Lista över Johnsons fasta ämnen

I geometri är en Johnson solid en strikt konvex polyhedron , vars varje yta är en regelbunden polygon , men som inte är enhetlig , dvs. inte ett platoniskt fast material , arkimediskt fast material , prisma eller antiprisma . 1966 Norman Johnson en lista som inkluderade alla 92 fasta ämnen och gav dem deras namn och nummer. Han bevisade inte att det bara fanns 92, men han gissade att det inte fanns några andra. Victor Zalgaller bevisade 1969 att Johnsons lista var komplett.

Andra polyedrar kan konstrueras som endast har ungefärligt regelbundna plana polygonytor och kallas informellt nära-miss Johnson solids ; det kan inte finnas någon definitiv räkning av dem.

De olika avsnitten som följer har tabeller som listar alla 92 Johnson-fastämnen och värden för några av deras viktigaste egenskaper. Varje tabell tillåter sortering efter kolumn så att numeriska värden, eller namnen på de fasta ämnena, kan sorteras i ordning.

Vertices, kanter, ytor och symmetri

J n Fast namn Netto Bild V E F F 3 F 4 F 5 F 6 F 8 F 10 Symmetrigrupp Beställa
1 Fyrkantig pyramid Johnson solid 1 net.png Square pyramid.png 5 8 5 4 1 C 4v , [4], (*44) 8
2 Pentagonal pyramid Johnson solid 2 net.png Pentagonal pyramid.png 6 10 6 5 1 C 5v , [5], (*55) 10
3 Trekantig kupol Johnson solid 3 net.png Triangular cupola.png 9 15 8 4 3 1 C 3v , [3], (*33) 6
4 Fyrkantig kupol Johnson solid 4 net.png Square cupola.png 12 20 10 4 5 1 C 4v , [4], (*44) 8
5 Femkantig kupol Johnson solid 5 net.png Pentagonal cupola.png 15 25 12 5 5 1 1 C 5v , [5], (*55) 10
6 Femkantig rotunda Johnson solid 6 net.png Pentagonal rotunda.png 20 35 17 10 6 1 C 5v , [5], (*55) 10
7 Långsträckt triangulär pyramid Johnson solid 7 net.png Elongated triangular pyramid.png 7 12 7 4 3 C 3v , [3], (*33) 6
8 Långsträckt fyrkantig pyramid Johnson solid 8 net.png Elongated square pyramid.png 9 16 9 4 5 C 4v , [4], (*44) 8
9 Långsträckt femkantig pyramid Johnson solid 9 net.png Elongated pentagonal pyramid.png 11 20 11 5 5 1 C 5v , [5], (*55) 10
10 Gyroelång fyrkantig pyramid Johnson solid 10 net.png Gyroelongated square pyramid.png 9 20 13 12 1 C 4v , [4], (*44) 8
11 Gyrolånga femkantiga pyramid Johnson solid 11 net.png Gyroelongated pentagonal pyramid.png 11 25 16 15 1 C 5v , [5], (*55) 10
12 Triangulär bipyramid Johnson solid 12 net.png Triangular dipyramid.png 5 9 6 6 D 3h , [3,2], (*223) 12
13 Pentagonal bipyramid Johnson solid 13 net.png Pentagonal dipyramid.png 7 15 10 10 D 5h , [5,2], (*225) 20
14 Långsträckt triangulär bipyramid Johnson solid 14 net.png Elongated triangular dipyramid.png 8 15 9 6 3 D 3h , [3,2], (*223) 12
15 Långsträckt fyrkantig bipyramid Johnson solid 15 net.png Elongated square dipyramid.png 10 20 12 8 4 D 4h , [4,2], (*224) 16
16 Långsträckt femkantig bipyramid Johnson solid 16 net.png Elongated pentagonal dipyramid.png 12 25 15 10 5 D 5h , [5,2], (*225) 20
17 Gyroelång fyrkantig bipyramid Johnson solid 17 net.png Gyroelongated square dipyramid.png 10 24 16 16 D 4d , [2 + ,8], (2*4) 16
18 Långsträckt triangulär kupol Johnson solid 18 net.png Elongated triangular cupola.png 15 27 14 4 9 1 C 3v , [3], (*33) 6
19 Långsträckt fyrkantig kupol Johnson solid 19 net.png Elongated square cupola.png 20 36 18 4 13 1 C 4v , [4], (*44) 8
20 Långsträckt femkantig kupol Johnson solid 20 net.png Elongated pentagonal cupola.svg 25 45 22 5 15 1 1 C 5v , [5], (*55) 10
21 Långsträckt femkantig rotunda Johnson solid 21 net.png Elongated pentagonal rotunda.png 30 55 27 10 10 6 1 C 5v , [5], (*55) 10
22 Gyroelång triangulär kupol Johnson solid 22 net.png Gyroelongated triangular cupola.png 15 33 20 16 3 1 C 3v , [3], (*33) 6
23 Gyroelång fyrkantig kupol Johnson solid 23 net.png Gyroelongated square cupola.png 20 44 26 20 5 1 C 4v , [4], (*44) 8
24 Gyrolång femkantig kupol Johnson solid 24 net.png Gyroelongated pentagonal cupola.png 25 55 32 25 5 1 1 C 5v , [5], (*55) 10
25 Gyrolånga femkantiga rotunda Johnson solid 25 net.png Gyroelongated pentagonal rotunda.png 30 65 37 30 6 1 C 5v , [5], (*55) 10
26 Gyrobifastigium Johnson solid 26 net.png Gyrobifastigium.png 8 14 8 4 4 D 2d , [2 + ,4], (2*2) 8
27 Triangulär ortobicupola Johnson solid 27 net.png Triangular orthobicupola.png 12 24 14 8 6 D 3h , [3,2], (*223) 12
28 Fyrkantig ortobikupa Johnson solid 28 net.png Square orthobicupola.png 16 32 18 8 10 D 4h , [4,2], (*224) 16
29 Fyrkantig gyrobicupola Johnson solid 29 net.png Square gyrobicupola.png 16 32 18 8 10 D 4d , [2 + ,8], (2*4) 16
30 Pentagonal ortobicupola Johnson solid 30 net.png Pentagonal orthobicupola.png 20 40 22 10 10 2 D 5h , [5,2], (*225) 20
31 Pentagonal gyrobicupola Johnson solid 31 net.png Pentagonal gyrobicupola.png 20 40 22 10 10 2 D 5d , [2 + ,10], (2*5) 20
32 Pentagonal ortocupolarotunda Johnson solid 32 net.png Pentagonal orthocupolarotunda.png 25 50 27 15 5 7 C 5v , [5], (*55) 10
33 Pentagonal gyrocupolarotunda Johnson solid 33 net.png Pentagonal gyrocupolarotunda.png 25 50 27 15 5 7 C 5v , [5], (*55) 10
34 Pentagonal ortobirotunda Johnson solid 34 net.png Pentagonal orthobirotunda.png 30 60 32 20 12 D 5h , [5,2], (*225) 20
35 Långsträckt triangulär ortobikupa Johnson solid 35 net.png Elongated triangular orthobicupola.png 18 36 20 8 12 D 3h , [3,2], (*223) 12
36 Långsträckt triangulär gyrobicupola Johnson solid 36 net.png Elongated triangular gyrobicupola.png 18 36 20 8 12 D 3d , [2 + ,6], (2*3) 12
37 Långsträckt fyrkantig gyrobicupola Johnson solid 37 net.png Elongated square gyrobicupola.png 24 48 26 8 18 D 4d , [2 + ,8], (2*4) 16
38 Långsträckt femkantig ortobikupa Johnson solid 38 net.png Elongated pentagonal orthobicupola.png 30 60 32 10 20 2 D 5h , [5,2], (*225) 20
39 Långsträckt femkantig gyrobicupola Johnson solid 39 net.png Elongated pentagonal gyrobicupola.png 30 60 32 10 20 2 D 5d , [2 + ,10], (2*5) 20
40 Långsträckt femkantig ortocupolarotunda Johnson solid 40 net.png Elongated pentagonal orthocupolarotunda.png 35 70 37 15 15 7 C 5v , [5], (*55) 10
41 Långsträckt femkantig gyrocupolarotunda Johnson solid 41 net.png Elongated pentagonal gyrocupolarotunda.png 35 70 37 15 15 7 C 5v , [5], (*55) 10
42 Långsträckt femkantig ortobirotunda Johnson solid 42 net.png Elongated pentagonal orthobirotunda.png 40 80 42 20 10 12 D 5h , [5,2], (*225) 20
43 Långsträckt femkantig gyrobirotunda Johnson solid 43 net.png Elongated pentagonal gyrobirotunda.png 40 80 42 20 10 12 D 5d , [2 + ,10], (2*5) 20
44 Gyroelång triangulär bikupa Johnson solid 44 net.png Gyroelongated triangular bicupola.png 18 42 26 20 6 D3 , [3,2] + ,(223 ) 6
45 Gyroelång fyrkantig bikupa Johnson solid 45 net.png Gyroelongated square bicupola.png 24 56 34 24 10 D 4 , [4,2] + , (224) 8
46 Gyroelång femkantig bikupa Johnson solid 46 net.png Gyroelongated pentagonal bicupola.png 30 70 42 30 10 2 D 5 , [5,2] + , (225) 10
47 Gyrolånga femkantiga kupolrotunda Johnson solid 47 net.png Gyroelongated pentagonal cupolarotunda.png 35 80 47 35 5 7 C 5 , [5] + , (55) 5
48 Gyrolånga femkantiga birotunda Johnson solid 48 net.png Gyroelongated pentagonal birotunda.png 40 90 52 40 12 D 5 , [5,2] + , (225) 10
49 Förstärkt triangulärt prisma Johnson solid 49 net.png Augmented triangular prism.png 7 13 8 6 2 C 2v , [2], (*22) 4
50 Biaugmenterat triangulärt prisma Johnson solid 50 net.png Biaugmented triangular prism.png 8 17 11 10 1 C 2v , [2], (*22) 4
51 Triaugmenterat triangulärt prisma Johnson solid 51 net.png Triaugmented triangular prism.png 9 21 14 14 D 3h , [3,2], (*223) 12
52 Förstärkt femkantigt prisma Johnson solid 52 net.png Augmented pentagonal prism.png 11 19 10 4 4 2 C 2v , [2], (*22) 4
53 Biaugmented pentagonal prisma Johnson solid 53 net.png Biaugmented pentagonal prism.png 12 23 13 8 3 2 C 2v , [2], (*22) 4
54 Förstärkt hexagonalt prisma Johnson solid 54 net.png Augmented hexagonal prism.png 13 22 11 4 5 2 C 2v , [2], (*22) 4
55 Parabiaförstärkt hexagonalt prisma Johnson solid 55 net.png Parabiaugmented hexagonal prism.png 14 26 14 8 4 2 D 2h , [2,2], (*222) 8
56 Metabiaförstärkt hexagonalt prisma Johnson solid 56 net.png Metabiaugmented hexagonal prism.png 14 26 14 8 4 2 C 2v , [2], (*22) 4
57 Triaugmenterat hexagonalt prisma Johnson solid 57 net.png Triaugmented hexagonal prism.png 15 30 17 12 3 2 D 3h , [3,2], (*223) 12
58 Förstärkt dodekaeder Johnson solid 58 net.png Augmented dodecahedron.png 21 35 16 5 11 C 5v , [5], (*55) 10
59 Parabiaugmented dodecahedron Johnson solid 59 net.png Parabiaugmented dodecahedron.png 22 40 20 10 10 D 5d , [2 + ,10], (2*5) 20
60 Metabiaförstärkt dodekaeder Johnson solid 60 net.png Metabiaugmented dodecahedron.png 22 40 20 10 10 C 2v , [2], (*22) 4
61 Triaugmenterad dodekaeder Johnson solid 61 net.png Triaugmented dodecahedron.png 23 45 24 15 9 C 3v , [3], (*33) 6
62 Metabidiminiserad icosahedron Johnson solid 62 net.png Metabidiminished icosahedron.png 10 20 12 10 2 C 2v , [2], (*22) 4
63 Treförminskad icosahedron Johnson solid 63 net.png Tridiminished icosahedron.png 9 15 8 5 3 C 3v , [3], (*33) 6
64 Förstärkt treförminskad icosahedron Johnson solid 64 net.png Augmented tridiminished icosahedron.png 10 18 10 7 3 C 3v , [3], (*33) 6
65 Förstärkt trunkerad tetraeder Johnson solid 65 net.png Augmented truncated tetrahedron.png 15 27 14 8 3 3 C 3v , [3], (*33) 6
66 Förstärkt trunkerad kub Johnson solid 66 net.png Augmented truncated cube.png 28 48 22 12 5 5 C 4v , [4], (*44) 8
67 Biaugmented trunkerad kub Johnson solid 67 net.png Biaugmented truncated cube.png 32 60 30 16 10 4 D 4h , [4,2], (*224) 16
68 Förstärkt trunkerad dodekaeder Johnson solid 68 net.png Augmented truncated dodecahedron.png 65 105 42 25 5 1 11 C 5v , [5], (*55) 10
69 Parabiaugmented trunkerad dodekaeder Johnson solid 69 net.png Parabiaugmented truncated dodecahedron.png 70 120 52 30 10 2 10 D 5d , [2 + ,10], (2*5) 20
70 Metabiaförstärkt trunkerad dodekaeder Johnson solid 70 net.png Metabiaugmented truncated dodecahedron.png 70 120 52 30 10 2 10 C 2v , [2], (*22) 4
71 Triaugmenterad trunkerad dodekaeder Johnson solid 71 net.png Triaugmented truncated dodecahedron.png 75 135 62 35 15 3 9 C 3v , [3], (*33) 6
72 Gyrat rhombicosidodecahedron Johnson solid 72 net.png Gyrate rhombicosidodecahedron.png 60 120 62 20 30 12 C 5v , [5], (*55) 10
73 Parabigyrat rhombicosidodecahedron Johnson solid 73 net.png Parabigyrate rhombicosidodecahedron.png 60 120 62 20 30 12 D 5d , [2 + ,10], (2*5) 20
74 Metabigyrat rhombicosidodecahedron Johnson solid 74 net.png Metabigyrate rhombicosidodecahedron.png 60 120 62 20 30 12 C 2v , [2], (*22) 4
75 Trigyrat rhombicosidodecahedron Johnson solid 75 net.png Trigyrate rhombicosidodecahedron.png 60 120 62 20 30 12 C 3v , [3], (*33) 6
76 Förminskad rhombicosidodecahedron Johnson solid 76 net.png Diminished rhombicosidodecahedron.png 55 105 52 15 25 11 1 C 5v , [5], (*55) 10
77 Paragyrat minskad rhombicosidodecahedron Johnson solid 77 net.png Paragyrate diminished rhombicosidodecahedron.png 55 105 52 15 25 11 1 C 5v , [5], (*55) 10
78 Metagyrat minskad rhombicosidodecahedron Johnson solid 78 net.png Metagyrate diminished rhombicosidodecahedron.png 55 105 52 15 25 11 1 C s , [ ], (*11) 2
79 Bigyrate förminskad rhombicosidodecahedron Johnson solid 79 net.png Bigyrate diminished rhombicosidodecahedron.png 55 105 52 15 25 11 1 C s , [ ], (*11) 2
80 Parabidförminskad rhombicosidodecahedron Johnson solid 80 net.png Parabidiminished rhombicosidodecahedron.png 50 90 42 10 20 10 2 D 5d , [2 + ,10], (2*5) 20
81 Metabidiminiserad rhombicosidodecahedron Johnson solid 81 net.png Metabidiminished rhombicosidodecahedron.png 50 90 42 10 20 10 2 C 2v , [2], (*22) 4
82 Gyrat dubbelförminskad rhombicosidodecahedron Johnson solid 82 net.png Gyrate bidiminished rhombicosidodecahedron.png 50 90 42 10 20 10 2 C s , [ ], (*11) 2
83 Treförminskad rhombicosidodecahedron Johnson solid 83 net.png Tridiminished rhombicosidodecahedron.png 45 75 32 5 15 9 3 C 3v , [3], (*33) 6
84 Snub disfenoid Johnson solid 84 net.png Snub disphenoid.png 8 18 12 12 D 2d , [2 + ,4], (2*2) 8
85 Snub fyrkantig antiprisma Johnson solid 85 net.png Snub square antiprism.png 16 40 26 24 2 D 4d , [2 + ,8], (2*4) 16
86 Sphenocorona Johnson solid 86 net.png Sphenocorona.png 10 22 14 12 2 C 2v , [2], (*22) 4
87 Förstärkt sphenocorona Johnson solid 87 net.png Augmented sphenocorona.png 11 26 17 16 1 C s , [ ], (*11) 2
88 Sphenomegacorona Johnson solid 88 net.png Sphenomegacorona.png 12 28 18 16 2 C 2v , [2], (*22) 4
89 Hebesphenomegacorona Johnson solid 89 net.png Hebesphenomegacorona.png 14 33 21 18 3 C 2v , [2], (*22) 4
90 Disphenocingulum Johnson solid 90 net.png Disphenocingulum.png 16 38 24 20 4 D 2d , [2 + ,4], (2*2) 8
91 Bilunabirotunda Johnson solid 91 net.png Bilunabirotunda.png 14 26 14 8 2 4 D 2h , [2,2], (*222) 8
92 Triangulär hebesphenorotunda Johnson solid 92 net.png Triangular hebesphenorotunda.png 18 36 20 13 3 3 1 C 3v , [3], (*33) 6
tillbaka till toppen WWC arrow up.png

Legend:

  • J n – Johnson solid nummer
  • Net – Tillplattad (ovikt) bild
  • V – Antal hörn
  • E – Antal kanter
  • F – Antal ansikten (totalt)
  • F 3 –F 10 – Antal ansikten vid sida räknas

Den fyrkantiga pyramiden J 1 har minst hörn (5), minst kanter (8) och minst ytor (5).

Den triaugmenterade trunkerade dodekaedern J 71 har flest hörn (75) och flest kanter (135). Den har också det högsta antalet ytor (62), tillsammans med gyrat rhombicosidodecahedron J 72 , parabigyrat rhombicosidodecahedron J 73 , metabigyrat rhombicosidodecahedron J 74 och trigyrat rhombicosidodecahedron J 75 .

Ytarea

Eftersom alla ytor av Johnson solids är vanliga polygoner med 3, 4, 5, 6, 8 eller 10 sidor , och eftersom alla dessa polygoner har samma kantlängd a , kan ytarean för ett Johnson solid beräknas som

där F n är antalet polygonala ytor i föregående tabell och

är arean av en vanlig polygon med n sidor av längden a . När det gäller radikaler har man

vilket resulterar i följande tabell över ytareor.

J n Fast namn A/a 2 (ungefär) A/a 2 (exakt)
1 Fyrkantig pyramid 2,732050808
2 Pentagonal pyramid 3,885540910
3 Trekantig kupol 7,330127019
4 Fyrkantig kupol 11.560477932
5 Femkantig kupol 16.579749753
6 Femkantig rotunda 22.347200265
7 Långsträckt triangulär pyramid 4,732050808
8 Långsträckt fyrkantig pyramid 6,732050808
9 Långsträckt femkantig pyramid 8,885540910
10 Gyroelång fyrkantig pyramid 6.196152423
11 Gyrolånga femkantiga pyramid 8,215667929
12 Triangulär dipyramid 2,598076211
13 Pentagonal dipyramid 4,330127019
14 Långsträckt triangulär dipyramid 5,598076211
15 Långsträckt fyrkantig dipyramid 7,464101615
16 Långsträckt femkantig dipyramid 9,330127019
17 Gyroelång fyrkantig dipyramid 6,928203230
18 Långsträckt triangulär kupol 13.330127019
19 Långsträckt fyrkantig kupol 19.560477932
20 Långsträckt femkantig kupol 26.579749753
21 Långsträckt femkantig rotunda 32.347200265
22 Gyroelång triangulär kupol 12.526279442
23 Gyroelång fyrkantig kupol 18.488681163
24 Gyroelång femkantig kupol 25.240003791
25 Gyrolånga femkantiga rotunda 31.007454303
26 Gyrobifastigium 5,732050808
27 Triangulär ortobicupola 9,464101615
28 Fyrkantig ortobikupa 13.464101615
29 Fyrkantig gyrobicupola 13.464101615
30 Pentagonal ortobicupola 17.771081820
31 Pentagonal gyrobicupola 17.771081820
32 Pentagonal ortocupolarotunda 23.538532333
33 Pentagonal gyrocupolarotunda 23.538532333
34 Pentagonal ortobirotunda 29.305982845
35 Långsträckt triangulär ortobikupa 15.464101615
36 Långsträckt triangulär gyrobicupola 15.464101615
37 Långsträckt fyrkantig gyrobicupola 21.464101615
38 Långsträckt femkantig ortobikupa 27.771081820
39 Långsträckt femkantig gyrobicupola 27.771081820
40 Långsträckt femkantig ortocupolarotunda 33.538532333
41 Långsträckt femkantig gyrocupolarotunda 33.538532333
42 Långsträckt femkantig ortobirotunda 39.305982845
43 Långsträckt femkantig gyrobirotunda 39.305982845
44 Gyroelång triangulär bikupa 14.660254038
45 Gyroelång fyrkantig bikupa 20.392304845
46 Gyroelång femkantig bikupa 26.431335858
47 Gyrolånga femkantiga kupolrotunda 32.198786370
48 Gyrolånga femkantiga birotunda 37.966236883
49 Förstärkt triangulärt prisma 4,598076211
50 Biaugmenterat triangulärt prisma 5,330127019
51 Triaugmenterat triangulärt prisma 6,062177826
52 Förstärkt femkantigt prisma 9,173005609
53 Biaugmented pentagonal prisma 9,905056416
54 Förstärkt hexagonalt prisma 11.928203230
55 Parabiaförstärkt hexagonalt prisma 12.660254038
56 Metabiaförstärkt hexagonalt prisma 12.660254038
57 Triaugmenterat hexagonalt prisma 13.392304845
58 Förstärkt dodekaeder 21.090314916
59 Parabiaugmented dodecahedron 21.534901025
60 Metabiaförstärkt dodekaeder 21.534901025
61 Triaugmenterad dodekaeder 21,979487134
62 Metabidiminiserad icosahedron 7,771081820
63 Treförminskad icosahedron 7,326495711
64 Förstärkt treförminskad icosahedron 8.192521115
65 Förstärkt trunkerad tetraeder 14.258330249
66 Förstärkt trunkerad kub 34.338288046
67 Biaugmented trunkerad kub 36.241911729
68 Förstärkt stympad dodekaeder 102.182092220
69 Parabiaugmented trunkerad dodekaeder 103.373424287
70 Metabiaförstärkt trunkerad dodekaeder 103.373424287
71 Triaugmenterad trunkerad dodekaeder 104.564756354
72 Gyrat rhombicosidodecahedron 59.305982845
73 Parabigyrat rhombicosidodecahedron 59.305982845
74 Metabigyrat rhombicosidodecahedron 59.305982845
75 Trigyrat rhombicosidodecahedron 59.305982845
76 Förminskad rhombicosidodecahedron 58.114650778
77 Paragyrat förminskad rhombicosidodecahedron 58.114650778
78 Metagyrat minskat rhombicosidodecahedron 58.114650778
79 Bigyrate förminskad rhombicosidodecahedron 58.114650778
80 Parabidförminskad rhombicosidodecahedron 56.923318711
81 Metabidiminiserad rhombicosidodecahedron 56.923318711
82 Gyrat dubbelförminskad rhombicosidodecahedron 56.923318711
83 Treförminskad rhombicosidodecahedron 55.731986644
84 Snub disfenoid 5,196152423
85 Snub fyrkantig antiprisma 12.392304845
86 Sphenocorona 7.196152423
87 Förstärkt sphenocorona 7,928203230
88 Sphenomegacorona 8,928203230
89 Hebesphenomegacorona 10,794228634
90 Disphenocingulum 12.660254038
91 Bilunabirotunda 12.346011217
92 Triangulär hebesphenorotunda 16.388673538

För en fast kantlängd har den triangulära dipyramiden J 12 den minsta ytarean och den triaugmenterade trunkerade dodekaedern J 71 den största, mer än 40 gånger större.

Volym

Följande tabell listar volymen av varje Johnson fast substans. Här V volymen (inte antalet hörn, som i den första tabellen) och a är kantlängden .

Källan för denna tabell är kommandot PolyhedronData[..., "Volume"] i Wolfram Researchs Mathematica .

Dessa volymer kan beräknas från en uppsättning vertexkoordinater; sådana koordinater är kända för alla 92 Johnson-fastämnen. Ett konceptuellt enkelt tillvägagångssätt är att triangulera ytan på det fasta ämnet (till exempel genom att lägga till en extra punkt i mitten av varje icke-triangulär yta) och välja någon inre punkt som ett "ursprung" så att det inre kan delas in i oregelbundna tetraedrar . Varje tetraeder har en vertex vid utgångspunkten inuti och tre hörn på ytan. Volymen av det fasta ämnet är då summan av volymerna av dessa tetraedrar. Det finns en enkel formel för volymen av en oregelbunden tetraeder .

J n Fast namn V/a 3 (ungefär) V/a 3 (exakt)
1 Fyrkantig pyramid 0,235702260
2 Pentagonal pyramid 0,301502832
3 Trekantig kupol 1,178511302
4 Fyrkantig kupol 1,942809042
5 Femkantig kupol 2,324045318
6 Femkantig rotunda 6,917762968
7 Långsträckt triangulär pyramid 0,550863832
8 Långsträckt fyrkantig pyramid 1,235702260
9 Långsträckt femkantig pyramid 2,021980233
10 Gyroelång fyrkantig pyramid 1,192702242
11 Gyrolånga femkantiga pyramid 1,880192158
12 Triangulär dipyramid 0,235702260
13 Pentagonal dipyramid 0,603005665
14 Långsträckt triangulär dipyramid 0,668714962
15 Långsträckt fyrkantig dipyramid 1,471404521
16 Långsträckt femkantig dipyramid 2,323483065
17 Gyroelång fyrkantig dipyramid 1,428404503
18 Långsträckt triangulär kupol 3,776587513
19 Långsträckt fyrkantig kupol 6,771236166
20 Långsträckt femkantig kupol 10.018254161
21 Långsträckt femkantig rotunda 14.611971811
22 Gyroelång triangulär kupol 3,516053091
23 Gyroelång fyrkantig kupol 6,210765792 roten av polynom av grad 8
24 Gyrolång femkantig kupol 9,073333194 roten av polynom av grad 8
25 Gyrolånga femkantiga rotunda 13.667050844 roten av polynom av grad 8
26 Gyrobifastigium 0,866025404
27 Triangulär ortobicupola 2,357022604
28 Fyrkantig ortobikupa 3,885618083
29 Fyrkantig gyrobicupola 3,885618083
30 Pentagonal ortobicupola 4,648090637
31 Pentagonal gyrobicupola 4,648090637
32 Pentagonal ortocupolarotunda 9,241808286
33 Pentagonal gyrocupolarotunda 9,241808286
34 Pentagonal ortobirotunda 13.835525936
35 Långsträckt triangulär ortobikupa 4,955098815
36 Långsträckt triangulär gyrobicupola 4,955098815
37 Långsträckt fyrkantig gyrobicupola 8,714045208
38 Långsträckt femkantig ortobikupa 12.342299480
39 Långsträckt femkantig gyrobicupola 12.342299480
40 Långsträckt femkantig ortocupolarotunda 16.936017129
41 Långsträckt femkantig gyrocupolarotunda 16.936017129
42 Långsträckt femkantig ortobirotunda 21,529734779
43 Långsträckt femkantig gyrobirotunda 21,529734779
44 Gyroelång triangulär bikupa 4,694564393
45 Gyroelång fyrkantig bikupol 8,153574834 roten av polynom av grad 8
46 Gyroelång femkantig bikupa 11.397378512 roten av polynom av grad 8
47 Gyrolånga femkantiga kupolrotunda 15,991096162 roten av polynom av grad 8
48 Gyrolånga femkantiga birotunda 20.584813812 roten av polynom av grad 8
49 Förstärkt triangulärt prisma 0,668714962
50 Biaugmenterat triangulärt prisma 0,904417223
51 Triaugmenterat triangulärt prisma 1,140119483
52 Förstärkt femkantigt prisma 1,956179661
53 Biaugmented pentagonal prisma 2.191881921
54 Förstärkt hexagonalt prisma 2,833778472
55 Parabiaförstärkt hexagonalt prisma 3,069480732
56 Metabiaförstärkt hexagonalt prisma 3,069480732
57 Triaugmenterat hexagonalt prisma 3,305182993
58 Förstärkt dodekaeder 7,964621793
59 Parabiaugmented dodecahedron 8,266124625
60 Metabiaförstärkt dodekaeder 8,266124625
61 Triaugmenterad dodekaeder 8,567627458
62 Metabidiminiserad icosahedron 1,578689326
63 Treförminskad icosahedron 1,277186493
64 Förstärkt treförminskad icosahedron 1,395037624
65 Förstärkt trunkerad tetraeder 3,889087297
66 Förstärkt trunkerad kub 15.542472333
67 Biaugmented trunkerad kub 17.485281374
68 Förstärkt trunkerad dodekaeder 87.363709878
69 Parabiaugmented trunkerad dodekaeder 89.687755196
70 Metabiaförstärkt trunkerad dodekaeder 89.687755196
71 Triaugmenterad trunkerad dodekaeder 92.011800514
72 Gyrat rhombicosidodecahedron 41.615323782
73 Parabigyrat rhombicosidodecahedron 41.615323782
74 Metabigyrat rhombicosidodecahedron 41.615323782
75 Trigyrat rhombicosidodecahedron 41.615323782
76 Förminskad rhombicosidodecahedron 39.291278464
77 Paragyrat förminskad rhombicosidodecahedron 39.291278464
78 Metagyrat minskat rhombicosidodecahedron 39.291278464
79 Bigyrate förminskad rhombicosidodecahedron 39.291278464
80 Parabidförminskad rhombicosidodecahedron 36.967233146
81 Metabidiminiserad rhombicosidodecahedron 36.967233146
82 Gyrat dubbelförminskad rhombicosidodecahedron 36.967233146
83 Treförminskad rhombicosidodecahedron 34.643187827
84 Snub disfenoid 0,859493646 roten av polynom av grad 6
85 Snub fyrkantig antiprisma 3,601222010 roten av polynom av grad 12
86 Sphenocorona 1,515351640
87 Förstärkt sphenocorona 1,751053900 roten av polynom av grad 16
88 Sphenomegacorona 1,948108229 roten av polynom av grad 32
89 Hebesphenomegacorona 2,912910415 roten av polynom av grad 20
90 Disphenocingulum 3,777645342 roten av polynom av grad 24
91 Bilunabirotunda 3,093717650
92 Triangulär hebesphenorotunda 5,108745974

För en fast kantlängd har den fyrkantiga pyramiden J 1 och den triangulära dipyramiden J 12 den minsta volymen och den triaugmenterade trunkerade dodekaedern J 71 har den största, mer än 390 gånger större.

Tretton av de 92 Johnson-fastämnena har volymer för vilka V / a 3 inte är ett tal som kan uttryckas med hjälp av radikaler . Dessa värden är den största reella roten av följande polynom .

J n Polynom
23


6561 x 8 − 52488 x 7 + 113724 x 6 − 9720 x 5 − 1616922 x 4 + 396360 x 3 + 1537020 x 2 − 178632 x − 3391

24


1679616 x 8 − 11197440 x 7 + 27060480 x 6 + 35769600 x 5 4456749600 x 4 − 10714248000 x 3 + 38284502001 x 7 625

25


1679616 x 8 50388480 x 7 + 603262080 x 6 − 3520972800 x 5 + 5215460400 x 4 + 4128624000 x 3 − 889494300 − 889494300 − 889494300 889494300 4375

45


6561 x 8 − 104976 x 7 + 594864 x 6 − 1384128 x 5 − 552096 x 4 + 1569024 x 3 + 246528 x 2 − 119808 x + 4352

46


6561 x 8 − 87480 x 7 + 313470 x 6 + 753300 x 5 − 22424850 x 4 − 84591000 x 3 − 85909500 x 2 + 8715000 x 505

47


1679616 x 8 − 61585920 x 7 + 851472000 x 6 5108832000 x 5 + 4745790000 x 4 + 21346200000 x 3 290019375 0-4 5859375

48


6561 x 8 − 393660 x 7 + 9316620 x 6 − 108207900 x 5 + 601832025 x 4 − 1417189500 x 3 + 965841750 x 2 + 50076 x 7 − 50076

84

5832 x 6 − 1377 x 4 − 2160 x 2 − 4

85


531441 x 12 − 85726026 x 8 − 48347280 x 6 + 11588832 x 4 + 4759488 x 2 − 892448

87


45137758519296 x 16 − 110336743047168 x 14 − 191069246324736 x 12 + 209269081571328 x 10 + 36454765929 x 09-4547645929 6 + 3306865979520 x 4 − 1275399855936 x 2 + 1439671249

88








521578814501447328359509917696 x 32 − 985204427391622731345740955648 x 30 − 16645447351681991898880656015360 x 28 + 79710816694053483249372512649216 x 26 − 152195045391070538203422101864448 x 24 + 156280253448056209478031589244928 x 22 − 96188116617075838858708654227456 x 20 + 30636368373570166303441645731840 x 18 + 5828527077458909552923002273792 x 16 − 8060049780765551057159394951168 x 14 + 1018074792115156107372011716608 x 12 + 35220131544370794950945931264 x 10 + 327511698517355918956755959808 x 8 − 116978732884218191486738706432 x 6 + 10231563774949176791703149568 x 4 − 3663239492992632619529 x 40 2112675625

89

47330370277129322496 x20 − 722445512980071186432 x18
+ 3596480447590271287296 x16 − 8432333285523990773760 x14
+ 8973584611317745975296 x12 − 3065290664181478981632 x10
+ 366229890219212144640 x8 − 8337259437908852736 x6
− 22211277300912896 x4 + 132615435213216 x2
+ 2693461945329

90

1213025622610333925376 x24 + 54451372392730545094656 x22
− 796837093078664749252608 x20 − 4133410366404688544268288 x18
+ 20902529024429842816303104 x16 − 133907540390420673677230080 x14
+ 246234688242991598853881856 x12 − 63327534106871321714442240 x10
+ 14389309497459555704164608 x8 + 48042947402464500749392128 x6
− 5891096640600351061013664 x4 − 3212114716816853362953264 x2 + 479556973248657693884401

Inradius, midradius och circumradius

Följande tabell listar radien R i för insfären , radien R m för mellansfären och radien R c för circumsphere , var och en dividerad med kantlängden a , när dessa sfärer finns .

En polyeder har inte nödvändigtvis en insfär, eller en mellansfär eller en circumsphere. Till exempel har den ingen circumsphere om inte alla dess hörn ligger på någon sfär. Johnsons fasta ämnen, som har mindre symmetri än, säg, de platoniska fasta ämnen , saknar många av dessa sfärer. Endast J 1 och J 2 har alla dessa tre sfärer.

Källan för denna tabell är kommandona PolyhedronData[..., "Inradius"] , PolyhedronData[..., "Midradius"] och PolyhedronData[..., "Circumradius"] i Wolfram Researchs Mathematica . Utgången har förenklats till en konsekvent form vad gäller radikaler .

J n R i /a (ungefär) R i /a (exakt) R m /a (ungefär) R m /a (exakt) R c /a (ungefär) R c /a (exakt)
1 0,258819045 0,500000000 0,707106781
2 0,232788309 0,809016994 0,951056516
3 - - 0,866025404 1,000000000
4 - - 1,306562965 1,398966326
5 - - 2,176250899 2,232950509
6 - - 1,538841769 1,618033989
7 - - - - - -
8 - - - - - -
9 - - - - - -
10 - - - - - -
11 - - 0,809016994 0,951056516
12 0,272165527 - - - -
13 0,417774579 - - - -
14 - - - - - -
15 - - - - - -
16 - - - - - -
17 - - - - - -
18 - - - - - -
19 - - 1,306562965 1,398966326
20 - - - - - -
21 - - - - - -
22 - - - - - -
23 - - - - - -
24 - - - - - -
25 - - - - - -
26 - - - - - -
27 - - 0,866025404 1,000000000
28 - - - - - -
29 - - - - - -
30 - - - - - -
31 - - - - - -
32 - - - - - -
33 - - - - - -
34 - - 1,538841769 1,618033989
35 - - - - - -
36 - - - - - -
37 - - 1,306562965 1,398966326
38 - - - - - -
39 - - - - - -
40 - - - - - -
41 - - - - - -
42 - - - - - -
43 - - - - - -
44 - - - - - -
45 - - - - - -
46 - - - - - -
47 - - - - - -
48 - - - - - -
49 - - - - - -
50 - - - - - -
51 - - - - - -
52 - - - - - -
53 - - - - - -
54 - - - - - -
55 - - - - - -
56 - - - - - -
57 - - - - - -
58 - - - - - -
59 - - - - - -
60 - - - - - -
61 - - - - - -
62 - - 0,809016994 0,951056516
63 - - 0,809016994 0,951056516
64 - - - - - -
65 - - - - - -
66 - - - - - -
67 - - - - - -
68 - - - - - -
69 - - - - - -
70 - - - - - -
71 - - - - - -
72 - - 2,176250899 2,232950509
73 - - 2,176250899 2,232950509
74 - - 2,176250899 2,232950509
75 - - 2,176250899 2,232950509
76 - - 2,176250899 2,232950509
77 - - 2,176250899 2,232950509
78 - - 2,176250899 2,232950509
79 - - 2,176250899 2,232950509
80 - - 2,176250899 2,232950509
81 - - 2,176250899 2,232950509
82 - - 2,176250899 2,232950509
83 - - 2,176250899 2,232950509
84 - - - - - -
85 - - - - - -
86 - - - - - -
87 - - - - - -
88 - - - - - -
89 - - - - - -
90 - - - - - -
91 - - - - - -
92 - - - - - -
  • Norman W. Johnson , "Convex Solids with Regular Faces", Canadian Journal of Mathematics, 18 , 1966, sidorna 169–200. Innehåller den ursprungliga uppräkningen av de 92 fasta ämnena och gissningen att det inte finns några andra.
  • Victor A. Zalgaller (1969). Konvex polyeder med regelbundna ytor . Konsultbyrån. Inget ISBN. Det första beviset på att det bara finns 92 Johnson-fastämnen.

externa länkar