Cylinder

För annan användning, se Cylinder (disambiguation) .

Cylinder
En cirkulär högercylinder med höjd h och diameter d =2 r
Typ	Slät yta Algebraisk yta
Euler char.	2
Symmetrigrupp	O(2)×O(1)
Ytarea	2πr(r + h)
Volym	πr 2 h

En cylinder (från grekiska : κύλινδρος , romaniserad : kulindros , lit.   "rulle", "tumlare") har traditionellt varit en tredimensionell solid , en av de mest grundläggande av kurvlinjära geometriska former . I elementär geometri anses det vara ett prisma med en cirkel som bas.

En cylinder kan också definieras som en oändlig krökt yta i olika moderna grenar av geometri och topologi . Förskjutningen i den grundläggande betydelsen – fast mot yta (som i boll och sfär ) – har skapat en viss tvetydighet med terminologin. De två begreppen kan särskiljas genom att hänvisa till solida cylindrar och cylindriska ytor . I litteraturen kan den osmyckade termen cylinder syfta på någon av dessa eller till ett ännu mer specialiserat föremål, den högra cirkulära cylindern .

Typer

Definitionerna och resultaten i detta avsnitt är hämtade från 1913 års text Plane and Solid Geometry av George Wentworth och David Eugene Smith ( Wentworth & Smith 1913) .

En cylindrisk yta är en yta som består av alla punkter på alla linjer som är parallella med en given linje och som går genom en fast plan kurva i ett plan som inte är parallellt med den givna linjen. Varje linje i denna familj av parallella linjer kallas ett element av den cylindriska ytan. Ur en kinematisk synvinkel, givet en plan kurva, kallad direktrix , är en cylindrisk yta den yta som spåras ut av en linje, kallad generatrix , inte i direktrixens plan, som rör sig parallellt med sig själv och alltid passerar genom direktrixen. . Varje speciell position av generatrisen är ett element av den cylindriska ytan.

En höger och en sned cirkulär cylinder

Ett fast ämne som begränsas av en cylindrisk yta och två parallella plan kallas en (solid) cylinder . Linjesegmenten som bestäms av ett element av den cylindriska ytan mellan de två parallella planen kallas ett element i cylindern . Alla element i en cylinder har lika långa längder. Området som begränsas av den cylindriska ytan i något av de parallella planen kallas cylinderns bas . De två baserna i en cylinder är kongruenta figurer. Om elementen i cylindern är vinkelräta mot planen som innehåller baserna, är cylindern en rät cylinder , annars kallas den en sned cylinder . Om baserna är skivor (regioner vars gräns är en cirkel ) kallas cylindern en cirkulär cylinder . I vissa elementära behandlingar betyder en cylinder alltid en cirkulär cylinder.

Höjden (eller höjden) på en cylinder är det vinkelräta avståndet mellan dess baser.

Cylindern som erhålls genom att vrida ett linjesegment runt en fast linje som det är parallellt med är en rotationscylinder . En rotationscylinder är en rät cirkulär cylinder. Höjden på en rotationscylinder är längden på det genererande linjesegmentet. Linjen som segmentet kretsar kring kallas cylinderaxeln och den passerar genom mitten av de två baserna.

En rät cirkulär cylinder med radie r och höjd h

Höger cirkulära cylindrar

Huvudartikel: Höger cirkulär cylinder

Den blotta termen cylinder hänvisar ofta till en solid cylinder med cirkulära ändar vinkelräta mot axeln, det vill säga en rät cirkulär cylinder, som visas i figuren. Den cylindriska ytan utan ändarna kallas en öppen cylinder . Formlerna för ytan och volymen av en rät cirkulär cylinder har varit kända från tidig antiken.

En rät cirkulär cylinder kan också ses som rotationskroppen som genereras genom att en rektangel roteras runt en av dess sidor. Dessa cylindrar används i en integrationsteknik ("skivmetoden") för att erhålla rotationsvolymer.

En lång och tunn nålcylinder har en höjd som är mycket större än dess diameter, medan en kort och bred skivcylinder har en diameter som är mycket större än dess höjd.

Egenskaper

Cylindriska sektioner

Cylindrisk sektion

En cylindrisk sektion är skärningen av en cylinders yta med ett plan . De är i allmänhet kurvor och är speciella typer av plana sektioner . Den cylindriska sektionen av ett plan som innehåller två delar av en cylinder är ett parallellogram . En sådan cylindrisk sektion av en höger cylinder är en rektangel .

En cylindrisk sektion där det skärande planet skär och är vinkelrät mot alla element i cylindern kallas en höger sektion . Om en högra sektion av en cylinder är en cirkel så är cylindern en cirkulär cylinder. Mer allmänt, om en höger sektion av en cylinder är en konisk sektion (parabel, ellips, hyperbel) så sägs den solida cylindern vara parabolisk, elliptisk respektive hyperbolisk.

Cylindriska sektioner av en höger cirkulär cylinder

För en rät cirkulär cylinder finns det flera sätt på vilka plan kan möta en cylinder. Först, plan som skär en bas i högst en punkt. Ett plan är tangent till cylindern om det möter cylindern i ett enda element. De högra sektionerna är cirklar och alla andra plan skär den cylindriska ytan i en ellips . Om ett plan skär en bas av cylindern i exakt två punkter är linjesegmentet som förenar dessa punkter en del av den cylindriska sektionen. Om ett sådant plan innehåller två element har det en rektangel som en cylindrisk sektion, annars är sidorna av den cylindriska sektionen delar av en ellips. Slutligen, om ett plan innehåller mer än två punkter av en bas, innehåller det hela basen och den cylindriska sektionen är en cirkel.

I fallet med en rät cirkulär cylinder med en cylindrisk sektion som är en ellips, beror excentriciteten e för den cylindriska sektionen och den cylindriska sektionens halvhuvudaxel a på cylinderns r radie och vinkeln α mellan sekantplanet och cylinderaxel, på följande sätt:

$e=\cos \alpha ,$

$a={\frac {r}{\sin \alpha }}.$

Volym

Om basen av en cirkulär cylinder har en radie r och cylindern har höjden h , så är dess volym given av

V = π r ² h .

Denna formel gäller om cylindern är en rätt cylinder eller inte.

Denna formel kan fastställas genom att använda Cavalieris princip .

En solid elliptisk cylinder med halvaxlarna a och b för basellipsen och höjden h

Mer allmänt, enligt samma princip, är volymen av en cylinder produkten av arean av en bas och höjden. Till exempel har en elliptisk cylinder med en bas som har halvhuvudaxeln a , halvmollaxeln b och höjden h en volym V = Ah , där A är arean av basellipsen (= π ab ). Detta resultat för höger elliptiska cylindrar kan också erhållas genom integration, där cylinderaxeln tas som den positiva x -axeln och A ( x ) = A arean för varje elliptisk tvärsektion, alltså:

$V=\int _{0}^{h}A(x)dx=\int _{0}^{h}\pi abdx=\pi ab\int _{0}^{h}dx= \pi abh.$

Med hjälp av cylindriska koordinater kan volymen av en höger cirkulär cylinder beräknas genom integration över

$=\int _{0}^{h}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{r }s\,\,ds\,d\phi \,dz$

$=\pi \,r^{2}\,h.$

Ytarea

Med radie r och höjd (höjd) h består ytan av en rät cirkulär cylinder, orienterad så att dess axel är vertikal, av tre delar:

• arean av den övre basen: π r ²
• arean av den nedre basen: π r ²
• sidans yta: 2π rh

Arean av de övre och nedre baserna är densamma och kallas basarean , B . Området på sidan är känt som det laterala området , L.

En öppen cylinder innehåller varken topp- eller bottenelement och har därför ytarea (lateral area)

L = 2π rh .

Ytarean av den massiva högra cirkulära cylindern utgörs av summan av alla tre komponenterna: topp, botten och sida. Dess yta är därför

A = L + 2 B = 2π rh + 2π r ² = 2π r ( h + r ) = π d ( r + h ) ,

där d = 2 r är diametern på den cirkulära toppen eller botten.

För en given volym har den högra cirkulära cylindern med den minsta ytan h = 2 r . På motsvarande sätt, för en given yta, har den högra cirkulära cylindern med den största volymen h = 2 r , det vill säga cylindern passar tätt in i en kub med sidlängd = höjd ( = bascirkelns diameter).

Sidoarean, L , av en cirkulär cylinder, som inte behöver vara en högercylinder, ges mer generellt av:

L = e × p ,

där e är längden på ett element och p är omkretsen av en höger sektion av cylindern. Detta ger den föregående formeln för sidoarea när cylindern är en rät cirkulär cylinder.

Ihålig cylinder

Höger cirkulär ihålig cylinder (cylindriskt skal)

En rät cirkulär ihålig cylinder (eller cylindriskt skal ) är ett tredimensionellt område som begränsas av två räta cirkulära cylindrar med samma axel och två parallella ringformade baser vinkelräta mot cylindrarnas gemensamma axel, som i diagrammet.

Låt höjden vara h , inre radie r och yttre radie R . Volymen ges av

$V=\pi (R^{2}-r^{2})h=2\pi \left({\frac {R+r}{2}}\right)h(Rr).$ .

Således är volymen av ett cylindriskt skal lika med 2 π (medelradie) (höjd) (tjocklek).

Ytan, inklusive toppen och botten, ges av

$A=2\pi (R+r)h+2\pi (R^{2}-r^{2}).$ .

Cylindriska skal används i en vanlig integrationsteknik för att hitta rotationsvolymer.

På sfären och cylindern

En sfär har 2/3 av volymen och ytan av sin omgivande cylinder inklusive dess baser

Huvudartikel: Om sfären och cylindern

I avhandlingen med detta namn, skriven ca. 225 f.Kr., Arkimedes det resultat som han var mest stolt över, nämligen att få formlerna för volymen och ytarean av en sfär genom att utnyttja förhållandet mellan en sfär och dess omskrivna högra cirkulära cylinder med samma höjd och diameter . Sfären har en volym som är två tredjedelar av den omskrivna cylindern och en yta som är två tredjedelar av cylindern (inklusive baserna). Eftersom värdena för cylindern redan var kända, fick han för första gången motsvarande värden för sfären. Volymen av en π ) . r 3 ⁼ 2/3 ( sfär med 2 π r ³ r radien är 4/3 Ytarean på denna sfär är 4 π r ² = 2/3 ) . ( 6 π r ² En skulpterad sfär och cylinder placerades på Archimedes grav på hans begäran.

Cylindriska ytor

I vissa områden av geometri och topologi hänvisar termen cylinder till vad som har kallats en cylindrisk yta . En cylinder definieras som en yta som består av alla punkter på alla linjer som är parallella med en given linje och som går genom en fast plan kurva i ett plan som inte är parallellt med den givna linjen. Sådana cylindrar har ibland kallats generaliserade cylindrar . Genom varje punkt i en generaliserad cylinder passerar en unik linje som finns i cylindern. Sålunda kan denna definition omformuleras för att säga att en cylinder är vilken yta som helst som sträcks över av en enparameterfamilj av parallella linjer.

En cylinder med en höger sektion som är en ellips , parabel eller hyperbel kallas en elliptisk cylinder , parabolisk cylinder respektive hyperbolisk cylinder . Dessa är degenererade quadriska ytor .

Parabolcylinder

När huvudaxlarna för en kvadric är inriktade med referensramen (alltid möjligt för en kvadrisk), ges en generell ekvation för kvadriken i tre dimensioner av

$f(x,y,z)=Ax^{2} +Av^{2}+Cz^{2}+Dx+Ey+Gz+H=0,$

där koefficienterna är reella tal och inte alla av A , B och C är 0. Om åtminstone en variabel inte förekommer i ekvationen är kvadriken degenererad. Om en variabel saknas kan vi anta genom en lämplig rotation av axlar att variabeln z inte visas och den allmänna ekvationen för denna typ av degenererad kvadris kan skrivas som

$A\left(x+{\frac {D}{2A}}\right)^{2}+B\ vänster(y+{\frac {E}{2B}}\höger)^{2}=\rho ,$

var

$\rho =-H+{\frac {D^{2}}{4A}}+{\frac {E^{2}}{4B}}.$

Elliptisk cylinder

Om AB > 0 är detta ekvationen för en elliptisk cylinder . Ytterligare förenkling kan erhållas genom translation av axlar och skalär multiplikation. Om $\rho$ har samma tecken som koefficienterna A och B , så kan ekvationen för en elliptisk cylinder skrivas om i kartesiska koordinater som:

$\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b} }\right)^{2}=1.$

Denna ekvation för en elliptisk cylinder är en generalisering av ekvationen för den vanliga, cirkulära cylindern ( a = b ) . Elliptiska cylindrar är också kända som cylindroider , men det namnet är tvetydigt, eftersom det också kan hänvisa till Plücker-konoiden .

Om $\rho$ har ett annat tecken än koefficienterna får vi de imaginära elliptiska cylindrarna :

$\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b }}\right)^{2}=-1,$

som inte har några egentliga poänger på sig. ( $\rho =0$ ger en enda reell punkt.)

Hyperbolisk cylinder

Om A och B har olika tecken och $\rho \neq 0$ får vi hyperboliska cylindrar , vars ekvationer kan skrivas om som:

$\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}-\left({\frac {y}{b} }\right)^{2}=1.$

Parabolcylinder

Slutligen, om AB = 0 antar, utan förlust av generalitet , att B = 0 och A = 1 för att erhålla parabolcylindrarna med ekvationer som kan skrivas som:

${x}^{2}+2a{y}=0.$

I projektiv geometri är en cylinder helt enkelt en kon vars spets är i oändligheten, vilket motsvarar visuellt en cylinder i perspektiv som ser ut att vara en kon mot himlen.

Projektiv geometri

I projektiv geometri är en cylinder helt enkelt en kon vars spets (vertex) ligger på planet i oändligheten . Om könen är en kvadratisk kon, kan planet i oändligheten (som passerar genom vertexet) skära könen vid två reella linjer, en enda reell linje (faktiskt ett sammanfallande par av linjer), eller bara vid vinkeln. Dessa fall ger upphov till de hyperboliska, paraboliska respektive elliptiska cylindrarna.

Det här konceptet är användbart när man överväger degenererade koner , som kan inkludera de cylindriska konerna.

Prismor

Tycho Brahe Planetarium- byggnad, Köpenhamn, är ett exempel på en stympad cylinder

En solid cirkulär cylinder kan ses som begränsningsfallet för ett n -gonalt prisma där n närmar sig oändligheten . Kopplingen är mycket stark och många äldre texter behandlar prismor och cylindrar samtidigt. Formler för ytarea och volym härleds från motsvarande formler för prismor genom att använda inskrivna och omskrivna prismor och sedan låta antalet sidor av prismat öka utan bundna. En anledning till den tidiga betoningen (och ibland exklusiva behandlingen) på cirkulära cylindrar är att en cirkulär bas är den enda typen av geometrisk figur för vilken denna teknik fungerar med användning av endast elementära överväganden (ingen vädjan till kalkyl eller mer avancerad matematik). Terminologin om prismor och cylindrar är identisk. Således, till exempel, eftersom ett trunkerat prisma är ett prisma vars baser inte ligger i parallella plan, skulle en solid cylinder vars baser inte ligger i parallella plan kallas en trunkerad cylinder .

Ur en polyedrisk synvinkel kan en cylinder också ses som en dual av en bicone som en oändlig bipyramid .

Familj av enhetliga n -gonala prismor
Prisma namn	Digonal prisma	(Trigonal) Triangulärt prisma	(Tetragonal) Fyrkantigt prisma	Pentagonal prisma	Sexkantigt prisma	Heptagonalt prisma	Åttakantigt prisma	Enneagonalt prisma	Dekagonalt prisma	Hendekagonalt prisma	Dodekagonalt prisma	...	Apeirogonalt prisma
Polyeder bild												...
Sfärisk kakelbild												Plan kakel bild
Vertex konfiguration.	2.4.4	3.4.4	4.4.4	5.4.4	6.4.4	7.4.4	8.4.4	9.4.4	10.4.4	11.4.4	12.4.4	...	∞.4.4
Coxeter diagram												...

Se även

• Lista över former
• Steinmetz solid , skärningspunkten mellan två eller tre vinkelräta cylindrar

Anteckningar

•   Albert, Abraham Adrian (2016) [1949], Solid Analytic Geometry , Dover, ISBN 978-0-486-81026-3
•   Swokowski, Earl W. (1983), Calculus with Analytic Geometry (Alternativ utg.), Prindle, Weber & Schmidt, ISBN 0-87150-341-7
• Wentworth, George; Smith, David Eugene (1913), Plane and Solid Geometry , Ginn and Co.

externa länkar

• Weisstein, Eric W. "Cylinder" . MathWorld .
• Yta på en cylinder vid MATHguide
• Volym av en cylinder på MATHguide