Differentiell struktur

I matematik gör en n - dimensionell differentialstruktur (eller differentierbar struktur ) på en mängd M M till ett n -dimensionellt differentialgrenrör , vilket är ett topologiskt grenrör med någon ytterligare struktur som tillåter differentialkalkyl på grenröret. Om M redan är ett topologiskt grenrör, krävs det att den nya topologin är identisk med den befintliga.

Definition

För ett naturligt tal n och något k som kan vara ett icke-negativt heltal eller oändlighet, definieras en n -dimensionell C ^k differentialstruktur med en C ^k - atlas , som är en uppsättning bijektioner som kallas diagram mellan en samling delmängder av M (vars förening är hela M ), och en uppsättning öppna delmängder av $\mathbb {R} ^{n}$ :

\varphi _{i}:M\supset W_{i}\rightarrow U_{i}\subset \mathbb {R} ^{n}

som är Ck ^- kompatibla (i den betydelse som definieras nedan):

Varje sådan karta tillhandahåller ett sätt på vilket vissa delmängder av grenröret kan ses som öppna delmängder av $\mathbb {R} ^{n}$ men användbarheten av detta begrepp beror på i vilken utsträckning dessa begrepp överens när domänerna för två sådana kartor överlappar varandra.

Tänk på två diagram:

\varphi _{i}:W_{i}\rightarrow U_{i},

\varphi _{j}:W_{j}\rightarrow U_{j}.

Skärningspunkten mellan domänerna för dessa två funktioner är

W_{ij}=W_{i}\cap W_{j}

och dess karta genom de två kartorna mappar till de två bilderna:

U_{ij}=\varphi _{i}\left(W_{ij}\right),

U_{ji}=\varphi _{j}\left(W_{ij}\right).

Övergångskartan mellan de två sjökorten är kartan mellan de två bilderna av denna korsning under de två sjökortskartorna.

\varphi _{ij}:U_{ij}\högerpil U_{ji}

\varphi _{ij}(x)=\varphi _{j}\left(\varphi _{i}^{-1}\left(x\right)\right).

Två diagram $\varphi _{i},\,\varphi _{j}$ är C ^k -kompatibla om

U_{ij},\,U_{ji}

är öppna och övergångskartorna

\varphi _{ij},\,\varphi _{ji}

⁰⁰⁰ ha kontinuerliga partiella derivator av ordningen k . Om k = 0 kräver vi bara att övergångskartorna är kontinuerliga, följaktligen är en C -atlas helt enkelt ett annat sätt att definiera en topologisk mångfald. Om k = ∞ måste derivator av alla order vara kontinuerliga. En familj av C ^k -kompatibla diagram som täcker hela grenröret är en C ^k -atlas som definierar ett C ^k differentialgrenrör. Två atlaser är C ^k -ekvivalenta om föreningen av deras uppsättningar diagram bildar en C ^k -atlas. Speciellt sägs en Ck ^- atlas som är C -kompatibel med en C -atlas som definierar ett topologiskt grenrör bestämma en C ^k -differentialstruktur på det topologiska grenröret. C ^k- ekvivalensklasserna för sådana atlaser är de distinkta C ^k- differentialstrukturerna för grenröret . Varje distinkt differentialstruktur bestäms av en unik maximal atlas, som helt enkelt är föreningen av alla atlaser i ekvivalensklassen.

För att förenkla språket, utan någon förlust av precision, kan man bara kalla en maximal C ^k −atlas på en given mängd för en C ^k −manifold. Denna maximala atlas bestämmer sedan unikt både topologin och den underliggande mängden, den senare är föreningen av domänerna för alla diagram, och den förra har uppsättningen av alla dessa domäner som bas.

Existens- och unikhetssatser

För vilket heltal k > 0 som helst och vilket n −dimensionellt C ^k −grenrör som helst, innehåller den maximala atlasen en C ^∞ −atlas på samma underliggande mängd av en sats som beror på Hassler Whitney . Det har också visat sig att varje maximal C ^k −atlas innehåller ett visst antal distinkta maximala C ^∞ −atlaser närhelst n > 0, även om det för vilket par av dessa distinkta C ^∞ −atlaser som helst finns en C ^∞ −diffeomorfism som identifierar de två. Det följer att ^{det bara finns en klass av släta} strukturer ⁽ modulo parvis jämn diffeomorfism) över varje topologiskt grenrör som tillåter en differentierbar struktur , dvs. Lite löst kan man uttrycka detta genom att säga att den släta strukturen är (i huvudsak) unik. Fallet för k = 0 är annorlunda. Det finns nämligen topologiska grenrör som inte tillåter någon C ¹ −struktur, ett resultat som bevisats av Kervaire (1960), och senare förklarat i samband med Donaldsons teorem (jämför Hilberts femte problem ).

Släta strukturer på ett orienterbart grenrör räknas vanligtvis modulo-orienteringsbevarande släta homeomorphisms . Då uppstår frågan om orienteringsvändande diffeomorfismer existerar. Det finns en "väsentligen unik" slät struktur för alla topologiska grenrör med dimensioner mindre än 4. För kompakta grenrör med dimensioner större än 4 finns det ett ändligt antal "släta typer", dvs ekvivalensklasser av parvis jämnt diffeomorfa släta strukturer. I fallet med R ⁿ med n ≠ 4 är antalet av dessa typer ett, medan det för n = 4 finns oräkneligt många sådana typer. Man hänvisar till dessa med exotiska R ⁴ .

Differentiella strukturer på sfärer med dimension 1 till 20

Följande tabell listar antalet släta typer av den topologiska m −sfären S ^m för värdena för dimensionen m från 1 upp till 20. Sfärer med en slät, dvs C ^∞ −differentialstruktur som inte är jämnt diffeomorfa till den vanliga är kända. som exotiska sfärer .

Dimensionera	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
Släta typer	1	1	1	≥1	1	1	28	2	8	6	992	1	3	2	16256	2	16	16	523264	24

Det är för närvarande inte känt hur många släta typer den topologiska 4-sfären S ⁴ har, förutom att det finns minst en. Det kan finnas ett, ett ändligt tal eller ett oändligt tal. Påståendet att det bara finns en är känt som den smidiga Poincaré-förmodan (se Generaliserad Poincaré-förmodan ) . De flesta matematiker tror att denna gissning är falsk, dvs att S ⁴ har mer än en slät typ. Problemet är kopplat till förekomsten av mer än en jämn typ av den topologiska 4-skivan (eller 4-kulan).

Differentiella strukturer på topologiska grenrör

Som nämnts ovan, i dimensioner mindre än 4, finns det bara en differentialstruktur för varje topologisk grenrör. Detta bevisades av Tibor Radó för dimension 1 och 2 , och av Edwin E. Moise i dimension 3. Genom att använda obstruktionsteori kunde Robion Kirby och Laurent C. Siebenmann visa att antalet PL-strukturer för kompakta topologiska grenrör av dimension större än 4 är ändligt. John Milnor , Michel Kervaire och Morris Hirsch bevisade att antalet släta strukturer på ett kompakt PL-grenrör är ändligt och överensstämmer med antalet differentialstrukturer på sfären för samma dimension (se boken Asselmeyer-Maluga, Brans kapitel 7) . Genom att kombinera dessa resultat är antalet släta strukturer på ett kompakt topologiskt grenrör med dimension som inte är lika med 4 ändligt.

Dimension 4 är mer komplicerad. För kompakta grenrör beror resultaten på grenrörets komplexitet mätt med det andra Betti-talet b ₂ . För stora Betti-tal b ₂ > 18 i ett enkelt anslutet 4-grenrör kan man använda en operation längs en knut eller länk för att producera en ny differentialstruktur. Med hjälp av denna procedur kan man producera oräkneligt oändligt många differentialstrukturer. Men även för enkla utrymmen som $S^{4},{\mathbb {C} }P^{2},...$ man känner inte till konstruktionen av andra differentialstrukturer. För icke-kompakta 4-grenrör finns det många exempel som ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{4},S^{3}\times {\mathbb {R} },M^{4}\smallsetminus \{*\},...} med oräkneligt$ många differentiella strukturer.

Se även