Syntoniskt kommatecken

Syntoniskt kommatecken (81:80) på C

Helmholtz-Ellis notation

Precis perfekt femte på D Den perfekta femman ovanför D (A+) är ett syntoniskt kommatecken högre än (A ♮ ) som är en bara major sjätte över C, förutsatt att C och D är 9/8 från varandra.

3-gräns 9:8 durton

5-gräns 10:9 mollton

Inom musikteorin är det syntoniska kommatecknet , även känt som den kromatiska diesis , det didymiska kommat , det ptolemaiska kommat eller det diatoniska kommatecknet ett litet intervall av kommatyp mellan två musiknoter , lika med frekvensförhållandet 81:80 (= 1,0125) (cirka 21,51 cent ). Två toner som skiljer sig åt med detta intervall skulle låta olika från varandra även för otränade öron, men skulle vara tillräckligt nära för att de skulle tolkas mer sannolikt som ostämda versioner av samma ton än som olika toner. Kommat hänvisas också till som ett Didymeiskt kommatecken eftersom det är det belopp med vilket Didymus korrigerade den Pythagoras stora terts (81:64, cirka 407,82 cent) till en bara större terts (5:4, cirka 386,31 cent).

Ordet "komma" kom via latin från grekiska κόμμα, från tidigare *κοπ-μα = "en sak avskuren".

Relationer

Primfaktorerna för det justa intervallet 81/80, känt som det syntoniska kommatecken, kan separeras ut och rekonstitueras till olika sekvenser av två eller flera intervall som kommer till kommatecken, såsom 81/1 * 1/80 eller (fullständigt expanderad och sorterad efter primtal) 1/2 * 1/2 * 1/2 * 1/2 * 3/1 * 3/1 * 3/1 * 3/1 * 1/5. Alla sekvenser är matematiskt giltiga, men några av de mer musikaliska sekvenserna människor använder för att komma ihåg och förklara kommatets sammansättning, förekomst och användning listas nedan:

Skillnaden i storlek mellan en Pythagoras diton ( frekvensförhållande 81:64, eller cirka 407,82 cent ) och en bara stor tredjedel (5:4, eller cirka 386,31 cent). Nämligen 81:64 ÷ 5:4 = 81:80.
Skillnaden mellan fyra rättstämda perfekta kvintar och två oktaver plus en rättstämd durterts . En precis perfekt femma har en storlek på 3:2 (cirka 701,96 cent), och fyra av dem är lika med 81:16 (cirka 2807,82 cent). En bara större tredjedel har en storlek på 5:4 (cirka 386,31 cent), och en av dem plus två oktaver (4:1 eller exakt 2400 cent) är lika med 5:1 (cirka 2786,31 cent). Skillnaden mellan dessa är det syntoniska kommatecken. Nämligen 81:16 ÷ 5:1 = 81:80.
Skillnaden mellan en oktav plus en rättvist stämd moll-terts (12:5, cirka 1515,64 cent), och tre rättstämda perfekta fjärdedelar (64:27, cirka 1494,13 cent). Nämligen 12:5 ÷ 64:27 = 81:80.
Skillnaden mellan de två typerna av dursekund som förekommer i 5-limit-stämning : durton (9:8, cirka 203,91 cent) och mollton (10:9, cirka 182,40 cent). Nämligen 9:8 ÷ 10:9 = 81:80.
Skillnaden mellan en Pythagoras dur sexta (27:16, cirka 905,87 cent) och en rättvist stämd eller "ren" dur sexa (5:3, cirka 884,36 cent). Nämligen 27:16 ÷ 5:3 = 81:80.

På ett pianoklaviatur (vanligtvis stämt med 12-tons lika temperament ) är en stack på fyra femtedelar (700 * 4 = 2800 cent) exakt lika med två oktaver (1200 * 2 = 2400 cent) plus en stor terts (400 cent). Med andra ord, från ett C, kommer båda kombinationerna av intervaller att hamna på E. Att använda rättvisa oktaver (2:1), kvintdelar (3:2) och tredjedelar (5:4) ger dock två lite olika anteckningar. Förhållandet mellan deras frekvenser, som förklarats ovan, är ett syntoniskt kommatecken (81:80). Pythagoras stämning använder också rättvist inställda kvintar (3:2), men använder det relativt komplexa förhållandet 81:64 för stora tertsar. Quarter-comma meantone använder rättvist inställda durtertsar (5:4), men plattar ut var och en av kvintarna med en fjärdedel av ett syntoniskt kommatecken, i förhållande till deras justa storlek (3:2). Andra system använder andra kompromisser. Detta är en av anledningarna till att 12-tons lika temperament för närvarande är det föredragna systemet för att stämma de flesta musikinstrument [ ^{förtydligande behövs ]} .

Matematiskt, enligt Størmers teorem , är 81:80 det närmaste superpartikulära förhållandet som är möjligt med reguljära tal som täljare och nämnare. Ett superpartikulärt förhållande är ett vars täljare är 1 större än dess nämnare, såsom 5:4, och ett regelbundet tal är ett vars primtalsfaktorer är begränsade till 2, 3 och 5. Så även om mindre intervall kan beskrivas inom 5- begränsa justeringar, kan de inte beskrivas som superpartikulära förhållanden.

Syntoniskt kommatecken i musikens historia

Syntoniskt kommatecken (felmatchningen överst)

är uthärdad i 12TET (nederst)

Syntoniskt kommatecken, som mellan 9/8 (203,91 ungefärliga cent) och 10/9 (182,40 ungefärliga cent) dur- och molltoner (överst), dämpas ut i 12TET, vilket lämnar en 200-centston (nederst).

Det syntoniska kommatecken har en avgörande roll i musikhistorien. Det är den mängd med vilken några av tonerna som producerats i Pythagoras stämning tillplattades eller vässades för att producera bara små och stora tertsar. I Pythagoras stämning var de enda högkonsonanta intervallen den perfekta femman och dess inversion, den perfekta fjärden . Pythagoras dur terts (81:64) och moll terts (32:27) var dissonanta , och detta hindrade musiker från att använda treklanger och ackord , vilket tvingade dem i århundraden att skriva musik med relativt enkel textur .

Den syntoniska tempereringen dateras till Didymus the Musician , vars stämning av det diatoniska släktet i tetrachordet ersatte ett 9:8-intervall med ett 10:9-intervall ( mindre ton ), och erhöll en bara dur terts (5:4) och halvton (16: 15). Detta reviderades senare av Ptolemaios (byte av de två tonerna) i hans "syntoniska diatoniska" skala (συντονόν διατονικός, syntonón diatonikós , från συδτονόοινντοτονς + τονος). Termen syntonón var baserad på Aristoxenus och kan översättas som "spänd" (vanligtvis "intensiv"), hänvisande till åtdragna strängar (därav skarpare), i motsats till μαλακόν ( malakón , från μαλακός), översatt som "avslappnad" "mjuka"), hänvisar till lösare strängar (därav plattare eller "mjukare").

Detta återupptäcktes under senmedeltiden , där musiker insåg att genom att lätt dämpa tonhöjden på vissa toner, kunde de pythagorasiska tertsarna göras konsonanta . Till exempel, om frekvensen för E minskas med ett syntoniskt kommatecken (81:80), blir CE (en stor tredjedel) och EG (en liten tredjedel) rättvisa. CE är nämligen inskränkt till ett rättvist intonerat förhållande på

{81 \over 64}\cdot {80 \over 81}={{1\cdot 5} \over {4\cdot 1}}= {5 \över 4}

och samtidigt EG breddas till det justa förhållandet av

{32 \over 27}\cdot {81 \over 80}={{2\cdot 3} \over {1\cdot 5}}= {6 \över 5}

Nackdelen är att kvintorna AE och EB, genom att platta ut E, blir nästan lika dissonanta som den pythagorasiska vargens femtedel . Men den femte CG förblir konsonant, eftersom endast E har plattats ut (CE * EG = 5/4 * 6/5 = 3/2), och kan användas tillsammans med CE för att producera en C-dur triad (CEG). Dessa experiment ledde så småningom till skapandet av ett nytt stämningssystem , känt som kvartskomma meantone , där antalet stora tredjedelar maximerades, och de flesta mindre tredjedelar stämdes till ett förhållande som var mycket nära det bara 6:5. Detta resultat erhölls genom att minska varje femtedel med en fjärdedel av ett syntoniskt kommatecken, ett belopp som ansågs försumbart, och tillät full utveckling av musik med komplex textur , såsom polyfonisk musik , eller melodi med instrumentellt ackompanjemang . Sedan dess har andra stämningssystem utvecklats, och det syntoniska kommatecken användes som referensvärde för att temperera de perfekta femmorna i en hel familj av dem. Nämligen i familjen som tillhör det syntoniska temperamentskontinuumet , inklusive medeltonstemperament .

Kommapump

Giovanni Benedettis exempel från 1563 på en komma "pump" eller drift av ett komma under en progression.

Spela ( hjälp · info ) Gemensamma toner mellan ackord är samma tonhöjd, med de andra tonerna stämma i rena intervaller till de vanliga tonerna.

Spela första och sista ackord ( hjälp · info )

Det syntoniska kommatecken uppstår i kommapumpssekvenser ( kommadrift ) såsom CGDAEC, när varje intervall från en ton till nästa spelas med vissa specifika intervall i enbart intonationsstämning . Om vi använder frekvensförhållandet 3/2 för de perfekta kvintarna (CG och DA), 3/4 för de fallande perfekta fjärdedelarna (GD och AE) och 4/5 för den fallande större tredjedelen (EC), då sekvensen av intervall från en ton till nästa i den sekvensen går 3/2, 3/4, 3/2, 3/4, 4/5. Dessa multipliceras tillsammans för att ge

{3 \over 2}\cdot {3 \over 4}\cdot {3 \over 2}\cdot {3 \over 4} \cdot {4 \over 5}={81 \over 80}

som är det syntoniska kommatecken (musikaliska intervaller staplade på detta sätt multipliceras tillsammans). "Driften" skapas av kombinationen av pythagoras och 5-gränsintervall i just intonation, och skulle inte inträffa i pytagoreisk stämning på grund av användningen av endast den pythagoras durterts (64/81) som alltså skulle returnera det sista steget av sekvensen till den ursprungliga tonhöjden.

Så i den sekvensen är det andra C:et skarpare än det första C:et med ett syntoniskt kommatecken Play ( hjälp · info ) . Den sekvensen, eller någon transponering av den, är känd som kommapumpen. Om en musikrad följer den sekvensen, och om vart och ett av intervallen mellan intilliggande toner är rättvisa, så stiger styckets tonhöjd med ett syntoniskt kommatecken varje gång sekvensen följs (cirka en femtedel av en halvton).

Studiet av kommapumpen går tillbaka åtminstone till 1500-talet när den italienska vetenskapsmannen Giovanni Battista Benedetti komponerade ett musikstycke för att illustrera syntonisk kommadrift.

Observera att en fallande perfekt fjärdedel (3/4) är detsamma som en fallande oktav (1/2) följt av en stigande perfekt kvint (3/2). Nämligen (3/4)=(1/2)*(3/2). På samma sätt är en fallande dur terts (4/5) detsamma som en fallande oktav (1/2) följt av en stigande moll sjätte (8/5). Nämligen (4/5)=(1/2)*(8/5). Därför är den ovan nämnda sekvensen ekvivalent med:

{3 \over 2}\cdot {1 \over 2}\cdot {3 \over 2}\cdot {3 }\cdot {3 \over 2}\cdot {1 \over 2}\cdot {3 \over 2}\cdot {1 \over 2}\cdot {8 \over 5}={81 \over 80}

eller, genom att gruppera ihop liknande intervall,

{3 \over 2}\cdot {3 \over 2}\cdot {3 \over 2}\cdot {3 }\cdot {3 \over 2}\cdot {8 \over 5}\cdot {1 \over 2}\cdot {1 \over 2}\cdot {1 \over 2}={81 \over 80}

Detta innebär att, om alla intervaller är rätt inställda, kan ett syntoniskt kommatecken erhållas med en stack på fyra perfekta femtedelar plus en mindre sjättedel, följt av tre fallande oktaver (med andra ord fyra P5 plus en m6 minus tre P8 ) .

Notation

Bara durakord på C i Ben Johnstons notation.

Spela ( hjälp · info ) Pythagoras durakord på C i Helmholtz-Ellis notation.

Spela ( hjälp · info )

Pythagoras durakord, Ben Johnstons notation.

Bara durakord, i Helmholtz-Ellis notation.

Moritz Hauptmann utvecklade en notationsmetod som användes av Hermann von Helmholtz . Baserat på Pythagoras stämning läggs sedan nedsänkta nummer till för att indikera antalet syntoniska kommatecken att sänka en ton med. Således är en pytagoreisk skala CDEFGAB, medan en rättvis skala är CDE ₁ FGA ₁ B ₁ . Carl Eitz utvecklade ett liknande system som användes av J. Murray Barbour . Upphöjda positiva och negativa tal läggs till, vilket indikerar antalet syntoniska kommatecken som ska höjas eller sänkas från Pythagoras stämning. Således är en pytagoreisk skala CDEFGAB, medan den 5-gräns Ptolemaiska skalan är CDE ⁻¹ FGA ⁻¹ B ⁻¹ .

I Helmholtz-Ellis notation indikeras ett syntoniskt kommatecken med upp- och nedpilar som läggs till de traditionella tillfälligheter. Således är en pytagoreisk skala CDEFGAB, medan den 5-gräns Ptolemaiska skalan är CDE FGA B .

Kompositören Ben Johnston använder ett "−" som en tillfällighet för att indikera att en ton sänks med ett syntoniskt kommatecken, eller ett "+" för att indikera att en ton höjs med ett syntoniskt kommatecken. Således är en pytagoreisk skala CD E+ FG A+ B+, medan den 5-gräns Ptolemaiska skalan är CDEFGA B.

	5-gräns bara	Pythagoras
HAN	CDE FGA B	CDEFGAB
Johnston	CDEFGAB	CD E+ FG A+ B+

Se även

externa länkar