Skruvaxel

En spiral på en skruvaxel

En skruvaxel ( spiralaxel eller vridaxel ) är en linje som samtidigt är rotationsaxeln och den linje längs vilken translation av en kropp sker. Chasles sats visar att varje euklidisk förskjutning i det tredimensionella rummet har en skruvaxel, och förskjutningen kan sönderdelas till en rotation runt och en glidning längs denna skruvaxel.

Plücker-koordinater används för att lokalisera en skruvaxel i rymden och består av ett par tredimensionella vektorer. Den första vektorn identifierar axelns riktning och den andra lokaliserar dess position. Specialfallet när den första vektorn är noll tolkas som en ren translation i den andra vektorns riktning. En skruvaxel är associerad med varje vektorpar i skruvalgebra, även känd som skruvteori .

En kropps rumsliga rörelse kan representeras av en kontinuerlig uppsättning förskjutningar. Eftersom var och en av dessa förskjutningar har en skruvaxel, har rörelsen en tillhörande reglerad yta känd som en skruvyta . Denna yta är inte densamma som axoden , som spåras av de momentana skruvaxlarna för en kropps rörelse. Den momentana skruvaxeln, eller 'instantaneous helical axis' (IHA), är axeln för det helikoida fältet som genereras av hastigheterna för varje punkt i en rörlig kropp.

När en rumslig förskjutning specialiserar sig på en plan förskjutning, blir skruvaxeln förskjutningspolen , och den momentana skruvaxeln blir hastighetspolen , eller momentan rotationscentrum , även kallat ett ögonblickligt centrum . Termen centro används också för en hastighetspol, och platsen för dessa punkter för en plan rörelse kallas en centrode .

Historia

Beviset på att en rumslig förskjutning kan brytas ner till en rotation runt, och translation längs, en linje i rymden tillskrivs Michel Chasles 1830. Nyligen har Giulio Mozzis arbete identifierats som ett liknande resultat 1763.

Skruvaxelsymmetri

Boerdijk -Coxeter helix är ett exempel på en skruvaxelsymmetri som är icke-periodisk.

En skruvförskjutning (även skruvoperation eller roterande translation ) är sammansättningen av en rotation med en vinkel φ kring en axel (kallad skruvaxel ) med en translation med ett avstånd d längs denna axel. En positiv rotationsriktning betyder vanligtvis en som motsvarar translationsriktningen enligt högerregeln . Detta betyder att om rotationen är medurs är förskjutningen borta från betraktaren. Förutom φ = 180° måste vi skilja en skruvförskjutning från dess spegelbild . Till skillnad från rotationer genererar en höger- och vänsterskruvoperation olika grupper.

Kombinationen av en rotation kring en axel och en translation i en riktning vinkelrät mot den axeln är en rotation kring en parallell axel. En skruvoperation med en translationsvektor som inte är noll längs axeln kan dock inte reduceras på det sättet. Effekten av en rotation kombinerad med vilken translation som helst är alltså en skruvoperation i allmän mening, med som speciella fall en ren translation, en ren rotation och identiteten. Tillsammans är dessa alla direkta isometrier i 3D .

3 ₁ skruvaxel i kristallstruktur av tellur

I kristallografi är en skruvaxelsymmetri en kombination av rotation kring en axel och en translation parallell med den axeln som lämnar en kristall oförändrad. Om φ = 360°/ n för något positivt heltal n , så innebär skruvaxelsymmetri translationssymmetri med en translationsvektor som är n gånger den för skruvförskjutningen.

Tillämpligt för rymdgrupper är en rotation med 360°/ n kring en axel, kombinerad med en translation längs axeln med en multipel av avståndet för translationssymmetrin, dividerat med n . Denna multipel indikeras av en sänkning. Så, 6 ₃ är en rotation på 60° kombinerad med en translation av 1/2 av gittervektorn, vilket innebär att det också finns 3-faldig rotationssymmetri kring denna axel. Möjligheterna är 2 ₁ , 3 ₁ , 4 ₁ , 4 ₂ , 6 ₁ , 6 ₂ och 6 ₃ , och de enantiomorfa 3 ₂ , 4 ₃ , 6 ₄ och 6 ₅ . Med tanke på en skruvaxel n _m , om g är den största gemensamma delaren för n och m , så finns det också en g -faldig rotationsaxel. När n / g skruvoperationer har utförts blir förskjutningen m / g , vilket eftersom det är ett heltal betyder att man har flyttat till en ekvivalent punkt i gittret, samtidigt som man utför en rotation med 360°/ g . Så 4 ₂ , 6 ₂ och 6 ₄ skapar tvåfaldiga rotationsaxlar, medan 6 ₃ skapar en trefaldig axel.

En icke-diskret skruvaxelisometrigrupp innehåller alla kombinationer av en rotation kring någon axel och en proportionell translation längs axeln (i rifling kallas proportionalitetskonstanten för vridningshastigheten ) ; i allmänhet kombineras detta med k -faldiga rotationsisometrier kring samma axel ( k ≥ 1); uppsättningen bilder av en punkt under isometrierna är en k -faldig helix ; dessutom kan det finnas en 2-faldig rotation kring en vinkelrätt skärande axel, och därmed en k -faldig helix av sådana axlar.

Skruvaxel för en rumslig förskjutning

Geometriskt argument

Låt ^. D : R3 → R3 ^{orienteringsbevarande} vara en stel rörelse ^av R3 Uppsättningen av dessa transformationer är en undergrupp av euklidiska rörelser känd som den speciella euklidiska gruppen SE(3). Dessa stela rörelser definieras av transformationer av x i R ³ som ges av

$D(\mathbf {x} )=A(\mathbf {x} )+\mathbf {d}$

bestående av en tredimensionell rotation A följt av en translation av vektorn d .

En tredimensionell rotation A har en unik axel som definierar en linje L . Låt enhetsvektorn längs denna linje vara S så att translationsvektorn d kan lösas upp i en summa av två vektorer, en parallell och en vinkelrät mot axeln L , dvs.

$\mathbf {d} =\mathbf {d} _{L}+\mathbf {d} _{\perp },\quad \mathbf {d} _{L}=(\mathbf {d} \cdot \mathbf {S} )\mathbf {S} ,\quad \mathbf {d} _{\perp }=\mathbf {d} -\mathbf {d} _{L}.$

I det här fallet tar den stela rörelsen formen

$D(\mathbf {x} )=(A(\mathbf {x} )+\mathbf {d} _{\perp })+\mathbf {d} _{L}.$

0 Nu omvandlar orienteringen som bevarar stel rörelse D * = A ( x ) + d _⊥ alla punkter i R ³ så att de förblir i plan vinkelräta mot L . För en stel rörelse av denna typ finns det en unik punkt c i planet P vinkelrätt mot L genom , så att

$D^{*}(\mathbf {C} )=A(\mathbf {C} )+\mathbf {d} _{\perp }=\mathbf {C} .$

Punkten C kan beräknas som

$\mathbf {C} =[IA]^{-1}\mathbf {d} _{\perp },$

eftersom d _⊥ inte har en komponent i riktningen för axeln för A .

En stel rörelse D * med en fast punkt måste vara en rotation kring axeln L _c genom punkten c . Därför den stela rörelsen

$D(\mathbf {x} )=D^{*}(\mathbf {x} )+\mathbf {d} _{L},$

består av en rotation kring linjen L _c följt av en translation av vektorn d _L i riktningen för linjen L _c .

Slutsats: varje stel rörelse av R ³ är resultatet av en rotation av R ³ runt en linje Lc följt av en translation i linjens riktning _. Kombinationen av en rotation runt en linje och translation längs linjen kallas en skruvrörelse.

Beräknar en punkt på skruvaxeln

En punkt C på skruvaxeln uppfyller ekvationen:

$D^{*}(\mathbf {C} )=A(\mathbf {C} )+\mathbf {d} _{\perp }=\mathbf {C} .$

Lös denna ekvation för C med hjälp av Cayleys formel för en rotationsmatris

$[A]=[IB]^{-1}[I+B],$

där [B] är den skevsymmetriska matrisen konstruerad från Rodrigues vektor

$\mathbf {b} =\tan {\frac {\phi }{2}}\mathbf {S} ,$

Så att

$[B]\mathbf {y} =\mathbf {b} \times \mathbf {y} .$

Använd denna form av rotation A för att få

$\mathbf {C} = [IB]^{-1}[I+B]\mathbf {C} +\mathbf {d} _{\perp },\quad [IB]\mathbf {C} =[I+B]\mathbf {C } +[IB]\mathbf {d} _{\perp },$

som blir

$-2[B]\mathbf {C} =[IB]\mathbf {d} _{\perp }.$

Denna ekvation kan lösas för C på skruvaxeln P (t) för att få,

$\mathbf {C} ={\frac {\mathbf {b} \times \mathbf {d} -\mathbf {b} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {d} )}{2 \mathbf {b} \cdot \mathbf {b} }}.$

Skruvaxeln P (t) = C + t S för denna rumsliga förskjutning har Plücker-koordinaterna S = ( S , C × S ) .

Dubbel quaternion

Skruvaxeln uppträder i den dubbla kvaternionformuleringen av en rumslig förskjutning D = ([A], d ) . Den dubbla kvaternionen är konstruerad från den dubbla vektorn S = ( S , V ) som definierar skruvaxeln och den dubbla vinkeln ( φ , d ) , där φ är rotationen runt och d glidningen längs denna axel, vilket definierar förskjutningen D till erhålla,

${\hat {S}}=\cos {\frac {\hat {\varphi }}{2}}+\sin {\frac {\hat {\varphi }}{2}}{\mathsf { S}}.$

En rumslig förskjutning av punkter q representerade som en vektorkvaternion kan definieras med hjälp av kvaternioner som mappning

$\mathbf {q} \mapsto S\mathbf {q} S^{-1}+\mathbf {d}$

där d är translationsvektor quaternion och S är en enhet quaternion, även kallad en versor , givet av

$S=\cos \theta +\mathbf {S} \sin \theta ,\ \ \mathbf {S} ^{2}=- 1,$

som definierar en rotation med 2 θ runt en axel S .

I den rätta euklidiska gruppen E ⁺ (3) kan en rotation konjugeras med en translation för att flytta den till en parallell rotationsaxel. En sådan konjugation, med hjälp av quaternion homographys , producerar den lämpliga skruvaxeln för att uttrycka den givna rumsliga förskjutningen som en skruvförskjutning, i enlighet med Chasles' teorem .

Mekanik

Den momentana rörelsen hos en stel kropp kan vara kombinationen av rotation kring en axel (skruvaxeln) och en translation längs den axeln. Denna skruvrörelse kännetecknas av hastighetsvektorn för translationen och vinkelhastighetsvektorn i samma eller motsatt riktning. Om dessa två vektorer är konstanta och längs en av huvudaxlar , behövs inga yttre krafter för denna rörelse (rörelse och spinning ). Som ett exempel, om tyngdkraften och motståndet ignoreras, är detta rörelsen av en kula som avfyras från en rifled pistol .

Biomekanik

Denna parameter används ofta i biomekanik , när man beskriver rörelsen hos kroppens leder . Under vilken tidsperiod som helst kan ledrörelser ses som rörelsen av en enda punkt på en ledad yta i förhållande till den intilliggande ytan (vanligtvis distal i förhållande till proximal yta ). Den totala translationen och rotationerna längs rörelsebanan kan definieras som tidsintegralerna för de momentana translations- och rotationshastigheterna vid IHA för en given referenstid.

I vilket enskilt plan som helst kallas banan som bildas av positionerna för den rörliga momentana rotationsaxeln (IAR) som "tyngdpunkten" och används i beskrivningen av ledrörelser.

Se även

• Korkskruv (berg-och dalbana element)
• Eulers rotationssats – rotationer utan translation
• Glidreflektion
• Spiralsymmetri
• Linjegrupp
• Skruvteori
• Rymdgrupp