Tensordensitet

I differentialgeometri är en tensordensitet eller relativ tensor en generalisering av tensorfältbegreppet . En tensortäthet transformeras som ett tensorfält när den går från ett koordinatsystem till ett annat (se tensorfält ), förutom att den dessutom multipliceras eller viktas med en potens W av den jakobiska determinanten för koordinatövergångsfunktionen eller dess absoluta värde. En tensortäthet med ett enda index kallas vektordensitet . Man skiljer på (autentiska) tensordensiteter, pseudotensordensiteter, jämna tensordensiteter och udda tensordensiteter. kallas tensordensiteter med negativ vikt W tensorkapacitet. En tensordensitet kan också betraktas som en del av tensorprodukten av ett tensorknippe med ett densitetsknippe .

Motivering

Inom fysik och relaterade områden är det ofta användbart att arbeta med komponenterna i ett algebraiskt objekt snarare än själva objektet. Ett exempel skulle vara att sönderdela en vektor till en summa av basvektorer viktade med några koefficienter som t.ex

$${\vec {v}}=c_{1}{\vec {e}}_{1}+c_{2 }{\vec {e}}_{2}+c_{3}{\vec {e}}_{3}$$

där ${\vec {v}}$ är en vektor i det 3-dimensionella euklidiska rummet , $c_{i}\in \mathbb {R} ^{n }{\text{ och }}{\vec {e}}_{i}$ är de vanliga standardbasvektorerna i det euklidiska rummet. Detta är vanligtvis nödvändigt för beräkningsändamål och kan ofta vara insiktsfullt när algebraiska objekt representerar komplexa abstraktioner men deras komponenter har konkreta tolkningar. Men med denna identifiering måste man vara noga med att spåra förändringar av den underliggande basen där kvantiteten utökas; det kan under loppet av en beräkning bli lämpligt att ändra basen medan vektorn ${\vec {v}}$ förblir fixerad i det fysiska rummet. Mer generellt, om ett algebraiskt objekt representerar ett geometriskt objekt, men uttrycks i termer av en viss grund, är det nödvändigt att, när grunden ändras, också ändra representationen. Fysiker kommer ofta att kalla denna representation av ett geometriskt objekt en tensor om det transformeras under en sekvens av linjära kartor givet en linjär förändring av basen (även om andra förvirrande kallar det underliggande geometriska objektet som inte har förändrats under koordinattransformationen för en "tensor", en konvention som denna artikel strikt undviker). I allmänhet finns det representationer som transformeras på godtyckliga sätt beroende på hur den geometriska invarianten rekonstrueras från representationen. I vissa speciella fall är det lämpligt att använda representationer som transformerar nästan som tensorer, men med en extra, olinjär faktor i transformationen. Ett prototypiskt exempel är en matris som representerar korsprodukten (arean av utbredd parallellogram) $\mathbb {R} ^{2}.$ Representationen ges av i standardbasen av

$${\vec {u}}\times {\vec {v }}={\begin{bmatrix}u_{1}&u_{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1} \\v_{2}\end{bmatrix}}=u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}$$

Om vi ​​nu försöker uttrycka samma uttryck i en annan bas än standardbasen, så kommer komponenterna i vektorerna att förändras, säg enligt [ $\ textstyle {\begin{bmatrix}u'_{1}&u'_{2}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}=A{\begin{bmatrix}u_{1}&u_{2}\ end{bmatrix}}^{\textsf {T}}}$ där $A$ är ungefär 2 gånger 2 matris av reella tal. Med tanke på att arean av det överspända parallellogrammet är en geometrisk invariant, kan den inte ha förändrats under bytet av bas, och därför måste den nya representationen av denna matris vara:

$$\left(A^{-1}\right)^{\textsf {T}}{\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end {bmatrix}}A^{-1}$$

vilket, när det expanderas, bara är det ursprungliga uttrycket men multiplicerat med determinanten av $A^{-1},$ som också är ${\textstyle {\frac {1}{\det A}}.}$ I själva verket kan denna representation ses som en tvåindex tensortransformation, men istället är det beräkningsmässigt lättare att tänka på tensortransformationsregeln som multiplikation med ${\textstyle {\frac {1}{\det A}},}$ snarare än som 2 matrismultiplikationer (Faktiskt i högre dimensioner är den naturliga förlängningen av detta $n,n \times n$ matrismultiplikationer, vilket för stora $n$ är helt omöjligt). Objekt som transformerar på detta sätt kallas tensordensiteter eftersom de uppstår naturligt när man överväger problem gällande ytor och volymer och därför ofta används vid integration.

Definition

Vissa författare klassificerar tensordensiteter i de två typerna som kallas (autentiska) tensordensiteter och pseudotensordensiteter i den här artikeln. Andra författare klassificerar dem på olika sätt, i de typer som kallas jämna tensordensiteter och udda tensordensiteter. När en tensordensitetsvikt är ett heltal finns det en ekvivalens mellan dessa tillvägagångssätt som beror på om heltal är jämnt eller udda.

Observera att dessa klassificeringar belyser de olika sätten som tensordensiteter kan förändras något patologiskt under orienteringsomvändande koordinattransformationer . Oavsett deras klassificering i dessa typer finns det bara ett sätt som tensordensiteter transformerar under orienteringsbevarande koordinattransformationer .

I den här artikeln har vi valt konventionen som tilldelar vikten +2 till ${\displaystyle g=\det \left(g_{\rho \sigma }\right)} ,$ determinanten för metrisk tensor uttryckt med kovarianta index. Med detta val kommer klassiska densiteter, som laddningstäthet, att representeras av tensordensiteter med vikt +1. Vissa författare använder en teckenkonvention för vikter som är negationen av det som presenteras här.

I motsats till betydelsen som används i den här artikeln betyder " pseudotensor " i allmän relativitet ibland ett objekt som inte transformeras som en tensor eller relativ tensor av någon vikt.

Tensor- och pseudotensordensiteter

Till exempel, en blandad rang-två (autentisk) tensordensitet av vikt $W$ transformeras som:

    ${\mathfrak {T}}_{\beta }^{\alpha }=\left(\det {\left[{\frac {\partial {\bar {x}}^{\iota }}{\partial {x}^{\gamma }}}\right ]}\right)^{W}\,{\frac {\partial {x}^{\alpha }}{\partial {\bar {x}}^{\delta }}}\,{\frac {\ partiell {\bar {x}}^{\epsilon }}{\partial {x}^{\beta }}}\,{\bar {\mathfrak {T}}}_{\epsilon }^{\delta } \,,$ ((autentisk) tensordensitet av (heltal) vikt W )

där ${\bar {\mathfrak {T}}}$ är rank-två-tensordensiteten i ${\displaystyle {\bar {x}}}-$ koordinatsystemet, ${\mathfrak {T}}$ är den transformerade tensordensiteten i koordinatsystemet ${\displaystyle {x}} ;$ och vi använder den jakobianska determinanten . Eftersom determinanten kan vara negativ, vilket den är för en orienteringsreverserande koordinattransformation, är denna formel endast tillämplig när $W$ är ett heltal. (Se dock jämna och udda tensordensiteter nedan.)

Vi säger att en tensortäthet är en pseudotensordensitet när det finns en ytterligare teckenflik under en orienteringsomvändande koordinattransformation. En blandad rank-två pseudotensordensitet av vikt $W$ transformeras som

    ${\mathfrak {T}}_{\beta }^{\alpha }=\operatörsnamn {sgn} \left(\det {\left[{\frac {\partial {\bar {x}}^{ \iota }}{\partial {x}^{\gamma }}}\right]}\right)\left(\det {\left[{\frac {\partial {\bar {x}}^{\iota }}{\partial {x}^{\gamma }}}\right]}\right)^{W}\,{\frac {\partial {x}^{\alpha }}{\partial {\bar { x}}^{\delta }}}\,{\frac {\partial {\bar {x}}^{\epsilon }}{\partial {x}^{\beta }}}\,{\bar { \mathfrak {T}}}_{\epsilon }^{\delta }\,,$ (pseudotensordensitet av (heltal) vikt W )

där sgn ( ) är en funktion som returnerar +1 när dess argument är positivt eller −1 när dess argument är negativt.

Jämna och udda tensordensiteter

Transformationerna för jämna och udda tensordensiteter har fördelen av att vara väldefinierade även när $W$ inte är ett heltal. Man kan alltså tala om, säg, en udda tensortäthet av vikt +2 eller en jämn tensordensitet av vikt −1/2.

När $W$ är ett jämnt heltal kan formeln ovan för en (autentisk) tensordensitet skrivas om som

    ${\mathfrak {T}}_{\beta }^{\alpha }=\left\vert \det {\left[{\frac {\partial {\bar {x}}^{\iota }} {\partial {x}^{\gamma }}}\right]}\right\vert ^{W}\,{\frac {\partial {x}^{\alpha }}{\partial {\bar {x }}^{\delta }}}\,{\frac {\partial {\bar {x}}^{\epsilon }}{\partial {x}^{\beta }}}\,{\bar {\ mathfrak {T}}}_{\epsilon }^{\delta }\,.$ (jämn tensordensitet av vikt W )

På liknande sätt, när $W$ är ett udda heltal kan formeln för en (autentisk) tensordensitet skrivas om som

    ${\mathfrak {T}}_{\beta }^{\alpha }=\operatörsnamn {sgn} \left(\det {\left[{\frac {\partial {\bar {x}}^{ \iota }}{\partial {x}^{\gamma }}}\right]}\right)\left\vert \det {\left[{\frac {\partial {\bar {x}}^{\ iota }}{\partial {x}^{\gamma }}}\right]}\right\vert ^{W}\,{\frac {\partial {x}^{\alpha }}{\partial {\ stapel {x}}^{\delta }}}\,{\frac {\partial {\bar {x}}^{\epsilon }}{\partial {x}^{\beta }}}\,{\ bar {\mathfrak {T}}}_{\epsilon }^{\delta }\,.$ (udda tensordensitet för vikt W )

Vikter noll och ett

En tensordensitet av vilken typ som helst som har vikt noll kallas också en absolut tensor . En (jämn) autentisk tensortäthet med vikt noll kallas också en vanlig tensor .

Om en vikt inte anges men ordet "relativ" eller "densitet" används i ett sammanhang där en specifik vikt behövs, brukar man anta att vikten är +1.

Algebraiska egenskaper

1. En linjär kombination (även känd som en viktad summa ) av tensordensiteter av samma typ och vikt $W$ är återigen en tensordensitet av den typen och vikten.
2. En produkt av två tensordensiteter av vilken typ som helst, och med vikterna $W_{1}$ och $W_{2}$ , är en tensordensitet av vikten $W_{1}+W_{2}.$

   En produkt av autentiska tensordensiteter och pseudotensordensiteter kommer att vara en autentisk tensordensitet när ett jämnt antal av faktorerna är pseudotensordensiteter; det kommer att vara en pseudotensortäthet när ett udda antal av faktorerna är pseudotensordensiteter. På liknande sätt kommer en produkt av jämna tensordensiteter och udda tensordensiteter att vara en jämn tensordensitet när ett jämnt antal av faktorerna är udda tensordensiteter; det blir en udda tensordensitet när ett udda antal av faktorerna är udda tensordensiteter.

3. Sammandragningen av index på en tensordensitet med vikten $W$ ger återigen en tensordensitet av vikten $W.$
4. Genom att använda (2) och (3) ser man att höjning och sänkning av index med den metriska tensorn (vikt 0) lämnar vikten oförändrad.

Matrisinversion och matrisdeterminant för tensordensiteter

Om ${\mathfrak {T}}_{\alpha \beta }$ är en icke-singular matris och en rang-två-tensortäthet av vikt $W$ med kovarianta index så är dess matris invers kommer att vara en rank-två-tensordensitet av vikt − $W$ med kontravarierande index. Liknande uttalanden gäller när de två indexen är kontravarianta eller är blandade kovarianta och kontravarianta.

Om ${\mathfrak {T}}_{\alpha \beta }$ är en rang-två-tensortäthet av vikt $W$ med samvarianta index så är matrisdeterminanten ${\ displaystyle \det {\mathfrak {T}}_{\alpha \beta }}$ kommer att ha vikten $NW+2,$ där $N$ är antalet rum-tidsdimensioner. Om ${\mathfrak {T}}^{\alpha \beta }$ är en rang-två-tensortäthet av vikt $W$ med kontravarianta index, då är matrisdeterminanten ${\ displaystyle \det {\mathfrak {T}}^{\alpha \beta }}$ kommer att ha vikt $NW-2.$ Matrisdeterminanten $\det {\mathfrak { T}}_{~\beta }^{\alpha }$ kommer att ha vikt $NW.$

Allmän relativitetsteori

Relationen mellan jakobiansk determinant och metrisk tensor

Varje icke-singular vanlig tensor $T_{\mu \nu }$ transformeras som

$$T_{\mu \nu }={\frac {\partial {\bar {x}}^{\ kappa }}{\partial {x}^{\mu }}}{\bar {T}}_{\kappa \lambda }{\frac {\partial {\bar {x}}^{\lambda }}{ \partial {x}^{\nu }}}\,,$$

där den högra sidan kan ses som produkten av tre matriser. Genom att ta determinanten för båda sidor av ekvationen (med att determinanten för en matrisprodukt är produkten av determinanterna), dividera båda sidorna med $\det \left({\bar { T}}_{\kappa \lambda }\right),$ och tar deras kvadratrot ger

$$\left\vert \det {\left[{\frac {\partial {\bar {x}}^{\iota }}{\partial {x}^{\gamma }}}\right]}\ höger\vert ={\sqrt {\frac {\det({T}_{\mu \nu})}{\det \left({\bar {T}}_{\kappa \lambda }\right)} }}\,.$$

   När tensorn $T$ är den metriska tensorn , ${g}_{\kappa \lambda },$ och ${\bar {x}}^{\ iota }$ är ett lokalt tröghetskoordinatsystem där ${\bar {g}}_{\kappa \lambda }=\eta _{\kappa \lambda }=$ diag( −1,+1,+1,+1), Minkowski-måttet , sedan $\det \left({\bar {g}}_{ \kappa \lambda }\right)=\det(\eta _{\kappa \lambda })=$ −1 och så

$$\left\vert \det {\left[{\frac {\partial {\bar {x}}^{\iota }}{\partial {x}^{\gamma }}}\ höger]}\right\vert ={\sqrt {-{g}}}\,,$$

där ${g}=\det \left({g}_{\mu \nu }\right)$ är determinanten för den metriska tensorn ${g}_{\mu \nu }.$

Användning av metrisk tensor för att manipulera tensordensiteter

Följaktligen kan en jämn tensordensitet, ${\mathfrak {T}}_{\nu \dots }^{\mu \dots },$ av vikten W , skrivas i formen

$${\mathfrak {T}}_{\nu \dots }^{\mu \dots }={\sqrt {-g}}\; ^{W}T_{\nu \dots }^{\mu \dots }\,,$$

där $T_{\nu \dots }^{\mu \dots }\,$ är en vanlig tensor. I ett lokalt tröghetskoordinatsystem, där ${\displaystyle g_{\kappa \lambda }=\eta _{\kappa \lambda },} blir det$ så att ${ \displaystyle {\mathfrak {T}}_{\nu \dots }^{\mu \dots }}$ och $T_{\nu \dots }^{\mu \dots }\,$ kommer att representeras med samma siffror.

När man använder den metriska anslutningen ( Levi-Civita-anslutningen ), definieras den kovarianta derivatan av en jämn tensordensitet som

$${\mathfrak {T}}_{\nu \dots ;\alpha }^{\mu \dots }={\sqrt {-g}}\;^{W}T_{\nu \dots ;\ alpha }^{\mu \dots }={\sqrt {-g}}\;^{W}\left({\sqrt {-g}}\;^{-W}{\mathfrak {T}}_ {\nu \dots }^{\mu \dots }\right)_{;\alpha }\,.$$

För en godtycklig koppling definieras den kovarianta derivatan genom att lägga till en extra term, nämligen

$$-W\,\Gamma _{~\delta \alpha }^{\delta }\,{\mathfrak {T}}_{\nu \dots }^ {\mu \dots }$$

till uttrycket som skulle vara lämpligt för den kovarianta derivatan av en vanlig tensor.

På motsvarande sätt följs produktregeln

$$\left({\mathfrak {T}}_{\nu \ prickar }^{\mu \dots }{\mathfrak {S}}_{\tau \dots }^{\sigma \dots }\right)_{;\alpha }=\left({\mathfrak {T}} _{\nu \dots ;\alpha }^{\mu \dots }\right){\mathfrak {S}}_{\tau \dots }^{\sigma \dots }+{\mathfrak {T}}_ {\nu \dots }^{\mu \dots }\left({\mathfrak {S}}_{\tau \dots ;\alpha }^{\sigma \dots }\right)\,,$$

där, för den metriska anslutningen, den kovarianta derivatan av en funktion av $g_{\kappa \lambda }$ alltid är noll,

$${\begin{aligned}g_{\kappa \lambda ;\alpha }&=0\\\left({\sqrt {-g}}\;^{W}\right)_{;\alpha } &=\left({\sqrt {-g}}\;^{W}\right)_{,\alpha }-W\Gamma _{~\delta \alpha }^{\delta }{\sqrt {- g}}\;^{W}={\frac {W}{2}}g^{\kappa \lambda }g_{\kappa \lambda ,\alpha }{\sqrt {-g}}\;^{ W}-W\Gamma _{~\delta \alpha }^{\delta }{\sqrt {-g}}\;^{W}=0\,.\end{aligned}}$$

Exempel

Se även: Maxwells ekvationer i krökt rumtid

Uttrycket ${\sqrt {-g}}$ är en skalär densitet. Enligt konventionen i denna artikel har den en vikt på +1.

Densiteten för elektrisk ström ${\mathfrak {J}}^{\mu }$ (till exempel ${\mathfrak {J}}^{2}$ är mängden elektrisk laddning korsar elementet med 3 volymer $dx^{3}\,dx^{4}\,dx^{1}$ dividerat med det elementet — använd inte måtten i detta beräkning) är en kontravariant vektordensitet av vikt +1. Det skrivs ofta som ${\mathfrak {J}}^{\mu }=J^{\mu }{\sqrt {-g}}$ eller ${\mathfrak {J}}^{\mu }=\varepsilon ^{\mu \alpha \beta \gamma }{\mathcal {J}}_{\alpha \beta \gamma }/3!,$ där $J^{\mu }\,$ och differentialformen ${\mathcal {J}}_{\alpha \beta \gamma }$ är absoluta tensorer, och där $\varepsilon ^{\mu \alpha \beta \gamma }$ är Levi-Civita-symbolen ; se nedan.

Tätheten av Lorentz kraft ${\mathfrak {f}}_{\mu }$ (det vill säga den linjära rörelsemängd som överförs från det elektromagnetiska fältet till materia inom ett 4-volymselement $dx^{1}\,dx^{2}\,dx^{3}\,dx^{4}$ dividerat med det elementet — använd inte måtten i den här beräkningen) är en kovariant vektortäthet med vikt +1.

I N -dimensionell rumtid kan Levi-Civita-symbolen betraktas som antingen en rang- N kovariant (udda) autentisk tensordensitet av vikt −1 ( ε _{α 1 ⋯ α N} ) eller en rang- N kontravariant (udda) autentisk tensordensitet av vikt +1 ( ε ^{α ₁ ⋯ α _N} ). Lägg märke till att Levi-Civita-symbolen (så betraktad) inte följer den vanliga konventionen för att höja eller sänka index med den metriska tensorn. Det vill säga, det är sant att

$$\varepsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }\,g_{\alpha \kappa} \,g_{\beta \lambda }\,g_{\gamma \mu }g_{\delta \nu }\,=\,\varepsilon _{\kappa \lambda \mu \nu }\,g\,,$$

men i generell relativitetsteori, där $g=\det \left(g_{\rho \sigma }\right)$ alltid är negativ, detta är aldrig lika med $\varepsilon _{\kappa \lambda \mu \nu }.$

Determinanten för den metriska tensorn ,

$$g=\det \left(g_{\rho \sigma }\right)={\frac {1} {4!}}\varepsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }\varepsilon ^{\kappa \lambda \mu \nu }g_{\alpha \kappa }g_{\beta \lambda }g_{\gamma \ mu }g_{\delta \nu }\,,$$

är en (jämn) autentisk skalärdensitet av vikt +2, vilket är sammandragningen av produkten av 2 (udda) autentiska tensordensiteter av vikt +1 och fyra (jämna) autentiska tensordensiteter av vikt 0.

Se även

• Handling (fysik) – Fysisk mängd dimension energi × tid
• Bevaranderätt – Vetenskaplig lag om bevarande av en fysisk egendom
• Noethers teorem – Påstående som relaterar differentierbara symmetrier till konserverade storheter
• Pseudotensor – Typ av fysisk kvantitet
• Relativ skalär
• Variationsprincip – Vetenskapliga principer som möjliggör användning av variationskalkylen

Anteckningar

• Spivak, Michael (1999), A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, Vol I (3:e upplagan), sid. 134 .
• Kuptsov, LP (2001) [1994], "Tensor Density" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press .
•   Charles Misner ; Kip S Thorne & John Archibald Wheeler (1973). Gravitation . WH Freeman . sid. 501ff. ISBN 0-7167-0344-0 . {{ citera bok }} : CS1 underhåll: flera namn: lista över författare ( länk )
•   Weinberg, Steven (1972), Gravitation and Cosmology , John Wiley & sons, Inc, ISBN 0-471-92567-5