Lista över Johnsons fasta ämnen
I geometri är en Johnson solid en strikt konvex polyhedron , vars varje yta är en regelbunden polygon , men som inte är enhetlig , dvs. inte ett platoniskt fast material , arkimediskt fast material , prisma eller antiprisma . 1966 Norman Johnson en lista som inkluderade alla 92 fasta ämnen och gav dem deras namn och nummer. Han bevisade inte att det bara fanns 92, men han gissade att det inte fanns några andra. Victor Zalgaller bevisade 1969 att Johnsons lista var komplett.
Andra polyedrar kan konstrueras som endast har ungefärligt regelbundna plana polygonytor och kallas informellt nära-miss Johnson solids ; det kan inte finnas någon definitiv räkning av dem.
De olika avsnitten som följer har tabeller som listar alla 92 Johnson-fastämnen och värden för några av deras viktigaste egenskaper. Varje tabell tillåter sortering efter kolumn så att numeriska värden, eller namnen på de fasta ämnena, kan sorteras i ordning.
Vertices, kanter, ytor och symmetri
J n | Fast namn | Netto | Bild | V | E | F | F 3 | F 4 | F 5 | F 6 | F 8 | F 10 | Symmetrigrupp | Beställa |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | Fyrkantig pyramid | 5 | 8 | 5 | 4 | 1 | C 4v , [4], (*44) | 8 | ||||||
2 | Pentagonal pyramid | 6 | 10 | 6 | 5 | 1 | C 5v , [5], (*55) | 10 | ||||||
3 | Trekantig kupol | 9 | 15 | 8 | 4 | 3 | 1 | C 3v , [3], (*33) | 6 | |||||
4 | Fyrkantig kupol | 12 | 20 | 10 | 4 | 5 | 1 | C 4v , [4], (*44) | 8 | |||||
5 | Femkantig kupol | 15 | 25 | 12 | 5 | 5 | 1 | 1 | C 5v , [5], (*55) | 10 | ||||
6 | Femkantig rotunda | 20 | 35 | 17 | 10 | 6 | 1 | C 5v , [5], (*55) | 10 | |||||
7 | Långsträckt triangulär pyramid | 7 | 12 | 7 | 4 | 3 | C 3v , [3], (*33) | 6 | ||||||
8 | Långsträckt fyrkantig pyramid | 9 | 16 | 9 | 4 | 5 | C 4v , [4], (*44) | 8 | ||||||
9 | Långsträckt femkantig pyramid | 11 | 20 | 11 | 5 | 5 | 1 | C 5v , [5], (*55) | 10 | |||||
10 | Gyroelång fyrkantig pyramid | 9 | 20 | 13 | 12 | 1 | C 4v , [4], (*44) | 8 | ||||||
11 | Gyrolånga femkantiga pyramid | 11 | 25 | 16 | 15 | 1 | C 5v , [5], (*55) | 10 | ||||||
12 | Triangulär bipyramid | 5 | 9 | 6 | 6 | D 3h , [3,2], (*223) | 12 | |||||||
13 | Pentagonal bipyramid | 7 | 15 | 10 | 10 | D 5h , [5,2], (*225) | 20 | |||||||
14 | Långsträckt triangulär bipyramid | 8 | 15 | 9 | 6 | 3 | D 3h , [3,2], (*223) | 12 | ||||||
15 | Långsträckt fyrkantig bipyramid | 10 | 20 | 12 | 8 | 4 | D 4h , [4,2], (*224) | 16 | ||||||
16 | Långsträckt femkantig bipyramid | 12 | 25 | 15 | 10 | 5 | D 5h , [5,2], (*225) | 20 | ||||||
17 | Gyroelång fyrkantig bipyramid | 10 | 24 | 16 | 16 | D 4d , [2 + ,8], (2*4) | 16 | |||||||
18 | Långsträckt triangulär kupol | 15 | 27 | 14 | 4 | 9 | 1 | C 3v , [3], (*33) | 6 | |||||
19 | Långsträckt fyrkantig kupol | 20 | 36 | 18 | 4 | 13 | 1 | C 4v , [4], (*44) | 8 | |||||
20 | Långsträckt femkantig kupol | 25 | 45 | 22 | 5 | 15 | 1 | 1 | C 5v , [5], (*55) | 10 | ||||
21 | Långsträckt femkantig rotunda | 30 | 55 | 27 | 10 | 10 | 6 | 1 | C 5v , [5], (*55) | 10 | ||||
22 | Gyroelång triangulär kupol | 15 | 33 | 20 | 16 | 3 | 1 | C 3v , [3], (*33) | 6 | |||||
23 | Gyroelång fyrkantig kupol | 20 | 44 | 26 | 20 | 5 | 1 | C 4v , [4], (*44) | 8 | |||||
24 | Gyrolång femkantig kupol | 25 | 55 | 32 | 25 | 5 | 1 | 1 | C 5v , [5], (*55) | 10 | ||||
25 | Gyrolånga femkantiga rotunda | 30 | 65 | 37 | 30 | 6 | 1 | C 5v , [5], (*55) | 10 | |||||
26 | Gyrobifastigium | 8 | 14 | 8 | 4 | 4 | D 2d , [2 + ,4], (2*2) | 8 | ||||||
27 | Triangulär ortobicupola | 12 | 24 | 14 | 8 | 6 | D 3h , [3,2], (*223) | 12 | ||||||
28 | Fyrkantig ortobikupa | 16 | 32 | 18 | 8 | 10 | D 4h , [4,2], (*224) | 16 | ||||||
29 | Fyrkantig gyrobicupola | 16 | 32 | 18 | 8 | 10 | D 4d , [2 + ,8], (2*4) | 16 | ||||||
30 | Pentagonal ortobicupola | 20 | 40 | 22 | 10 | 10 | 2 | D 5h , [5,2], (*225) | 20 | |||||
31 | Pentagonal gyrobicupola | 20 | 40 | 22 | 10 | 10 | 2 | D 5d , [2 + ,10], (2*5) | 20 | |||||
32 | Pentagonal ortocupolarotunda | 25 | 50 | 27 | 15 | 5 | 7 | C 5v , [5], (*55) | 10 | |||||
33 | Pentagonal gyrocupolarotunda | 25 | 50 | 27 | 15 | 5 | 7 | C 5v , [5], (*55) | 10 | |||||
34 | Pentagonal ortobirotunda | 30 | 60 | 32 | 20 | 12 | D 5h , [5,2], (*225) | 20 | ||||||
35 | Långsträckt triangulär ortobikupa | 18 | 36 | 20 | 8 | 12 | D 3h , [3,2], (*223) | 12 | ||||||
36 | Långsträckt triangulär gyrobicupola | 18 | 36 | 20 | 8 | 12 | D 3d , [2 + ,6], (2*3) | 12 | ||||||
37 | Långsträckt fyrkantig gyrobicupola | 24 | 48 | 26 | 8 | 18 | D 4d , [2 + ,8], (2*4) | 16 | ||||||
38 | Långsträckt femkantig ortobikupa | 30 | 60 | 32 | 10 | 20 | 2 | D 5h , [5,2], (*225) | 20 | |||||
39 | Långsträckt femkantig gyrobicupola | 30 | 60 | 32 | 10 | 20 | 2 | D 5d , [2 + ,10], (2*5) | 20 | |||||
40 | Långsträckt femkantig ortocupolarotunda | 35 | 70 | 37 | 15 | 15 | 7 | C 5v , [5], (*55) | 10 | |||||
41 | Långsträckt femkantig gyrocupolarotunda | 35 | 70 | 37 | 15 | 15 | 7 | C 5v , [5], (*55) | 10 | |||||
42 | Långsträckt femkantig ortobirotunda | 40 | 80 | 42 | 20 | 10 | 12 | D 5h , [5,2], (*225) | 20 | |||||
43 | Långsträckt femkantig gyrobirotunda | 40 | 80 | 42 | 20 | 10 | 12 | D 5d , [2 + ,10], (2*5) | 20 | |||||
44 | Gyroelång triangulär bikupa | 18 | 42 | 26 | 20 | 6 | D3 , [3,2] + ,(223 ) | 6 | ||||||
45 | Gyroelång fyrkantig bikupa | 24 | 56 | 34 | 24 | 10 | D 4 , [4,2] + , (224) | 8 | ||||||
46 | Gyroelång femkantig bikupa | 30 | 70 | 42 | 30 | 10 | 2 | D 5 , [5,2] + , (225) | 10 | |||||
47 | Gyrolånga femkantiga kupolrotunda | 35 | 80 | 47 | 35 | 5 | 7 | C 5 , [5] + , (55) | 5 | |||||
48 | Gyrolånga femkantiga birotunda | 40 | 90 | 52 | 40 | 12 | D 5 , [5,2] + , (225) | 10 | ||||||
49 | Förstärkt triangulärt prisma | 7 | 13 | 8 | 6 | 2 | C 2v , [2], (*22) | 4 | ||||||
50 | Biaugmenterat triangulärt prisma | 8 | 17 | 11 | 10 | 1 | C 2v , [2], (*22) | 4 | ||||||
51 | Triaugmenterat triangulärt prisma | 9 | 21 | 14 | 14 | D 3h , [3,2], (*223) | 12 | |||||||
52 | Förstärkt femkantigt prisma | 11 | 19 | 10 | 4 | 4 | 2 | C 2v , [2], (*22) | 4 | |||||
53 | Biaugmented pentagonal prisma | 12 | 23 | 13 | 8 | 3 | 2 | C 2v , [2], (*22) | 4 | |||||
54 | Förstärkt hexagonalt prisma | 13 | 22 | 11 | 4 | 5 | 2 | C 2v , [2], (*22) | 4 | |||||
55 | Parabiaförstärkt hexagonalt prisma | 14 | 26 | 14 | 8 | 4 | 2 | D 2h , [2,2], (*222) | 8 | |||||
56 | Metabiaförstärkt hexagonalt prisma | 14 | 26 | 14 | 8 | 4 | 2 | C 2v , [2], (*22) | 4 | |||||
57 | Triaugmenterat hexagonalt prisma | 15 | 30 | 17 | 12 | 3 | 2 | D 3h , [3,2], (*223) | 12 | |||||
58 | Förstärkt dodekaeder | 21 | 35 | 16 | 5 | 11 | C 5v , [5], (*55) | 10 | ||||||
59 | Parabiaugmented dodecahedron | 22 | 40 | 20 | 10 | 10 | D 5d , [2 + ,10], (2*5) | 20 | ||||||
60 | Metabiaförstärkt dodekaeder | 22 | 40 | 20 | 10 | 10 | C 2v , [2], (*22) | 4 | ||||||
61 | Triaugmenterad dodekaeder | 23 | 45 | 24 | 15 | 9 | C 3v , [3], (*33) | 6 | ||||||
62 | Metabidiminiserad icosahedron | 10 | 20 | 12 | 10 | 2 | C 2v , [2], (*22) | 4 | ||||||
63 | Treförminskad icosahedron | 9 | 15 | 8 | 5 | 3 | C 3v , [3], (*33) | 6 | ||||||
64 | Förstärkt treförminskad icosahedron | 10 | 18 | 10 | 7 | 3 | C 3v , [3], (*33) | 6 | ||||||
65 | Förstärkt trunkerad tetraeder | 15 | 27 | 14 | 8 | 3 | 3 | C 3v , [3], (*33) | 6 | |||||
66 | Förstärkt trunkerad kub | 28 | 48 | 22 | 12 | 5 | 5 | C 4v , [4], (*44) | 8 | |||||
67 | Biaugmented trunkerad kub | 32 | 60 | 30 | 16 | 10 | 4 | D 4h , [4,2], (*224) | 16 | |||||
68 | Förstärkt trunkerad dodekaeder | 65 | 105 | 42 | 25 | 5 | 1 | 11 | C 5v , [5], (*55) | 10 | ||||
69 | Parabiaugmented trunkerad dodekaeder | 70 | 120 | 52 | 30 | 10 | 2 | 10 | D 5d , [2 + ,10], (2*5) | 20 | ||||
70 | Metabiaförstärkt trunkerad dodekaeder | 70 | 120 | 52 | 30 | 10 | 2 | 10 | C 2v , [2], (*22) | 4 | ||||
71 | Triaugmenterad trunkerad dodekaeder | 75 | 135 | 62 | 35 | 15 | 3 | 9 | C 3v , [3], (*33) | 6 | ||||
72 | Gyrat rhombicosidodecahedron | 60 | 120 | 62 | 20 | 30 | 12 | C 5v , [5], (*55) | 10 | |||||
73 | Parabigyrat rhombicosidodecahedron | 60 | 120 | 62 | 20 | 30 | 12 | D 5d , [2 + ,10], (2*5) | 20 | |||||
74 | Metabigyrat rhombicosidodecahedron | 60 | 120 | 62 | 20 | 30 | 12 | C 2v , [2], (*22) | 4 | |||||
75 | Trigyrat rhombicosidodecahedron | 60 | 120 | 62 | 20 | 30 | 12 | C 3v , [3], (*33) | 6 | |||||
76 | Förminskad rhombicosidodecahedron | 55 | 105 | 52 | 15 | 25 | 11 | 1 | C 5v , [5], (*55) | 10 | ||||
77 | Paragyrat minskad rhombicosidodecahedron | 55 | 105 | 52 | 15 | 25 | 11 | 1 | C 5v , [5], (*55) | 10 | ||||
78 | Metagyrat minskad rhombicosidodecahedron | 55 | 105 | 52 | 15 | 25 | 11 | 1 | C s , [ ], (*11) | 2 | ||||
79 | Bigyrate förminskad rhombicosidodecahedron | 55 | 105 | 52 | 15 | 25 | 11 | 1 | C s , [ ], (*11) | 2 | ||||
80 | Parabidförminskad rhombicosidodecahedron | 50 | 90 | 42 | 10 | 20 | 10 | 2 | D 5d , [2 + ,10], (2*5) | 20 | ||||
81 | Metabidiminiserad rhombicosidodecahedron | 50 | 90 | 42 | 10 | 20 | 10 | 2 | C 2v , [2], (*22) | 4 | ||||
82 | Gyrat dubbelförminskad rhombicosidodecahedron | 50 | 90 | 42 | 10 | 20 | 10 | 2 | C s , [ ], (*11) | 2 | ||||
83 | Treförminskad rhombicosidodecahedron | 45 | 75 | 32 | 5 | 15 | 9 | 3 | C 3v , [3], (*33) | 6 | ||||
84 | Snub disfenoid | 8 | 18 | 12 | 12 | D 2d , [2 + ,4], (2*2) | 8 | |||||||
85 | Snub fyrkantig antiprisma | 16 | 40 | 26 | 24 | 2 | D 4d , [2 + ,8], (2*4) | 16 | ||||||
86 | Sphenocorona | 10 | 22 | 14 | 12 | 2 | C 2v , [2], (*22) | 4 | ||||||
87 | Förstärkt sphenocorona | 11 | 26 | 17 | 16 | 1 | C s , [ ], (*11) | 2 | ||||||
88 | Sphenomegacorona | 12 | 28 | 18 | 16 | 2 | C 2v , [2], (*22) | 4 | ||||||
89 | Hebesphenomegacorona | 14 | 33 | 21 | 18 | 3 | C 2v , [2], (*22) | 4 | ||||||
90 | Disphenocingulum | 16 | 38 | 24 | 20 | 4 | D 2d , [2 + ,4], (2*2) | 8 | ||||||
91 | Bilunabirotunda | 14 | 26 | 14 | 8 | 2 | 4 | D 2h , [2,2], (*222) | 8 | |||||
92 | Triangulär hebesphenorotunda | 18 | 36 | 20 | 13 | 3 | 3 | 1 | C 3v , [3], (*33) | 6 |
Legend:
- J n – Johnson solid nummer
- Net – Tillplattad (ovikt) bild
- V – Antal hörn
- E – Antal kanter
- F – Antal ansikten (totalt)
- F 3 –F 10 – Antal ansikten vid sida räknas
Den fyrkantiga pyramiden J 1 har minst hörn (5), minst kanter (8) och minst ytor (5).
Den triaugmenterade trunkerade dodekaedern J 71 har flest hörn (75) och flest kanter (135). Den har också det högsta antalet ytor (62), tillsammans med gyrat rhombicosidodecahedron J 72 , parabigyrat rhombicosidodecahedron J 73 , metabigyrat rhombicosidodecahedron J 74 och trigyrat rhombicosidodecahedron J 75 .
Ytarea
Eftersom alla ytor av Johnson solids är vanliga polygoner med 3, 4, 5, 6, 8 eller 10 sidor , och eftersom alla dessa polygoner har samma kantlängd a , kan ytarean för ett Johnson solid beräknas som
där F n är antalet polygonala ytor i föregående tabell och
är arean av en vanlig polygon med n sidor av längden a . När det gäller radikaler har man
vilket resulterar i följande tabell över ytareor.
För en fast kantlängd har den triangulära dipyramiden J 12 den minsta ytarean och den triaugmenterade trunkerade dodekaedern J 71 den största, mer än 40 gånger större.
Volym
Följande tabell listar volymen av varje Johnson fast substans. Här V volymen (inte antalet hörn, som i den första tabellen) och a är kantlängden .
Källan för denna tabell är kommandot PolyhedronData[..., "Volume"] i Wolfram Researchs Mathematica .
Dessa volymer kan beräknas från en uppsättning vertexkoordinater; sådana koordinater är kända för alla 92 Johnson-fastämnen. Ett konceptuellt enkelt tillvägagångssätt är att triangulera ytan på det fasta ämnet (till exempel genom att lägga till en extra punkt i mitten av varje icke-triangulär yta) och välja någon inre punkt som ett "ursprung" så att det inre kan delas in i oregelbundna tetraedrar . Varje tetraeder har en vertex vid utgångspunkten inuti och tre hörn på ytan. Volymen av det fasta ämnet är då summan av volymerna av dessa tetraedrar. Det finns en enkel formel för volymen av en oregelbunden tetraeder .
För en fast kantlängd har den fyrkantiga pyramiden J 1 och den triangulära dipyramiden J 12 den minsta volymen och den triaugmenterade trunkerade dodekaedern J 71 har den största, mer än 390 gånger större.
Tretton av de 92 Johnson-fastämnena har volymer för vilka V / a 3 inte är ett tal som kan uttryckas med hjälp av radikaler . Dessa värden är den största reella roten av följande polynom .
J n | Polynom |
---|---|
23 |
|
24 |
|
25 |
|
45 |
|
46 |
|
47 |
|
48 |
|
84 |
5832 x 6 − 1377 x 4 − 2160 x 2 − 4 |
85 |
|
87 |
|
88 |
|
89 |
47330370277129322496 x20
− 722445512980071186432 x18
|
90 |
1213025622610333925376 x24
+ 54451372392730545094656 x22
|
Inradius, midradius och circumradius
Följande tabell listar radien R i för insfären , radien R m för mellansfären och radien R c för circumsphere , var och en dividerad med kantlängden a , när dessa sfärer finns .
En polyeder har inte nödvändigtvis en insfär, eller en mellansfär eller en circumsphere. Till exempel har den ingen circumsphere om inte alla dess hörn ligger på någon sfär. Johnsons fasta ämnen, som har mindre symmetri än, säg, de platoniska fasta ämnen , saknar många av dessa sfärer. Endast J 1 och J 2 har alla dessa tre sfärer.
Källan för denna tabell är kommandona PolyhedronData[..., "Inradius"] , PolyhedronData[..., "Midradius"] och PolyhedronData[..., "Circumradius"] i Wolfram Researchs Mathematica . Utgången har förenklats till en konsekvent form vad gäller radikaler .
J n | R i /a (ungefär) | R i /a (exakt) | R m /a (ungefär) | R m /a (exakt) | R c /a (ungefär) | R c /a (exakt) |
---|---|---|---|---|---|---|
1 | 0,258819045 | 0,500000000 | 0,707106781 | |||
2 | 0,232788309 | 0,809016994 | 0,951056516 | |||
3 | - | - | 0,866025404 | 1,000000000 | ||
4 | - | - | 1,306562965 | 1,398966326 | ||
5 | - | - | 2,176250899 | 2,232950509 | ||
6 | - | - | 1,538841769 | 1,618033989 | ||
7 | - | - | - | - | - | - |
8 | - | - | - | - | - | - |
9 | - | - | - | - | - | - |
10 | - | - | - | - | - | - |
11 | - | - | 0,809016994 | 0,951056516 | ||
12 | 0,272165527 | - | - | - | - | |
13 | 0,417774579 | - | - | - | - | |
14 | - | - | - | - | - | - |
15 | - | - | - | - | - | - |
16 | - | - | - | - | - | - |
17 | - | - | - | - | - | - |
18 | - | - | - | - | - | - |
19 | - | - | 1,306562965 | 1,398966326 | ||
20 | - | - | - | - | - | - |
21 | - | - | - | - | - | - |
22 | - | - | - | - | - | - |
23 | - | - | - | - | - | - |
24 | - | - | - | - | - | - |
25 | - | - | - | - | - | - |
26 | - | - | - | - | - | - |
27 | - | - | 0,866025404 | 1,000000000 | ||
28 | - | - | - | - | - | - |
29 | - | - | - | - | - | - |
30 | - | - | - | - | - | - |
31 | - | - | - | - | - | - |
32 | - | - | - | - | - | - |
33 | - | - | - | - | - | - |
34 | - | - | 1,538841769 | 1,618033989 | ||
35 | - | - | - | - | - | - |
36 | - | - | - | - | - | - |
37 | - | - | 1,306562965 | 1,398966326 | ||
38 | - | - | - | - | - | - |
39 | - | - | - | - | - | - |
40 | - | - | - | - | - | - |
41 | - | - | - | - | - | - |
42 | - | - | - | - | - | - |
43 | - | - | - | - | - | - |
44 | - | - | - | - | - | - |
45 | - | - | - | - | - | - |
46 | - | - | - | - | - | - |
47 | - | - | - | - | - | - |
48 | - | - | - | - | - | - |
49 | - | - | - | - | - | - |
50 | - | - | - | - | - | - |
51 | - | - | - | - | - | - |
52 | - | - | - | - | - | - |
53 | - | - | - | - | - | - |
54 | - | - | - | - | - | - |
55 | - | - | - | - | - | - |
56 | - | - | - | - | - | - |
57 | - | - | - | - | - | - |
58 | - | - | - | - | - | - |
59 | - | - | - | - | - | - |
60 | - | - | - | - | - | - |
61 | - | - | - | - | - | - |
62 | - | - | 0,809016994 | 0,951056516 | ||
63 | - | - | 0,809016994 | 0,951056516 | ||
64 | - | - | - | - | - | - |
65 | - | - | - | - | - | - |
66 | - | - | - | - | - | - |
67 | - | - | - | - | - | - |
68 | - | - | - | - | - | - |
69 | - | - | - | - | - | - |
70 | - | - | - | - | - | - |
71 | - | - | - | - | - | - |
72 | - | - | 2,176250899 | 2,232950509 | ||
73 | - | - | 2,176250899 | 2,232950509 | ||
74 | - | - | 2,176250899 | 2,232950509 | ||
75 | - | - | 2,176250899 | 2,232950509 | ||
76 | - | - | 2,176250899 | 2,232950509 | ||
77 | - | - | 2,176250899 | 2,232950509 | ||
78 | - | - | 2,176250899 | 2,232950509 | ||
79 | - | - | 2,176250899 | 2,232950509 | ||
80 | - | - | 2,176250899 | 2,232950509 | ||
81 | - | - | 2,176250899 | 2,232950509 | ||
82 | - | - | 2,176250899 | 2,232950509 | ||
83 | - | - | 2,176250899 | 2,232950509 | ||
84 | - | - | - | - | - | - |
85 | - | - | - | - | - | - |
86 | - | - | - | - | - | - |
87 | - | - | - | - | - | - |
88 | - | - | - | - | - | - |
89 | - | - | - | - | - | - |
90 | - | - | - | - | - | - |
91 | - | - | - | - | - | - |
92 | - | - | - | - | - | - |
- Norman W. Johnson , "Convex Solids with Regular Faces", Canadian Journal of Mathematics, 18 , 1966, sidorna 169–200. Innehåller den ursprungliga uppräkningen av de 92 fasta ämnena och gissningen att det inte finns några andra.
- Victor A. Zalgaller (1969). Konvex polyeder med regelbundna ytor . Konsultbyrån. Inget ISBN. Det första beviset på att det bara finns 92 Johnson-fastämnen.
externa länkar
- Sylvain Gagnon, " Convex polyhedra with regular faces [ permanent dead link ] ", Structural Topology, nr 6, 1982, 83-95.
- Johnson Solids av George W. Hart.
- Bilder av alla 92 fasta ämnen, kategoriserade, på en sida
- Weisstein, Eric W. "Johnson Solid" . MathWorld .
- VRML-modeller av Johnson Solids av Jim McNeill
- VRML-modeller av Johnson Solids av Vladimir Bulatov