x , se nedan. Clifford-algebra antas verka på U _x också (genom matrismultiplikation med kolumnvektorer Ψ( x ) i U _x för alla x ). Detta kommer att vara den primära vyn av element i Cl _1,3 ( $\mathbb {R}$ ) _{$\mathbb {C}$} i detta avsnitt.

För varje linjär transformation S av U _x , finns det en transformation av End( U _x ) som ges av SES ⁻¹ för E i Cl _1,3 ( ${\displaystyle \mathbb {R} } )$ C _{$\displaystyle \mathbb { C} }$} ≈ End( U _x ) . Om S tillhör en representation av Lorentzgruppen, så kommer den inducerade verkan E ↦ SES ⁻¹ också att tillhöra en representation av Lorentzgruppen, se Lorentzgruppens representationsteori .

Om S(Λ) är bispinorrepresentationen som verkar på U _x av en godtycklig Lorentz-transformation Λ i standardrepresentationen (4 vektor) som verkar på V , så finns det en motsvarande operator på End( U _x ) = Cl _1,3 ( $\mathbb {R}$ ) _{$\mathbb {C}$} ges av ekvation:

$\gamma ^{\mu }\mapsto S(\Lambda) gamma ^{\mu }S(\Lambda )^{-1}={\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\mu }}_{\nu}\gamma ^{\nu}= {\Lambda _{\nu }}^{\mu }\gamma ^{\nu},$

visar att mängden γ ^μ kan ses som en bas för ett representationsutrymme för 4-vektorrepresentationen av Lorentz-gruppen som sitter inne i Clifford-algebra. Den sista identiteten kan kännas igen som den definierande relationen för matriser som tillhör en obestämd ortogonal grupp , vilket är $\eta \Lambda ^{\textsf {T}}\eta =\Lambda ^{-1},$ skriven i indexerad notation. Detta innebär att mängder av formuläret

$a\!\!\!/\equiv a_{\mu }\gamma ^{\mu }$

bör behandlas som 4 vektorer i manipulationer. Det betyder också att index kan höjas och sänkas på γ med hjälp av metriska η _μν som med vilken 4-vektor som helst. Notationen kallas Feynman-slash-notationen . Snedstreckoperationen mappar basen e _μ av V , eller vilket 4-dimensionellt vektorutrymme som helst, till basvektorerna γ _μ . Omvandlingsregeln för nedskurna kvantiteter är helt enkelt

${a\!\!\!/}^{\mu }\mapsto {\Lambda ^{\mu }}_{\nu }{a\!\!\!/}^{\nu }.$

Man bör notera att detta skiljer sig från transformationsregeln för γ ^μ , som nu behandlas som (fasta) basvektorer. Beteckningen av 4-tupeln ⁰ ( γ ^μ ) = ( γ , γ ¹ , γ ² , γ ³ ) som en 4-vektor som ibland finns i litteraturen är alltså en liten felaktig benämning. Den senare omvandlingen motsvarar en aktiv omvandling av komponenterna i en skuren kvantitet i termer av basen γ ^{μ , och den förra till en passiv omvandling av} själva basen γ ^{μ .}

Elementen σ ^μν = γ ^μ γ ^ν − γ ^ν γ ^μ bildar en representation av Lie-algebra i Lorentz-gruppen. Detta är en spinrepresentation. När dessa matriser, och linjära kombinationer av dem, exponentieras, är de bispinorrepresentationer av Lorentz-gruppen, t.ex. S( Λ) ovan har denna form. Det 6-dimensionella utrymmet σ ^μν spännet är representationsutrymmet för en tensorrepresentation av Lorentz-gruppen. För de högre ordningens element i Clifford-algebra i allmänhet och deras transformationsregler, se artikeln Dirac-algebra . Spin-representationen av Lorentz-gruppen är kodad i spin-gruppen Spin(1, 3) (för riktiga, oladdade spinorer) och i den komplexiserade spin-gruppen Spin(1, 3) för laddade (Dirac) spinorer.

Uttrycker Dirac-ekvationen

Huvudartikel: Dirac ekvation

I naturliga enheter kan Dirac-ekvationen skrivas som

$\left(i\gamma ^{\mu}\partial _{\mu}-m\right)\psi =0$

där $\psi$ är en Dirac-spinor.

Om du byter till Feynman-notation är Dirac-ekvationen

$(i{\partial \!\!\!/}-m)\psi =0.$

Den femte "gamma"-matrisen, γ ⁵

Det är användbart att definiera en produkt av de fyra gammamatriserna som ${\displaystyle \gamma ^{5}=\sigma _{1}\otimes I} ,$ så att

${\displaystyle \gamma ^{5}\equiv i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}={\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&1\\1&0&0&0\\0&1&0&0\end{pmatrix}}\qquad } (i Dirac-basen)$ .

Även om $\gamma ^{5}$ använder bokstaven gamma, är det inte en av gammamatriserna för Cl _1,3 ( ${\displaystyle \mathbb {R} } )$ . Siffran 5 är en kvarleva av gammal notation, där $\gamma ^{0}$ kallades " $\gamma ^{4}$ ".

$\gamma ^{5}$ har också en alternativ form:

$\gamma ^{5}={\frac {i}{4!}}\varepsilon ^{\mu \nu \alpha \beta }\gamma _ {\mu }\gamma _{\nu }\gamma _{\alpha }\gamma _{\beta }$

med konventionen $\varepsilon _{0123}=1$ , eller

$\gamma ^{5}=-{\frac {i}{4!}}\varepsilon ^{\mu \nu \alpha \beta }\gamma _{\mu }\gamma _{\nu}\gamma _{\alpha }\gamma _{\beta }$

med konventionen $\varepsilon ^{0123}=1$ . Bevis:

Detta kan ses genom att utnyttja det faktum att alla fyra gammamatriserna antipendlar, så

$\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}=\gamma ^{[0}\ gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3]}={\frac {1}{4!}}\delta _{\mu \nu \varrho \sigma }^{0123}\gamma ^ {\mu }\gamma ^{\nu}\gamma ^{\varrho }\gamma ^{\sigma }$ ,

där $\delta _{\mu \nu \varrho \sigma }^{\alpha \beta \gamma \delta }$ är typen (4,4) generaliserade Kronecker-delta i 4 dimensioner, i full antisymmetri . Om $\varepsilon _{\alpha \dots \beta }$ anger Levi-Civita-symbolen i n dimensioner, kan vi använda identiteten $\delta _{\mu \nu \varrho \sigma }^{\alpha \beta \gamma \delta }=\varepsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }\varepsilon _{ \mu \nu \varrho \sigma }$ . Då får vi, med konventionen $\varepsilon ^{0123}=1$ ,

$\gamma ^{5}=i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}={ \frac {i}{4!}}\varepsilon ^{0123}\varepsilon _{\mu \nu \varrho \sigma }\,\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\ varrho }\gamma ^{\sigma }={\frac {i}{4!}}\varepsilon _{\mu \nu \varrho \sigma }\,\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu } \gamma ^{\varrho }\gamma ^{\sigma }=-{\frac {i}{4!}}\varepsilon ^{\mu \nu \varrho \sigma }\,\gamma _{\mu }\ gamma _{\nu }\gamma _{\varrho }\gamma _{\sigma }$

Denna matris är användbar i diskussioner om kvantmekanisk kiralitet . Till exempel kan ett Dirac-fält projiceras på dess vänster- och högerhänta komponenter genom att:

$\psi _{\rm {L}}={\frac {1-\gamma ^{5}}{2}} \psi ,\qquad \psi _{\rm {R}}={\frac {1+\gamma ^{5}}{2}}\psi$ .

Några egenskaper är:

• Det är hermitiskt:

  $\left(\gamma ^{5}\right)^{\dolk }=\gamma ^{5}.$

• Dess egenvärden är ±1, eftersom:

  $\left(\gamma ^{5}\right)^{2}=I_{4}.$

• Den antipendlar med de fyra gammamatriserna:

  $\left\{\gamma ^{5},\gamma ^{\mu }\ höger\}=\gamma ^{5}\gamma ^{\mu }+\gamma ^{\mu}\gamma ^{5}=0.$

Faktum är $\psi _{\rm {L}}$ och $\psi _{\rm {R}}$ är egenvektorer för $\gamma ^{5}$ sedan

$\gamma ^{5}\psi _{\rm {L}}={\frac {\gamma ^{5}- \left(\gamma ^{5}\right)^{2}}{2}}\psi =-\psi _{\rm {L}}$ och $\gamma ^{5}\psi _{\rm {R}}={\frac {\gamma ^{5}+\left(\gamma ^{5}\right)^{2}}{2 }}\psi =\psi _{\rm {R}}.$

Fem dimensioner

Clifford -algebra i udda dimensioner beter sig som två kopior av Clifford-algebra med en mindre dimension, en vänsterkopia och en högerkopia. Således kan man använda lite av ett knep för att återanvända i γ ⁵ som en av generatorerna av Clifford algebra i fem dimensioner. I detta fall bildas mängden ⁰ { γ , γ ¹ , γ ² , γ ³ , i γ ⁵ } därför, genom de två sista egenskaperna (med tanke på att i ² ≡ −1 ) och de för de "gamla" gammarna, basen för Clifford-algebra i 5 rumtidsdimensioner för den metriska signaturen ( 1,4) . I metrisk signatur (4,1) används mängden ⁰ { γ , γ ¹ , γ ² , γ ³ , γ ⁵ } , där γ ^μ är de lämpliga för (3,1) -signaturen. Detta mönster upprepas för rumtidsdimension 2 n jämn och nästa udda dimension 2 n + 1 för alla n ≥ 1 . För mer detaljer, se högre dimensionella gammamatriser .

Identiteter

Följande identiteter följer av den grundläggande antikommuteringsrelationen, så de håller i vilken bas som helst (även om den sista beror på teckenvalet för ${\displaystyle \gamma ^{5}} )$ .

Diverse identiteter

1. $\gamma ^{\mu }\gamma _{\mu }=4I_{4}$

Bevis

Ta den vanliga antikommuteringsrelationen: $\left\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu}\right\}=\gamma ^{\mu}\gamma ^{\nu}+\gamma ^{\nu}\ gamma ^{\mu }=2\eta ^{\mu \nu }I_{4}.$ Man kan få den här situationen att se likadan ut genom att använda måttet $\eta$ : $\gamma ^{\mu }\gamma _{\mu }$ $=\gamma ^{\mu }\eta _{\mu \nu}\gamma ^{\nu }=\eta _{\mu \nu }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }$ $={\frac {1}{2}}\left(\eta _{\mu \nu }+\eta _{\nu \ mu }\right)\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }$ ( $\eta$ symmetrisk) $={\frac {1}{2}}\left(\eta _{\mu \nu }\gamma ^{ \mu }\gamma ^{\nu }+\eta _{\nu \mu }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\right)$ (expanderar) $={\frac {1}{2}}\left(\eta _{\mu \nu }\gamma ^{ \mu }\gamma ^{\nu }+\eta _{\mu \nu }\gamma ^{\nu}\gamma ^{\mu }\right)$ (ommärkning av term till höger) $={\frac {1}{2}}\eta _{\mu \nu }\left\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right\}$ $={\frac {1}{2}}\eta _{\mu \nu }\left(2\eta ^{\mu \nu}I_{4}\right)=\eta _{\mu \nu }\eta ^{\mu \nu }I_{4}=4I_{4}.$

2. $\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu}\gamma _{\mu }=-2\gamma ^{\nu }$

Bevis
På samma sätt som beviset för 1, återigen börjar med standardkommuteringsrelationen: ${\begin{aligned}\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu}\gamma _{\mu }&=\gamma ^{\mu }\left(2\eta _{\mu } ^{\nu }I_{4}-\gamma _{\mu }\gamma ^{\nu}\right)\\&=2\gamma ^{\mu }\eta _{\mu }^{\nu }-\gamma ^{\mu }\gamma _{\mu}\gamma ^{\nu }\\&=2\gamma ^{\nu}-4\gamma ^{\nu}=-2\gamma ^ {\nu }.\end{aligned}}$

3. $\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma _{\mu }=4 \eta ^{\nu \rho }I_{4}$

Bevis

Att visa $\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu}\gamma ^{\rho }\gamma _{\mu }=4\eta ^{\nu \rho }I_{4}.$ Använd antikommutatorn för att flytta $\gamma ^{\mu }$ åt höger $\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma _{\mu }$ $=\left\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu}\right\}\gamma ^{\rho }\gamma _{\mu }-\gamma ^{\nu}\gamma ^{\mu }\gamma ^{\rho }\gamma _{\mu }$ $=2\ \eta ^{\mu \nu }\gamma ^{\rho }\gamma _{\mu }-\gamma ^{\nu}\left\{\gamma ^{\mu },\ gamma ^{\rho }\right\}\gamma _{\mu }+\gamma ^{\nu}\gamma ^{\rho }\gamma ^{\mu}\gamma _{\mu }.$ Genom att använda relationen $\gamma ^{\mu }\gamma _{\mu }=4I$ kan vi dra ihop de två sista gammatalen, och få $\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma _{\mu }$ $=2\gamma ^{\rho }\gamma ^{\nu}-\gamma ^{\nu}2\ eta ^{\mu \rho }\gamma _{\mu }+4\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }$ $=2\gamma ^{\rho }\gamma ^{\nu}-2\gamma ^{\nu }\gamma ^{ \rho }+4\gamma ^{\nu}\gamma ^{\rho }$ $=2\left(\gamma ^{\rho }\gamma ^{\nu}+\gamma ^{\nu}\gamma ^{\rho }\right)$ $=2\left\{\gamma ^{\nu},\gamma ^{\rho }\right\}.$ Äntligen genom att använda antikommutatoridentiteten får vi $\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu}\gamma ^{\rho }\gamma _{\mu }=4\eta ^{\nu \rho }I_{4}.$

4. $\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\ sigma }\gamma _{\mu }=-2\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\nu }$

Bevis

$\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\gamma _{\mu }$ $=(2\eta ^{\mu \nu }-\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu })\ gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\gamma _{\mu }\,$ (antikommutatoridentitet) $=2\eta ^{\mu \nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\gamma _{ \mu }-4\gamma ^{\nu }\eta ^{\rho \sigma }\,$ (med identitet 3) ${\displaystyle =2\ gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\nu}-4\gamma ^{\nu }\eta ^{\rho \sigma }} (höjer ett index$ ) ${\displaystyle =2\left(2\eta ^{\rho \sigma }-\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\rho }\ höger)\gamma ^{\nu}-4\gamma ^{\nu}\eta ^{\rho \sigma }} ($ antikommutatoridentitet) $=-2\gamma ^ {\sigma }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\nu }$ (2 villkor avbryts)

5. $_ {\nu }\gamma ^{\rho }=\eta ^{\mu \nu}\gamma ^{\rho }+\eta ^{\nu \rho }\gamma ^{\mu }-\eta ^{ \mu \rho }\gamma ^{\nu }-i\epsilon ^{\sigma \mu \nu \rho }\gamma _{\sigma }\gamma ^{5}}$

Bevis

Om $\mu =\nu =\rho$ så $\epsilon ^{\sigma \mu \nu \rho }=0$ och det är lätt att verifiera identiteten. Så är fallet även när $\mu =\nu \neq \rho$ , $\mu =\rho \neq \nu$ eller ${ \displaystyle \nu =\rho \neq \mu }$ . Å andra sidan, om alla tre indexen är olika, ${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }=0} ,$ η $\displaystyle \eta ^{\mu \rho }=0 }$ och $\eta ^{\nu \rho }=0$ och båda sidorna är helt antisymmetriska; vänster sida på grund av antikommutativiteten för $\gamma$ -matriserna, och på höger sida på grund av antisymmetrin för $\epsilon _{\sigma \mu \nu \rho }$ . Det räcker alltså att verifiera identiteterna för fallen ${\displaystyle \gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}} ,$ γ $\displaystyle \gamma ^ {0}\gamma ^{1}\gamma ^{3}}$ , $\gamma ^{0}\gamma ^{2}\gamma ^{3}$ och $\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}$ . ${\begin{aligned}-i\epsilon ^{\sigma 012}\gamma _{\sigma } gamma ^{5}&=-i\epsilon ^{3012}\left(-\gamma ^{3}\right)\left(i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2} \gamma ^{3}\right)=-\epsilon ^{3012}\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}=\epsilon ^{0123}\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\\-i\epsilon ^{\sigma 013}\gamma _{\sigma }\gamma ^{5}&=-i\epsilon ^{2013}\left(-\ gamma ^{2}\right)\left(i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}\right)=\epsilon ^{2013}\gamma ^{ 0}\gamma ^{1}\gamma ^{3}=\epsilon ^{0123}\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{3}\\-i\epsilon ^{\sigma 023 }\gamma _{\sigma }\gamma ^{5}&=-i\epsilon ^{1023}\left(-\gamma ^{1}\right)\left(i\gamma ^{0}\gamma ^ {1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}\right)=-\epsilon ^{1023}\gamma ^{0}\gamma ^{2}\gamma ^{3}=\epsilon ^{0123 }\gamma ^{0}\gamma ^{2}\gamma ^{3}\\-i\epsilon ^{\sigma 123}\gamma _{\sigma }\gamma ^{5}&=-i\epsilon ^{0123}\left(\gamma ^{0}\right)\left(i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}\right)=\epsilon ^{0123}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}\end{aligned}}$

6. $\gamma ^{5}\gamma ^{\nu \rho }={\frac {i}{2}}\epsilon ^ {\sigma \mu \nu \rho }\sigma _{\sigma \mu }$ , där $\sigma _{\mu \nu }=i[\gamma _{\mu },\gamma _{\nu}]/2=i(\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }-\gamma _{\nu }\gamma _{\mu })/2$

Bevis

För $\nu =\rho$ , $\epsilon ^{\sigma \mu \nu \rho }=0$ och båda sidorna försvinner. Annars, multiplicera identitet 5 med $\gamma _{\mu }$ från höger ger det $\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma _{\mu }$ $\ nu \gamma ^{\rho }\gamma _{\mu }+\eta ^{\nu \rho }\gamma ^{\mu }\gamma _{\mu }-\eta ^{\mu \rho }\gamma ^{\nu }\gamma _{\mu }-i\epsilon ^{\sigma \mu \nu \rho }\gamma _{\sigma }\gamma ^{5}\gamma _{\mu }\,}$ $=\gamma ^{\rho }\gamma ^{\rho }\gamma}+ \eta ^{\nu \rho }I_{4}-\gamma ^{\nu}\gamma ^{\rho }-i\epsilon ^{\sigma \mu \nu \rho }\gamma _{\sigma } \gamma ^{5}\gamma _{\mu }\,$ (höja index och använda identitet 1) där $4\eta ^{\nu \rho }I_{4}=0$ eftersom $\nu \neq \rho$ . Den vänstra sidan av denna ekvation försvinner också eftersom $\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\ gamma _{\mu }=4\eta ^{\nu \rho }I_{4}$ av egenskap 3. Omarrangering ger att $\gamma ^{\rho }\gamma ^{\nu}-\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }$ $=i\epsilon ^{\sigma \mu \nu \rho }\gamma _{\sigma }\gamma ^{5}\gamma _{\mu }\,$ $=-i\epsilon ^{\sigma \mu \nu \rho }\gamma ^{5}\gamma _{\sigma }\gamma _{ \mu }\,$ (eftersom $\gamma ^{5}$ antipendlar med gammamatriserna) Observera att ${\displaystyle 2\gamma _{\sigma }\gamma _{\mu }=\gamma _{\sig }\gamma _{\mu }-\gamma _{\mu }\gamma _{\sigma }=[\gamma _{\sigma },\gamma _{\mu }]} för σ ≠$ μ $\ sigma \neq \mu }$ (för $\sigma =\mu$ , $\epsilon ^{\sigma \mu \nu \rho }$ försvinner) av standardantikommutationsrelationen . Det följer att $-[\gamma ^{\nu },\gamma ^{\rho }]$ $=-{\frac {i}{2}}\epsilon ^{\sigma \mu \nu \rho }\gamma ^{ 5}[\gamma _{\sigma },\gamma _{\mu }]\,$ Multiplicera från vänster gånger $-i\gamma ^{5}/2$ och använda det $(\gamma ^{5})^{2 }=I_{4}$ ger önskat resultat.

Spåra identiteter

Gammamatriserna lyder följande spåridentiteter :

1. $\operatörsnamn {tr} \left(\gamma ^{\mu }\right)=0$
2. Spår av vilken produkt som helst av ett udda antal $\gamma ^{\mu }$ är noll
3. Spår av $\gamma ^{5}$ gånger en produkt av ett udda antal $\gamma ^{\mu }$ är fortfarande noll
4. $\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu}\gamma ^{\nu }\right)=4\eta ^{\mu \ nu }$
5. $stil \r) {\ft {\mu }\gamma ^{\nu}\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\right)=4\left(\eta ^{\mu \nu}\eta ^{\rho \sigma }-\eta ^{\mu \rho }\eta ^{\nu \sigma }+\eta ^{\mu \sigma }\eta ^{\nu \rho }\right)}$
6. $\operatörsnamn {tr} \left(\gamma ^{5}\right)=\operatörsnamn {tr} \left(\gamma ^ {\mu }\gamma ^{\nu}\gamma ^{5}\right)=0$
7. $\operatörsnamn {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu}\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\gamma ^{5}\right)=-4i\epsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }$
8. $\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu _{1}}\dots \gamma ^ {\mu _{n}}\right)=\operatörsnamn {tr} \left(\gamma ^{\mu _{n}}\dots \gamma ^{\mu _{1}}\right)$

Att bevisa ovanstående innebär användning av tre huvudegenskaper hos spårningsoperatören :

• tr( A + B ) = tr( A ) + tr( B )
• tr( rA ) = r tr( A )
• tr( ABC ) = tr( CAB ) = tr( BCA )

Bevis på 1

Från definitionen av gammamatriserna, $\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu}+\gamma ^{\nu}\gamma ^{\mu }=2\ eta ^{\mu \nu }I$ Vi får $\gamma ^{\mu }\gamma ^{\mu }=\eta ^{\mu \mu }I$ eller motsvarande, ${\frac {\gamma ^{\mu }\gamma ^{\mu }}{\eta ^{\mu \mu }}}=I$ där $\eta ^{\mu \mu }$ är ett tal, och $\gamma ^{\mu }\gamma ^{\mu }$ är en matris. ${\displaystyle \operatorname {tr} (\gamma ^{\nu })={\frac {1}{\eta ^{ \mu \mu }}}\operatörsnamn {tr} (\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\mu })} (infogar identiteten och använder tr(rA) = r tr$ ( A)) $=-{\frac {1}{\eta ^{\mu \mu }}}\operatörsnamn {tr} (\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu })$ (från anti-kommuteringsrelation, och givet att vi är fria att välja $\mu \neq \nu$ ) $=-{\frac {1}{\eta ^{\mu \mu }}}\operatörsnamn {tr} (\gamma ^{\ nu }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\mu })$ (med tr(ABC) = tr(BCA)) $=-\operatörsnamn {tr} (\ gamma ^{\nu })$ (ta bort identiteten) Detta innebär $\operatörsnamn {tr} (\gamma ^{\nu })=0$

Bevis på 2

Att visa $\operatörsnamn {tr} ({\text{udda antal av }}\gamma )=0$ Observera först att $\operatörsnamn {tr} \left(\gamma ^{\mu }\right)=0.$ Vi kommer också att använda två fakta om den femte gammamatrisen $\gamma ^{5}$ som säger: $\left(\gamma ^{5}\right)^{2}=I_{4},\quad \ mathrm {and} \quad \gamma ^{\mu }\gamma ^{5}=-\gamma ^{5}\gamma ^{\mu }$ Så låt oss använda dessa två fakta för att bevisa denna identitet för det första icke-triviala fallet: spåret av tre gammamatriser. Steg ett är att lägga in ett par $\gamma ^{5}$ framför de tre ursprungliga ${\displaystyle \gamma }:en$ , och steg två är att byta ${\ displaystyle \gamma ^{5}}$ matris tillbaka till den ursprungliga positionen, efter att ha använt spårets cyklicitet. $\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\right)$ $=\operatörsnamn {tr} \left(\gamma ^{5}\gamma ^{5}\gamma ^{\mu }\gamma ^{ \nu }\gamma ^{\rho }\right)$ $=-\operatörsnamn {tr} \left(\gamma ^{5}\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\ gamma ^{\rho }\gamma ^{5}\right)$ ${\displaystyle =-\operatörsnamn {tr} \left(\gamma ^{5 }\gamma ^{5}\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu}\gamma ^{\rho }\right)} ($ med tr(ABC) = tr(BCA)) $=-\operatörsnamn {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu}\gamma ^{\rho }\right)$ Detta kan endast uppfyllas om $\operatörsnamn {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\right)=0$ Förlängningen till 2n + 1 (n heltals) gammamatriser, hittas genom att placera två gamma-5:or efter (säg) den 2n:e gammamatrisen i kurvan, pendla en ut till höger (ger ett minustecken) och pendla den andra gamma-5 2n kliver ut till vänster [med teckenbyte (-1)^2n = 1]. Sedan använder vi cyklisk identitet för att få ihop de två gamma-5:orna, och därmed kvadrerar de till identitet, vilket lämnar oss med spåret lika med minus sig själv, dvs 0.

Bevis på 3

Om ett udda antal gammamatriser visas i ett spår följt av $\gamma ^{5}$ , är vårt mål att flytta $\gamma ^{5}$ från höger sida till vänster. Detta kommer att lämna spåret invariant av den cykliska egenskapen. För att kunna göra detta måste vi antipendla det med alla andra gammamatriser. Det betyder att vi antipendlar det ett udda antal gånger och plockar upp ett minustecken. Ett spår som är lika med det negativa av sig självt måste vara noll.

Bevis på 4

Att visa $\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu}\gamma ^{\nu }\right)=4\eta ^{\mu \ nu }$ Börja med, $\operatörsnamn {tr} (\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu })$ $={\frac {1}{2}}\left(\operatörsnamn {tr} \left(\gamma ^ {\mu }\gamma ^{\nu}\right)+\operatörsnamn {tr} \left(\gamma ^{\nu}\gamma ^{\mu}\right)\right)$ ${\displaystyle ={\frac {1}{2}}\operatörsnamn {tr} \ vänster(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu}+\gamma ^{\nu}\gamma ^{\mu}\right)={\frac {1}{2}}\operatörsnamn {tr} \left(\left\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu}\right\}\right)} =$ $\ displaystyle ={\frac {1}{2}}2\eta ^{\mu \nu }\operatörsnamn {tr} (I_{4})=4\eta ^{\mu \nu }}$

Bevis på 5

$\operatörsnamn {tr} \left(\gamma ^{\mu}\gamma ^{\nu}\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\höger)$ $=\operatörsnamn {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\left(2) \eta ^{\rho \sigma }-\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\rho }\right)\right)$ $=2\eta ^{\rho \sigma }\operatörsnamn {tr} (\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu}\right)-\operatörsnamn {tr} \left(\gamma ^{\mu}\gamma ^{\nu}\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\rho }\right)\quad \quad (1)$ För termen till höger fortsätter vi mönstret att byta $\gamma ^{\sigma }$ med sin granne till vänster, $\operatörsnamn {tr} \left(\gamma ^{\mu}\gamma ^{\nu}\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\rho }\höger)$ $=\operatörsnamn {tr} \left(\gamma ^{\mu }\left(2\eta ^{\nu \ sigma }-\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\nu }\right)\gamma ^{\rho }\right)$ $=2\eta ^{\nu \sigma }\operatörsnamn {tr} (\gamma ^{\mu }\gamma ^{\rho }\right)-\operatörsnamn {tr} \left(\gamma ^{\mu}\gamma ^{\sigma}\gamma ^{\nu}\gamma ^{\rho }\right)\quad \quad (2)$ Återigen, för termen till höger byt $\gamma ^{\sigma }$ med sin granne till vänster, $\operatörsnamn {tr} \left(\gamma ^{\mu}\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\höger)$ $=\operatörsnamn {tr} \left(\left(2\eta ^{\mu \sigma }-\gamma ^{ \sigma }\gamma ^{\mu }\right)\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\right)$ $=2\eta ^{\mu \sigma }\operatörsnamn {tr} (\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho}\right)-\operatörsnamn {tr} \left(\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\mu}\gamma ^{\nu}\gamma ^{\rho }\right)\quad \quad (3)$ Ekv (3) är termen till höger om ekv (2), och ekv (2) är termen till höger om ekv (1). Vi kommer också att använda identitetsnummer 3 för att förenkla termer som så här: $2\eta ^{\rho \sigma }\operatörsnamn {tr} \left(\gamma ^{\mu}\gamma ^{\nu}\right)=2\eta ^{\rho \sigma }\ left(4\eta ^{\mu \nu }\right)=8\eta ^{\rho \sigma }\eta ^{\mu \nu }.$ Så äntligen Eq (1), när du kopplar in all denna information ger $style ρ {namn \ft \$ $-\ \operatörsnamn {tr} \left(\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu}\gamma ^{\rho }\right)\ quad \quad \quad \quad \quad \quad (4)$ Termerna inuti spåret kan cyklas, så $\operatörsnamn {tr} \left(\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu}\gamma ^{\rho}\right)=\operatörsnamn {tr} \left (\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu}\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\right).$ Så verkligen (4) är $operator ρ 2 \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu}\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\right)=8\eta ^{\rho \sigma }\eta ^{\mu \nu }-8\eta ^{\nu \sigma }\eta ^{\mu \rho }+8\eta ^{\mu \sigma }\eta ^{\nu \rho }}$ eller $operatör ^(ledisplay {amma ρ}) {\ft {\mu }\gamma ^{\nu}\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\right)=4\left(\eta ^{\rho \sigma }\eta ^{\mu \nu }-\eta ^{\nu \sigma }\eta ^{\mu \rho }+\eta ^{\mu \sigma }\eta ^{\nu \rho }\right)}$

Bevis på 6

Att visa $\operatörsnamn {tr} \left(\gamma ^{5}\right)=0$ , börja med $\operatörsnamn {tr} \left(\gamma ^{5}\right)$ $=\operatörsnamn {tr} \left(\gamma ^{0}\gamma ^{0}\gamma ^{5}\right)$ (eftersom $\gamma ^{0}\gamma ^{0}=I_{4}$ ) $=-\operatörsnamn {tr} \left(\gamma ^{0}\gamma ^{5}\gamma ^{0}\right)$ (anti-pendla $\gamma ^{5}$ med $\gamma ^{0}$ ) $=-\operatörsnamn {tr} \left(\gamma ^{0}\gamma ^{0}\gamma ^{5}\right)$ (rotera termer inom spåret) $=-\operatörsnamn {tr} \left(\gamma ^{5}\right)$ (ta bort $\gamma ^{0}$ s) Lägg till $\operatorname {tr} \left(\gamma ^{5}\right)$ på båda sidor av ovanstående för att se $2\operatörsnamn {tr} \left(\gamma ^{5}\right)=0$ . Nu kan detta mönster också användas för att visa $\operatörsnamn {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu}\gamma ^{5}\right)=0$ . Lägg bara till två faktorer av $\gamma ^{\alpha }$ , med $\alpha$ som skiljer sig från $\mu$ och $\nu$ . Antipendla tre gånger istället för en gång, plocka upp tre minustecken och cykla med hjälp av spårets cykliska egenskap. Så, $\operatörsnamn {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu}\gamma ^{5}\right)=0$ .

Bevis på 7

För ett bevis på identitet 7 fungerar samma trick fortfarande om inte $\left(\mu \nu \rho \sigma \right)$ är någon permutation av (0123), så att alla 4 gamma visas. Antikommuteringsreglerna innebär att byte av två av indexen ändrar spårets tecken, så ${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu } \gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\gamma ^{5}\right)} måste vara proportionell mot ϵ μ ν$ ρ $epsilon ^{\mu \ nu \rho \sigma }}$$=$ . Proportionalitetskonstanten är $4i$ , vilket kan kontrolleras genom att plugga in ${\displaystyle (\mu \nu \rho \sigma )=(0123)} ,$ skriva ut $\gamma ^{5}$ , och kom ihåg att spåret av identiteten är 4.

Bevis på 8

Beteckna produkten av $n$ gammamatriser med ${\displaystyle \Gamma =\gamma ^{\mu 1}\gamma ^{\mu 2}\dots \gamma ^{\mu n}.} Betrakta$ den hermitiska konjugatet av $\Gamma$ : $\Gamma ^{\dolk }$ $=\gamma ^{\mu n\dolk }\dots \gamma ^{\mu 2\dolk }\gamma ^{\mu 1\dolk }$ $=\gamma ^{0}\gamma ^{\mu n}\gamma ^{0}\dots \gamma ^{0}\ gamma ^{\mu 2}\gamma ^{0}\gamma ^{0}\gamma ^{\mu 1}\gamma ^{0}$ (eftersom konjugering av en gammamatris med $\gamma ^{0}$ ger dess hermitiska konjugat enligt beskrivningen nedan) $=\gamma ^{0}\gamma ^{\mu n}\dots \gamma ^{\mu 2}\gamma ^{\mu 1}\ gamma ^{0}$ (alla $\gamma ^{0}$ utom det första och det sista bortfallet) Konjugerar vi med $\gamma ^{0}$ en gång till för att bli av med de två $\gamma ^{0}$ som finns där, ser vi att $\gamma ^{0}\Gamma ^{\dolk }\gamma ^{0}$ är motsatsen till $\Gamma$ . Nu, $\operatörsnamn {tr} \left(\gamma ^{0}\Gamma ^{\dolk}\gamma ^{0}\right)$ $=\operatörsnamn {tr} \left(\Gamma ^{\dolk }\right)$ (eftersom spår är invariant under likhetstransformationer) $=\operatörsnamn {tr} \left(\Gamma ^{*}\right)$ (eftersom spår är invariant under transponering) $=\operatörsnamn {tr} \left(\Gamma \right)$ (eftersom spåret av en produkt av gammamatriser är verkligt)

Normalisering

Gammamatriserna kan väljas med extra hermiticitetsförhållanden som dock begränsas av ovanstående antikommutationsrelationer. Vi kan tvinga

${\displaystyle \left(\gamma ^{0}\right)^{\dolk }=\gamma ^{0}},$ kompatibel med $\left( \gamma ^{0}\right)^{2}=I_{4}$

och för de andra gammamatriserna (för k = 1, 2, 3 )

${\displaystyle \left(\gamma ^{k}\right)^{\dolk }=-\gamma ^{k}},$ kompatibel med $\left(\gamma ^{k}\right)^{2}=-I_{4}.$

Man kontrollerar omedelbart att dessa eremititetsrelationer gäller för Dirac-representationen.

Ovanstående villkor kan kombineras i relationen

$\left(\gamma ^{\mu}\right)^{\dolk }=\gamma ^{0}\gamma ^{\mu}\gamma ^{0}.$

Hermititetsförhållandena är inte invarianta under åtgärden $\gamma ^{\mu }\to S(\Lambda )\gamma ^{\mu }{S (\Lambda )}^{-1}$ av en Lorentz-transformation $\Lambda$ eftersom $S(\Lambda )$ inte nödvändigtvis är en enhetlig transformation på grund av att den inte är kompakt Lorentz grupp.

Laddningskonjugering

Operatören för avgiftskonjugation , oavsett grund, kan definieras som

$C\gamma _{\mu }C^{-1}=-(\gamma _{\mu })^{\textsf {T}}$

där $(\cdot )^{\textsf {T}}$ betecknar matristransponeringen . Den explicita form som $C$ tar är beroende av den specifika representationen som valts för gammamatriserna (dess form uttryckt som produkten av gammamatriserna är representationsberoende, medan det kan ses $\ C=i\gamma ^{0}\gamma ^{2}\$ i Dirac-basen:

${\begin{aligned}C&={\begin{pmatrix}0&~~~0&0&-1\\0&~~~0&1&~~~0\\0&- 1&0&~~~0\\1&~~~0&0&~~~0\end{pmatrix}}~,\end{aligned}}$

som till exempel inte håller i Majorana-basen). Detta beror på att även om laddningskonjugering är en automorfism av gammagruppen , är det inte en inre automorfism ( av gruppen). Konjugerande matriser kan hittas, men de är representationsberoende.

Representationsoberoende identiteter inkluderar:

${\ start{aligned}C\gamma _{5}C^{-1}&=+(\gamma _{5})^{\textsf {T}}\\C\sigma _{\mu \nu}C^ {-1}&=-(\sigma _{\mu \nu })^{\textsf {T}}\\C\gamma _{5}\gamma _{\mu }C^{-1}&= +(\gamma _{5}\gamma _{\mu })^{\textsf {T}}\\\end{aligned}}$

Dessutom, för alla fyra representationerna nedan (Dirac, Majorana och båda kirala varianterna), har man

$C^{-1}=C^{\textsf {T}}=-C^{\dolk }=-C~.$

Feynman snedstreck notation

Feynman snedstrecksbeteckningen definieras av

${a\!\!\!/}:=\gamma ^{\mu }a_{\mu }$

för vilken 4-vektor som helst $a$ .

Här är några liknande identiteter som de ovan, men med snedstreck:

• ${a\!\!\!/}{b\!\!\!/}=a\cdot b-ia_{\mu }\sigma ^{\mu \nu }b_{\nu }$
• ${a\! !\!/}{a\!\!\!/}=a^{\mu }a^{\nu }\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }={\frac {1}{ 2}}a^{\mu }a^{\nu }\left(\gamma _{\mu }\gamma _{\nu}+\gamma _{\nu}\gamma _{\mu}\right) =\eta _{\mu \nu }a^{\mu }a^{\nu }=a^{2}$
• $\operatörsnamn {tr} \left({a\!\!\!/}{b\!\!\!/}\right)= 4(a\cdot b)$
• ${\ displaystyle \operatörsnamn {tr} \left({a\!\!\!/}{b\!\!\!/}{c\!\!\!/}{d\!\!\!/}\ höger)=4\vänster[(a\cdot b)(c\cdot d)-(a\cdot c)(b\cdot d)+(a\cdot d)(b\cdot c)\höger]}$
• $\operatörsnamn {tr} \left(\gamma _{5}{a\!\!\!/}{b\!\!\!/}\right )=0$
• $\operatörsnamn {tr} \left(\gamma _{5}{a \!\!\!/}{b\!\!\!/}{c\!\!\!/}{d\!\!\!/}\right)=-4i\epsilon _{\mu \nu \rho \sigma }a^{\mu }b^{\nu }c^{\rho }d^{\sigma }$
• $\gamma _{\mu }{a\!\!\!/}\gamma ^{\mu }=-2{a\!\!\!/ }$
• $\gamma _{\mu }{a\!\!\!/}{b\!\!\!/}\gamma ^{\ mu }=4(a\cdot b)$
• $\gamma _{\mu }{a\!\!\!/}{b\!\!\!/}{ c\!\!\!/}\gamma ^{\mu }=-2{c\!\!\!/}{b\!\!\!/}{a\!\!\!/}$

  där $\epsilon _{\mu \nu \rho \sigma }$ är Levi-Civita-symbolen och ${\displaystyle \sigma ^{\mu \nu }={\frac {i}{2}}\left[\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right].} Faktiskt spår av$ produkter av udda antal $\gamma$ är noll och därmed

• ${\text{tr}}(a_{1}\!\!\!\!\!\!/\,\,\,a_{ 2}\!\!\!\!\!\!/\,\,\,\cdots a_{n}\!\!\!\!\!\!/\,\,\,)=0$ för $n$ udda.

Många följer direkt av att utöka snedstrecksbeteckningen och dra samman uttryck av formen $a_{\mu }b_{\nu }c_{\rho }\cdots$ med lämplig identitet i form av gammamatriser.

Andra representationer

Matriserna skrivs också ibland med 2×2- identitetsmatrisen , $I_{2}$ , och

$\gamma ^{k}={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{k}\\-\sigma ^{k}&0\end{pmatrix}}$

där k går från 1 till 3 och σ ^k är Pauli-matriser .

Dirac grund

Gammamatriserna vi har skrivit hittills är lämpliga för att agera på Dirac-spinorer skrivna i Dirac-basen ; Faktum är att Dirac-basen definieras av dessa matriser. För att sammanfatta, i Dirac-basen:

$\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&-I_{2}\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{k}={\begin{pmatrix }0&\sigma ^{k}\\-\sigma ^{k}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{5}={\begin{pmatrix}0&I_{2}\\I_{2} &0\end{pmatrix}}~.$

I Dirac-basen är laddningskonjugationsoperatorn riktigt antisymmetrisk,

$C=i\gamma ^{2}\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}0&-i\sigma ^{2}\\-i\sigma ^{2}&0\end{pmatrix} }={\begin{pmatrix}0&~~0&~~0&-1\\0&~~0&~~1&~~0\\0&-1&~~0&~~0\\1&~~0&~~0&~ ~0\end{pmatrix}}~.$

Weyl (kiral) basis

Ett annat vanligt val är Weyl eller chiral basis , där $\gamma ^{k}$ förblir densamma men $\gamma ^{0}$ är annorlunda, och så $\ gamma ^{5}$ är också annorlunda, och diagonalt,

$\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}0&I_{2 }\\I_{2}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{k}={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{k}\\-\sigma ^{k}&0\end{ pmatrix}},\quad \gamma ^{5}={\begin{pmatrix}-I_{2}&0\\0&I_{2}\end{pmatrix}},$

eller i mer kompakt notation:

$\gamma ^{\mu }={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{\mu }\\{\overline {\sigma }}^{\mu}&0\end{pmatrix}},\quad \sigma ^{\mu }\equiv (1,\sigma ^{i}),\quad {\overline {\sigma }}^{\mu }\equiv \left(1,-\sigma ^{i}\ höger).$

Weyl - basen har fördelen att dess kirala projektioner tar en enkel form,

$\psi _{\rm {L}}={\frac {1}{2}}\left(1-\gamma ^{5}\right)\psi ={\begin{pmatrix}I_{2 }&0\\0&0\end{pmatrix}}\psi ,\quad \psi _{\rm {R}}={\frac {1}{2}}\left(1+\gamma ^{5}\right )\psi ={\begin{pmatrix}0&0\\0&I_{2}\end{pmatrix}}\psi .$

Idempotensen hos de kirala projektionerna är uppenbar .

Genom att missbruka notationen något och återanvända symbolerna $\psi _{\rm {L/R}}$ kan vi sedan identifiera

$\psi ={\begin{pmatrix}\psi _{\rm {L}}\\\psi _{\rm {R}}\end{pmatrix}},$

där nu $\psi _{\rm {L}}$ och $\psi _{\rm {R}}$ är vänsterhänta och högerhänta tvåkomponents Weyl-spinorer.

Laddningskonjugationsoperatorn i denna bas är verklig antisymmetrisk,

$C={\begin{pmatrix}i\sigma ^{2}&0\\0&-i\sigma ^{2}\end{pmatrix}}$

Dirac-basen kan erhållas från Weyl-basen as

$\gamma _{\rm {W}}^{\mu }=U\gamma _{\rm {D}}^{\ mu }U^{\dolk },\quad \psi _{\rm {W}}=U\psi _{\rm {D}}$

via enhetsomvandlingen

$U={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(1+\gamma ^{5}\gamma ^{0}\right)={\frac {1}{\sqrt { 2\,}}}{\begin{pmatrix}I_{2}&-I_{2}\\I_{2}&I_{2}\end{pmatrix}}.$

Weyl (kiral) bas (alternativ form)

Ett annat möjligt val av Weyl-basen har

$\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}0&-I_{2}\\-I_{2}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{k}={\begin{ pmatrix}0&\sigma ^{k}\\-\sigma ^{k}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{5}={\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&- I_{2}\end{pmatrix}}.$

De kirala projektionerna har en något annorlunda form än det andra Weyl-valet,

$\psi _{\rm {R}}={\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&0\end{pmatrix}}\psi ,\quad \psi _{\rm {L}}= {\begin{pmatrix}0&0\\0&I_{2}\end{pmatrix}}\psi .$

Med andra ord,

$\psi ={\begin{pmatrix}\psi _{\rm {R}}\\\psi _{\rm {L}}\end{pmatrix}},$

där $\psi _{\rm {L}}$ och $\psi _{\rm {R}}$ är vänsterhänta och högerhänta tvåkomponents Weyl-spinorer, som innan.

Avgiftskonjugationsoperatören i denna grund är

$C=-i\sigma ^{3}\otimes \sigma ^{2}={\begin{pmatrix}-i\sigma ^{2}&0\\0&i\sigma ^{2}\end{pmatrix }}={\begin{pmatrix}0&-1&~~0&~~0\\1&~~0&~~0&~~0\\0&~~0&~~0&~~1\\0&~~0&-1& ~~0\\\end{pmatrix}}~.$

Denna bas kan erhållas från Dirac-basen ovan som ${\displaystyle \gamma _{\rm {W}}^{\mu }=U\gamma _{\rm {D}}^{\mu }U^{\dolk },~~\psi _{\rm {W}}=U\psi _{\rm {D}}} via$ enhetstransformen

$U={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(1-\gamma ^{5}\gamma ^{0}\right)={\frac {1}{\sqrt { 2\,}}}{\begin{pmatrix}~~I_{2}&I_{2}\\-I_{2}&I_{2}\end{pmatrix}}~.$

Majorana grund

Det finns också Majorana- basen, där alla Dirac-matriser är imaginära, och spinorerna och Dirac-ekvationen är verkliga. Beträffande Pauli-matriserna kan grunden skrivas som

${\begin{aligned}\gamma ^{0}&={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{2} \\\sigma ^{2}&0\end{pmatrix}},&\gamma ^{1}&={\begin{pmatrix}i\sigma ^{3}&0\\0&i\sigma ^{3}\end {pmatrix}},&\gamma ^{2}&={\begin{pmatrix}0&-\sigma ^{2}\\\sigma ^{2}&0\end{pmatrix}},\\\gamma ^{ 3}&={\begin{pmatrix}-i\sigma ^{1}&0\\0&-i\sigma ^{1}\end{pmatrix}},&\gamma ^{5}&={\begin{ pmatrix}\sigma ^{2}&0\\0&-\sigma ^{2}\end{pmatrix}},&C&={\begin{pmatrix}0&-i\sigma ^{2}\\-i\sigma ^ {2}&0\end{pmatrix}},\end{aligned}}$

där $C$ är laddningskonjugationsmatrisen, som matchar Dirac-versionen definierad ovan.

(Skälet till att göra alla gammamatriser imaginära är enbart för att erhålla partikelfysikmetriken (+, −, −, −) , där kvadratiska massor är positiva. Majorana-representationen är dock verklig. Man kan räkna ut i: et till få en annan representation med fyra komponenters verkliga spinorer och verkliga gammamatriser. Konsekvensen av att ta bort i { $displaystyle i}$ är att det enda möjliga måttet med verkliga gammamatriser är (−, +, +, +) .)

Majorana-basen kan erhållas från Dirac-basen ovan som ${\displaystyle \gamma _{\rm {M}}^{\mu }=U\ gamma _{\rm {D}}^{\mu }U^{\dolk },~~\psi _{\rm {M}}=U\psi _{\rm {D}}} via$ enhetstransformen

$U=U^{\dolk }={\frac {1}{\sqrt {2\,}}}{\begin{pmatrix}I_{2}&\sigma ^{2}\\\sigma ^ {2}&-I_{2}\end{pmatrix}}.$

Cl _1,3 (ℂ) och Cl _1,3 (ℝ)

Dirac -algebra kan betraktas som en komplexisering av den verkliga algebra Cl _1,3 ( $\mathbb {R}$ ), kallad rymdtidsalgebra :

$\mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {C} )=\mathrm {Cl} _{1, 3}(\mathbb {R} )\otimes \mathbb {C}$

Cl _1,3 ( $\mathbb {R}$ ) skiljer sig från Cl _1,3 ( $\mathbb {C}$ ) : i Cl _{1,3 (} $\mathbb {R}$ ) endast riktiga linjära kombinationer av gammamatriserna och deras produkter är tillåtna.

Två saker förtjänar att påpekas. Eftersom Clifford algebras är Cl _1,3 ( $\mathbb {C}$ ) och Cl ₄ ( $\mathbb {C}$ ) isomorfa, se klassificering av Clifford algebror . Anledningen är att den underliggande signaturen för rumtidsmetriken förlorar sin signatur (1,3) när den övergår till komplexifieringen. Den omvandling som krävs för att föra den bilinjära formen till den komplexa kanoniska formen är dock inte en Lorentz-transformation och därför inte "tillåten" (åtminstone opraktisk) eftersom all fysik är tätt sammankopplad med Lorentz-symmetrin och det är att föredra att behålla den manifestera.

Förespråkare av geometrisk algebra strävar efter att arbeta med riktiga algebror där det är möjligt. De hävdar att det i allmänhet är möjligt (och vanligtvis upplysande) att identifiera närvaron av en imaginär enhet i en fysisk ekvation. Sådana enheter härrör från en av de många storheterna i en verklig Clifford-algebra som kvadrerar till −1, och dessa har geometrisk betydelse på grund av algebrans egenskaper och interaktionen mellan dess olika delrum. Vissa av dessa förespråkare ifrågasätter också om det är nödvändigt eller till och med användbart att införa ytterligare en imaginär enhet i samband med Dirac-ekvationen.

I matematiken för Riemannsk geometri är det konventionellt att definiera Clifford-algebra Cl _p,q ( $\mathbb {R}$ ) för godtyckliga dimensioner p,q . Weyl-spinorerna transformeras under verkan av spinngruppen ${\displaystyle \mathrm {Spin} (n)$ . Spinngruppens komplexisering, kallad spincgruppen $displaystyle \mathrm {Spin} ^{\mathbb {C} }(n)} ,$$\mathrm {Snurr} (n)\ gånger _{\mathbb {Z} _{2}}S^{1}$ en produkt av spinngruppen med cirkeln $S^{1}\cong U(1).$ Produkten $\times _{\mathbb {Z} _{2}}$ bara en notationsenhet att identifiera $(a,u)\in \mathrm {Spin} (n)\ gånger S^{1}$ med $(-a,-u).$ Den geometriska poängen med detta är att den lösgör den verkliga spinorn, som är samvariant under Lorentz-transformationer, från U $\displaystyle U(1)}-$ komponenten, som kan identifieras med $\mathrm {U} (1)$ fibern för den elektromagnetiska interaktionen. × $\times _{\mathbb {Z} _{2}}$ intrasslar paritet och laddningskonjugering på ett sätt som lämpligt för att relatera Dirac-partikel/anti-partikeltillstånden (motsvarande de kirala tillstånden i Weyl basis). Bispinorn , kan interagera med det elektromagnetiska fältet. Detta i motsats till Majorana-spinorn och ELKO-spinorn, som inte kan ( dvs. de är elektriskt neutrala), eftersom de uttryckligen begränsar spinorn så att de inte interagerar med $S^{1}$ -delen som kommer från komplexiseringen.

Men i samtida praktik inom fysik fortsätter Dirac-algebra snarare än rum-tidsalgebra att vara standardmiljön som spinorerna i Dirac-ekvationen "lever" i.

Andra representationsfria fastigheter

Gammamatriserna är diagonaliserbara med egenvärden $\pm 1$ för ${\displaystyle \gamma ^{0}} ,$ och egenvärden $\pm i$ för $\gamma ^{ i}$ .

Bevis
Detta kan demonstreras för $\gamma ^{0}$ och följer på liknande sätt för $\gamma ^{i}$ . Vi kan skriva om $(\gamma ^{0})^{2}=+1$ som $(\gamma ^{\mu}+1)(\gamma ^{\mu}-1)=0.$ Med ett välkänt resultat i linjär algebra betyder detta att det finns en grund där $\gamma ^{0}$ är diagonal med egenvärden $\{\pm 1\}$ .

I synnerhet innebär detta att $\gamma ^{0}$ samtidigt är hermitisk och enhetlig, medan $\gamma ^{i}$ samtidigt är anti-hermitisk och enhetlig.

Vidare är multipliciteten för varje egenvärde två.

Bevis
Om $v$ är en egenvektor till $\gamma ^{0}$ , så är $\gamma ^{1}v$ en egenvektor med motsatt egenvärde. Då kan egenvektorer paras ihop om de är relaterade genom multiplikation med $\gamma ^{1}.$ Resultatet följer på liknande sätt för $\gamma ^{i}.$

Mer generellt, om $\gamma ^{\mu }X_{\mu }$ inte är null, gäller ett liknande resultat. För konkrethetens skull begränsar vi till det positiva normfallet $\gamma ^{\mu }p_{\mu }=p\!\!\!/$ med $pp=m^{2}>0$ . Det negativa fallet följer på liknande sätt.

Bevis
Det kan visas $p\!\!\!/^{2}=m^{2}$ , så med samma argument som det första resultatet är $p\!\!\!/$ diagonaliserbar med egenvärden $\pm m$ . Vi kan anpassa argumentet för det andra resultatet något. Vi väljer en icke-nullvektor $q_{\mu }$ som är ortogonal mot $p_{\mu }$ . Då kan egenvektorer paras ihop på liknande sätt om de är relaterade genom multiplikation med $q\!\!\!/$ .

Det följer att lösningsutrymmet till $p\!\!\!/-m=0$ (det vill säga kärnan på vänster sida) har dimension 2. Detta betyder lösningsutrymmet för planvågslösningar har Diracs ekvation dimension 2.

Detta resultat gäller fortfarande för den masslösa Dirac-ekvationen. Med andra ord, om $p_{\mu }$ null, så har $p\!\!\!/$ nullitet 2.

Bevis

Om $p_{\mu }$ null, då $p\!\!\!/p\!\!\!/=0.$ Genom generaliserad egenvärdesuppdelning, detta kan på något sätt skrivas som diagonal i $2\times 2$ Jordan-block med egenvärde 0, med antingen 0,1 eller 2 block, och andra diagonala poster noll. Det visar sig vara fallet med 2 block. Nollfallet är inte möjligt som om $\gamma ^{\mu }p_{\mu }=0$ , genom linjärt oberoende av $\gamma ^{\mu }$ vi måste ha $p_{\mu }=0$ . Men nollvektorer är per definition icke-noll. Betrakta $(q_{\mu })=(|\mathbf {p} |,-\mathbf {p} )$ och en noll-egenvektor ${\ displaystyle v}$ av $p\!\!\!/$ . Notera $q_{\mu }$ är också null och uppfyller $p\!\!\!/q\!\!\!/+q\!\!\!/p\!\!\!/=4|\mathbf {p} |. -(*)$ Om $p\!\!\!/v=0$ , så kan det inte samtidigt vara en nollegenvektor för $q\!\!\!/$ med (*). Med tanke på $q\!\!\!/v$ , om vi tillämpar $p\!\!\!/$ så får vi $p\!\!\!/q\!\!\!/v=4|\mathbf {p} |v$ . Efter en omskalning ger därför $v$ och $q\!\!\!/v$ ett $2\times 2$ Jordan-block. Detta ger en parning. Det måste finnas en annan nollegenvektor av $p\!\!\!/$ , som kan användas för att göra det andra Jordan-blocket. Det finns också en trevlig struktur i dessa par. Om vänsterpilarna motsvarar tillämpningen av $p\!\!\!/$ , och högerpilarna till tillämpningen av $q\!\!\!/$ och $v$ är en nollegenvektor för ${\displaystyle p\!\!\!/} ,$ upp till skalära faktorer vi har $0\leftarrow v\leftrightarrow q\!\!\!/v\rightarrow 0$ .

Euklidiska Dirac-matriser

I kvantfältteorin kan man Wick rotera tidsaxeln för att transitera från Minkowski-rymden till den euklidiska rymden . Detta är särskilt användbart i vissa renormaliseringsprocedurer såväl som i gittermåttteori . I det euklidiska rummet finns det två vanliga representationer av Dirac-matriser:

Kiral representation

$\gamma ^{1,2,3}={\ start{pmatrix}0&i\sigma ^{1,2,3}\\-i\sigma ^{1,2,3}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{4}={\begin{ pmatrix}0&I_{2}\\I_{2}&0\end{pmatrix}}$

Lägg märke till att faktorerna för $i$ har infogats i de spatiala gammamatriserna så att den euklidiska Clifford-algebra

$\left\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu}\right\}=2\delta ^{\mu \nu }Jag_{4}$

kommer att dyka upp. Det är också värt att notera att det finns varianter av detta som istället infogar $-i$ på en av matriserna, såsom i gitter QCD-koder som använder den kirala basen.

I det euklidiska rymden,

$\gamma _{\rm {M}}^{5}=i\left(\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}\right)_ {\rm {M}}={\frac {1}{i^{2}}}\left(\gamma ^{4}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}\ höger)_{\rm {E}}=\left(\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}\gamma ^{4}\right)_{\rm {E}}= \gamma _{\rm {E}}^{5}.$

Använda anti-kommutatorn och notera att i det euklidiska rymden $\left(\gamma ^{\mu }\right)^{\dolk }=\gamma ^{\mu }$ , en visar det

$\left(\gamma ^{5}\right)^{\dolk }=\gamma ^{5}$

På kiral basis i det euklidiska rymden,

$\gamma ^{5}={\begin{pmatrix}-I_{2}&0\\0&I_{2}\end{pmatrix}}$

som är oförändrad från sin Minkowski-version.

Icke-relativistisk representation

$\gamma ^{1,2,3}={\begin{pmatrix}0&-i\sigma ^{1,2,3}\\i\sigma ^{1,2,3}&0\end{pmatrix}} ,\quad \gamma ^{4}={\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&-I_{2}\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{5}={\begin{pmatrix }0&-I_{2}\\-I_{2}&0\end{pmatrix}}$

Se även

• Pauli matriser
• Gell-Mann matriser
• Högdimensionella gammamatriser
• Fierz identitet

•   Halzen, Francis ; Martin, Alan (1984). Quarks & Leptons: En introduktionskurs i modern partikelfysik . John Wiley & Sons. ISBN 0-471-88741-2 – via Internet Archive (archive.org).
•   Zee, A. (2003). Kvantfältteori i ett nötskal . Princeton, NJ: Princeton University Press. kapitel II.1. ISBN 0-691-01019-6 .
•   Peskin, M.; Schroeder, D. (1995). En introduktion till kvantfältteori . Westview Press. kapitel 3.2. ISBN 0-201-50397-2 .
• Pauli, W. (1936). "Contributions mathématiques à la théorie des matrices de Dirac" . Annales de l'Institut Henri Poincaré . 6 :109.
•   Weinberg, S. (2002). Fältens kvantteorin . Vol. 1. Cambridge University Press . ISBN 0-521-55001-7 – via Internet Archive (archive.org).
• Tong, David (2007). Föreläsningar om kvantfältteori (kursföreläsningsanteckningar). David Tong vid University of Cambridge . sid. 93 . Hämtad 2015-03-07 . Dessa föreläsningsanteckningar är baserade på en introduktionskurs i kvantfältteori, riktad till studenter i Del III (dvs. masternivå).
•   de Wit, B.; Smith, J. (1986). "Bilaga E" (PDF) . Fältteori i partikelfysik . Nordhollands personbibliotek. Vol. 1. Utrecht, NL: Nord-Holland. ISBN 978-0444869999 . Arkiverad från originalet (PDF) 2016-03-04 . Hämtad 2023-02-20 – via Utrecht University .
• Hestenes, D. (1996). "Verklig Dirac-teori" (PDF) . I Keller, J.; Oziewicz, Z. (red.). Teorin om elektronen . Cuautitlan, Mexiko: UNAM, Facultad de Estudios Superiores. s. 1–50.

externa länkar

• Dirac-matriser på mathworld inklusive deras gruppegenskaper
• Dirac-matriser som en abstrakt grupp på GroupNames
• "Dirac matriser" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]