Disfenoid

De tetragonala och digonala disfenoiderna kan placeras inuti en kuboid som delar två motsatta ytor. Båda har fyra lika kanter som går runt sidorna. Den digonala har två par kongruenta likbenta triangelytor , medan den tetragonala har fyra kongruenta likbenta triangelytor.

En rombisk disphenoid har kongruenta skalentriangelsytor och kan passa diagonalt inuti en kuboid . Den har tre uppsättningar kantlängder, existerande som motsatta par.

I geometri är en disphenoid (från grekiska sphenoeides 'killiknande') en tetraeder vars fyra sidor är kongruenta spetsvinklade trianglar. Det kan också beskrivas som en tetraeder där varannan kanter som ligger mitt emot varandra har lika långa. Andra namn för samma form är isotetraeder , sphenoid , bisfenoid , likbent tetraeder , ekvifacial tetraeder , nästan vanlig tetraeder och tetramonoeder .

Alla solida vinklar och vertexfigurer för en disfenoid är desamma, och summan av ytvinklarna vid varje vertex är lika med två räta vinklar . En disfenoid är dock inte en vanlig polyeder , eftersom dess ytor i allmänhet inte är regelbundna polygoner , och dess kanter har tre olika längder.

Specialfall och generaliseringar

Ytterligare information: Tetraeder § Isometrier av oregelbundna tetraedrar

Om ansiktena på en disfenoid är liksidiga trianglar , är det en regelbunden tetraeder med T _d tetraedrisk symmetri , även om detta inte normalt kallas en disfenoid. När ansiktena på en disfenoid är likbenta trianglar kallas det en tetragonal disfenoid . I det här fallet har den D _2d dihedral symmetri . En sphenoid med skalenliga trianglar som dess ansikten kallas en rombisk disfenoid och den har D ₂ dihedrisk symmetri. Till skillnad från den tetragonala disfenoiden har den rombiska disfenoiden ingen reflektionssymmetri , så den är kiral . Både tetragonala disfenoider och rombiska disfenoider är isoedrar : förutom att de är kongruenta med varandra, är alla deras ansikten symmetriska med varandra.

Det är inte möjligt att konstruera en disfenoid med rätvinkliga eller trubbiga triangelytor . När rätvinkliga trianglar limmas ihop i mönstret av en disfenoid bildar de en platt figur (en dubbeltäckt rektangel) som inte omsluter någon volym. När trubbiga trianglar limmas på detta sätt kan den resulterande ytan vikas för att bilda en disfenoid (enligt Alexandrovs unikhetsteorem ) men en med spetsiga triangelytor och med kanter som i allmänhet inte ligger längs kanterna på de givna trubbiga trianglarna.

Ytterligare två typer av tetraeder generaliserar disfenoiden och har liknande namn. Den digonala disfenoiden har ytor med två olika former, båda likbenta trianglar, med två ytor av varje form. Den fylliska disfenoiden har på liknande sätt ansikten med två former av skalentrianglar.

Disfenoider kan också ses som digonala antiprismor eller som alternerade fyrsidiga prismor .

Karakteriseringar

En tetraeder är en disfenoid om och endast om dess omskrivna parallellepiped är rätvinklig.

Vi har också att en tetraeder är en disfenoid om och bara om centrum i den omskrivna sfären och den inskrivna sfären sammanfaller.

En annan karakterisering säger att om d ₁ , d ₂ och d ₃ är de gemensamma perpendicularerna för AB och CD ; AC och BD ; och AD respektive BC i en tetraeder ABCD , då är tetraedern en disfenoid om och endast om d ₁ , d ₂ och d ₃ är parvis vinkelräta .

Disphenoiderna är de enda polyedrarna som har oändligt många icke-självkorsande slutna geodesiker . På en disfenoid är alla slutna geodetik inte-självkorsande.

Disphenoiderna är tetraedrarna där alla fyra ytorna har samma omkrets , tetraedrarna där alla fyra ytorna har samma area och tetraedrarna där vinkeldefekterna för alla fyra hörn är lika med π . De är polyedrarna som har ett nät i form av en spetsig triangel, uppdelad i fyra liknande trianglar av segment som förbinder kantens mittpunkter.

Metriska formler

Volymen av en disfenoid med motsatta kanter av längden l , m och n ges av

$V={\sqrt {\frac {(l^{2}+m^{2}-n^{2})(l^{2}-m^{2}+n^{2}) (-l^{2}+m^{2}+n^{2})}{72}}}.$

Den omskrivna sfären har radie (cirkumradien)

$R={\sqrt {\frac {l^{2}+m^{2}+n^{2}}{8}}}$

och den inskrivna sfären har radie

$r={\frac {3V}{4T}}$

där V är volymen av disfenoiden och T är arean av vilket ansikte som helst, vilket ges av Herons formel . Det finns också följande intressanta samband som förbinder volymen och cirkumradien:

$\displaystyle 16T^{2}R^{2}=l^{2}m^{2}n^{2}+9V^{2}.$

Kvadraterna på längderna på bimedianerna är

${\tfrac {1}{2}}(l^{2}+m^{2}-n^{2}),\quad {\tfrac {1}{2}}(l^{2} }-m^{2}+n^{2}),\quad {\tfrac {1}{2}}(-l^{2}+m^{2}+n^{2}).$

Övriga fastigheter

Om de fyra ytorna på en tetraeder har samma omkrets, är tetraedern en disfenoid.

Om de fyra ytorna på en tetraeder har samma area, är det en disfenoid.

Centrorna i de omskrivna och inskrivna sfärerna sammanfaller med tyngdpunkten för disfenoiden.

Bimedianerna är vinkelräta mot kanterna de förbinder och mot varandra.

Bikakor och kristaller

En rymdfyllande tetraedrisk disfenoid inuti en kub. Två kanter har dihedriska vinklar på 90° och fyra kanter har dihedriska vinklar på 60°.

Vissa tetragonala disfenoider kommer att bilda bikakor . Disfenoiden vars fyra hörn är (-1, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 1) och (0, 1, -1) är en sådan disfenoid. Var och en av dess fyra ytor är en likbent triangel med kanter av längderna √ 3 , √ 3 och 2. Den kan sätta ihop utrymmet för att bilda den disfenoida tetraedriska bikakan . Som Gibb (1990) beskriver kan den vikas utan att skära eller överlappa från ett enda ark A4-papper .

"Disfenoid" används också för att beskriva två former av kristall :

• En kilformad kristallform av det tetragonala eller ortorhombiska systemet . Den har fyra triangulära ytor som är lika och som i position motsvarar alternativa ytor av den tetragonala eller ortorhombiska dipyramiden . Den är symmetrisk kring var och en av tre ömsesidigt vinkelräta diadsymmetriaxlar i alla klasser utom den tetragonal-disfenoidala, i vilken formen genereras av en invers tetradsymmetriaxel.
• En kristallform som begränsas av åtta skalentrianglar ordnade i par, som utgör en tetragonal scalenohedron .

Andra användningsområden

Sex tetragonala disfenoider fästa ände mot ände i en ring konstruerar en kalejdocykel , en pappersleksak som kan rotera på 4 uppsättningar av ansikten i en hexagon.

Se även

• Oregelbundna tetraedrar
• Ortocentrisk tetraeder
• Snub disphenoid - En Johnson solid med 12 liksidiga triangelytor och D _2d symmetri.
• Trerektangulär tetraeder

externa länkar

• Matematisk analys av Disphenoid av HC Rajpoot från Academia.edu
• Weisstein, Eric W. "Disphenoid" . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Isosceles tetrahedron" . MathWorld .