Affin bunt

Inom matematiken är en affin bunt en fiberbunt vars typiska fiber, fibrer, trivialiseringsmorfismer och övergångsfunktioner är affina.

Formell definition

Låt ${\overline {\pi }}:{\overline {Y}}\to X$ vara en vektorbunt med en typisk fiber ett vektorrum ${\overline {F}}$ . En affin bunt modellerad på en vektorbunt ${\overline {\pi }}:{\overline {Y}}\to X$ är en fiberbunt $\pi :Y\to X$ vars typiska fiber $F$ är ett affint utrymme modellerat på ${\overline {F}}$ så att följande villkor gäller:

(i) Varje fiber $Y_{x}$ i $Y$ är ett affint utrymme modellerat över motsvarande fibrer ${\overline {Y}}_{x}$ av en vektorbunt ${\overline {Y}}$ .

(ii) Det finns en affin buntsatlas av $Y\to X$ vars lokala trivialiseringar, morfismer och övergångsfunktioner är affina isomorfismer .

När det gäller affina buntar, använder man endast affina paketkoordinater $(x^{\mu },y^{i})$ som har affina övergångsfunktioner

$y'^{i}=A_{j}^{i}(x^{\nu})y^{j}+b^{i}(x^{\nu}).$

Det finns buntmorfismer

$Y\times _{X}{\overline {Y}}\longrightarrow Y,\qquad (y^ {i},{\overline {y}}^{i})\longmapsto y^{i}+{\overline {y}}^{i},$

$Y\times _{X}Y\longrightarrow {\overline {Y}},\qquad (y^{i},y'^{i})\longmapsto y^{i}-y'^{i},$

där $({\overline {y}}^{i})$ är linjära buntkoordinater på en vektorbunt ${\overline {Y}}$ , som har linjära övergångsfunktioner ${\overline {y}}'^{i}=A_{j}^{i}(x^{\nu }){\overline { y}}^{j}$ .

Egenskaper

En affin bunt har en global sektion , men i motsats till vektorbuntar finns det ingen kanonisk global sektion av en affin bunt. Låt $\pi :Y\to X$ vara en affin bunt modellerad på en vektorbunt ${\overline {\pi }}:{\overline {Y }}\till X$ . Varje global sektion $s$ av en affin bunt $Y\to X$ ger buntens morfismer

$Y\ni y\to ys(\pi (y))\in {\overline {Y}},\qquad {\overline {Y}}\ni {\overline {y}}\to s(\ pi (y))+{\overline {y}}\in Y.$

I synnerhet har varje vektorbunt $Y$ en naturlig struktur av en affin bunt på grund av dessa morfismer där $s=0$ är den kanoniska nollvärde delen av $Y$ . Till exempel tangentbunten $TX$ i ett grenrör $X$ naturligtvis en affin bunt.

En affin bunt $Y\to X$ är en fiberbunt med en allmän affin strukturgrupp $GA(m,\mathbb {R} )$ av affina transformationer av dess typisk fiber $V$ med dimensionen $m$ . Denna strukturgrupp kan alltid reduceras till en allmän linjär grupp ${\displaystyle GL(m,\mathbb {R} )} , dvs$ affin bunt tillåter en atlas med linjära övergångsfunktioner.

Med en morfism av affina buntar menas en buntmorfism $\Phi :Y\to Y'$ vars begränsning till varje fiber i $Y$ är en affin karta. Varje affin buntmorfism $\Phi :Y\to Y'$ av en affin bunt $Y$ modellerad på en vektorbunt ${\overline {Y}}$ till en affin bunt $Y'$ modellerad på en vektorbunt ${\overline {Y}}'$ ger en unik linjär buntmorfism

${\overline {\Phi }}:{\overline {Y}}\to {\overline { Y}}',\qquad {\overline {y}}'^{i}={\frac {\partial \Phi ^{i}}{\partial y^{j}}}{\overline {y}} ^{j},$

kallas den linjära derivatan av $\Phi$ .

Se även

• Fiberbunt
• Fibrerat grenrör
• Vektor bunt
• Affint utrymme

Anteckningar

•   S. Kobayashi, K. Nomizu, Foundations of Differential Geometry , vol. 1 & 2, Wiley-Interscience, 1996, ISBN 0-471-15733-3 .
• Kolář, Ivan; Michor, Peter; Slovák, Jan (1993), Naturliga operatorer i differentialgeometri (PDF) , Springer-Verlag, arkiverad från originalet (PDF) 2017-03-30 , hämtad 2013-05-28
•   Sardanashvily, G. , Advanced Differential Geometry for Theoreticians. Fiberbuntar, jetgrenrör och lagrangisk teori , Lambert Academic Publishing, 2013, ISBN 978-3-659-37815-7 ; arXiv : 0908.1886 .
•   Saunders, DJ (1989), The geometry of jet bundles , Cambridge University Press, ISBN 0-521-36948-7