Gyrobifastigium

Gyrobifastigium
Typ	Johnson J 25 – J 26 – J 27
Ansikten	4 trianglar 4 rutor
Kanter	14
Vertices	8
Vertex-konfiguration	4(3.4 2 ) 4(3.4.3.4)
Symmetrigrupp	D 2d
Dubbel polyeder	Förlängd tetragonal disfenoid
Egenskaper	konvex , honungskaka
Netto

3D-modell av ett gyrobifastigium

Inom geometri är gyrobifastigium den 26:e Johnson solid ( J ₂₆ ) . Den kan konstrueras genom att sammanfoga två ytregelbundna triangulära prismor längs motsvarande fyrkantiga ytor, vilket ger ett kvartsvarv till ett prisma. Det är det enda Johnson solid som kan kakla tredimensionellt utrymme .

Det är också vertexfiguren för den olikformiga duoantiprismen p - q (om p och q är större än 2). Trots det faktum att p , q = 3 skulle ge en geometriskt identisk motsvarighet till Johnson solid, saknar den en omskriven sfär som berör alla hörn, förutom fallet p = 5, q = 5 / 3 , som representerar en enhetlig stor duoantiprism .

Dess dual, den långsträckta tetragonala disfenoiden , kan hittas som celler av dualerna av p - q duoantiprismerna .

Historia och namn

En Johnson solid är en av 92 strikt konvexa polyedrar som är sammansatta av regelbundna polygonytor men som inte är enhetliga polyedrar (det vill säga de är inte platoniska solids , Archimedean solids , prismor , eller antiprismor ). De namngavs av Norman Johnson , som först listade dessa polyedrar 1966.

Namnet på gyrobifastigium kommer från latinets fastigium , vilket betyder ett sluttande tak. I standardnamnkonventionen för Johnson solids bi- två fasta ämnen anslutna vid deras baser, och gyro- betyder att de två halvorna är vridna i förhållande till varandra.

Gyrobifastigiums plats i listan över Johnsons fasta ämnen, omedelbart före bikuporna, förklaras genom att se det som en digonal gyrobicupola . Precis som de andra vanliga kupolerna har en alternerande sekvens av kvadrater och trianglar som omger en enda polygon i toppen ( triangel , kvadrat eller femhörning ), består varje halva av gyrobifastigium av bara omväxlande kvadrater och trianglar, sammankopplade upptill endast med en ås .

Vaxkaka

Den svängbara triangulära prismatiska bikakan kan konstrueras genom att packa ihop ett stort antal identiska gyrobifastigium. Gyrobifastigium är en av fem konvexa polyedrar med regelbundna ytor som kan fylla ut rymden (de andra är kuben , den stympade oktaedern , triangulära prisma och sexkantiga prisma ) och det är den enda Johnson-fastheten som kan göra det.

kartesiska koordinater

Kartesiska koordinater för gyrobifastigium med regelbundna ytor och enhetskantlängder kan lätt härledas från formeln för höjden av enhetskantlängd

$h={\frac {\sqrt {3}}{2}},$

som följer:

$\left(\pm {\frac {1}{2}},\pm {\frac {1}{2}},0\right),\left(0,\pm {\frac {1} {2}},{\frac {{\sqrt {3}}+1}{2}}\right),\left(\pm {\frac {1}{2}},0,-{\frac { {\sqrt {3}}+1}{2}}\right).$

För att beräkna formler för ytarean och volymen av ett gyrobifastigium med regelbundna ytor och med kantlängd a , kan man helt enkelt anpassa motsvarande formler för det triangulära prismat:

$A=\left(4+{\sqrt {3}}\right)a^{2}\approx 5,73205a^{2},$

$V=\left({\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)a^{3}\approx 0,86603a^{3}.$

Topologiskt ekvivalenta polyedrar

Gyrobifastigium-topologin existerar i en tetragonal disfenoid med sina sidoytor uppdelade på symmetriplanet som med specifika proportioner kan tessellate 3-space .

Schmitt–Conway–Danzer biprisma

Schmitt–Conway–Danzer biprisma

Schmitt –Conway–Danzer-biprisma (även kallad en SCD-prototil) är en polyeder som topologiskt motsvarar gyrobifastigium, men med parallellogram och oregelbundna triangelytor istället för kvadrater och liksidiga trianglar. Liksom gyrobifastigium kan det fylla utrymmet, men bara enstaka gånger eller med en skruvsymmetri , inte med en hel tredimensionell grupp av symmetrier. Således ger det en partiell lösning på det tredimensionella Einstein-problemet .

Dubbel

Förlängd tetragonal disfenoid
Typ	Johnson dubbla
Ansikten	8 trianglar 4 parallellogram
Kanter	14
Vertices	8
Symmetrigrupp	D 2d
Dubbel polyeder	Gyrobifastigium
Netto

Den dubbla polyedern av gyrobifastigium har 8 ytor: 4 likbenta trianglar , motsvarande valens-3 hörn av gyrobifastigium, och 4 parallellogram som motsvarar valens-4 ekvatoriska hörn.

Se även

• Avlångt gyrobifastigium
• Långsträckt oktaeder

externa länkar

• Eric W. Weisstein , Gyrobifastigium ( Johnson solid ) på MathWorld .