Hyperkomplex grenrör

I differentialgeometri är ett hyperkomplext grenrör ett grenrör med tangentbunten utrustad med en åtgärd från algebra av quaternions på ett sådant sätt att quaternions $I,J,K$ definierar integrerbara nästan komplexa strukturer .

Om de nästan komplexa strukturerna istället inte antas vara integrerbara, kallas mångfalden för kvartjonisk, eller nästan hyperkomplex.

Exempel

Varje hyperkählers grenrör är också hyperkomplex. Det omvända är inte sant. Hopf -ytan

{\bigg (}{\mathbb {H} }\backslash 0{\bigg )}/{\mathbb {Z} }

(med ${\mathbb {Z} }$ som en multiplikation med en kvaternion $q$ , $|q|>1$ ) är hyperkomplex, men inte Kähler , alltså inte hyperkähler heller. För att se att Hopf-ytan inte är Kähler, lägg märke till att den är diffeomorf till en produkt $S^{1}\times S^{3},$ därför är dess udda kohomologigrupp uddadimensionell . Genom Hodge-nedbrytning är udda kohomologi för en kompakt Kähler-grenrör alltid jämndimensionell. Hidekiyo Wakakuwa bevisade faktiskt att på ett kompakt hyperkähler-grenrör $\ b_{2p+1}\equiv 0\ mod\ 4$ . Misha Verbitsky har visat att varje kompakt hyperkomplex grenrör som tillåter en Kähler-struktur också är hyperkähler.

1988 konstruerades vänster-invarianta hyperkomplexa strukturer på vissa kompakta Lie-grupper av fysikerna Philippe Spindel, Alexander Sevrin, Walter Troost och Antoine Van Proeyen. 1992 Dominic Joyce denna konstruktion och gav en fullständig klassificering av vänster-invarianta hyperkomplexa strukturer på kompakta Lie-grupper. Här är hela listan.

T^{4}, SU(2l+1), T^{1}\ gånger SU(2l),T^{l}\ gånger SO(2l+1),

T^{2l}\times SO(4l),T^{l}\times Sp(l),T^{2}\times E_{6},

T^{7}\times E^{7},T^{8}\times E^{8},T^{4} \times F_{4},T^{2}\times G_{2}

där $T^{i}$ betecknar en $i$ -dimensionell kompakt torus.

Det är anmärkningsvärt att vilken kompakt Lie-grupp som helst blir hyperkomplex efter att den multiplicerats med en tillräckligt stor torus.

Grundläggande egenskaper

Hyperkomplexa grenrör som sådana studerades av Charles Boyer 1988. Han bevisade också att i verklig dimension 4 är de enda kompakta hyperkomplexa grenrören den komplexa torusen ${\displaystyle T^{4}} ,$ Hopf -ytan och K3-ytan .

Mycket tidigare (1955) studerade Morio Obata affin koppling associerad med nästan hyperkomplexa strukturer (under Charles Ehresmanns tidigare terminologi om nästan kvartjoniska strukturer ). Hans konstruktion leder till vad Edmond Bonan kallade Obata-förbindelsen som är torsionsfri , om och bara om "två" av de nästan komplexa strukturerna $I,J,K$ är integrerbara och i detta fall mångfalden är hyperkomplex.

Twistor utrymmen

Det finns en 2-dimensionell sfär av kvaternioner $L\in {\mathbb {H} }$ som uppfyller $L^{2}=-1$ . Var och en av dessa kvaternioner ger en komplex struktur på ett hyperkomplext grenrör M . Detta definierar en nästan komplex struktur på grenröret $M\times S^{2}$ , som fiberformas över ${\mathbb {C} }P^{1 }=S^{2}$ med fibrer identifierade med $(M,L)$ . Denna komplexa struktur är integrerbar, enligt Obatas teorem (detta bevisades först uttryckligen av Dmitry Kaledin). Detta komplexa grenrör kallas twistorrymden för $M$ . Om M är ${\mathbb {H} }$ så är dess twistorrymd isomorft till ${\mathbb {C} }P^{3}\backslash {\mathbb {C} }P^{1}$ .

Se även

Boyer, Charles P. (1988), "A note on hyper-Hermitian four-manifolds", Proceedings of the American Mathematical Society , 102 ( 1): 157–164, doi : 10.1090/s0002-9939-1988-0915736-8 .
Joyce, Dominic (1992), "Compact hypercomplex and quaternionic manifolds", Journal of Differential Geometry , 35 (3): 743–761, doi : 10.4310/jdg/1214448266 .
Obata, Morio (1955), "Affina kopplingar på grenrör med nästan komplex, kvartjonisk eller hermitisk struktur", Japanese Journal of Mathematics , 26 : 43–79 .
Spindel, Ph.; Sevrin, A.; Troost, W.; Van Proeyen, A. (1988), "Extended supersymmetric $\sigma$ -models on group manifolds", Nuclear Physics , B308 : 662–698 .