Exponentiell karta (Riemannsk geometri)

Den här artikeln handlar om den exponentiella kartan i differentialgeometri. För diskreta dynamiska system, se Exponentiell karta (diskreta dynamiska system) . För den exponentiella kartan från en Lie-algebra till en Lie-grupp , se Exponentialkarta (Lieteori) .

Den exponentiella kartan över jorden sett från nordpolen är den polära azimutala ekvidistantprojektionen i kartografi.

I Riemannsk geometri är en exponentiell karta en karta från en delmängd av ett tangentrymd T _p M av ett Riemannmanifold (eller pseudo-Riemannmanifold ) M till M själv. Den (pseudo) riemannska metriken bestämmer en kanonisk affin koppling, och den exponentiella kartan för (pseudo) riemannmanifolden ges av den exponentiella kartan för denna koppling.

Definition

Låt M vara ett differentierbart grenrör och p en punkt för M . En affin koppling på M gör att man kan definiera begreppet en rät linje genom punkten p .

Låt v ∈ T _p M vara en tangentvektor till grenröret vid p . Sedan finns det en unik geodetisk γ _v som uppfyller γ _v (0) = p med initial tangentvektor γ ′ _v (0) = v . Den motsvarande exponentialkartan definieras av exp _p ( v ) = γ _v (1) . I allmänhet är den exponentiella kartan endast lokalt definierad , det vill säga den tar bara en liten grannskap av ursprunget vid T _p M , till en grannskap av p i grenröret. Detta beror på att det förlitar sig på teoremet om existens och unikhet för vanliga differentialekvationer som är lokal till sin natur. En affin anslutning kallas fullständig om den exponentiella kartan är väldefinierad vid varje punkt i tangentbunten .

Egenskaper

Intuitivt sett tar den exponentiella kartan en given tangentvektor till grenröret, löper längs geodetiken med början vid den punkten och går i den riktningen, under en tidsenhet. Eftersom v motsvarar geodetikens hastighetsvektor, kommer den faktiska (Riemannska) sträckan som tillryggalagts att vara beroende av det. Vi kan också reparametrisera geodetik till enhetshastighet, så på samma sätt kan vi definiera exp _p ( v ) = β(| v |) där β är enhetshastighetsgeodesiken (geodetisk parametriserad av båglängd) som går i riktning mot v . När vi varierar tangentvektorn v får vi, när vi applicerar exp _p , olika punkter på M som ligger inom ett visst avstånd från baspunkten p — detta är kanske ett av de mest konkreta sätten att visa att tangentrymden till ett grenrör är ett slags "linearisering" av grenröret.

Hopf -Rinow-satsen hävdar att det är möjligt att definiera den exponentiella kartan på hela tangentrymden om och endast om grenröret är komplett som ett metriskt rymd (vilket motiverar den vanliga termen geodesiskt komplett för ett grenrör som har en exponentiell karta med denna egenskap ). I synnerhet kompakta grenrör geodesiskt kompletta. Men även om exp _p är definierad på hela tangentrymden, kommer det i allmänhet inte att vara en global diffeomorfism . Emellertid är dess differential vid utgångspunkten för tangentrymden identitetskartan, och så, genom inversfunktionssatsen kan vi hitta en grannskap till ursprunget för T _p M där den exponentiella kartan är en inbäddning (dvs. den exponentiella kartan är en lokal diffeomorfism). Radien för den största kulan kring ursprunget i T _p M som kan kartläggas diffeomorft via exp _p kallas injektivitetsradien för M vid p . Den skärplats är, grovt sett, uppsättningen av alla punkter där den exponentiella kartan inte har ett unikt minimum.

En viktig egenskap hos den exponentiella kartan är följande lemma av Gauss (ännu ett Gauss lemma ): givet någon tangentvektor v i definitionsdomänen för exp _p , och en annan vektor w baserad på spetsen av v (därav är w faktiskt i dubbeltangensrummet T _v (T _p M )) och ortogonalt mot v , w förblir ortogonalt mot v när det skjuts framåt via den exponentiella kartan. Detta betyder i synnerhet att gränssfären för en liten kula kring ursprunget i T _p M är ortogonal mot geodetiken i M som bestäms av dessa vektorer (dvs. geodetikerna är radiella ). Detta motiverar definitionen av geodetiska normala koordinater på ett Riemann-grenrör.

Den exponentiella kartan är också användbar för att relatera den abstrakta definitionen av krökning till den mer konkreta förverkligandet av det som ursprungligen skapades av Riemann själv – sektionskrökningen definieras intuitivt som den Gaussiska krökningen av någon yta (dvs en skiva av grenröret med en 2 -dimensionell delgren) genom punkten p i beaktande. Via den exponentiella kartan kan den nu exakt definieras som den Gaussiska krökningen av en yta genom p bestäms av bilden under exp _p av ett 2-dimensionellt delrum av T _p M .

Relationer till exponentiella kartor i Lieteorin

I fallet med Lie-grupper med en bi-invariant metrisk -en pseudo-Riemannisk metrisk invariant under både vänster och höger translation - är de exponentiella kartorna för den pseudo-Riemannska strukturen desamma som de exponentiella kartorna för Lie-gruppen . I allmänhet har Lie-grupper inte ett bi-invariant mått, även om alla anslutna semi-enkla (eller reduktiva) Lie-grupper har det. Förekomsten av en bi-invariant Riemannisk metrik är starkare än den för en pseudo-Riemannisk metrik, och antyder att Lie-algebra är Lie-algebra i en kompakt Lie-grupp; omvänt, alla kompakta (eller abelska) Lie-grupper har en sådan Riemannisk metrik.

Ta exemplet som ger den "ärliga" exponentiella kartan. Betrakta de positiva reella talen R ⁺ , en Lie-grupp under den vanliga multiplikationen. Då är varje tangentrum bara R . På varje kopia av R vid punkten y introducerar vi den modifierade inre produkten

$$\langle u,v\rangle _{y}={\frac {uv}{y^{2}}}$$

multiplicera dem som vanligt reella tal men skala med y ² (detta är vad som gör den metriska vänsterinvariant, för vänstermultiplikation med en faktor kommer bara att dras ut ur den inre produkten, två gånger - upphäver kvadraten i nämnaren).

Betrakta punkten 1 ∈ R ⁺ , och x ∈ R ett element i tangentrymden vid 1. Den vanliga räta linjen som utgår från 1, nämligen y ( t ) = 1 + xt täcker samma väg som en geodetisk, naturligtvis, förutom vi måste parametrisera om för att få en kurva med konstant hastighet ("konstant hastighet", kom ihåg, kommer inte att vara den vanliga konstanta hastigheten, eftersom vi använder det här roliga måttet). För att göra detta omparametriserar vi med båglängd (integralen av längden på tangentvektorn i normen $|\cdot |_{y}$ inducerad av den modifierade metriken):

$$s(t)=\int _{0}^{t}|x|_{y(\tau )}d\tau =\int _{0}^{t}{\frac {|x| }{1+\tau x}}d\tau =|x|\int _{0}^{t}{\frac {d\tau }{1+\tau x}}={\frac {|x| }{x}}\ln |1+tx|$$

och efter att ha inverterat funktionen för att erhålla t som en funktion av s , ersätter vi och får

$$y(s)=e^{sx/|x|}$$

Nu använder vi enhetshastighetsdefinitionen, vi har

$$\exp _{1}(x)=y(|x|_{1})=y(|x |),$$

ger det förväntade e ^x .

Det Riemannska avståndet som definieras av detta är enkelt

$$\operatorname {avstånd} (a,b)=\left|\ln \left({\frac {b}{a}}\right)\right|.$$

Se även

• Lista över exponentiella ämnen

Anteckningar

• Cheeger, Jeff; Ebin, David G. (1975), Comparison Theorems in Riemannian Geometry , Elsevier . Se 1 kap. 2 och 3 §§.
•   do Carmo, Manfredo P. (1992), Riemannian Geometry , Birkhäuser, ISBN 0-8176-3490-8 . Se kapitel 3.
• "Exponential mapping" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
•    Helgason, Sigurdur (2001), Differentialgeometri, Lie groups, and symmetric spaces , Graduate Studies in Mathematics , vol. 34, Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-2848-9 , MR 1834454 .
•   Kobayashi, Shoshichi ; Nomizu, Katsumi (1996), Foundations of Differential Geometry , vol. 1 (Ny upplaga), Wiley-Interscience, ISBN 0-471-15733-3 .