Torsionstensor

För annan användning, se Torsion (disambiguation) och Torsion field (disambiguation) .

Torsion längs en geodetisk.

I differentialgeometri är begreppet torsion ett sätt att karakterisera en vridning eller skruv av en rörlig ram runt en kurva. Vridningen av en kurva , som den visas i Frenet-Serret-formlerna , till exempel, kvantifierar vridningen av en kurva kring dess tangentvektor när kurvan utvecklas (eller snarare rotationen av Frenet-Serret-ramen kring tangentvektorn). I ytornas geometri beskriver den geodetiska vridningen hur en yta vrider sig runt en kurva på ytan. Medföljande begreppet krökning mäter hur rörliga ramar "rullar" längs en kurva "utan att vrida sig".

Mer generellt, på ett differentierbart grenrör utrustat med en affin anslutning (det vill säga en anslutning i tangentknippet ), bildar torsion och krökning förbindelsens två grundläggande invarianter. I detta sammanhang ger torsion en inneboende karaktärisering av hur tangentrum vrider sig runt en kurva när de är parallelltransporterade ; medan krökning beskriver hur tangentutrymmena rullar längs kurvan. Torsion kan beskrivas konkret som en tensor eller som en vektorvärderad 2-form på grenröret. Om ∇ är en affin anslutning på ett differentialgrenrör definieras torsionstensorn, i termer av vektorfälten X och Y , av

$T(X,Y)=\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X-[X,Y ]$

där [ X , Y ] är Lie-parentesen för vektorfält .

Torsion är särskilt användbar i studiet av geodesiks geometri . Givet ett system av parametriserad geodetik kan man specificera en klass av affina anslutningar som har dessa geodetiska egenskaper, men som skiljer sig åt genom deras vridningar. Det finns en unik anslutning som absorberar vridningen och generaliserar Levi-Civita-kopplingen till andra, möjligen icke-metriska situationer (som Finsler-geometri ). Skillnaden mellan en koppling med torsion och en motsvarande koppling utan torsion är en tensor, kallad contorsion tensor . Absorption av torsion spelar också en grundläggande roll i studiet av G-strukturer och Cartans ekvivalensmetod . Torsion är också användbar i studien av oparametriserade familjer av geodetik, via den tillhörande projektiva kopplingen . Inom relativitetsteorin har sådana idéer implementerats i form av Einstein-Cartan-teorin .

Torsionstensorn

Låt M vara ett grenrör med en affin koppling på tangentknippet (alias kovariantderivata ) ∇. Torsionstensorn (ibland kallad Cartan ( torsion ) tensor ) för ∇ är den vektorvärderade 2-formen som definieras på vektorfälten X och Y av

$T(X,Y):=\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X-[X ,Y]$

där [ X , Y ] är Lie-parentesen för två vektorfält. Enligt Leibniz-regeln , T ( fX , Y ) = T ( X , fY ) = fT ( X , Y ) för varje jämn funktion f . Så T är tensorial , trots att den definieras i termer av kopplingen som är en första ordningens differentialoperator: den ger en 2-form på tangentvektorer, medan den kovarianta derivatan endast definieras för vektorfält.

Komponenter i torsionstensorn

Komponenterna i torsionstensorn $T^{c}{}_{ab}$ i termer av en lokal bas ( e ₁ , ..., e _n ) av sektioner av tangentbunten kan vara härledd genom att sätta X = e _i , Y = e _j och genom att introducera kommutatorkoefficienterna γ ^k _ij e _k := [ e _i , e _j ] . Komponenterna i torsionen är då

$T^{k}{}_{ij}:=\Gamma ^{k}{}_{ij}-\Gamma ^{k}{}_{ji}-\gamma ^{k}{} _{ij},\quad i,j,k=1,2,\ldots ,n.$

Här är ${\Gamma ^{k}}_{ij}$ anslutningskoefficienterna som definierar anslutningen. Om grunden är holonomisk försvinner Lie-parenteserna, $\gamma ^{k}{}_{ij}=0$ . Så $T^{k}{}_{ij}=2\Gamma ^{k}{}_{[ij]}$ . I synnerhet (se nedan), medan de geodetiska ekvationerna bestämmer den symmetriska delen av anslutningen, bestämmer torsionstensorn den antisymmetriska delen.

Vridningsformen

Torsionsformen , en alternativ karaktärisering av torsion , gäller rambunten F M hos grenröret M . Denna huvudbunt är utrustad med en kopplingsform ω , en gl ( n )-värderad enform som mappar vertikala vektorer till generatorerna av den rätta åtgärden i gl ( n ) och ekvivariant sammanflätar den rätta aktionen av GL( n ) på tangentbunt av F M med den adjointe representationen på gl ( n ). Rambunten har också en kanonisk enformig θ, med värden i R ⁿ , definierad vid en ram u ∈ F _x M (betraktad som en linjär funktion u : R ⁿ → T _x M ) av

$\theta (X)=u^{-1}(\pi _{*}(X))$

där π : F M → M är projektionsavbildningen för huvudbunten och π∗ är dess framskjutning. Vridningsformen är därefter

$\Theta =d\theta +\omega \wedge \theta .$

På motsvarande sätt är Θ = Dθ , där D är den yttre kovariansderivatan som bestäms av sambandet.

Torsionsformen är en (horisontell) tensoriell form med värden i R ⁿ , vilket betyder att under rätt verkan av g ∈ GL( n ) transformeras den ekvivariant :

$R_{g}^{*}\Theta =g^{-1}\cdot \Theta$

där g verkar på höger sida genom sin adjunkt representation på R ⁿ .

Torsionsform i en ram

Se även: anslutningsformulär

Torsionsformen kan uttryckas i termer av en anslutningsform på basgrenröret M , skriven i en speciell ram av tangentknippet ( e ₁ , ..., e _n ) . Anslutningsformen uttrycker den yttre kovariansderivatan av dessa grundläggande sektioner:

$D\mathbf {e} _{i}=\mathbf {e} _{j}{\omega ^{j}}_{i}.$

Lödformen för tangentknippet (relativt denna ram) är den ( e _j ) θi ^dubbla δi ^j _basen θi ∈ ^T ∗ ^M för ei , så att = ( Kroneckerdeltat ) _. Sedan har torsion 2-formen komponenter

$\Theta ^{k}=d\theta ^{k}+{\omega ^{k}}_{j}\wedge \theta ^{j}={T^{k}}_{ij} \theta ^{i}\wedge \theta ^{j}.$

I uttrycket längst till höger,

${T^{k}}_{ij}=\theta ^{k}\ vänster(\nabla _{\mathbf {e} _{i}}\mathbf {e} _{j}-\nabla _{\mathbf {e} _{j}}\mathbf {e} _{i}- \left[\mathbf {e} _{i},\mathbf {e} _{j}\right]\right)$

är ramkomponenterna för torsionstensorn, som ges i föregående definition.

Det kan lätt visas att Θ ⁱ transformerar tensoriellt i den meningen att om en annan ram

${\tilde {\mathbf {e} }}_{i}=\mathbf {e} _{j}{g^{j}}_{i}$

för någon inverterbar matrisvärderad funktion ( g ^j _i ), då

${\tilde {\Theta }}^{i}={\left(g^{-1}\right)^{i}}_{j}\Theta ^{j}.$

Med andra ord är Θ en tensor av typen (1, 2) (som bär ett kontravariant och två kovariansindex).

Alternativt kan lödformen karakteriseras på ett ramoberoende sätt som den TM -värderade enformen θ på M som motsvarar identitetsendomorfismen för tangentbunten under dualitetisomorfismen End( TM ) ≈ TM ⊗ T ^∗ M . Då är torsion 2-formen en sektion

${\displaystyle \Theta \in {\text{Hom}}\left({\textstyle \bigwedge }^{2}{\rm {T}}M,$

getts av

$\Theta =D\theta ,$

där D är den yttre kovariansderivatan . (Se anslutningsformuläret för mer information.)

Oreducerbar nedbrytning

Torsionstensorn kan delas upp i två irreducerbara delar: en spårfri del och en annan del som innehåller spårtermerna. Med hjälp av indexnotationen ges spåret av T av

$a_{i}=T^{k}{}_{ik},$

och den spårfria delen är

$B^{i}{}_{jk}=T^{i} {}_{jk}+{\frac {1}{n-1}}\delta ^{i}{}_{j}a_{k}-{\frac {1}{n-1}}\delta ^{i}{}_{k}a_{j},$

där δ ⁱ _j är Kroneckerdeltat .

Inneboende har man

$T\in \operatörsnamn {Hom} \left({\textstyle \bigwedge }^{2}{\rm {T}}M,{\rm {T}}M\right).$

Spåret för T , tr T , är ett element av T ^∗ M definierat enligt följande. För varje vektor fixerad X Hom( TM , TM ) ∈ T M , definierar T ett element T ( X ) av via

$T(X):Y\mapsto T(X\wedge Y).$

Då definieras (tr T )( X ) som spåret av denna endomorfism. Det är,

$(\operatörsnamn {tr} \,T)(X){\stackrel {\text{def}}{=}}\operatörsnamn {tr} (T(X)).$

Den spårfria delen av T är då

$T_{0}=T-{\frac {1}{n-1}}\iota (\operatörsnamn {tr} \,T),$

där ι betecknar interiörprodukten .

Krökning och Bianchi-identiteter

Krökningstensorn för ∇ är en mappning av TM × TM → End( TM ) definierad på vektorfälten X , Y , och Z

$R(X,Y)Z=\nabla _{X}\nabla _{Y}Z-\nabla _{Y}\nabla _{X}Z-\nabla _{[X,Y]}Z .$

För vektorer vid en punkt är denna definition oberoende av hur vektorerna utvidgas till vektorfält bort från punkten (därmed definierar den en tensor, ungefär som torsionen).

Bianchi -identiteterna relaterar krökningen och vridningen enligt följande. Låt ${\mathfrak {S}}$ beteckna den cykliska summan över X , Y , och Z . Till exempel,

${\mathfrak {S}}\left(R\left(X,Y\right)Z\right):=R(X,Y)Z+R(Y,Z)X+R(Z,X) )Y.$

Då gäller följande identiteter

1. Bianchis första identitet:

   ${\mathfrak {S}} \left(R\left(X,Y\right)Z\right)={\mathfrak {S}}\left(T\left(T(X,Y),Z\right)+\left(\nabla _ {X}T\höger)\vänster(Y,Z\höger)\höger)$

2. Bianchis andra identitet:

   ${\mathfrak {S}}\left(\left(\nabla _{ X}R\höger)\vänster(Y,Z\höger)+R\vänster(T\vänster(X,Y\höger),Z\höger)\höger)=0$

Krökningsformen och Bianchi-identiteter

Krökningsformen är den gl ( n ) -värderade 2-formen

$\Omega =D\omega =d\omega +\omega \wedge \omega$

där D återigen betecknar den yttre kovariansderivatan. När det gäller krökningsformen och torsionsformen är motsvarande Bianchi-identiteter

1. $D\Theta =\Omega \wedge \theta$
2. $D\Omega =0.$

Dessutom kan man återvinna kröknings- och torsionstensorerna från kröknings- och torsionsformerna enligt följande. Vid en punkt u av F _x M har man

${\begin{aligned}R(X,Y)Z&=u\left(2\Omega \left(\pi ^{-1}( X),\pi ^{-1}(Y)\höger)\höger)\vänster(u^{-1}(Z)\höger),\\T(X,Y)&=u\vänster(2 \Theta \left(\pi ^{-1}(X),\pi ^{-1}(Y)\right)\right),\end{aligned}}$

där återigen u : R ⁿ → T _x M är funktionen som specificerar ramen i fibern, och valet av lyft av vektorerna via π ⁻¹ är irrelevant eftersom kröknings- och torsionsformerna är horisontella (de försvinner på de tvetydiga vertikala vektorerna ).

Karakteriseringar och tolkningar

I hela detta avsnitt antas M vara ett differentierbart grenrör och ∇ en kovariansderivata på tangentknippet av M om inte annat anges.

Vridning av referensramar

I den klassiska differentialgeometrin för kurvor beskriver Frenet-Serret-formlerna hur en viss rörlig ram (Frenet-Serret-ramen) vrider sig längs en kurva. I fysiska termer motsvarar torsionen vinkelmomentet för en idealiserad topp som pekar längs kurvans tangent.

Fallet med ett grenrör med en (metrisk) anslutning tillåter en analog tolkning. Antag att en observatör rör sig längs en geodetik för anslutningen. En sådan observatör ses vanligtvis som tröghet eftersom de inte upplever någon acceleration . Antag att observatören dessutom bär med sig ett system av stela raka mätstavar (ett koordinatsystem) . Varje stång är ett rakt segment; en geodetisk . Antag att varje stav är parallelltransporterad längs banan. Det faktum att dessa stavar fysiskt bärs längs banan betyder att de är Lie-draged , eller fortplantas så att Lie-derivatan av varje stav längs tangenten försvinner. De kan dock uppleva vridmoment (eller vridkrafter) analogt med vridmomentet som känns av toppen i Frenet-Serret-ramen. Denna kraft mäts av vridningen.

Mer exakt, anta att observatören rör sig längs en geodetisk bana γ ( t ) och bär en mätstav längs den. Spöet sveper ut en yta när betraktaren färdas längs vägen. Det finns naturliga koordinater ( t , x ) längs denna yta, där t är den parametertid som observatören tar, och x är positionen längs mätstaven. Villkoret att stavens tangent ska vara parallellöversatt längs kurvan är

$\left.\nabla _{\frac {\partial }{\partial t}}{\frac {\partial}{\partial x}}\right|_{x=0}= 0.$

Följaktligen ges vridningen av

$\left.T\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial t}}\right)\right|_{x=0}= \left.\nabla _{\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial }{\partial t}}\right|_{x=0}.$

Om detta inte är noll, kommer de markerade punkterna på staven ( x = konstanta kurvor) att spåra spiraler istället för geodetik. De kommer att tendera att rotera runt betraktaren. Observera att för detta argument var det inte nödvändigt att $\gamma (t)$ är en geodetisk. Vilken kurva som helst skulle fungera.

Denna tolkning av torsion spelar en roll i teorin om teleparallelism , även känd som Einstein-Cartan-teorin , en alternativ formulering av relativitetsteorin .

Vridningen av en filament

Inom materialvetenskap , och särskilt elasticitetsteori , spelar idéer om torsion också en viktig roll. Ett problem modellerar tillväxten av vinstockar, med fokus på frågan om hur vinstockar lyckas sno sig runt föremål. Själva vinstocken är modellerad som ett par elastiska filament vridna runt varandra. I sitt energiminimerande tillstånd växer vinstocken naturligt i form av en helix . Men vinstocken kan också sträckas ut för att maximera dess utsträckning (eller längd). I det här fallet är vinstockens torsion relaterad till torsionen av filamentparet (eller motsvarande yttorsionen på bandet som förbinder filamenten), och den återspeglar skillnaden mellan vinstockens längdmaximerande (geodetiska) konfiguration och dess energiminimerande konfiguration.

Torsion och virvel

Inom vätskedynamik är torsion naturligt förknippad med virvellinjer .

Geodesik och absorption av vridning

Antag att γ ( t ) är en kurva på M . Då är γ en affint parametriserad geodetik förutsatt att

$\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}{\dot {\gamma }}(t)=0$

för all tid t i domänen av γ . (Här betecknar punkten differentiering med avseende på t , som associerar med γ tangentvektorn som pekar längs den.) Varje geodetisk bestäms unikt av dess initiala tangentvektor vid tiden t = 0 , $\gamma }}(0)}$${\displaystyle {\dot$ { .

En tillämpning av vridningen av en anslutning involverar den geodetiska sprayen av anslutningen: ungefär familjen av alla affint parametriserade geodesiker. Torsion är tvetydigheten i att klassificera anslutningar i termer av deras geodetiska sprayer:

• Två anslutningar ∇ och ∇′ som har samma affint parametriserade geodetiska egenskaper (dvs samma geodetiska spray) skiljer sig endast åt genom vridning.

Mer exakt, om X och Y är ett par tangentvektorer vid p ∈ M , låt

$\Delta (X,Y)=\nabla _{X}{\tilde {Y}}-\nabla '_{X}{ \tilde {Y}}$

vara skillnaden mellan de två anslutningarna, beräknad i termer av godtyckliga förlängningar av X och Y bort från p . Genom Leibniz produktregel ser man att Δ faktiskt inte beror på hur X och Y ′ förlängs (så den definierar en tensor på M ). Låt S och A vara de symmetriska och alternerande delarna av Δ:

$S(X,Y)={\tfrac {1}{2}}\left(\Delta ( X,Y)+\Delta (Y,X)\right)$

$A(X,Y)= {\tfrac {1}{2}}\left(\Delta (X,Y)-\Delta (Y,X)\right)$

Sedan

• $A(X,Y)={\tfrac {1}{2}}\left(T( X,Y)-T'(X,Y)\right)$ är skillnaden mellan torsionstensorerna.
• ∇ och ∇′ definierar samma familjer av affint parametriserad geodetik om och endast om S ( X , Y ) = 0 .

Med andra ord bestämmer den symmetriska delen av skillnaden mellan två anslutningar om de har samma parametriserade geodetik, medan den sneda delen av skillnaden bestäms av de två anslutningarnas relativa vridningar. En annan konsekvens är:

• Givet varje affin koppling ∇, finns det en unik vridningsfri koppling ∇′ med samma familj av affint parametriserad geodetik. Skillnaden mellan dessa två anslutningar är i själva verket en tensor, kontorsionstensorn .

Detta är en generalisering av den grundläggande satsen för Riemannsk geometri till allmänna affina (möjligen icke-metriska) anslutningar. Att välja ut den unika vridningsfria anslutningen som är underordnad en familj av parametriserade geodesiker är känt som absorption av torsion , och det är ett av stadierna i Cartans ekvivalensmetod .

Se även

• Kontorsionstensor
• Curtright fält
• Krökningstensor
• Levi-Civita-anslutning
• Torsionskoefficient
• Vridning av kurvor

Anteckningar

• Biskop, RL ; Goldberg, SI (1980), Tensoranalys på grenrör , Dover Publications
• Cartan, É. (1923), "Sur les variétés à connexion affine, et la théorie de la relativité généralisée (première partie)" , Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , 40 : 325–412, doi : 351/asens.
• Cartan, É. (1924), "Sur les variétés à connexion affine, et la théorie de la relativité généralisée (première partie) (Suite)" , Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , 41 : 1–25, doi : 73/asens.
•   Elzanowski, M.; Epstein, M. (1985), "Geometric characterization of hyperelastic uniformity", Archive for Rational Mechanics and Analysis , 88 (4): 347–357, Bibcode : 1985ArRMA..88..347E , doi : 10.1007/BF01125, S2007/BF01125, S2007/BF01205 , 72025 , S12025
• Goriely, A.; Robertson-Tessi, M.; Tabor, M.; Vandiver, R. (2006), "Elastic growth models" (PDF) , BIOMAT-2006 , Springer-Verlag , arkiverad från originalet (PDF) 2006-12-29
• Hehl, FW; von der Heyde, P.; Kerlick, GD; Nester, JM (1976), "Allmän relativitet med spinn och vridning: grunder och framtidsutsikter", Rev. Mod. Phys. , 48 (3): 393–416, Bibcode : 1976RvMP...48..393H , doi : 10.1103/revmodphys.48.393 , 393.
• Kibble, TWB (1961), "Lorentz-invarians och gravitationsfältet", J. Math. Phys. , 2 (2): 212–221, Bibcode : 1961JMP.....2..212K , doi : 10.1063/1.1703702 , 212.
•   Kobayashi, S.; Nomizu, K. (1963), Foundations of Differential Geometry , vol. 1 & 2 (Ny upplaga), Wiley-Interscience (publicerad 1996), ISBN 0-471-15733-3
• Poplawski, NJ (2009), Spacetime and fields , arXiv : 0911.0334 , Bibcode : 2009arXiv0911.0334P
• Schouten, JA (1954), Ricci Calculus , Springer-Verlag
• Schrödinger, E. (1950), Space-Time Structure , Cambridge University Press
• Sciama, DW (1964), "Den allmänna relativitetsteoriets fysiska struktur" , Rev. Mod. Phys. , 36 (1): 463, Bibcode : 1964RvMP...36..463S , doi : 10.1103/RevModPhys.36.463
•   Spivak, M. (1999), A comprehensive introduction to differential geometri, Volume II , Houston, Texas: Publish or Perish, ISBN 0-914098-71-3