Anslutningsformulär

Inom matematik , och specifikt differentialgeometri , är en kopplingsform ett sätt att organisera data för en förbindelse med hjälp av språket för rörliga ramar och differentialformer .

Historiskt sett introducerades kopplingsformer av Élie Cartan under första hälften av 1900-talet som en del av, och en av de främsta motiven för, hans metod att flytta ramar. Anslutningsformen beror i allmänhet på valet av en koordinatram och är alltså inte ett tensoriellt objekt. Olika generaliseringar och omtolkningar av kopplingsformen formulerades efter Cartans inledande arbete. Särskilt på ett huvudknippe är en huvudkoppling en naturlig omtolkning av kopplingsformen som ett tensoriellt objekt. Å andra sidan har kopplingsformen fördelen att den är en differentialform definierad på det differentierbara grenröret , snarare än på ett abstrakt huvudknippe över det. Därför, trots deras brist på tensoralitet, fortsätter anslutningsformer att användas på grund av den relativa lättheten att utföra beräkningar med dem. Inom fysiken används kopplingsformer också brett i samband med gauge teori , genom gauge covariant derivata .

En kopplingsform associerar till varje bas av ett vektorknippe en matris av differentialformer. Anslutningsformen är inte tensoriell eftersom kopplingsformen under en förändring av grunden transformeras på ett sätt som involverar den yttre derivatan av övergångsfunktionerna , ungefär på samma sätt som Christoffel-symbolerna för Levi-Civita-kopplingen . Den huvudsakliga tensoriala invarianten av en anslutningsform är dess krökningsform . I närvaro av en lödform som identifierar vektorbunten med tangentbunten , finns det ytterligare en invariant: torsionsformen . I många fall övervägs anslutningsformer på vektorbuntar med ytterligare struktur: den för en fiberbunt med en strukturgrupp .

Vektor buntar

Se även: Anslutning (vektorpaket)

Ramar på en vektorbunt

Huvudartikel: Rambunt

Låt E vara ett vektorknippe med fiberdimension k över ett differentierbart grenrör M . En lokal ram för E är en ordnad bas av lokala sektioner av E. Det är alltid möjligt att konstruera en lokal ram, eftersom vektorbuntar alltid definieras i termer av lokala trivialiseringar , i analogi med atlasen för ett grenrör. Det vill säga, givet vilken punkt x som ^helst på basgrenröret M , finns det en öppen grannskap U ⊂ M av x för vilken vektorknippet över U är isomorft med rymden U × Rk : detta är den lokala trivialiseringen. Vektorrumsstrukturen på R ^k kan därmed utökas till hela den lokala trivialiseringen, och en bas på R ^k kan också utökas; detta definierar den lokala ramen. (Här R avsedd att betyda de reella talen $\mathbb {R}$ , även om mycket av utvecklingen här kan utökas till moduler över ringar i allmänhet och till vektorrum över komplexa tal $\ mathbb {C}$ i synnerhet.)

Låt e = ( e _α ) _{α =1,2,..., k} vara en lokal ram på E . Denna ram kan användas för att lokalt uttrycka vilken sektion av E som helst . Anta till exempel att ξ är en lokal sektion, definierad över samma öppna uppsättning som ramen e . Sedan

$\xi =\summa _{\alpha =1}^{k}e_{\alpha }\xi ^{\alpha }(\mathbf {e } )$

där ξ ^α ( e ) anger komponenterna i ξ i ramen e . Som en matrisekvation lyder detta

$\xi ={\mathbf {e} }{\begin{bmatrix}\xi ^{ 1}(\mathbf {e} )\\\xi ^{2}(\mathbf {e} )\\\vdots \\\xi ^{k}(\mathbf {e} )\end{bmatrix}}= {\mathbf {e} }\,\xi (\mathbf {e} )$

I allmän relativitet kallas sådana ramfält för tetrads . Tetraden relaterar specifikt den lokala ramen till ett explicit koordinatsystem på basgrenröret M (koordinatsystemet på M etableras av atlasen).

Exteriör anslutningar

Huvudartikel: Exteriör kovariansderivat

En anslutning i E är en typ av differentialoperator

$D:\Gamma (E)\rightarrow \Gamma (E\otimes \Omega ^{1}M)$

där Γ betecknar bunten av lokala sektioner av ett vektorknippe, och Ω ¹ M är bunten av differentiella 1-former på M . För att D ska vara en anslutning måste den vara korrekt kopplad till den yttre derivatan . Specifikt, om v är en lokal sektion av E och f är en jämn funktion, då

$D(fv)=v\otimes (df)+fDv$

där df är den yttre derivatan av f .

Ibland är det lämpligt att utvidga definitionen av D till godtyckliga E -värderade former , och betrakta den således som en differentialoperator på tensorprodukten av E med den fullständiga yttre algebra av differentialformer. Givet en yttre anslutning D som uppfyller denna kompatibilitetsegenskap, finns det en unik förlängning av D :

$D:\Gamma (E\otimes \Omega ^{*}M)\högerpil \Gamma (E\otimes \Omega ^{ *}M)$

Så att

$D(v\wedge \alpha )=(Dv)\wedge \alpha +(-1)^{ {\text{deg}}\,v}v\wedge d\alpha$

där v är homogen av grad deg v . Med andra ord D en härledning på bunten av graderade moduler Γ( E ⊗ Ω ^* M ).

Anslutningsformulär

Anslutningsformen uppstår när den yttre anslutningen appliceras på en viss ram e . Vid applicering av den yttre anslutningen till e _α , är det den unika k × k matrisen ( ω _α ^β ) av enformer på M så att

$De_{\alpha }=\sum _{\beta =1}^{k}e_{\beta }\otimes \omega _{\alpha }^{\beta }.$

När det gäller anslutningsformen kan nu den yttre anslutningen av valfri sektion av E uttryckas. Anta till exempel att ξ = Σ _α e _α ξ ^α . Sedan

$D\xi =\summa _{\alpha =1}^{k}D(e_{\alpha }\xi ^{\alpha }(\mathbf {e} ))=\summa _{\alpha = 1}^{k}e_{\alpha }\otimes d\xi ^{\alpha }(\mathbf {e} )+\summa _{\alpha =1}^{k}\summa _{\beta =1 }^{k}e_{\beta }\otimes \omega _{\alpha }^{\beta }\xi ^{\alpha }(\mathbf {e} ).$

Ta komponenter på båda sidor,

$D\xi (\mathbf {e} )=d\xi (\mathbf {e} )+\omega \xi (\mathbf {e} )=(d+\omega )\xi (\mathbf {e} )$

där det är underförstått att d och ω hänvisar till den komponentmässiga derivatan med avseende på ramen e , och en matris av 1-former, respektive, som verkar på komponenterna av ξ . Omvänt är en matris av 1-former ω a priori tillräcklig för att fullständigt bestämma kopplingen lokalt på den öppna uppsättningen över vilken basen för sektionerna e definieras.

Byte av ram

För att utöka ω till ett lämpligt globalt objekt är det nödvändigt att undersöka hur det beter sig när ett annat val av grundläggande sektioner av E väljs. Skriv ω _α ^β = ω _α ^β ( e ) för att indikera beroendet av valet av e .

Antag att e ′ är ett annat val av lokal bas. Sedan finns det en inverterbar k × k matris av funktioner g sådan att

${\mathbf {e} }'={\mathbf {e} }\,g,\quad {\text{ie, }}\,e'_{\alpha }=\sum _{\beta } e_{\beta }g_{\alpha }^{\beta }.$

Att applicera den yttre anslutningen på båda sidor ger transformationslagen för ω :

$\omega (\mathbf {e} \,g)=g^{-1}dg+g^{-1}\omega (\mathbf {e})g.$

Observera särskilt att ω misslyckas med att transformera på ett tensoriellt sätt, eftersom regeln för övergång från en ram till en annan involverar derivatorna av övergångsmatrisen g .

Globala anslutningsformer

Om { U _p } är en öppen täckning av M och varje U _p är utrustad med en trivialisering e _p av E , så är det möjligt att definiera en global anslutningsform i termer av patchdata mellan de lokala anslutningsformerna på överlappningen regioner. I detalj är en kopplingsform på M ett system av matriser ω ( e _p ) av 1-former definierade på varje U _p som uppfyller följande kompatibilitetsvillkor

$\omega (\mathbf {e} _{q})=(\mathbf {e} _{p}^{-1}\mathbf {e} _{q})^{-1}d(\ mathbf {e} _{p}^{-1}\mathbf {e} _{q})+(\mathbf {e} _{p}^{-1}\mathbf {e} _{q})^ {-1}\omega (\mathbf {e} _{p})(\mathbf {e} _{p}^{-1}\mathbf {e} _{q}).$

Detta kompatibilitetsvillkor säkerställer i synnerhet att den yttre anslutningen av en sektion av E , när den betraktas abstrakt som en sektion av E ⊗ Ω ¹ M , inte beror på valet av grundsektion som används för att definiera förbindelsen.

Krökning

Huvudartikel: Krökningsform

Krökningen tvåform av en kopplingsform i E definieras av

$\Omega (\mathbf {e} )=d\omega (\mathbf {e} )+\omega (\mathbf {e} )\wedge \omega (\mathbf {e} ).$

Till skillnad från anslutningsformen uppträder krökningen tensorialt under ett byte av ram, vilket kan kontrolleras direkt med hjälp av Poincaré-lemmat . Specifikt, om e → e g är en förändring av ram, så transformeras krökningens tvåform av

$\Omega (\mathbf {e} \,g)=g^{-1}\Omega (\mathbf {e} )g.$

En tolkning av denna omvandlingslag är följande. Låt e ^* vara den dubbla basen som motsvarar ramen e . Sedan 2-formen

$\Omega ={\mathbf {e} }\Omega (\mathbf {e}){\mathbf {e} }^{*}$

är oberoende av valet av ram. I synnerhet är Ω en vektorvärderad tvåform på M med värden i endomorfismringen Hom( E , E ). Symboliskt,

$\Omega \in \Gamma (\Omega ^{2}M\otimes {\text{Hom}}(E,E)).$

När det gäller den yttre anslutningen D ges krökningsendomorfismen av

$\Omega (v)=D(Dv)=D^{2}v\,$

för v ∈ E . Således mäter krökningen sekvensens misslyckande

$\Gamma (E)\ {\ stackrel {D}{\to }}\ \Gamma (E\otimes \Omega ^{1}M)\ {\stackrel {D}{\to }}\ \Gamma (E\otimes \Omega ^{2}M )\ {\stackrel {D}{\to }}\ \dots \ {\stackrel {D}{\to }}\ \Gamma (E\otimes \Omega ^{n}(M))$

att vara ett kedjekomplex (i betydelsen de Rham-kohomologi ).

Lödning och torsion

Antag att fiberdimensionen k för E är lika med dimensionen för grenröret M . I det här fallet är vektorbunten E ibland utrustad med ytterligare en bit data förutom sin anslutning: en lödform . En lödform är en globalt definierad vektorvärderad enform θ ∈ Ω ¹ ( M , E ) så att mappningen

$\theta _{x}:T_{x}M\högerpil E_{x}$

är en linjär isomorfism för alla x ∈ M . Om en lödform ges, är det möjligt att definiera vridningen av anslutningen (i termer av den yttre anslutningen) som

$\Theta =D\theta .\,$

Torsionen Θ är en E -värderad 2-form på M .

En lödform och den tillhörande torsionen kan båda beskrivas i termer av en lokal ram e av E. Om θ är en lödform, sönderdelas den i ramkomponenterna

$\theta =\sum _{i}\theta ^{i}(\mathbf {e} )e_{i}.$

Komponenterna i torsionen är då

$\Theta ^{i}(\mathbf {e} )=d\theta ^{i}(\mathbf {e} )+\sum _{j}\omega _{j}^{i}(\ mathbf {e} )\wedge \theta ^{j}(\mathbf {e} ).$

Ungefär som krökningen kan det visas att Θ beter sig som en kontravariant tensor under en förändring i ram:

$\Theta ^{i}(\mathbf {e} \,g)=\sum _{j}g_{j}^{i}\Theta ^{j}(\mathbf {e} ).$

Den ramoberoende vridningen kan också återvinnas från ramkomponenterna:

$\Theta =\sum _{i}e_{i}\Theta ^{i}(\mathbf {e} ).$

Bianchi identiteter

Bianchi -identiteterna relaterar vridningen till krökningen. Den första Bianchi-identiteten säger det

$D\Theta =\Omega \wedge \theta$

medan den andra Bianchi-identiteten säger det

$\,D\Omega =0.$

Exempel: Levi-Civita-förbindelsen

Anta som ett exempel att M har en Riemannisk metrik . Om man har en vektorbunt E över M , då kan metriken utökas till hela vektorbunten, som buntmetriken . Man kan sedan definiera en anslutning som är kompatibel med detta paketmått, detta är den metriska anslutningen . För det speciella fallet att E är tangentbunten TM kallas den metriska anslutningen Riemannanslutningen . Givet en Riemannanslutning kan man alltid hitta en unik, likvärdig anslutning som är vridningsfri . Detta är Levi-Civita-anslutningen på tangentbunten TM av M.

En lokal ram på tangentbunten är en ordnad lista av vektorfält e = ( e _i | i = 1, 2, ..., n ) , där n = dim M , definierade på en öppen delmängd av M som är linjärt oberoende på varje punkt i deras domän. Christoffel -symbolerna definierar Levi-Civita-förbindelsen med

$\nabla _{e_{i}}e_{j}=\sum _{k=1}^{n}\Gamma _{ij}^{k}(\mathbf {e})e_{k} .$

Om θ = { θ ⁱ | i = 1, 2, ..., _n } , betecknar den dubbla basen för cotangensknippet , så att θi ( e _j ) = δi ^j (Kroneckerdeltat ⁾ , då är kopplingsformen

$\omega _{i}^{j}(\mathbf {e} )=\sum _{k}\Gamma ^{j}{}_{ki}(\mathbf {e} )\theta ^{ k}.$

När det gäller kopplingsformen ges den yttre kopplingen på ett vektorfält v = Σ _i e _i v ^{i av}

$Dv=\sum _{k}e_{k}\otimes (dv^{k})+\sum _{j,k}e_{k}\otimes \omega _{j}^{k}( \mathbf {e} )v^{j}.$

Man kan återvinna Levi-Civita-förbindelsen, i vanlig mening, från detta genom att ingå kontrakt med e _i :

$\nabla _{e_{i}}v= \langle Dv,e_{i}\rangle =\sum _{k}e_{k}\left(\nabla _{e_{i}}v^{k}+\sum _{j}\Gamma _{ij }^{k}(\mathbf {e} )v^{j}\right)$

Krökning

Krökningen 2-form av Levi-Civita-kopplingen är matrisen (Ω _i ^j ) som ges av

$\Omega _{i}{}^{j}(\mathbf {e} )=d\omega _{i}{}^{j}(\mathbf {e} )+\summa _{k} \omega _{k}{}^{j}(\mathbf {e} )\wedge \omega _{i}{}^{k}(\mathbf {e} ).$

För enkelhetens skull, anta att ramen e är holonomisk , så att dθ ⁱ = 0 . Sedan använder man nu summeringskonventionen för upprepade index,

${\begin{array}{ll}\Omega _{i}{}^{j}&=d(\Gamma ^{ j}{}_{qi}\theta ^{q})+(\Gamma ^{j}{}_{pk}\theta ^{p})\wedge (\Gamma ^{k}{}_{qi }\theta ^{q})\\&\\&=\theta ^{p}\wedge \theta ^{q}\left(\partial _{p}\Gamma ^{j}{}_{qi} +\Gamma ^{j}{}_{pk}\Gamma ^{k}{}_{qi})\right)\\&\\&={\tfrac {1}{2}}\theta ^{ p}\wedge \theta ^{q}R_{pqi}{}^{j}\end{array}}$

där R är Riemanns krökningstensor .

Torsion

Levi-Civita-kopplingen karakteriseras som den unika metriska anslutningen i tangentknippet med noll vridning. För att beskriva vridningen, notera att vektorknippet E är tangentknippet. Detta bär en kanonisk lödform (ibland kallad den kanoniska Hom( TM , TM ) = T ^∗ M ⊗ T M enformen , speciellt i samband med klassisk mekanik ) som är sektionen θ av som motsvarar identitetsendomorfismen för tangentutrymmena. I ramen e är lödformen {{{1}}} , där återigen θ ⁱ är den dubbla basen.

Förbindningens vridning ges av Θ = Dθ , eller i termer av ramkomponenterna i lödformen av

$\Theta ^{i}(\mathbf {e} )=d\theta ^{i}+\summa _{j}\omega _{j}^{i}(\mathbf {e} )\wedge \theta ^{j}.$

Om man återigen för enkelhetens skull antar att e är holonomiskt, reduceras detta uttryck till

$\Theta ^{i}=\Gamma ^{i}{}_{kj}\theta ^{k}\wedge \theta ^{j}$ ,

som försvinner om och endast om Γ ⁱ _kj är symmetrisk på sina lägre index.

Med tanke på en metrisk koppling med torsion kan en gång alltid hitta en enda, unik anslutning som är torsionsfri, detta är Levi-Civita-kopplingen. Skillnaden mellan en Riemannanslutning och dess associerade Levi-Civita-koppling är kontorsionstensorn .

Strukturera grupper

En mer specifik typ av kopplingsform kan konstrueras när vektorbunten E bär en strukturgrupp . Detta motsvarar en föredragen klass av ramar e på E , som är relaterade till en Lie-grupp G. Till exempel, i närvaro av ett mått i E , arbetar man med ramar som bildar en ortonormal bas vid varje punkt. Strukturgruppen är då den ortogonala gruppen , eftersom denna grupp bevarar ramarnas ortonormalitet. Andra exempel inkluderar:

• De vanliga ramarna, betraktade i föregående avsnitt, har strukturell grupp GL( k ) där k är fiberdimensionen för E.
• Den holomorfa tangentbunten av ett komplext grenrör (eller nästan komplext grenrör ). Här är strukturgruppen GL _n ( C ) ⊂ GL _2n ( R ). Om ett hermitiskt mått ges, reduceras strukturgruppen till den enhetliga gruppen som verkar på enhetliga ramar.
• Spinorer på ett grenrör utrustad med en spinnstruktur . Ramarna är enhetliga med avseende på en invariant inre produkt på spin-utrymmet, och gruppen reduceras till spin-gruppen .
• Holomorfa tangentbuntar på CR-grenrör .

I allmänhet, låt E vara ett ^givet vektorknippe med fiberdimension k och G ⊂ GL( k ) en given Lie-undergrupp av den allmänna linjära gruppen av Rk . Om ( e _α ) är en lokal ram av E , så kan en matrisvärderad funktion ( g _i ^j ): M → G agera på e _α för att producera en ny ram

$e_{\alpha }'=\sum _{\beta }e_{\beta }g_{\alpha }^{\beta }.$

Två sådana ramar är G -relaterade . Informellt har vektorknippet E strukturen av ett G -paket om en föredragen klass av ramar specificeras, vilka alla är lokalt G -relaterade till varandra. I formella termer ^är E ett fiberknippe med strukturgrupp G vars typiska fiber är Rk med den naturliga verkan av G som en undergrupp av GL( k ).

Kompatibla anslutningar

En anslutning är kompatibel med strukturen hos ett G -paket på E förutsatt att de associerade parallella transportkartorna alltid skickar en G -ram till en annan. Formellt, längs en kurva γ, måste följande gälla lokalt (det vill säga för tillräckligt små värden på t ):

$\Gamma (\gamma )_{0}^{t}e_{\alpha }(\gamma (0))=\summa _{\beta }e_{\beta }(\gamma (t))g_{\alpha }^{\beta }(t)$

för någon matris g _α ^β (som också kan bero på t ). Differentiering vid t =0 ger

$\nabla _{{\dot {\gamma }}(0)}e_{\alpha }=\sum _{ \beta }e_{\beta }\omega _{\alpha }^{\beta }({\dot {\gamma }}(0))$

där koefficienterna ω _α ^β finns i Lie-algebra g för Lie-gruppen G .

Med denna observation, kopplingsformen ω _α ^β definierad av

$De_{\alpha }=\sum _{\beta }e_{\beta }\otimega _{\alpha }^{\beta } (\mathbf {e} )$

är kompatibel med strukturen om matrisen av enformiga ω _α ^β ( e ) tar sina värden i g .

Krökningsformen för en kompatibel anslutning är dessutom en g -värderad tvåform.

Byte av ram

Under byte av ram

$e_{\alpha }'=\sum _{\beta }e_{\beta }g_{\alpha }^{\beta }$

där g är en G -värderad funktion definierad på en öppen delmängd av M , transformeras kopplingsformen via

$\omega _{\alpha }^{\beta }(\mathbf {e} \cdot g)=(g^{-1})_{\gamma }^{\beta }dg_{\alpha }^ {\gamma }+(g^{-1})_{\gamma }^{\beta }\omega _{\delta }^{\gamma }(\mathbf {e} )g_{\alpha }^{\ delta }.$

Eller, med hjälp av matrisprodukter:

$\omega ({\mathbf {e} }\cdot g)=g^{-1}dg+g^{-1}\omega g.$

För att tolka var och en av dessa termer, kom ihåg att g : M → G är en G -värderad (lokalt definierad) funktion. Med detta i åtanke,

$\omega ({\mathbf {e} }\cdot g)=g^{*}\omega _{\mathfrak { g}}+{\text{Ad}}_{g^{-1}}\omega (\mathbf {e} )$

där ω _g är Maurer-Cartan-formen för gruppen G , här tillbakadragen till M längs funktionen g , och Ad är den adjunkt representationen av G på dess Lie-algebra.

Huvudbuntar

Anslutningsformen, som hittills introducerats, beror på ett särskilt val av ram. I den första definitionen är ramen bara en lokal bas av sektioner. Till varje ram ges en kopplingsform med en transformationslag för övergång från en ram till en annan. I den andra definitionen bär själva ramarna en viss ytterligare struktur som tillhandahålls av en Lie-grupp, och ändringar av ram är begränsade till de som tar sina värden i den. Huvudbuntarnas språk, banbrytande av Charles Ehresmann på 1940-talet, tillhandahåller ett sätt att organisera dessa många kopplingsformer och transformationslagarna som förbinder dem till en enda inneboende form med en enda regel för transformation. Nackdelen med detta tillvägagångssätt är att formerna inte längre definieras på själva grenröret, utan snarare på en större huvudbunt.

Huvudkopplingen för en anslutningsblankett

Antag att E → M är ett vektorknippe med strukturgrupp G . Låt { U } vara ett öppet omslag till M , tillsammans med G -ramar på varje U , betecknat med e _U. Dessa är relaterade till skärningspunkterna mellan överlappande öppna uppsättningar av

${\mathbf {e} }_{V}={\mathbf {e} }_{U}\cdot h_{UV}$

för någon funktion med G -värde h _UV definierad på U ∩ V .

Låt F _G E vara uppsättningen av alla G -ramar som tagits över varje punkt i M . Detta är ett huvudsakligt G -paket över M . I detalj, genom att använda det faktum att G -ramarna alla är G -relaterade, kan _{FGE realiseras när} det gäller limningsdata bland uppsättningarna av det öppna locket:

$F_{G}E=\left.\coprod _{U}U\times G\right/\sim$

där ekvivalensrelationen $\sim$ definieras av

$((x,g_{U})\in U\times G)\sim ((x,g_{V})\in V\times G)\iff {\mathbf {e} }_{V} ={\mathbf {e} }_{U}\cdot h_{UV}{\text{ och }}g_{U}=h_{UV}^{-1}(x)g_{V}.$

På FGE _, definiera en huvudsaklig G- förbindelse enligt följande, genom att specificera en g -värderad enform på varje produkt U × G , som respekterar ekvivalensrelationen på överlappningsområdena. Första låt

$\pi _{1}:U\times G\to U,\quad \pi _{2}:U\times G\to G$

vara projektionskartorna. Nu, för en punkt ( x , g ) ∈ U × G , sätt

$\omega _{(x,g)}=Ad_{g^{-1}}\pi _{1}^{*}\omega (\mathbf {e} _{U})+\pi _ {2}^{*}\omega _{\mathbf {g} }.$

1-formen ω konstruerad på detta sätt respekterar övergångarna mellan överlappande mängder och går därför ner för att ge en globalt definierad 1-form på huvudbunten F _G E . Det kan visas att ω är en principiell koppling i den meningen att den reproducerar generatorerna av den rätta G -handlingen på FGE _och på ekvivariant sätt sammanflätar den rätta åtgärden på T(FGE) _med den adjoinerade representationen av G .

Anslutningsformer kopplade till en huvudförbindelse

Omvänt ger en huvudsaklig G -förbindelse ω i en huvudsaklig G -bunt P → M upphov till en samling kopplingsformer på M . Antag att e : M → P är en lokal del av P . Sedan definierar tillbakadragningen av ω längs e en g -värderad enform på M :

$\omega ({\mathbf {e} })={\mathbf {e} }^{*}\omega .$

Genom att ändra ramar med en G -värderad funktion g , ser man att ω( e ) transformerar på det sätt som krävs genom att använda Leibniz-regeln och adjunktionen:

$\langle X,({\mathbf {e} }\cdot g)^{*} \omega \rangle =\langle [d(\mathbf {e} \cdot g)](X),\omega \rangle$

där X är en vektor på M och d betecknar pushforward .

Se även

• Ehresmann-förbindelse
• Cartan anslutning
• Affin anslutning
• Krökningsform

Anteckningar

• Chern, S.-S., Topics in Differential Geometry , Institutet för avancerade studier, mimeograferade föreläsningsanteckningar, 1951.
• Chern SS; Moser, JK (1974), "Verkliga hyperytor i komplexa grenrör", Acta Math. , 133 : 219–271, doi : 10.1007/BF02392146
•   Griffiths, Phillip ; Harris, Joseph (1978), Principles of algebraic geometry , John Wiley and sons, ISBN 0-471-05059-8
•    Jost, Jürgen (2011), Riemannsk geometri och geometrisk analys (PDF) , Universitext (sjätte upplagan), Springer, Heidelberg, doi : 10.1007/978-3-642-21298-7 , ISBN 978-3-6942-21 0 , MR 2829653
•   Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996), Foundations of Differential Geometry, Vol. 1 (Ny upplaga), Wiley-Interscience, ISBN 0-471-15733-3
•   Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996), Foundations of Differential Geometry, Vol. 2 (Ny upplaga), Wiley-Interscience, ISBN 0-471-15732-5
•   Spivak, Michael (1999a), A Comprehensive Introduction to differential geometri (Volume 2) , Publish or Perish, ISBN 0-914098-71-3
•   Spivak, Michael (1999b), A Comprehensive Introduction to differential geometry (Volume 3) , Publish or Perish, ISBN 0-914098-72-1
•   Wells, RO (1973), Differentialanalys på komplexa grenrör , Springer-Verlag, ISBN 0-387-90419-0
• Wells, RO (1980), Differentialanalys på komplexa grenrör , Prentice–Hall