Fiberbunt

En cylindrisk hårborste som visar intuitionen bakom termen fiberknippe . Denna hårborste är som ett fiberknippe där basutrymmet är en cylinder och fibrerna ( borsten ) är linjesegment. Mappningen

\pi :E\to B

skulle ta en punkt på valfritt borst och mappa den till dess rot på cylindern.

I matematik , och särskilt topologi , är en fiberbunt (eller, på Commonwealth-engelska : fiberbundle ) ett utrymme som lokalt är ett produktutrymme , men globalt sett kan ha en annan topologisk struktur . Mer specifikt definieras likheten mellan ett mellanslag $E$ och ett produktutrymme $B\times F$ med hjälp av en kontinuerlig surjektiv karta , $till B,}$ ${\displaystyle \pi :E$ \ som i små områden av $E$ beter sig precis som en projektion från motsvarande regioner av $B\times F$ till $B.$ Kartan $\pi ,$ som kallas projektion eller nedsänkning av bunten, betraktas som en del av buntens struktur. Mellanrummet $E$ är känt som det totala utrymmet för fiberbunten, B $\displaystyle B}$ som basutrymmet och $F$ fibern .

I det triviala fallet är $E$ bara $B\times F,$ och kartan $\pi$ är bara projektionen från produktutrymmet till den första faktorn. Detta kallas en trivial bunt . Exempel på icke-triviala fiberbuntar inkluderar Möbius-remsan och Klein-flaskan , samt icke-triviala täckande utrymmen . Fiberknippen, såsom tangentknippet av ett grenrör och andra mer allmänna vektorknippen , spelar en viktig roll i differentialgeometri och differentiell topologi , liksom huvudbuntar .

Mappningar mellan totala utrymmen av fiberbuntar som "pendlar" med projektionskartorna är kända som buntkartor , och klassen av fiberbuntar bildar en kategori med avseende på sådana mappningar. En buntkarta från själva basutrymmet (med identitetsmapping som projektion) till $E$ kallas en sektion av $E.$ Fiberbuntar kan specialiseras på ett antal sätt, varav det vanligaste kräver att övergångskartorna mellan de lokala triviala fläckarna ligger i en viss topologisk grupp , känd som strukturgruppen , som verkar på fibern $F$ .

Historia

Inom topologin förekom termerna fiber (tyska: Faser ) och fiberrymd ( gefaserter Raum ) för första gången i en artikel av Herbert Seifert 1933, men hans definitioner är begränsade till ett mycket speciellt fall. Den största skillnaden från dagens uppfattning om ett fiberutrymme var dock att för Seifert var det som nu kallas basutrymmet ( topologiskt utrymme) för ett fiberrum (topologiskt) E inte en del av strukturen, utan härleddes från det som ett kvotutrymme av E . Den första definitionen av fiberutrymme gavs av Hassler Whitney 1935 under namnet sfärutrymme , men 1940 bytte Whitney namnet till sfärbunt .

Teorin om fibrerade utrymmen, av vilka vektorbuntar , huvudbuntar , topologiska fibrer och fiberförgreningar är ett specialfall, tillskrivs Seifert, Heinz Hopf , Jacques Feldbau , Whitney, Norman Steenrod , Charles Ehresmann , Jean-Pierre Serre och andra .

Fiberknippen blev ett eget studieobjekt under perioden 1935–1940. Den första allmänna definitionen dök upp i Whitneys verk.

Whitney kom till den allmänna definitionen av ett fiberknippe från sin studie av ett mer specifikt begrepp om ett sfärknippe , det vill säga ett fiberknippe vars fiber är en sfär av godtycklig dimension.

Formell definition

Ett fiberknippe är en struktur $(E,\,B,\,\pi ,\,F),$ där $E,B,$ och $F$ är topologiska utrymmen och $\pi :E\to B$ är en kontinuerlig surjektion som uppfyller ett lokalt trivialitetsvillkor som beskrivs nedan. Mellanrummet $\displaystyle B}$ { kallas basutrymmet för bunten, $E$ det totala utrymmet och $F$ fibern . Kartan $\pi$ kallas projektionskarta (eller buntprojektion ). Vi ska i det följande anta att basutrymmet $B$ är anslutet .

Vi kräver att det för varje $x\in B$ finns ett öppet område $U\subseteq B$ av $x$ (som kommer att kallas en trivialiserande grannskap) som t.ex. att det finns en homeomorfism ${\displaystyle \varphi :\pi ^{-1}(U)\till U\ gånger F} ($ där ${\ displaystyle \pi ^{-1}(U)}$ ges subrymdstopologin och $U\times F$ är produktutrymmet) på ett sådant sätt att $\pi$ överensstämmer med projektion på den första faktorn. Det vill säga följande diagram ska pendla :

där $\operatorname {proj} _{1}:U\ gånger F\to U$ är den naturliga projektionen och $\varphi :\pi ^{-1}(U)\to U\times F$ är en homeomorfism. Mängden av alla ${\displaystyle \left\{\left(U_{i},\,\varphi _{i}\right)\right\}} kallas$ en lokal trivialisering av bunten.

För alla $p\in B$ är alltså förbilden π $\displaystyle \pi ^{-1}(\{p\})}$ homeomorf till $F$ (eftersom detta gäller ${\displaystyle \operatorname {proj} _{1}^{-1}(\{p\})} )$ och kallas fiber över $s.$ Varje fiberbunt $\pi :E\to B$ är en öppen karta , eftersom projektioner av produkter är öppna kartor. Därför bär $B$ kvottopologin som bestäms av kartan $\pi .$

Ett fiberknippe $(E,\,B,\,\pi ,\,F)$ betecknas ofta

{\begin{matrix}{}\\F\longrightarrow E\ {\xrightarrow {\,\ \pi \ }}\ B\\{}\end{matrix}}

()

som i analogi med en kort exakt sekvens anger vilket utrymme som är fibern, totalt utrymme och basutrymme, samt kartan från totalt till basutrymme.

Ett slätt fiberknippe är ett fiberknippe i kategorin släta grenrör . Det vill säga, $E,B,$ och $F$ krävs för att vara jämna grenrör och alla funktioner ovan krävs för att vara jämna kartor .

Exempel

Trivialt paket

Låt $E=B\ gånger F$ och låt $\pi :E\to B$ vara projektionen på den första faktorn. Då $\pi$ en fiberbunt (av $F$ ) över $B.$ Här är $E$ inte bara lokalt en produkt utan globalt en. Varje sådan fiberbunt kallas en trivial bunt . Varje fiberknippe över ett sammandragbart CW-komplex är trivialt.

Icke-triviala buntar

Möbiusremsa

Möbiusremsan är en icke-trivial bunt över cirkeln.

Det kanske enklaste exemplet på en icke-trivial bunt $E$ är Möbius-remsan . Den har cirkeln som löper längs med mitten av remsan som en bas $B$ och ett linjesegment för fibern $F$ , så Möbiusremsan är en bunt av linjesegmentet över cirkeln . En stadsdel $U$ av $\pi (x)\in B$ (där $x\in E$ ) är en båge ; på bilden är detta längden på en av rutorna. Förbilden $\pi ^{-1}(U)$ på bilden är en (något vriden) skiva av remsan fyra rutor bred och en lång (dvs alla punkter som skjuter ut mot $U$ ).

En homeomorfism ( $\varphi$ i § Formell definition ) existerar som mappar förbilden av $U$ (det trivialiserande grannskapet) till en skiva av en cylinder: böjd, men inte vriden. Detta par trivialiserar remsan lokalt. Motsvarande triviala bunt $B\times F$ skulle vara en cylinder , men Möbius-remsan har en övergripande "twist". Denna vändning är endast synlig globalt; lokalt är Möbius-remsan och cylindern identiska (att göra ett enda vertikalt snitt i båda ger samma utrymme).

Klein flaska

En liknande icke-trivial bunt är Klein-flaskan , som kan ses som en "tvinnad" cirkelbunt över en annan cirkel. Den motsvarande icke-tvinnade (triviala) bunten är 2- torus , $S^{1}\times S^{1}$ .

Klein-flaskan nedsänkt i tredimensionellt utrymme.

En torus.

Täckande karta

Ett täckande utrymme är ett fiberknippe så att buntprojektionen är en lokal homeomorfism . Av detta följer att fibern är ett diskret utrymme .

Vektor- och huvudbuntar

En speciell klass av fiberknippen, kallade vektorbuntar , är de vars fibrer är vektorrum (för att kvalificera sig som ett vektorknippe måste strukturgruppen för bunten - se nedan - vara en linjär grupp ). Viktiga exempel på vektorbuntar inkluderar tangentbunten och cotangensbunten i ett jämnt grenrör. Från vilken vektorbunt som helst kan man konstruera rambunten av baser , som är en huvudbunt (se nedan).

En annan speciell klass av fiberbuntar, kallade principalbuntar , är buntar på vars fibrer en fri och transitiv verkan av en grupp $G$ ges, så att varje fiber är ett huvudsakligt homogent utrymme . Paketet specificeras ofta tillsammans med gruppen genom att referera till det som ett principiellt $G$ -paket. Gruppen $G$ är också paketets strukturgrupp. Givet en representation $\rho$ av $G$ på ett vektorrum $V$ , en vektorbunt med $\rho (G)\ subseteq {\text{Aut}}(V)$ som en strukturgrupp kan konstrueras, känd som den associerade bunten .

Sfärbuntar

Ett sfärknippe är ett fiberknippe vars fiber är en n -sfär . Givet ett vektorknippe $E$ med ett mått (som tangentknippet till ett Riemann-grenrör ) kan man konstruera det associerade enhetssfärknippet , för vilket fibern över en punkt $x$ är mängden av alla enhetsvektorer i $E_{x}$ . När vektorbunten i fråga är tangentbunten $\displaystyle TM}$ kallas enhetssfärbunten enhetstangensbunten .

En sfärbunt kännetecknas delvis av dess Euler-klass , som är en grad $n+1$ kohomologiklass i paketets totala utrymme. I fallet $n=1$ kallas sfärbunten en cirkelbunt och Euler-klassen är lika med den första Chern-klassen , vilket helt och hållet karakteriserar buntens topologi. För varje $n$ , givet Euler-klassen för en bunt, kan man beräkna dess kohomologi med hjälp av en lång exakt sekvens som kallas Gysin-sekvensen .

Kartläggning av tori

Om $X$ är ett topologiskt utrymme och $f:X\to X$ är en homeomorfism så har kartläggningstorusen $M_{f}$ en naturlig struktur av en fiberknippe över cirkeln med fiber $X.$ Kartläggning av tori av homeomorfismer av ytor är av särskild betydelse i 3-manifold topologi .

Kvotientutrymmen

Om $G$ är en topologisk grupp och $H$ är en sluten undergrupp , då under vissa omständigheter, kvotutrymmet $G/H$ tillsammans med kvotmappen $\pi :G\to G/H$ är ett fiberknippe, vars fiber är det topologiska utrymmet $H$ . Ett nödvändigt och tillräckligt villkor för att ( ${\displaystyle G,\,G/H,\,\pi ,\,H} )$ ska bilda ett fiberknippe är att mappningen $\pi$ medger lokala tvärsnitt ( Steenrod 1951 , §7).

De mest allmänna villkoren under vilka kvotkartan kommer att tillåta lokala tvärsnitt är inte kända, men om $G$ är en Lie-grupp och $H$ en sluten undergrupp (och därmed en Lie-undergrupp enligt Cartans sats ), då är kvotkartan ett fiberknippe. Ett exempel på detta är Hopf-fibreringen , ${\displaystyle S^{3}\to S^{2}} ,$ som är ett fiberknippe över sfären $S^{2}$ vars totala utrymme är $S^{3}$ . Ur Lie-gruppers perspektiv $S^{3}$ identifieras med den speciella enhetsgruppen $SU(2)$ . Den abelska undergruppen av diagonala matriser är isomorf till cirkelgruppen $U(1)$ , och kvoten ${\displaystyle SU(2)/U(1$ är diffeomorft till sfären.

Mer generellt, om $G$ är någon topologisk grupp och $H$ en sluten undergrupp som också råkar vara en Lie-grupp, så är $G\to G/H$ ett fiberknippe.

Avsnitt

Ett snitt (eller tvärsnitt ) av ett fiberknippe $\pi$ är en kontinuerlig karta $f:B\to E$ så att ${\ displaystyle \pi (f(x))=x}$ för alla x i B . Eftersom buntar i allmänhet inte har globalt definierade sektioner, är ett av syftena med teorin att redogöra för deras existens. Hindret för existensen av en sektion kan ofta mätas av en kohomologiklass, vilket leder till teorin om karakteristiska klasser i algebraisk topologi .

Det mest välkända exemplet är hårbollssatsen , där Euler-klassen är hindret för tangentknippet av 2-sfären som har en ingenstans försvinnande sektion.

Ofta skulle man vilja definiera sektioner endast lokalt (speciellt när globala sektioner inte finns). En lokal sektion av ett fiberknippe är en kontinuerlig karta $f:U\to E$ där U är en öppen mängd i B och $\pi ( f(x))=x$ för alla x i U . Om $(U,\,\varphi )$ är ett lokalt trivialiseringsdiagram så existerar alltid lokala sektioner över U . Sådana avsnitt är i 1-1 överensstämmelse med kontinuerliga kartor $U\to F$ . Sektioner bildar en kärve .

Strukturgrupper och övergångsfunktioner

Fiberbuntar kommer ofta med en grupp symmetrier som beskriver matchningsförhållandena mellan överlappande lokala trivialiseringsdiagram. Specifikt, låt G vara en topologisk grupp som verkar kontinuerligt på fiberutrymmet F till vänster. Vi förlorar ingenting om vi kräver att G agerar troget på F så att det kan ses som en grupp av homeomorfismer av F . En G - atlas för bunten $(E,B,\pi ,F)$ är en uppsättning lokala trivialiseringsdiagram $\ {(U_{k},\,\varphi _{k})\}$ så att för alla $\varphi _{i},\varphi _{j}$ för de överlappande diagrammen $(U_{i},\,\varphi _{i})$ och $(U_{j},\,\varphi _{j} )$ funktionen

\varphi _{i}\varphi _{j}^{-1}:\left( U_{i}\cap U_{j}\right)\times F\to \left(U_{i}\cap U_{j}\right)\times F

ges av

\varphi _{i}\varphi _{j}^{-1}(x,\,\xi )=\left(x,\,t_{ij}(x)\xi \right)

där

t_{ij}:U_{i}\cap U_{j}\to G

är en kontinuerlig karta som kallas en övergångsfunktion . Två G -atlaser är ekvivalenta om deras förening också är en G -atlas. Ett G -knippe är ett fiberknippe med en ekvivalensklass av G -atlaser. Gruppen G kallas buntens strukturgrupp ; den analoga termen i fysiken är gauge group .

I den jämna kategorin är en G -bunt en jämn fiberbunt där G är en Lie-grupp och motsvarande åtgärd på F är jämn och övergångsfunktionerna är alla mjuka kartor.

Övergångsfunktionerna $t_{ij}$ uppfyller följande villkor

$t_{ii}(x)=1\,$
$t_{ij}(x)=t_{ji}(x)^{-1}\,$
$t_{ik}(x)=t_{ij}(x)t_{jk}(x).\,$

Det tredje villkoret gäller vid trippelöverlappningar U _i ∩ U _j ∩ U _k och kallas för samcykelvillkor . (se Čech kohomologi ) Vikten av detta är att övergångsfunktionerna bestämmer fiberknippet (om man antar Čech samcykeltillstånd).

Ett principiellt G -knippe är ett G -knippe där fibern F är ett principiellt homogent utrymme för den vänstra verkan av G själv (motsvarande kan man specificera att verkan av G på fibern F är fri och transitiv, dvs regelbunden ). I det här fallet är det ofta en bekvämlighetsfråga att identifiera F med G och på så sätt få en (rätt) handling av G på huvudbunten.

Paketkartor

Det är användbart att ha föreställningar om en mappning mellan två fiberknippen. Antag att M och N är basrum, och $\pi _{E}:E\to M$ och $\pi _{F}:F\ till N$ är fiberknippen över M respektive N. En buntkarta eller buntmorfism består av ett par kontinuerliga funktioner

\varphi :E\to F,\quad f:M\to N

så att

\pi _{F}\circ \varphi =f\circ \pi _{E}.

Det vill säga följande diagram är kommutativt :

För fiberknippen med strukturgrupp G och vars totala utrymmen är (till höger) G -mellanrum (som ett huvudknippe) krävs också att buntmorfismer är G - ekvivarianta på fibrerna. Detta betyder att $\varphi :E\to F$ också är G -morfism från ett G -rum till ett annat, det vill säga $\ varphi (xs)=\varphi (x)s$ för alla $x\in E$ och $s\in G.$

Om basutrymmena M och N sammanfaller, då en buntmorfism över M från fiberknippet $\pi _{E}:E\to M$ till ${\ displaystyle \pi _{F}:F\to M}$ är en karta $\varphi :E\to F$ så att ${\displaystyle \pi _{E}=\pi _{F}\circ \varphi .} Detta$ betyder att buntkartan $\varphi :E\to F$ täcker identiteten för M . Det vill säga $f\equiv \mathrm {id} _{M}$ och följande diagram pendlar:

Antag att både $\pi _{E}:E\to M$ och $\pi _{F}:F\to M$ är definierade över samma basutrymme M . En bunteisomorfism är en buntkarta $(\varphi ,\,f)$ mellan $\pi _{E}:E\to M$ och $\pi _{F}:F\to M$ så att $f\equiv \mathrm {id} _{M}$ och så att $\varphi$ är också en homeomorfism.

Differentierbara fiberbuntar

I kategorin differentierbara grenrör uppstår fiberknippen naturligt som nedsänkningar av ett grenrör till ett annat. Inte varje (differentierbar) nedsänkning $f:M\to N$ från ett differentierbart grenrör M till ett annat differentierbart grenrör N ger upphov till ett differentierbart fiberknippe. För det första måste kartan vara surjektiv, och $(M,N,f)$ kallas ett fiberförgreningsrör . Detta nödvändiga villkor är dock inte helt tillräckligt, och det finns en mängd tillräckliga förhållanden i vanlig användning.

Om M och N är kompakta och sammankopplade , ger varje nedsänkning $f:M\to N$ upphov till ett fiberknippe i den meningen att det finns ett fiberutrymme F som är diffeomorft för var och en av fibrerna, t.ex. att $(E,B,\pi,F)=(M,N,f,F)$ är ett fiberknippe. (Surjektiviteten för $f$ följer av de antaganden som redan givits i detta fall.) Mer generellt kan antagandet om kompakthet mildras om nedsänkningen $f:M\to N$ antas att vara en surjektiv egen karta , vilket betyder att $f^{-1}(K)$ är kompakt för varje kompakt delmängd K av N . Ett annat tillräckligt villkor, på grund av Ehresmann (1951) , är att om $f:M\to N$ är en surjektiv nedsänkning med M och N differentierbara grenrör som t.ex. att förbilden ${\displaystyle f^{-1}\{x\}} är$ $, {\displaystyle x\in N,}$ och ansluten för alla sedan $f$ medger en kompatibel fiberbuntstruktur ( Michor 2008, §17).

Generaliseringar

Begreppet en bunt gäller för många fler kategorier i matematik, på bekostnad av att på lämpligt sätt modifiera det lokala trivialitetsvillkoret; jfr. huvudsakligen homogent utrymme och torsor (algebraisk geometri) .
Inom topologi är en fibration en avbildning $\pi :E\to B$ som har vissa homotopi-teoretiska egenskaper gemensamma med fiberknippen. Specifikt, under milda tekniska antaganden, har ett fiberknippe alltid den homotopi-lyftande egenskapen eller homotopi-täckande egenskapen (se Steenrod (1951 , 11.7) för detaljer). Detta är den definierande egenskapen hos en fibration.
En sektion av ett fiberknippe är en "funktion vars utgångsområde är kontinuerligt beroende av ingången." Denna egenskap är formellt fångad i begreppet beroende typ .

Se även

Anteckningar

^ Seifert, Herbert (1933). "Topologie dreidimensionaler gefaserter Räume" . Acta Mathematica . 60 : 147–238. doi : 10.1007/bf02398271 .
^ "Topologie Dreidimensionaler Gefaserter Räume" på Project Euclid .
^ Seifert, H. (1980). Seifert och Threlfall, En lärobok i topologi . W. Threlfall, Joan S. Birman, Julian Eisner. New York: Academic Press. ISBN 0-12-634850-2 . OCLC 5831391 .
^ Whitney, Hassler (1935). "Sfärutrymmen" . Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America . 21 (7): 464–468. Bibcode : 1935PNAS...21..464W . doi : 10.1073/pnas.21.7.464 . PMC 1076627 . PMID 16588001 .
^ Whitney, Hassler (1940). "Om teorin om sfärbuntar" . Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America . 26 (2): 148–153. Bibcode : 1940PNAS...26..148W . doi : 10.1073/pnas.26.2.148 . PMC 1078023 . PMID 16588328 .
^ Feldbau, Jacques (1939). "Sur la classification des espaces fibrés". Comptes rendus de l'Académie des Sciences . 208 : 1621–1623.
^ Ehresmann, Charles (1947). "Sur la théorie des espaces fibrés". Coll. Topp. Alg. Paris . CNRS: 3–15.
^ Ehresmann, Charles (1947). "Sur les espaces fibrés différentiables". Comptes rendus de l'Académie des Sciences . 224 : 1611–1612.
^ Ehresmann, Charles (1955). "Les prolongements d'un espace fibré différentiable". Comptes rendus de l'Académie des Sciences . 240 : 1755–1757.
^ Serre, Jean-Pierre (1951). "Homologie singulière des espaces fibrés. Tillämpningar". Annals of Mathematics . 54 (3): 425–505. doi : 10.2307/1969485 . JSTOR 1969485 .
^ Se Steenrod (1951, förord)
^
I sina tidiga verk hänvisade Whitney till sfärbuntarna som "sfärrymden". Se till exempel:
- Whitney, Hassler (1935). "Sfärutrymmen" . Proc. Natl. Acad. Sci . 21 (7): 462–468. Bibcode : 1935PNAS...21..464W . doi : 10.1073/pnas.21.7.464 . PMC 1076627 . PMID 16588001 .
- Whitney, Hassler (1937). "Topologiska egenskaper hos differentierbara grenrör" . Tjur. Amer. Matematik. Soc . 43 (12): 785–805. doi : 10.1090/s0002-9904-1937-06642-0 .
^ Whitney, Hassler (1940). "Om teorin om sfärbuntar" (PDF) . Proc. Natl. Acad. Sci . 26 (2): 148–153. Bibcode : 1940PNAS...26..148W . doi : 10.1073/pnas.26.2.148 . PMC 1078023 . PMID 16588328 .
^ Beroende på vilken kategori av utrymmen det handlar om kan funktionerna antas ha andra egenskaper än kontinuitet. Till exempel, i kategorin differentierbara grenrör, antas funktionerna vara jämna. I kategorin algebraiska sorter är de vanliga morfismer.
^ Eller är åtminstone inverterbar i lämplig kategori; t.ex. en diffeomorfism.

Steenrod, Norman (1951), The Topology of Fiber Bundles , Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08055-0
Steenrod, Norman (5 april 1999). Fiberbuntarnas topologi . Princeton Mathematical Series. Vol. 14. Princeton, NJ: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-00548-5 . OCLC 40734875 .
Bleecker, David (1981), Gauge Theory and Variational Principles , Reading, Mass: Addison-Wesley publishing, ISBN 978-0-201-10096-9
Ehresmann, Charles . "Les connexions infinitésimales dans un espace fibré différentiable". Colloque de Topologie (Espaces fibrés), Bruxelles, 1950 . Georges Thone, Liège; Masson et Cie., Paris, 1951. s. 29–55.
Husemoller, Dale (1994), Fiber Bundles , Springer Verlag, ISBN 978-0-387-94087-8
Michor, Peter W. (2008), Ämnen i differentialgeometri , Graduate Studies in Mathematics , vol. 93, Providence: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-2003-2
Voitsekhovskii, MI (2001) [1994], "Fiberrymd" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press

externa länkar

Fiberpaket , PlanetMath
Rowland, Todd. "Fiberpaket" . MathWorld .
Att göra John Robinsons symboliska skulptur "Eternity"
Sardanashvily, Gennadi , Fiberbuntar, jetgrenrör och Lagrangiansk teori. Föreläsningar för teoretiker, arXiv : 0908.1886

[1] Seifert, Herbert (1933). "Topologie dreidimensionaler gefaserter Räume" . Acta Mathematica . 60 : 147–238. doi : 10.1007/bf02398271 .

[2] "Topologie Dreidimensionaler Gefaserter Räume" på Project Euclid .

[3] Seifert, H. (1980). Seifert och Threlfall, En lärobok i topologi . W. Threlfall, Joan S. Birman, Julian Eisner. New York: Academic Press. ISBN 0-12-634850-2 . OCLC 5831391 .

[4] Whitney, Hassler (1935). "Sfärutrymmen" . Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America . 21 (7): 464–468. Bibcode : 1935PNAS...21..464W . doi : 10.1073/pnas.21.7.464 . PMC 1076627 . PMID 16588001 .

[5] Whitney, Hassler (1940). "Om teorin om sfärbuntar" . Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America . 26 (2): 148–153. Bibcode : 1940PNAS...26..148W . doi : 10.1073/pnas.26.2.148 . PMC 1078023 . PMID 16588328 .

[6] Feldbau, Jacques (1939). "Sur la classification des espaces fibrés". Comptes rendus de l'Académie des Sciences . 208 : 1621–1623.

[7] Ehresmann, Charles (1947). "Sur la théorie des espaces fibrés". Coll. Topp. Alg. Paris . CNRS: 3–15.

[8] Ehresmann, Charles (1947). "Sur les espaces fibrés différentiables". Comptes rendus de l'Académie des Sciences . 224 : 1611–1612.

[9] Ehresmann, Charles (1955). "Les prolongements d'un espace fibré différentiable". Comptes rendus de l'Académie des Sciences . 240 : 1755–1757.

[10] Serre, Jean-Pierre (1951). "Homologie singulière des espaces fibrés. Tillämpningar". Annals of Mathematics . 54 (3): 425–505. doi : 10.2307/1969485 . JSTOR 1969485 .

[11] Se Steenrod (1951, förord)

[12] I sina tidiga verk hänvisade Whitney till sfärbuntarna som "sfärrymden". Se till exempel:

Whitney, Hassler (1935). "Sfärutrymmen" . Proc. Natl. Acad. Sci . 21 (7): 462–468. Bibcode : 1935PNAS...21..464W . doi : 10.1073/pnas.21.7.464 . PMC 1076627 . PMID 16588001 .

Whitney, Hassler (1937). "Topologiska egenskaper hos differentierbara grenrör" . Tjur. Amer. Matematik. Soc . 43 (12): 785–805. doi : 10.1090/s0002-9904-1937-06642-0 .

[13] Whitney, Hassler (1935). "Sfärutrymmen" . Proc. Natl. Acad. Sci . 21 (7): 462–468. Bibcode : 1935PNAS...21..464W . doi : 10.1073/pnas.21.7.464 . PMC 1076627 . PMID 16588001 .

[14] Whitney, Hassler (1937). "Topologiska egenskaper hos differentierbara grenrör" . Tjur. Amer. Matematik. Soc . 43 (12): 785–805. doi : 10.1090/s0002-9904-1937-06642-0 .

[13] Whitney, Hassler (1940). "Om teorin om sfärbuntar" (PDF) . Proc. Natl. Acad. Sci . 26 (2): 148–153. Bibcode : 1940PNAS...26..148W . doi : 10.1073/pnas.26.2.148 . PMC 1078023 . PMID 16588328 .

[14] Beroende på vilken kategori av utrymmen det handlar om kan funktionerna antas ha andra egenskaper än kontinuitet. Till exempel, i kategorin differentierbara grenrör, antas funktionerna vara jämna. I kategorin algebraiska sorter är de vanliga morfismer.

[15] Eller är åtminstone inverterbar i lämplig kategori; t.ex. en diffeomorfism.