Cirkel bunt

Inom matematiken är en cirkelbunt en fiberbunt där fibern är cirkeln $S^{1}$ .

Orienterade cirkelbuntar är också kända som huvudsakliga U (1)-buntar . Inom fysiken är cirkelbuntar den naturliga geometriska miljön för elektromagnetism . En cirkelbunt är ett specialfall av en sfärbunt .

Som 3-grenrör

Cirkelbuntar över ytor är ett viktigt exempel på 3-grenrör . En mer allmän klass av 3-grenrör är Seifert-fiberutrymmen , som kan ses som en sorts "singulär" cirkelbunt, eller som en cirkelbunt över en tvådimensionell orbifold .

Förhållande till elektrodynamik

Maxwell- ekvationerna motsvarar ett elektromagnetiskt fält som representeras av en 2-form F , där $\pi ^{\!*}F$ är kohomolog till noll, dvs exakt . I synnerhet finns det alltid en 1-form A , den elektromagnetiska fyrpotentialen , (motsvarande den affina anslutningen ) så att

\pi ^{*}F=dA.

Givet en cirkelbunt P över M och dess projektion

\pi :P\to M

man har homomorfismen

\pi ^{*}:H^{2}(M,\mathbb {Z} )\till H^{2}( P,\mathbb {Z} )

där $\pi ^{*}$ är pullback . Varje homomorfism motsvarar en Dirac-monopol ; heltalskohomologigrupperna motsvarar kvantiseringen av den elektriska laddningen . Aharonov -Bohm-effekten kan förstås som holonomi för anslutningen på det tillhörande linjeknippet som beskriver elektronvågsfunktionen. I huvudsak är Aharonov-Bohm-effekten inte en kvantmekanisk effekt (i motsats till vad många tror), eftersom ingen kvantisering är inblandad eller krävs i konstruktionen av fiberbuntarna eller anslutningarna.

Exempel

Hopf -fibrationen är ett exempel på en icke-trivial cirkelbunt.
Enhetstangensknippet för en yta är ett annat exempel på en cirkelbunt.
Enhetstangensbunten för en icke-orienterbar yta är en cirkelbunt som inte är en huvudsaklig ${\displaystyle U(1)}-$ bunt. Endast orienterbara ytor har huvudenhetstangentknippen.
En annan metod för att konstruera cirkelbuntar är att använda en komplex linjebunt $L\to X$ och ta den associerade sfären (cirkel i detta fall) bunt. Eftersom denna bunt har en orientering inducerad från $L$ har vi att det är ett principiellt $U(1)$ -paket. Dessutom överensstämmer de karakteristiska klasserna från Chern-Weil-teorin för $U(1)$ -bunten med de karakteristiska klasserna för $L$ .
Betrakta till exempel analysen $X$ en komplex plankurva ${\text{Proj}}\left({\ frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{x^{n}+y^{n}+z^{n}}}\höger)$ . Eftersom $H^{2}(X)=\mathbb {Z} =H^{2}(\mathbb {CP} ^{2})$ och de karakteristiska klasserna drar sig tillbaka icke-trivialt, har vi att linjebunten som är associerad med kärven ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X} (a)={\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{2}}(a)\ibland har {\mathcal {O}}_{X}} Chern$ klass $c_{1}=a\in H^{2}(X)$ .

Klassificering

Isomorfismklasserna för huvudsakliga $U(1)$ -buntar över ett grenrör M är i en-till-en-överensstämmelse med homotopiklasserna för kartor $M\to BU(1)$ , där $BU(1)$ kallas klassificeringsutrymmet för U(1) . Observera att $BU(1)=\mathbb {C} P^{\infty }$ är det oändligt dimensionella komplexa projektiva rummet och att det är ett exempel på Eilenberg– Maclane space $K(\mathbb {Z} ,2).$ Sådana buntar klassificeras av ett element i den andra integrerade kohomologigruppen $H^{2}(M,\mathbb {Z } )$ av M , sedan

[M,BU(1)]\equiv [M,\mathbb {C} P^{\infty } ]\equiv H^{2}(M)

.

Denna isomorfism förverkligas av Euler-klassen ; på motsvarande sätt är det den första Chern-klassen av en jämn komplex linjebunt (i huvudsak eftersom en cirkel är homotopiskt ekvivalent med ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}} ,$ det komplexa planet med origo borttaget; och så en komplex linjebunt med nollsektionen borttagen är homotopiskt ekvivalent med en cirkelbunt.)

En cirkelbunt är en huvudsaklig ${\displaystyle U(1)}-$ bunt om och endast om den associerade kartan $M\to B\mathbb {Z} _{2}$ är null -homotopisk, vilket är sant om och endast om bunten är fibermässigt orienterbar. Sålunda, för det mer allmänna fallet, där cirkelknippet över M kanske inte är orienterbart, är isomorfismklasserna i en-till-en-överensstämmelse med homotopiklasserna för kartor $M\to BO_{2 }$ . Detta följer av utvidgningen av grupper, $SO_{2}\to O_{2}\to \mathbb {Z} _{2}$ , där $SO_{2}\equiv U(1)$ .

Deligne-komplex

Ovanstående klassificering gäller endast cirkelbuntar i allmänhet; motsvarande klassificering för släta cirkelbuntar, eller, säg, cirkelbuntarna med en affin koppling kräver en mer komplex kohomologiteori. Resultaten inkluderar att de släta cirkelbuntarna klassificeras enligt den andra Deligne-kohomologin $H_{D}^{2}(M,\mathbb {Z} )$ ; cirkelbuntar med en affin anslutning klassificeras av $H_{D}^{2}(M,\mathbb {Z} (2))$ medan $H_{D}^{3}(M,\mathbb {Z} )$ klassificerar radbuntsgerbes .

Se även

Wang-sekvens

Chern, Shiing-shen (1977), "Circle bundles", Lecture Notes in Mathematics , vol. 597/1977, Springer Berlin/Heidelberg, s. 114–131, doi : 10.1007/BFb0085351 , ISBN 978-3-540-08345-0 .