Volymform

I matematik är en volymform eller toppdimensionell form en differentiell form av grad lika med den differentierbara mångfaldsdimensionen . På ett grenrör $M$ av dimensionen $n$ är således en volymform en $n$ -form. Det är ett element i utrymmet för sektioner av linjebunten ${\displaystyle \textstyle {\bigwedge }^{n}(T^{*}M)} ,$ betecknad som $\Omega ^{n}(M)$ . En grenrör medger en ingenstans-försvinnande volymform om och bara om den är orienterbar. Ett orienterbart grenrör har oändligt många volymformer, eftersom multiplicering av en volymform med en funktion ger en annan volymform. På icke-orienterbara grenrör kan man istället definiera den svagare föreställningen om en densitet .

En volymform tillhandahåller ett sätt att definiera integralen av en funktion på ett differentierbart grenrör. Med andra ord ger en volymform upphov till ett mått med avseende på vilka funktioner som kan integreras av den lämpliga Lebesgue-integralen . Det absoluta värdet av en volymform är ett volymelement , som också är känt på olika sätt som en vriden volymform eller pseudovolymform . Den definierar också ett mått, men finns på vilket som helst differentierbart grenrör, orienterbart eller inte.

Kählers grenrör , som är komplexa grenrör , är naturligt orienterade och har därför en volymform. Mer allmänt är den ${\displaystyle n}:$ e yttre kraften av den symboliska formen på ett symboliskt grenrör en volymform. Många klasser av grenrör har kanoniska volymformer: de har extra struktur som tillåter valet av en föredragen volymform. Orienterade pseudo-riemannska grenrör har en associerad kanonisk volymform.

Orientering

Följande kommer bara att handla om orienterbarhet av differentierbara grenrör (det är ett mer allmänt begrepp som definieras på vilket topologiskt grenrör som helst).

En manifold är orienterbar om den har en koordinatatlas vars alla övergångsfunktioner har positiva jakobianska determinanter . Ett urval av en maximal sådan atlas är en orientering på $M.$ En volymform $\omega$ på $M$ ger upphov till en orientering på ett naturligt sätt som atlas över koordinatdiagram på $M$ som skickar ${\ displaystyle \omega }$ till en positiv multipel av den euklidiska volymen form $dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{n}.$

Ett volymformulär tillåter också specificering av en föredragen klass av ramar på $M.$ Kalla en bas av tangentvektorer $(X_{1},\ldots ,X_{n})$ högerhänt om

$$\omega \left(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}\right)>0.$$

Samlingen av alla högerhänta ramar påverkas av gruppen GL $\displaystyle \mathrm {GL} ^{+}(n)}$ allmänna linjära mappningar i $n$ dimensioner med positiva determinant. De bildar ett huvudsakligt $\mathrm {GL} ^{+}(n)$ underpaket av det linjära rampaketet av $M,$ och så orienteringen som är associerad med volymform ger en kanonisk reduktion av ramknippet av $M$ till ett underpaket med strukturgruppen $\mathrm {GL} ^{+}(n).$ Det vill säga att en volymform ger upphov till $\mathrm {GL} ^{+}(n)$ -struktur på $M.$ Mer reduktion är helt klart möjlig genom att överväga ramar som har

$\omega \left(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}\right)=1.$

 

 

 

 

()

En volymform ger alltså upphov till en $\mathrm {SL} (n)$ -struktur också. Omvänt, givet en $\mathrm {SL} (n)$ -struktur, kan man återställa en volymform genom att införa ( 1 ) för de speciella linjära ramarna och sedan lösa för den nödvändiga $n$ -form $\omega$ genom att kräva homogenitet i sina argument.

Ett grenrör är orienterbart om och endast om det har en volymform som inte försvinner någonstans. Faktum är $\mathrm {SL} (n)\to \mathrm {GL} ^{+}(n)$ är en deformationsretur eftersom ${\displaystyle \mathrm {GL} ^{+}=\mathrm {SL} \times \mathbb {R} ^{+},} där de positiva realerna är inbäddade$ som skalära matriser. Således är varje $\mathrm {GL} ^{+}(n)$ -struktur reducerbar till en $\mathrm {SL} (n)$ -struktur, och $\mathrm {GL} ^{+}(n)$ -strukturer sammanfaller med orienteringar på $M.$ Mer konkret är trivialitet av determinantbunten $\Omega ^{n}(M)$ ekvivalent med orienterbarhet, och en linjebunt är trivial om och bara om den har en ingenstans-försvinnande avsnitt. Således är förekomsten av en volymform ekvivalent med orienterbarhet.

Förhållande till åtgärder

Se även: Densitet på ett grenrör

Givet en volymform $\omega$ på ett orienterat grenrör, är densiteten $|\omega |$ är en volym -pseudoform på det icke-orienterade grenröret som erhålls genom att glömma orienteringen. Densiteter kan också definieras mer generellt på icke-orienterbara grenrör.

Varje volym-pseudoform $\omega$ (och därför även vilken volymform som helst) definierar ett mått på Borel-mängderna med

$$\mu _{\omega }(U)=\int _{U}\omega .$$

Skillnaden är att medan ett mått kan integreras över en (Borel) delmängd , kan en volymform bara integreras över en orienterad cell. I enkel variabelkalkyl skriver du ${\textstil \int _{b}^{a}f\,dx=-\int _{a}^{b}f \,dx}$ betraktar $dx$ som en volymform, inte bara ett mått, och ${\textstyle \int _{b}^{a}}$ indikerar "integrera över cellen $[a,b]$ med motsatt orientering, ibland betecknad ${\overline {[a,b]}}$ ".

Vidare behöver allmänna mått inte vara kontinuerliga eller jämna: de behöver inte definieras av en volymform, eller mer formellt, deras Radon-Nikodym-derivat med avseende på en given volymform behöver inte vara absolut kontinuerlig .

Divergens

Givet en volymform $\omega$ på $M,$ kan man definiera divergensen för ett vektorfält $X$ som den unika skalärvärde funktionen, betecknad med ${ \displaystyle \operatorname {div} X,}$ tillfredsställande

$$(\operatörsnamn {div} X)\omega =L_{X}\omega =d(X\mathbin {\!\lrcorner } \omega ),$$

där $L_{X}$ betecknar Lie-derivatan längs $X$ och $X\mathbin {\!\lrcorner } \omega$ betecknar den inre produkten eller den vänstra sammandragningen av $\omega$ längs $X.$ Om $X$ är ett vektorfält med kompakt stöd och $M$ är ett grenrör med gräns , så innebär Stokes sats

$$\int _{M}(\operatörsnamn {div} X)\omega =\int _{\partial M}X\mathbin {\! \lrcorner } \omega ,$$

som är en generalisering av divergenssatsen .

De solenoidala vektorfälten är de med $\operatorname {div} X=0.$ Det följer av definitionen av Lie-derivatan att volymformen bevaras under flödet av ett solenoidalt vektorfält. Således är solenoidala vektorfält just de som har volymbevarande flöden. Detta faktum är välkänt, till exempel inom fluidmekanik , där divergensen av ett hastighetsfält mäter en fluids kompressibilitet, vilket i sin tur representerar i vilken utsträckning volymen bevaras längs fluidens flöden.

Speciella fall

Lögngrupper

För vilken Lie-grupp som helst kan en naturlig volymform definieras genom translation. Det vill säga, om $\omega _{e}$ är ett element av ${\textstyle \bigwedge }^{n}T_{e}^{*}G,$ då kan en vänsterinvariant form definieras av $\omega _{g}=L_{g^{-1}}^{*}\omega _{e },$ där $L_{g}$ är vänsteröversättning. Som en följd av detta är varje Lie-grupp orienterbar. Denna volymform är unik upp till en skalär, och motsvarande mått är känt som Haarmåttet .

Symplektiska grenrör

Varje symplektisk grenrör (eller faktiskt vilket nästan symplektiskt grenrör som helst ) har en naturlig volymform. Om $M$ är ett $2n$ -dimensionellt grenrör med symbolisk form $\omega ,$ så är $\omega ^{n}$ ingenstans noll som en konsekvens av den symboliska formens icke-degeneration . Som en följd av detta är varje symplektiskt grenrör orienterbart (i själva verket orienterat). Om grenröret är både symplektiskt och riemannskt, så överensstämmer de två volymformerna om grenröret är Kähler .

Riemannsk volymform

Varje orienterad pseudo-Riemann (inklusive Riemann ) grenrör har en naturlig volymform. I lokala koordinater kan det uttryckas som

$$\omega ={\sqrt {|g|}}dx^{1}\wedge \dots \wedge dx^{n}$$

där $dx^{i}$ är 1-former som bildar en positivt orienterad bas för grenrörets cotangensknippe . Här, $|g|$ är det absoluta värdet av determinanten för matrisrepresentationen av den metriska tensorn på grenröret.

Volymformen betecknas olika med

$$\omega =\mathrm {vol} _{n}=\varepsilon ={\star }(1).$$

Här är ${\star }$ Hodge-stjärnan , alltså den sista formen, ${\star }(1),$ understryker att volymformen är Hodge-dualen av konstant karta på grenröret, vilket är lika med Levi-Civita- tensorn $\varepsilon .$

Även om den grekiska bokstaven $\omega$ ofta används för att beteckna volymformen, är denna notation inte universell; symbolen $\omega$ har ofta många andra betydelser i differentialgeometri (som en symbolisk form).

Invarianter av en volymform

Volymformer är inte unika; de bildar en torsor över icke-försvinnande funktioner på grenröret, enligt följande. Givet en icke-försvinnande funktion $f$ på $M,$ och en volymform $\omega ,$$f\omega$ en volymform på $M.$ Omvänt, givet två volymformer $\omega ,\omega ',$ är deras förhållande en icke-försvinnande funktion (positiv om de definierar samma orientering, negativa om de definierar motsatt orienteringar).

I koordinater är de båda helt enkelt en funktion som inte är noll gånger Lebesgue-måttet , och deras förhållande är förhållandet mellan funktionerna, vilket är oberoende av valet av koordinater. I sig är det Radon–Nikodym-derivatan av $\omega '$ med avseende på $\omega .$ På ett orienterat grenrör kan proportionaliteten av två volymformer ses som en geometrisk form av Radon–Nikodyms sats .

Ingen lokal struktur

En volymform på ett grenrör har ingen lokal struktur i den meningen att det inte är möjligt på små öppna uppsättningar att skilja mellan den givna volymformen och volymformen på det euklidiska rummet (Kobayashi 1972 ) . Det vill säga, för varje punkt $p$ i $M,$ finns det en öppen grannskap $U$ av $p$ och en diffeomorfism $\varphi$ av $U$ på en öppen uppsättning i $\mathbb {R} ^{n}$ så att volymformen på $U$ är tillbakadragningen av $dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{n}$ längs $\varphi .$

Som en följd av detta, om $M$ och $N$ är två grenrör, var och en med volymformerna $\omega _{M},\omega _{N},$ sedan för alla punkter $m\in M,n\in N,$ finns det öppna kvarter $U$ av $m$ och $V$ av $n$ och en karta $f:U\to V$ så att volymformen på $N$ begränsad till grannskapet $V$ drar tillbaka till volymform på $M$ begränsad till grannskapet $U$ : $f^{*}\omega _{N}\vert _{V}=\omega _{M}\vert _{U}.$

I en dimension kan man bevisa det så här: givet en volymform $\omega$ på $\mathbb {R} ,$ definiera

$$f(x):=\int _{0}^{x}\omega .$$

Sedan drar standardmåttet för Lebesgue $dx$ tillbaka till $\omega$ under $f$ : $\omega =f^{*}dx.$ Konkret, $\omega =f'\,dx.$ I högre dimensioner, givet valfri punkt $m\in M,$ har den en stadsdel lokalt homeomorf till $\mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n-1},$ och man kan tillämpa samma procedur.

Global struktur: volym

En volymform på ett anslutet grenrör $M$ har en enda global invariant, nämligen den (totala) volymen, betecknad $\mu (M),$ som är invariant under volymformsbevarande Kartor; detta kan vara oändligt, såsom för Lebesgue mått på $\mathbb {R} ^{n}.$ På ett frånkopplat grenrör är volymen för varje ansluten komponent invarianten.

I symboler, om $f:M\to N$ är en homeomorfism av grenrör som drar tillbaka $\omega _{N}$ till $\omega _{ M},$ sedan

$$\mu (N)=\int _{N}\ omega _{N}=\int _{f(M)}\omega _{N}=\int _{M}f^{*}\omega _{N}=\int _{M}\omega _{ M}=\mu (M)\,$$

och grenrören har samma volym.

Volymformer kan också dras tillbaka under täckande kartor , i vilket fall de multiplicerar volymen med fiberns kardinalitet (formellt genom integration längs fibern). I fallet med ett oändligt arkformat hölje (som $\mathbb {R} \to S^{1}$ ), dras en volymform på ett grenrör med ändlig volym tillbaka till en volymform på en oändlig volymgrenrör.

Se även

• Cylindriskt koordinatsystem § Linje- och volymelement
• Mått (matematik) – Generalisering av massa, längd, area och volym
• Poincaré metrisk ger en genomgång av volymformen på det komplexa planet
• Sfäriskt koordinatsystem § Integration och differentiering i sfäriska koordinater

•    Kobayashi, S. (1972), Transformation Groups in Differential Geometry , Classics in Mathematics, Springer, ISBN 3-540-58659-8 , OCLC 31374337 .
•   Spivak, Michael (1965), Calculus on Manifolds , Reading, Massachusetts: WA Benjamin, Inc., ISBN 0-8053-9021-9 .