Fibrering

Begreppet fibration generaliserar begreppet ett fiberknippe och spelar en viktig roll i algebraisk topologi , en gren av matematiken.

Fibrationer används till exempel i Postnikov-system eller obstruktionsteori .

I den här artikeln är alla mappningar kontinuerliga mappningar mellan topologiska utrymmen .

Formella definitioner

Homotopi lyftegenskap

En mappning $p\colon E\to B$ uppfyller homotopy lifting-egenskapen för ett mellanslag $X$ om:

• för varje homotopi $h\colon X\ gånger [0,1]\till B$ och
• för varje mappning (även kallad hiss) ${\tilde {h}}_{0}\colon X\to E$ lyft $h|_{X\times 0}=h_{0}$ (dvs $h_{0}=p\circ {\tilde {h}}_{ 0}$ )

det finns en (inte nödvändigtvis unik) homotopi ${\tilde {h}}\colon X\ gånger [0,1]\to E$ lyft $h$ (dvs $h=p\circ {\tilde {h}}$ ) med ${\tilde {h}}_{0}={\tilde {h}}|_{X\ gånger 0}.$

Följande kommutativa diagram visar situationen: $^{[4]s.66}$

Fibrering

En fibration (även kallad Hurewicz-fibration) är en mappning $p\colon E\to B$ som uppfyller homotopilyftningsegenskapen för alla utrymmen $X.$ Mellanrummet $B$ kallas basutrymme och mellanrummet $E$ kallas totalt rymd . Fibern över $b\in B$ är delrummet $F_{b}=p^{-1}(b)\subseteq E.$$^{[4]s.66}$

Serre fibration

En Serre-fibrering (även kallad svag fibration) är en mappning $p\colon E\to B$ som tillfredsställer homotopilyftningsegenskapen för alla CW-komplex . $^{[1]s.375-376}$

Varje Hurewicz-fibrering är en Serre-fibrering.

Kvalifibrering

En mappning $p\colon E\to B$ kallas kvasifibrering , om för varje $b\in B,$$e \in p^{-1}(b)$ och $i\geq 0$ anger att den inducerade mappningen ${\displaystyle p_{*}\colon \pi _{i}(E,p^{-1}(b),e)\to \pi _{i}(B,b)} är$ en isomorfism .

Varje Serre-fibrering är en kvasifibrering. $^{[5]s.241-242}$

Exempel

• Projektionen på den första faktorn $\displaystyle p\colon B\times F\to B}$ { är en fibrering. Det vill säga, triviala buntar är fibrationer.
• Varje täckning $p\colon E\to B$ uppfyller homotopilyftegenskapen för alla utrymmen. Specifikt, för varje homotopi $h\colon X\ gånger [0,1]\to B$ och varje lyft ${\tilde {h }}_{0}\colon X\to E$ det finns ett unikt definierat lyft ${\tilde {h}}\colon X\ gånger [0,1] \till E$ med $p\circ {\tilde {h}}=h.$$^{[2]s.159}$$^{[3] s.50}$
• Varje fiberbunt $p\colon E\to B$ uppfyller homotopilyftegenskapen för varje CW-komplex. $^{[1]s.379}$
• En fiberbunt med paracompact och Hausdorff basutrymme tillfredsställer homotopilyftegenskapen för alla utrymmen. $^{[1]s.379}$
• Ett exempel på en fibrering, som inte är ett fiberknippe, ges av avbildningen $i^{*}\colon X^{I^{k}}\to X^{\partial I^{k}}$ inducerad av inkluderingen $i\colon \partial I^{k}\to I^{k}$ där $k\in \mathbb {N} ,$$X$ ett topologiskt utrymme och $X^{A}=\{f\colon A\to X\}$ är utrymmet för alla kontinuerliga mappningar med kompakt-öppen topologi . $^{[2]s.198}$
• Hopf -fibrationen $S^{1}\to S^{3}\to S^{2}$ är ett icke-trivialt fiberknippe och specifikt en Serre-fibrering.

Grundläggande koncept

Fiberhomotopi-ekvivalens

En mappning $f\colon E_{1}\to E_{2}$ mellan totala utrymmen för två fibrer $p_{1}\colon E_{ 1}\to B$ och $p_{2}\colon E_{2}\to B$ med samma basutrymme är en fibrationshomomorfism om följande diagram pendlar:

Mappningen $f$ är en fiberhomotopi-ekvivalens om det dessutom finns en fibrationshomomorfism ${\displaystyle g\colon E_{2}\to E_{1}},$ så att mappningarna $f\circ g$ och $g\circ f$ är homotopa, genom fibrationshomomorfismer, till identiteterna $Id_{E_{2}}$ och $Id_{E_{1}}.$$^{[1]s.405-406}$

Pullback fibration

Givet en fibrering $p\colon E\to B$ och en mappning $f\colon A\to B$ , mappningen $p_{f}\colon f^{*}(E)\to A$ är en fibrering, där $f^{*}(E)=\{(a,e)\in A\times E|f(a)=p(e)\}$ är pullback och projektionerna av $f^{*}(E)$ på $A$ och $E$ ger följande kommutativa diagram:

Fibrationen $p_{f}$ kallas pullback fibration eller inducerad fibration. $^{[1]s.405-406}$

Pathspace fibration

Med banutrymmeskonstruktionen kan vilken kontinuerlig kartläggning som helst utökas till en fibrering genom att förstora dess domän till ett homotopi-ekvivalent utrymme. Denna fibrering kallas pathspace fibration .

Det totala utrymmet $E_{f}$ för banutrymmesfibrationen för en kontinuerlig mappning $f\colon A\to B$ mellan topologiska utrymmen består av par ${\ displaystyle (a,\gamma )}$ med $a\in A$ och banor $\gamma \colon I\to B$ med startpunkt $\gamma (0)=f(a),$ där $I=[0,1]$ är enhetsintervallet . Mellanrummet $E_{f}=\{(a,\gamma )\in A\times B^{I}|\gamma (0)=f(a)\}$ bär subrymdstopologin för $\displaystyle A\times B^{I},}$$I\to B$ där $B^{I}$ beskriver utrymmet för alla mappningar I och bär den kompakta öppna topologin .

Banutrymmesfibreringen ges av mappningen $p\colon E_{f}\to B$ med $p(a,\gamma )=\gamma (1).$ Fibern $F_{f}$ kallas även homotopfibern för $f$ och består av paren $(a,\gamma )$ med $a\in A$ och banor $\gamma \colon [0,1]\to B,$ där $\gamma (0)=f(a)$ och $\gamma (1)=b_{0}\in B$ håller.

För det speciella fallet med inkluderingen av baspunkten $i\colon b_{0}\to B$ , framträder ett viktigt exempel på banutrymmesfibrationen. Det totala utrymmet $E_{i}$ består av alla banor i $B$ som börjar på $b_{0}.$ Detta utrymme betecknas med $PB$ och kallas sökvägsutrymme. Banutrymmesfibreringen $p\colon PB\to B$ mappar varje väg till dess slutpunkt, därav fibern $p^{-1}(b_{0} )$ består av alla stängda vägar. Fibern betecknas med $\Omega B$ och kallas loop space . $^{[1]s.407-408}$

Egenskaper

• Fibrerna $p^{-1}(b)$ över $b\in B$ är homotopiekvivalenter för varje vägkomponent i $B.$$^{[1]s.405}$
• För en homotopi $f\colon [0,1]\ gånger A\to B$ återdragningsfibrerna $f_{0}^{ *}(E)\to A$ och $f_{1}^{*}(E)\to A$ är fiberhomotopiekvivalenter. $^{[1]s.406}$
• Om basutrymmet $B$ är sammandragbart så är fibreringen $p\colon E\to B$ fiberhomotopi ekvivalent med produktfibrationen $B\times F\to B.$$^{[1]s.406}$
• Banutrymmesfibreringen för en fibrering $p\colon E\to B$ är mycket lik sig själv. Mer exakt är inkluderingen $E\hookrightarrow E_{p}$ en fiberhomotopi-ekvivalens. $^{[1]s.408}$
• För en fibrering $p\colon E\to B$ med fiber $F$ och sammandragbart totalt utrymme, finns det en svag homotopi-ekvivalens $F\to \Omega B.$$^{[1]s.408}$

Puppsekvens

För en fibrering $p\colon E\to B$ med fiber $F$ och baspunkt $b_{0}\in B$ inkluderingen $F\hookrightarrow F_{p}$ av fibern till homotopifibern är en homotopiekvivalens . Mappningen $i\colon F_{p}\to E$ med $i(e,\gamma )=e$ , där ${ \displaystyle e\in E}$ och $\gamma \colon I\to B$ är en väg från $p(e)$ till $b_{0}$ i basutrymmet, är en fibration. Specifikt är det pullback-fibreringen av banutrymmesfibreringen ${\displaystyle PB\to B$ . Denna procedur kan nu tillämpas igen på fibreringen $i$ och så vidare. Detta leder till en lång sekvens:

$\cdots \to F_{j}\to F_{i}\xrightarrow {j} F_{p}\xrightarrow {i} E\xrightarrow {p} B.$

Fibern i $i$ över en punkt $e_{0}\in p^{-1}(b_{0})$ består av paren $(e_{0},\gamma )$ med stängda banor $\gamma$ och startpunkt $b_{0}$ , dvs slingutrymmet $\Omega B$ . Inklusionen $\Omega B\to F$ är en homotopi-ekvivalens och iteration ger sekvensen:

$\cdots \Omega ^{2}B\to \Omega F\to \Omega E\to \Omega B\to F\to E\to B.$

På grund av dualiteten av fibrering och samfibrering finns det också en sekvens av samfibrer. Dessa två sekvenser är kända som Puppe-sekvenserna eller sekvenserna av fibrationer och samfibrer. $^{[1]s.407-409}$

Huvudfibrering

En fibrering $p\colon E\to B$ med fiber $F$ kallas principal , om det finns ett kommutativt diagram:

Den nedre raden är en sekvens av fibrationer och de vertikala mappningarna är svaga homotopiekvivalenser. Huvudfibrationer spelar en viktig roll i Postnikov-torn . $^{[1]s.412}$

Lång exakt sekvens av homotopigrupper

För en Serre-fibrering $p\colon E\to B$ finns det en lång exakt sekvens av homotopigrupper . För baspunkter $b_{0}\in B$ och $x_{0}\in F=p^{-1}(b_{0} )$ detta ges av:

$\cdots \rightarrow \pi _{n}( F,x_{0})\högerpil \pi _{n}(E,x_{0})\högerpil \pi _{n}(B,b_{0})\högerpil \pi _{n-1}( F,x_{0})\högerpil$$\cdots \rightarrow \pi _{0}(F,x_{0})\rightarrow \pi _{0}(E,x_{0}).$

Homomorfismerna $\pi _{n}(F,x_{0})\högerpil \pi _{n}(E,x_{0$ ( och $\pi _{n}(E,x_{0})\högerpil \pi _{n}(B,b_{0})$ är de inducerade homomorfismerna av inklusionen $i\colon F\hookrightarrow E$ och projektionen $p\colon E\rightarrow B.$$^{[1]s.376}$

Hoppfibrering

Hopf-fibrer är en familj av fiberbuntar vars fiber, totala utrymme och basutrymme är sfärer :

$S^{0}\hookrightarrow S^{1}\rightarrow S^{1},$

$S^{1}\hookrightarrow S^{3}\rightarrow S^{2},$

$S^{3}\hookrightarrow S^{7}\rightarrow S^{4},$

$S^{7}\hookrightarrow S^{15}\rightarrow S^{8}.$

Den långa exakta sekvensen av homotopigrupper av hopf-fibrationen $S^{1}\hookrightarrow S^{3}\rightarrow S^{2}$ ger:

$\cdots \rightarrow \pi _ {n}(S^{1},x_{0})\högerpil \pi _{n}(S^{3},x_{0})\högerpil \pi _{n}(S^{2}, b_{0})\högerpil \pi _{n-1}(S^{1},x_{0})\högerpil$$\cdots \rightarrow \pi _{1}(S^{1},x_{0})\rightarrow \pi _{1}(S^{3},x_{0})\rightarrow \pi _ {1}(S^{2},b_{0}).$

Denna sekvens delas upp i korta exakta sekvenser, eftersom fibern $S^{1}$ i $S^{3}$ är sammandragbar till en punkt:

$0\rightarrow \pi _{i}(S^{3})\rightarrow \pi _ {i}(S^{2})\högerpil \pi _{i-1}(S^{1})\högerpil 0.$

Denna korta exakta sekvens delar sig på grund av suspensionshomomorfismen $pi _{i-1}(S^{1})\ till \pi _{i}(S^{2})}$ \ och det finns isomorfismer :

$\pi _{i}(S^{2})\cong \pi _{i}(S^{3})\oplus \pi _{i-1}(S^{1}).$

Homotopigrupperna $\pi _{i-1}(S^{1})$ är triviala för $i\geq 3,$ så det finns isomorfismer mellan $\pi _{i}(S^{2})$ och $\pi _{i}(S^{3})$ för $i\geq 3.$ Analoga fibrerna $S^{3}$ i $S^{7}$ och $S^{7}$ i $S^{15}$ sammandragbara till en punkt. Vidare delas de korta exakta sekvenserna och det finns familjer av isomorfismer:

$\pi _{i}(S^{4})\cong \pi _{i}(S^{ 7})\oplus \pi _{i-1}(S^{3})$ och $\pi _{i}(S^{8})\cong \pi _{i}(S^{15})\oplus \pi _{i-1}(S^{7}).$$^{[6]s.111}$

Spektral sekvens

Spektralsekvenser är viktiga verktyg inom algebraisk topologi för beräkning av (sam)homologigrupper.

Leray -Serre-spektralsekvensen förbinder (sam)homologin för det totala utrymmet och fibern med (sam)homologin för basutrymmet hos en fibration. För en fibrering $p\colon E\to B$ med fiber $F,$ där basutrymmet är ett vägkopplat CW-komplex och en additiv homologiteori ${\ displaystyle G_{*}}$ det finns en spektralsekvens:

$H_{k}(B;G_{q}(F))\cong E_{k,q}^{2}\implies G_{k+q}(E).$${ \displaystyle ^{[7]s.242}}$

Fibrationer ger inte långa exakta sekvenser i homologi, som de gör i homotopi. Men under vissa förhållanden ger fibrationer exakta sekvenser i homologi. För en fibrering $p\colon E\to B}$ displaystyle med fiber $F,$ där basutrymme och fiber är väganslutna , grundgruppen $\ pi _{1}(B)$ verkar trivialt på $H_{*}(F)$ och dessutom villkoren $H_{p}(B)= 0$ för $0<p<m$ och $H_{q}(F)=0$ för $0<q<n$ håll, det finns en exakt sekvens (även känd under namnet Serre exakt sekvens):

$H_{m+n-1}(F)\xrightarrow {i_{*}} H_{m+n-1}(E)\xrightarrow {f_{*}} H_{m+n-1}(B)\xrightarrow {\tau } H_{m+n-2}(F)\xrightarrow {i^{*}} \cdots \xrightarrow {f_{*}} H_{1 }(B)\till 0.$$^{[7]s.250}$

Denna sekvens kan till exempel användas för att bevisa Hurewiczs sats eller för att beräkna homologin för loopspaces av formen $\Omega S^{n}:$

$H_{k}(\Omega S^{n})={\begin{cases}\mathbb {Z} &\exists q\in \mathbb {Z} \colon k=q(n-1)\ \0&else\end{cases}}.$$^{[8]s.162}$

För specialfallet med en fibrering $p\colon E\to S^{n}$ där basutrymmet är en $n$ -sfär med fiber $F ,$ det finns exakta sekvenser (även kallade Wang-sekvenser ) för homologi och kohomologi:

$\cdots \to H_{q}(F)\xrightarrow { i_{*}} H_{q}(E)\till H_{qn}(F)\till H_{q-1}(F)\to \cdots$${\displaystyle \cdots \to H^{q}(E)\xrightarrow {i^{*}} H^{q }(F)\till H^{q-n+1}(F)\till H^{q+1}(E)\to \cdots } [ 4 ] s .456 {\displaystyle$$p .456}}$

Orienterbarhet

För en fibrering $p\colon E\to B$ med fiber $F$ och en fast kommuativ ring $R$ med en enhet, finns det en kontravariant funktion från den fundamentala groupoid av $B$ till kategorin graderade $R$ -moduler, som tilldelar $b\in B$ modulen $H_ {*}(F_{b},R)$ och till vägklassen $[\omega ]$ homomorfismen $h[\omega ]_{*}\colon H_{*}(F_{\omega (0)},R)\till H_{*}(F_{\omega (1)},R),$ där $h[\omega ]$ är en homotopiklass i $[F_{\omega (0)},F_{\omega (1)}].$

En fibrering kallas orienterbar över $R$ om följande gäller för någon stängd bana $\omega$ i ${\displaystyle B} :$$h[\omega ]_{*}=1.$$^{[4]s.476}$

Euler-karaktär

För en orienterbar fibrering $p\colon E\to B$ över fältet $\mathbb {K}$ med fiber $F$ och bananslutet basutrymme, Euler-karakteristiken av det totala utrymmet ges av:

$\chi (E)=\chi (B)\chi (F).$

Här definieras Euler-egenskaperna för basutrymmet och fibern över fältet $\mathbb {K}$ . $^{[4]s.481}$

Se även

• Ungefärlig fibrering

1.   Hatcher, Allen (2001). Algebraisk topologi . NY: Cambridge University Press . ISBN 0-521-79160-X .
2.   Laures, Gerd; Szymik, Markus (2014). Grundkurs Topologie (på tyska) (2:a uppl.). Springer Spektrum. doi : 10.1007/978-3-662-45953-9 . ISBN 978-3-662-45952-2 .
3.    May, JP (1999). En kortfattad kurs i algebraisk topologi (PDF) . University of Chicago Press . ISBN 0-226-51182-0 . OCLC 41266205 .
4.   Spanier, Edwin H. (1966). Algebraisk topologi . McGraw-Hill Book Company . ISBN 978-0-387-90646-1 .
5.   Dold, Albrecht ; Thom, René (1958). "Quasifaserungen und Unendliche Symmetrische Produkte". Annals of Mathematics . 67 (2): 239–281. doi : 10.2307/1970005 . JSTOR 1970005 .
6.   Steenrod, Norman (1951). Fiberbuntarnas topologi . Princeton University Press . ISBN 0-691-08055-0 .
7. Davis, James F.; Kirk, Paul (1991). Lecture Notes in Algebraic Topology (PDF) . Institutionen för matematik, Indiana University.
8. Cohen, Ralph L. (1998). The Topology of Fiber Bundles Lecture Notes (PDF) . Stanford University.