Hoppfibrering

R3 ^fibrationen kan visualiseras genom att använda en R3 ^{stereografisk} projektion av S3 ^. till och sedan komprimera till en boll Denna bild visar punkter på S ² och deras motsvarande fibrer med samma färg.

Parvis länkade nyckelringar efterliknar en del av Hopf-fibrationen.

Inom det matematiska fältet av differentiell topologi beskriver Hopf-fibrationen (även känd som Hopf-bunten eller Hopf-kartan) en 3 - sfär ( en hypersfär i fyrdimensionell rymd ) i termer av cirklar och en vanlig sfär . Upptäckt av Heinz Hopf 1931, är det ett inflytelserik tidigt exempel på ett fiberknippe . Tekniskt sett hittade Hopf en många-till-en kontinuerlig funktion (eller "karta") från 3 -sfären till 2 -sfären så att varje distinkt punkt i 2 -sfären mappas från en distinkt storcirkel av 3 -sfären . ( Hopf 1931 ). Således 3 -sfären sammansatt av fibrer, där varje fiber är en cirkel - en för varje punkt i 2 -sfären.

Denna fiberknippestruktur betecknas

$S^{1}\hookrightarrow S^{3}{\xrightarrow {\ p\,}}S^{2},$

vilket betyder att fiberutrymmet S ¹ (en cirkel) är inbäddat i det totala rummet S ³ ( 3 -sfären), och p : S ³ → S ² (Hopfs karta) projicerar S ³ på basutrymmet S ² (det vanliga 2 -sfär). Hopf-fibreringen har, precis som vilket fiberknippe som helst, den viktiga egenskapen att det lokalt är ett produktutrymme . Det är emellertid inte ett S1 ^trivialt fiberknippe , dvs S2 ^S3 är ^. inte globalt en produkt av och även om det lokalt inte går att skilja från det

Detta har många implikationer: till exempel visar förekomsten av denna bunt att de högre homotopigrupperna av sfärer inte är triviala i allmänhet. Den ger också ett grundläggande exempel på en huvudbunt genom att identifiera fibern med cirkelgruppen .

Stereografisk projektion av Hopf-fibrationen inducerar en anmärkningsvärd struktur på R3 ^tori , där hela det tredimensionella rummet, förutom z-axeln, är fyllt med kapslade gjorda av länkande Villarceau-cirklar . Här projicerar varje fiber till en cirkel i rymden (varav en är en linje, tänkt som en "cirkel genom oändligheten"). Varje torus är den stereografiska projektionen av den omvända bilden av en cirkel av latitud av 2 -sfären. (Topologiskt är en torus produkten av två cirklar.) Dessa tori illustreras i bilderna till höger. När R ³ komprimeras till gränsen för en boll, förloras viss geometrisk struktur även om den topologiska strukturen behålls (se Topologi och geometri ) . Slingorna är homeomorfa till cirklar, även om de inte är geometriska cirklar .

Det finns många generaliseringar av Hopf-fibrationen. Enhetssfären i komplext koordinatutrymme C ^{n +1} fibrer naturligt över det komplexa projektiva utrymmet CP ⁿ med cirklar som fibrer, och det finns också verkliga , kvartjoniska och oktonjoniska versioner av dessa fibrer. I synnerhet tillhör Hopf-fibreringen en familj av fyra fiberknippen där det totala utrymmet, basutrymmet och fiberutrymmet alla är sfärer:

$S^{0}\hookrightarrow S^{1}\to S^{1},$

$S^{1}\ hookrightarrow S^{3}\to S^{2},$

$S^{3}\hookrightarrow S^{7}\to S^{4},$

$S^{7}\hookrightarrow S^{15}\to S^{8}.$

Enligt Adams teorem kan sådana fibrationer endast förekomma i dessa dimensioner.

Hopf-fibrationen är viktig i twistorteorin .

Definition och konstruktion

För vilket naturligt tal n som helst kan en n -dimensionell sfär, eller n-sfär , definieras som en uppsättning punkter i ett $(n+1)$ -dimensionellt utrymme som är ett fast avstånd från en central punkt . För att vara konkret kan den centrala punkten antas vara origo , och avståndet mellan punkterna på sfären från detta origo kan antas vara en enhetslängd. Med denna konvention n -sfären, $S^{n}$ , av punkterna $(x_{1},x_{ 2},\ldots ,x_{n+1})$ i $\mathbb {R} ^{n+1}$ med x ₁ ² + x ₂ ² + ⋯+ x _{n + 1} ² = 1. Till exempel består 3 -sfären av punkterna ( x ₁ , x ₂ , x ₃ , x ₄ ) i R ⁴ med x ₁ ² + x ₂ ² + x ₃ ² + x ₄ ² = 1.

Hopf-fibreringen p : S ³ → S ² av 3 -sfären över 2 -sfären kan definieras på flera sätt.

Direkt konstruktion

Identifiera R ⁴ med C ² och R ³ med C × R (där C betecknar de komplexa talen) genom att skriva:

$(x_{1},x_{2}, x_{3},x_{4})\leftrightarrow (z_{0},z_{1})=(x_{1}+ix_{2},x_{3}+ix_{4})$

och

$(x_{1},x_{2},x_{3})\leftrightarrow ( z,x)=(x_{1}+ix_{2},x_{3})$ .

Således identifieras S ^{3 med} delmängden av alla ₀ ( z , z ₁ ) i C ² så att ₀ | z | ² + | z ₁ | ² = 1 , och S ² identifieras med delmängden av alla ( z , x ) i C × R så att | z | ² + x ² = 1 . (Här, för ett komplext tal   z = x + i y , | z | ² = z z ^∗ = x ² + y ² , där stjärnan betecknar det komplexa konjugatet .) Då definieras Hopf-fibrationen p av

$p(z_{0},z_{1})=(2z_{0}z_{1}^{\ast },\left|z_{0}\right|^{2}-\left|z_ {1}\right|^{2}).$

Den första komponenten är ett komplext tal, medan den andra komponenten är reell. Varje punkt på 3 -sfären måste ha egenskapen att ₀ | z | ² + | z ₁ | ² = 1 . Om så är fallet, så ₀ p ( z , z ₁ ) på enheten 2 -sfären i C × R , vilket kan visas genom att kvadrera de komplexa och reella komponenterna av p

$2z_{0}z_{1}^{\ast }\cdot 2z_{0}^{\ast }z_{1}+\ vänster(\left|z_{0}\right|^{2}-\left|z_{1}\right|^{2}\right)^{2}=4\left|z_{0}\right| ^{2}\left|z_{1}\right|^{2}+\left|z_{0}\right|^{4}-2\left|z_{0}\right|^{2}\ left|z_{1}\right|^{2}+\left|z_{1}\right|^{4}=\left(\left|z_{0}\right|^{2}+\left| z_{1}\right|^{2}\right)^{2}=1$

Dessutom, om två punkter på 3-sfären mappar till samma punkt på 2-sfären, dvs. om ₀₀ p ( z , z ₁ ) = p ( w , w ₁ ) , då måste ₀ ( w , w ₁ ) vara lika med  ₀  ( λ z , λ z ₁ ) för något komplext tal λ med | λ | ² = 1 . Det omvända är också sant; vilka två punkter som helst på 3 -sfären som skiljer sig med en gemensam komplex faktor λ mappar till samma punkt på 2 -sfären. Dessa slutsatser följer, eftersom den komplexa faktorn λ upphäver med sitt komplexa konjugat λ ^∗ i båda delarna av p : i den komplexa komponenten ₀ 2 z z ₁ ^∗ och i den reella komponenten ₀ | z | ² − | z ₁ | ² .

Eftersom mängden komplexa tal λ med | λ | ² = 1 bildar enhetscirkeln i det komplexa planet, följer att för varje punkt m i S ^{2 är} den omvända bilden p ⁻¹ ( m ) en cirkel, dvs p ⁻¹ m ≅ S ¹ . Sålunda realiseras 3 -sfären som en osammanhängande förening av dessa cirkulära fibrer.

En direkt parametrisering av 3 -sfären som använder Hopf-kartan är som följer.

$z_{0}=e^{i\,{\frac {\xi _{1}+\xi _{2}}{2}}} \sin \eta$

$z_{1}=e^{i\,{\frac {\xi _{2}-\xi _{1}}{2}}}\cos \eta .$

eller i euklidisk R ⁴

$x_{1}=\cos \left({\frac {\xi _{1}+\xi _{2}}{2} }\right)\sin \eta$

$x_{2}=\sin \left({\frac {\xi _{1}+\ xi _{2}}{2}}\right)\sin \eta$

$x_{3}=\cos \left({\frac {\xi _{2}-\xi _{1}}{2}}\right)\cos \eta$

$x_{4} =\sin \left({\frac {\xi _{2}-\xi _{1}}{2}}\right)\cos \eta$

00000 Där η löper över intervallet till π /2 , ξ ₁ löper över intervallet och 2 π och ξ ₂ kan ta alla värden mellan och 4 π . Varje värde på η , förutom och π /2 som anger cirklar, anger en separat platt torus i 3 -sfären, och en tur och retur ( till 4 π ) av antingen ξ ₁ eller ξ ₂ gör att du gör en hel cirkel av båda lemmar av torus.

En mappning av ovanstående parametrisering till 2 -sfären är som följer, med punkter på cirklarna parametriserade med ξ ₂ .

$z=\cos(2\eta )$

$x=\sin(2\eta )\cos \xi _ {1}$

$y=\sin(2\eta )\sin \xi _{1}$

Geometrisk tolkning med hjälp av den komplexa projektiva linjen

CP1 , som definieras som ^tolkning av fibreringen kan erhållas med användning av den komplexa projektiva linjen , C2 ^{uppsättningen} av alla komplexa endimensionella delrum av . På motsvarande sätt är CP ¹ kvoten av C ² \{0} av ekvivalensrelationen som identifierar ₀ ( z , z ₁ ) med ₀ ( λ z , λ z ₁ ) för vilket som helst komplext tal λ som inte är noll . På vilken komplex linje som helst i C ² finns en cirkel av enhetsnorm, och därför är begränsningen av kvotmappen till punkterna för enhetsnormen en fibrering av S ³ över CP ¹ .

CP ¹ är diffeomorf till en 2 -sfär: den kan faktiskt identifieras med Riemann-sfären C _∞ = C ∪ {∞} , vilket är enpunktskomprimeringen av C (erhållen genom att lägga till en punkt vid oändligheten ). Formeln för p ovan definierar en explicit diffeomorfism mellan den komplexa projektiva linjen och den vanliga 2 -sfären i det 3 -dimensionella rummet. Alternativt kan punkten ₀ ( z , z ₁ ) mappas till förhållandet z ₁ / z ₀ i Riemann-sfären C _∞ .

Fiberbuntstruktur

Hopf-fibreringen definierar ett fiberknippe , med buntprojektion p . Detta betyder att den har en "lokal produktstruktur", i den meningen att varje punkt i 2 -sfären har någon grannskap U vars omvända bild i 3 -sfären kan identifieras med produkten av U och en cirkel: p ⁻¹ ( U ≅ U × S1 ^. ) En sådan fibrering sägs vara lokalt trivial .

För Hopf-fibreringen räcker det att ta bort en enda punkt m från S ² och motsvarande cirkel p ⁻¹ ( m ) från S ³ ; sålunda kan man ta U = S ² \{ m } , och vilken punkt som helst i S ² har en grannskap av denna form.

Geometrisk tolkning med rotationer

En annan geometrisk tolkning av Hopf-fibrationen kan erhållas genom att överväga rotationer av 2 -sfären i vanligt 3 -dimensionellt rum. Rotationsgruppen SO(3) har ett dubbelt lock , spingruppen Spin(3) , diffeomorf till 3 -sfären. Spinngruppen verkar transitivt på S ² genom rotationer. Stabilisatorn för en punkt är isomorf till cirkelgruppen . Det följer lätt att 3 -sfären är en huvudsaklig cirkelbunt över 2 -sfären, och detta är Hopf-fibrationen.

För att göra detta mer explicit finns det två tillvägagångssätt: gruppen Spin(3) kan antingen identifieras med gruppen Sp(1) av enhetskvaternioner eller med den speciella enhetsgruppen SU(2) .

tolkas en vektor ( x ₁ , x ₂ , x ₃ , x ₄ ) i R ^{4 som en kvaternion} q ∈ H genom att skriva

$q=x_{1}+\mathbf {i} x_{2}+\mathbf {j} x_{3}+\mathbf {k} x_{4}.\,\!$

3 - sfären identifieras sedan med versorerna , kvaternioner av enhetsnorm, de q ∈ H för vilka | q | ² = 1 , där | q | ² = qq ^∗ , vilket är lika med x ₁ ² + x ₂ ² + x ₃ ² + x ₄ ² för q enligt ovan.

Å andra sidan kan en vektor ( y ₁ , y ₂ , y ₃ ) i R ³ tolkas som en ren quaternion

$p=\mathbf {i} y_{1}+\mathbf {j} y_{2}+\mathbf {k} y_{3}.\,\!$

Sedan, som är välkänt sedan Cayley (1845) , kartläggningen

$p\mapsto qpq^{*}\,\!$

är en rotation i R ³ : det är verkligen en isometri , eftersom | qpq ^∗ | ² = qpq ^∗ qp ^∗ q ^∗ = qpp ^∗ q ^∗ = | p | ² , och det är inte svårt att kontrollera att den bevarar orienteringen.

I själva verket identifierar detta gruppen av versorer med gruppen av rotationer av R ³ , modulo det faktum att versorerna q och − q bestämmer samma rotation. Som noterats ovan verkar rotationerna transitivt på S ² , och uppsättningen av versorer q som fixerar en given höger versor p har formen q = u + v p , där u och v är reella tal med u ² + v ² = 1 . Detta är en cirkelundergrupp. För konkretisering kan man ta p = k , och då kan Hopf-fibrationen definieras som att kartan skickar en versor ω till ω k ω ^∗ . Alla kvaternioner ωq , där q är en av cirkeln av versorer som fixerar k , mappas till samma sak (vilket råkar vara en av de två 180° -rotationerna som roterar k till samma plats som ω gör).

flyttar { ω , ωk } planet som spänns av {1, k } till ett nytt plan som spänns av . Varje kvaternion ωq , där q är en av cirkeln av versorer som fixerar k , kommer att ha samma effekt. Vi lägger alla dessa i en fiber, och fibrerna kan mappas en-till-en till 2 -sfären med 180° rotationer, vilket är intervallet ωkω ^* .

Detta tillvägagångssätt är relaterat till den direkta konstruktionen genom att identifiera en kvaternion q = x ₁ + i x ₂ + j x ₃ + k x ₄ med 2×2 -matrisen:

${\begin{bmatrix}x_{1}+\mathbf {i} x_{2}&x_{3}+\mathbf {i} x_{4}\\-x_{3}+\mathbf {i} x_{4}&x_{1}-\mathbf {i} x_{2}\end{bmatrix}}.\,\!$

Detta identifierar gruppen av versorer med SU(2) , och de imaginära kvaternionerna med de skev-hermitiska 2×2 -matriserna (isomorfa till C × R ).

Explicita formler

Rotationen som induceras av en enhetskvaternion q = w + i x + j y + k z ges explicit av den ortogonala matrisen

${\begin{bmatrix}1-2(y^{2}+z^{2})&2(xy-wz)&2(xz+wy)\\2(xy+wz)&1-2(x ^{2}+z^{2})&2(yz-wx)\\2(xz-wy)&2(yz+wx)&1-2(x^{2}+y^{2})\end{ bmatrix}}.$

Här hittar vi en explicit reell formel för buntprojektionen genom att notera att den fasta enhetsvektorn längs z -axeln, (0,0,1) , roterar till en annan enhetsvektor,

${\Big (}2(xz+wy),2(yz- wx),1-2(x^{2}+y^{2}){\Big )},\,\!$

som är en kontinuerlig funktion av ( w , x , y , z ) . Det vill säga, bilden av q är den punkt på 2 -sfären där den skickar enhetsvektorn längs z -axeln. Fibern för en given punkt på S ² består av alla de enhetskvaternioner som skickar enhetsvektorn dit.

Vi kan också skriva en explicit formel för fibern över en punkt ( a , b , c ) i S ² . Multiplikation av enhetskvarternioner ger sammansättning av rotationer, och

$q_{\theta }=\cos \theta +\mathbf {k} \sin \theta$

är en rotation med 2 θ runt z -axeln. Eftersom θ varierar, sveper detta ut en stor cirkel av S ³ , vår prototypiska fiber. Så länge baspunkten, ( a , b , c ) , inte är antipoden, (0, 0, −1) , kvartärnionen

$q_{(a,b,c)}={\frac {1}{\sqrt {2(1+c)}}}(1+c-\mathbf {i} b+\mathbf {j} a)$

kommer att skicka (0, 0, 1) till ( a , b , c ) . Således är fibern av ( a , b , c ) given av kvaternioner av formen q _{( a , b , c )} q _θ , som är S ³ -punkterna

${\frac {1}{\sqrt {2(1+c)}}}{\Big (}(1+c)\cos(\theta ),a\sin(\theta )-b\cos (\theta ),a\cos(\theta )+b\sin(\theta ),(1+c)\sin(\theta ){\Big )}.\,\!$

Eftersom multiplikation med q _{( a , b , c )} fungerar som en rotation av kvaternionrymden är fibern inte bara en topologisk cirkel, den är en geometrisk cirkel.

Den slutliga fibern, för (0, 0, −1) , kan ges genom att definiera q _(0,0,−1) till lika med i , vilket ger

${\Big (}0,\cos(\theta ),-\sin(\theta ),0{\Big )},$

som kompletterar paketet. Men observera att denna en-till-en-mappning mellan S ³ och S ² × S ¹ inte är kontinuerlig på denna cirkel, vilket återspeglar det faktum att S ³ inte är topologiskt ekvivalent med S ² × S ¹ .

Således är ett enkelt sätt att visualisera Hopf-fibrationen som följer. Varje punkt på 3 -sfären är ekvivalent med en quaternion , vilket i sin tur motsvarar en viss rotation av en kartesisk koordinatram i tre dimensioner. Mängden av alla möjliga kvartjoner producerar uppsättningen av alla möjliga rotationer, som flyttar spetsen på en enhetsvektor i en sådan koordinatram (säg z- vektorn ) till alla möjliga punkter på en enhet 2 -sfär. Att fixera spetsen på z -vektorn specificerar dock inte rotationen helt; en ytterligare vridning är möjlig kring z - axeln. Således mappas 3 -sfären till 2 -sfären, plus en enda rotation.

Rotationen kan representeras med Euler-vinklarna θ, φ och ψ. Hopf-mappningen mappar rotationen till punkten på 2-sfären som ges av θ och φ, och den associerade cirkeln parametriseras med ψ. Observera att när θ = π är Euler-vinklarna φ och ψ inte väldefinierade individuellt, så vi har ingen en-till-en-mappning (eller en-till-två-mappning) mellan 3-torusen av (θ , φ ψ) och S3 ^.

Vätskemekanik

Om Hopf-fibrationen behandlas som ett vektorfält i 3-dimensionellt rymden finns det en lösning på de (komprimerbara, icke-viskösa) Navier–Stokes-ekvationerna för vätskedynamik där vätskan strömmar längs cirklarna för projektionen av Hopf-fibrationen i 3 dimensionellt utrymme. Storleken på hastigheterna, densiteten och trycket kan väljas vid varje punkt för att uppfylla ekvationerna. Alla dessa kvantiteter faller till noll när de går bort från centrum. Om a är avståndet till den inre ringen, ges hastighets-, tryck- och densitetsfälten av:

$\mathbf {v} (x,y,z)=A\left(a^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2} \right)^{-2}\left(2(-ay+xz),2(ax+yz),a^{2}-x^{2}-y^{2}+z^{2}\ höger)$

$p(x,y,z)=-A^{2} B\vänster(a^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}\höger)^{-3},$

$\rho (x,y,z)=3B\left(a^{2}+x^{2}+y^{2}+z^ {2}\right)^{-1}$

för godtyckliga konstanter A och B . Liknande mönster av fält finns som solitonlösningar av magnetohydrodynamik :

Generaliseringar

Hopf-konstruktionen, sedd som ett fiberknippe p : S ³ → CP ¹ , medger flera generaliseringar, som också ofta är kända som Hopf-fibrationer. Först kan man ersätta den projektiva linjen med ett n -dimensionellt projektivt utrymme . För det andra kan man ersätta de komplexa talen med vilken (reell) divisionsalgebra som helst , inklusive (för n = 1) oktonionerna .

Riktiga Hopf-fibrer

⁰ En verklig version av Hopf-fibrationen erhålls genom att betrakta cirkeln S ¹ som en delmängd av R ² på vanligt sätt och genom att identifiera antipodalpunkter. Detta ger ett fiberknippe S ¹ → RP ¹ över den verkliga projektiva linjen med fiber S = {1, −1}. Precis som CP ¹ är diffeomorft till en sfär, är RP ¹ diffeomorft till en cirkel.

Mer allmänt, n - sfären Sn ^- fibrer över verkligt projektivt utrymme RPn med fiber S ^{. 0}

Komplexa Hopf-fibrer

Hopf-konstruktionen ger cirkelbuntar p : S ^{2 n +1} → CP ⁿ över komplext projektivt utrymme . Detta är faktiskt begränsningen av det tautologiska linjeknippet över CPn till enhetssfären i Cn ^{+ . 1}

Kvaternioniska Hopf-fibrer

På liknande sätt kan man betrakta S ^{4 n+3} som liggande i H ⁿ⁺¹ ( kvaternioniskt n -rum) och faktorisera ut med enhetskvaternion (= S ³ ) multiplikation för att få det kvaternioniska projektiva rummet HP ⁿ . ^{I synnerhet ,} eftersom S4 = HPi ^, finns det ett ^knippe S7 → S4 ^med fiber S3 .

Octonionic Hopf-fibrer

En liknande konstruktion med oktonjonerna ger ett knippe S ¹⁵ → S ⁸ med fiber S ⁷ . Men sfären S31 fibrer inte ^över S16 med ^fiber S15 ^. Man kan betrakta S ⁸ som den oktoniska projektiva linjen OP ¹ . ^Även om man också kan definiera ett oktonjoniskt ^projektivt plan OP2 ^, fibrer inte sfären S23 över OP2 med ^fiber S7 .

Fibrationer mellan sfärer

Ibland är termen "Hopf-fibrering" begränsad till fibrerna mellan sfärer som erhållits ovan, som är

• S ¹ → S ¹ med fiber S ⁰
• S ³ → S ² med fiber S ¹
• S ⁷ → S ⁴ med fiber S ³
• S ¹⁵ → S ⁸ med fiber S ⁷

Som en konsekvens av Adams sats kan fiberknippen med sfärer som totalt utrymme, basutrymme och fiber endast förekomma i dessa dimensioner. Fiberbuntar med liknande egenskaper, men skiljer sig från Hopf-fibrerna, användes av John Milnor för att konstruera exotiska sfärer .

Geometri och tillämpningar

Fibrerna i Hopf-fibrationen projicerar stereografiskt till en familj av Villarceau-cirklar i R ³ .

Hopf-fibrationen har många implikationer, vissa rent attraktiva, andra djupare. Till exempel stereografisk projektion S ³ → R ³ en anmärkningsvärd struktur i R ³ , som i sin tur belyser buntens topologi ( Lyons 2003 ). Stereografisk projektion bevarar cirklar och mappar Hopf-fibrerna till geometriskt perfekta cirklar i R ³ som fyller utrymmet. Här finns ett undantag: Hopf-cirkeln som innehåller projektionspunkten avbildas till en rät linje i R ³ — en "cirkel genom oändligheten".

Fibrerna över en cirkel av latitud på S ² bildar en torus i S ³ (topologiskt sett är en torus produkten av två cirklar) och dessa projicerar till kapslade toruser i R ³ som också fyller utrymmet. De individuella fibrerna kartläggs för att länka Villarceau-cirklar på dessa tori, med undantag för cirkeln genom projektionspunkten och den genom dess motsatta punkt : den förra avbildas till en rät linje, den senare till en enhetscirkel vinkelrät mot och centrerad på , denna linje, som kan ses som en degenererad torus vars mindre radie har krympt till noll. Varannan fiberbild omger linjen också, och så, genom symmetri, är varje cirkel länkad genom varje cirkel, både i R ³ och i S ³ . Två sådana länkcirklar bildar en Hopf-länk i R ³

Hopf bevisade att Hopf-kartan har Hopf-invariant 1, och därför inte är noll-homotopisk . I själva verket genererar den homotopigruppen π ₃ ( S ² ) och har oändlig ordning.

Inom kvantmekaniken är Riemann-sfären känd som Bloch-sfären , och Hopf-fibrationen beskriver den topologiska strukturen av ett kvantmekaniskt tvånivåsystem eller qubit . På liknande sätt ges topologin för ett par intrasslade tvånivåsystem av Hopf-fibrationen

$S^{3}\hookrightarrow S^{7}\to S^{4}.$

( Mosseri & Dandoloff 2001 ). Dessutom är Hopf-fibreringen ekvivalent med fiberbuntstrukturen hos Dirac-monopolen .

Hopf-fibrering hittade också tillämpningar inom robotik , där den användes för att generera enhetliga prover på SO(3) för den probabilistiska färdplansalgoritmen vid rörelseplanering. Den hittade också tillämpning i den automatiska styrningen av kvadrotorer .

Anteckningar

• Cayley, Arthur (1845), "Om vissa resultat som rör quaternions" , Philosophical Magazine , 26 (171): 141–145, doi : 10.1080/14786444508562684 ; omtryckt som artikel 20 i Cayley, Arthur (1889), The collected matematical papers of Arthur Cayley, I, vol. (1841–1853), Cambridge University Press , s. 123–126
•    Hopf, Heinz (1931), "Über die Abbildungen der dreidimensionalen Sphäre auf die Kugelfläche" , Mathematische Annalen , Berlin: Springer , 104 ( 1): 637–665, doi : 10.1007/BF01457962 , ISSN 52CID21 52CID21 52C121 52C121 93125 83125
•   Hopf, Heinz (1935), "Über die Abbildungen von Sphären auf Sphären niedrigerer Dimension", Fundamenta Mathematicae , Warszawa: Polish Acad. Sci., 25 : 427–440, doi : 10.4064/fm-25-1-427-440 , ISSN 0016-2736
•    Lyons, David W. (april 2003), "An Elementary Introduction to the Hopf Fibration" (PDF) , Mathematics Magazine , 76 (2): 87–98, arXiv : 2212.01642 , doi : 10.2307/32193002 , ISSN 5002 , ISSN 5002 , ISSN 5002 , JSTOR 3219300
•   Mosseri, R.; Dandoloff, R. (2001), "Geometry of entangled states, Bloch spheres and Hopf fibrations", Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical , 34 (47): 10243–10252, arXiv : quant-ph/0108137 , 2001 : Jh 2001 : P ...3410243M , doi : 10.1088/0305-4470/34/47/324 , S2CID 119462869 .
•   Steenrod, Norman (1951), The Topology of Fiber Bundles , PMS 14, Princeton University Press (publicerad 1999), ISBN 978-0-691-00548-5
• Urbantke, HK (2003), "The Hopf fibration-seven times in physics", Journal of Geometry and Physics , 46 (2): 125–150, Bibcode : 2003JGP....46..125U , doi : 10.1016/S0393 -0440(02)00121-3
• Zamboj, Michal (8 januari 2021). "Syntetisk konstruktion av Hopf-fibrationen i en dubbel ortogonal projektion av 4-utrymme". Journal of Computational Design and Engineering . 8 (3): 836–854. arXiv : 2003.09236v2 . doi : 10.1093/jcde/qwab018 .
• Banchoff, Thomas (1988). "Geometri av Hopf-kartläggningen och Pinkalls Tori av given konform typ". I Tangora, Martin (red.). Datorer i Algebra . New York och Basel: Marcel Dekker. s. 57–62.

externa länkar

• "Hopf fibration" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Dimensions Math Kapitel 7 och 8 illustrerar Hopf-fibrationen med animerad datorgrafik.
• An Elementary Introduction to the Hopf Fibration av David W. Lyons ( PDF )
• YouTube-animation som visar dynamisk kartläggning av punkter på 2-sfären till cirklar i 3-sfären, av professor Niles Johnson.
• YouTube-animation av konstruktionen av 120-cellen Av Gian Marco Todesco visar Hopf-fibreringen av 120-cellen.
• Video av en 30-cellsring av 600-cellen från http://page.math.tu-berlin.de/~gunn/ .
• Interaktiv visualisering av kartläggningen av punkter på 2-sfären till cirklar i 3-sfären