Vargintervall

Wolf fifth på C   Play

Pythagoras varg femma som elva bara perfekta femtedelar

Inom musikteorin är vargens femte (ibland också kallad Procrustean femte eller imperfekt femte ) ett särskilt dissonant musikaliskt intervall som spänner över sju halvtoner . Rent strikt hänvisar termen till ett intervall som produceras av ett specifikt stämningssystem , flitigt använt under 1500- och 1600-talen: temperamentet med kvartskomma-medelton . Mer allmänt används det också för att hänvisa till liknande intervall (av nära, men varierande storlek) som produceras av andra stämningssystem, inklusive Pythagoras och de flesta medeltonstemperament .

När de tolv tonerna inom oktaven på en kromatisk skala stäms med hjälp av temperamentsystemets medeltonssystem med kvartskomma, visar sig ett av de tolv intervallen som spänner över sju halvtoner (klassad som en förminskad sjätte ) vara mycket bredare än de andra ( klassificeras som perfekta femtedelar ). I medeltonsystem är detta intervall vanligtvis från C ♯ till A ♭ eller från G ♯ till E ♭ men kan flyttas i båda riktningarna för att gynna vissa grupper av tangenter. De elva perfekta kvintarna låter nästan perfekt konsonant. Omvänt är den förminskade sexan allvarligt dissonant och verkar yla som en varg, på grund av ett fenomen som kallas misshandel . Eftersom den förminskade sexan är avsedd att vara enharmoniskt likvärdig med en perfekt femma, har detta anomala intervall kommit att kallas för vargfemte.

Förutom den ovan nämnda kvartskommans medelton, kan andra stämningssystem producera kraftigt dissonanta förminskade sexdelar. Omvänt, i 12-tons lika temperament , som för närvarande är det mest använda stämningssystemet, är den förminskade sexan inte en vargkvint, eftersom den har exakt samma storlek som en perfekt kvint.

I förlängningen kan varje intervall som uppfattas som kraftigt dissonant och kan betraktas som ylande som en varg kallas ett vargintervall . Till exempel, i kvartskomma-medelton, kan den förstärkta andra , förstärkta trean , förstärkta femte , förminskad fjärde och förminskade sjunde betraktas som vargintervall, eftersom deras storlek avviker avsevärt från storleken på motsvarande rättvist inställda intervall (se Storlek på kvartskomma mellantonsintervall ).

Temperament och vargen

I 12-tonsskalor måste medelvärdet av de tolv kvintarna vara lika med 700 cents av lika temperament . Om elva av dem har ett värde på 700 − ε cent, som i kvartskomma-medelton och de flesta andra medeltonstemperamentsystem , kommer den andra femtedelen (mer korrekt kallad en förminskad sjättedel) att vara lika med 700 + 11 ε cent. Värdet på ε ändras beroende på avstämningssystemet. I andra stämningssystem (som pytagoreisk stämning och tolfte-komma-medelton) kan elva femtedelar ha en storlek på 700 + ε cent, så den förminskade sjättedelen är 700 − 11 ε cent. Om 11 ε är mycket stort, som i kvartskomma-medeltonsavstämningssystemet, betraktas den förminskade sjättan som en vargkvemte.

När det gäller frekvensförhållanden måste produkten av kvintorna vara 128, och om f är storleken på en femtedel, kommer 128: f 11 ^eller f 11 ^: 128 att vara vargens storlek.

Vi hittar också varierande stämningar för treorna. Större tredjedelar måste i genomsnitt vara 400 cent, och för varje par av tredjedelar av storleken 400 ∓ 4 ε cent har vi en tredjedel (eller minskad fjärdedel) på 400 ± 8 ε cent, vilket leder till åtta tredjedelar 4 ε cent smalare eller bredare, och fyra minskade fjärdedelar 8 ε cent bredare eller smalare än genomsnittet. Tre av dessa förminskade fjärdedelar bildar durtriader med perfekta kvintdelar, men en av dem bildar en durtriad med den förminskade sjätten. Om den förminskade sjättan är ett vargintervall kallas denna triad för vargmajortriaden .

På liknande sätt får vi nio mindre tredjedelar av 300 ± 3 ε cent och tre mindre tredjedelar (eller förstärkta sekunder) av 300 ∓ 9 ε cent.

Kvartskomma betyder ton

I kvartskomma-medelton är femman i storlek ⁴ √ 5 , cirka 3,42157 cent (eller exakt en tolftedel av en diesis ) plattare än 700 cent, och så vargen är cirka 737,637 cent, eller 35,682 cent vassare än en perfekt fis . storlek exakt 3:2, och detta är den ursprungliga ylande vargfemtan.

De platta moll-tredjorna är bara cirka 2,335 cent skarpare än en subminor-tredje av storleken 7:6, och de skarpa major-tredjorna, med storleken exakt 32:25, är cirka 7,712 cent plattare än supermajor- tredjedelen på 9:7. Meantone stämningar med något plattare kvint ger ännu närmare approximationer till submoll och supermajor terts och motsvarande treklanger. Dessa tredjedelar förtjänar därför knappast benämningen varg, och har faktiskt historiskt sett inte fått det namnet.

Vargens femtedel av kvarts-komma-medelton kan approximeras med 7-limit just-intervallet 49:32, som har en storlek på 737,652 cent.

Pythagoras stämning

I pythagoreansk stämning finns det elva rättvist inställda femtedelar skarpare än 700 cent med cirka 1,955 cent (eller exakt en tolftedel av ett pythagoras kommatecken ), och därför kommer en femtedel att vara plattare med tolv gånger så mycket, vilket är 23,460 cent. plattare än bara en femma. En femtedel av denna lägenhet kan också betraktas som ylande som en varg. Det finns nu också åtta skarpa och fyra platta major-tertsar.

Fem-limit tuning

Fem-limit tuning utformades för att maximera antalet rena intervall, men även i detta system är flera intervall markant orena. 5-limit tuning ger ett mycket större antal vargintervall med avseende på Pythagoras tuning , som kan betraktas som en 3-limit just intonationsstämning. Medan Pythagoras stämning endast bestämmer 2 vargintervall (en femte och en fjärde), producerar de 5-gräns symmetriska skalorna 12 av dem, och den asymmetriska skalan 14. Det är också viktigt att notera att de två femtedelar, tre mindre tredjedelar, och tre stora sjättedelar markerade med orange i tabellerna (kvot 40:27, 32:27 och 27:16 (eller G−, E ♭ − och A+), även om de inte helt uppfyller villkoren för att vara vargintervall , avviker från motsvarande rena förhållande med ett belopp (1 syntoniskt kommatecken , dvs. 81:80, eller cirka 21,5 cent) som är tillräckligt stor för att tydligt uppfattas som dissonant .

Fem-limit-inställning bestämmer en förminskad sjättedel av storleken 1024:675 (cirka 722 cent, dvs. 20 cent skarpare än 3:2 Pythagoras perfekta femtedel). Huruvida detta intervall ska anses dissonant nog för att kallas en vargfemte är en kontroversiell fråga.

Fem-limit-inställning skapar också två orena perfekta femtedelar av storlek 40:27 (cirka 680 cent; mindre ren än den 3:2 Pythagoras perfekta femtedel). Dessa är inte förminskade sjättedelar, men i förhållande till Pythagoras perfekta femtedel är de mindre konsonanta (cirka 20 cent plattare) och därför kan de anses vara vargfemtedelar. Motsvarande inversion är en oren perfekt fjärdedel i storleken 27:20 (cirka 520 cent). Till exempel, i C-dur diatonisk skala , uppstår en oren perfekt kvint mellan D och A, och dess inversion uppstår mellan A och D.

Eftersom termen perfekt betyder, i detta sammanhang, perfekt konsonant, kallas den orena perfekta fjärden och perfekta femman ibland helt enkelt imperfekt fjärde och femte. Men den allmänt antagna standardnamnkonventionen för musikaliska intervaller klassificerar dem som perfekta intervall, tillsammans med oktav och unison . Detta gäller även för alla perfekta fjärdedelar eller perfekta kvintor som något avviker från de perfekt konsonanta 4:3- eller 3:2-förhållandena (till exempel de som är inställda med 12-tons lika eller kvartskomma-medeltonstemperament ). Omvänt kommer uttrycken imperfekt fjärde och imperfekt femte inte i konflikt med standardnamnkonventionen när de hänvisar till en dissonant förstärkt trea eller förminskad sexa (t.ex. vargfjärde och femma i Pythagoras stämning).

"Tämja vargen"

Wolf intervaller är en konsekvens av att kartlägga ett tvådimensionellt temperament till ett endimensionellt tangentbord. Den enda lösningen är att få antalet dimensioner att matcha. Det vill säga antingen:

• Behåll det (endimensionella) pianoklaviaturen och växla till ett endimensionellt temperament (t.ex. lika temperament ), eller
• Behåll det tvådimensionella temperamentet och byt till ett tvådimensionellt tangentbord.

Behåll pianoklaviaturen

När den perfekta femman är tempererad till att vara exakt 700 cent bred (det vill säga härdad med ungefär 1 ⁄ 11 av ett syntoniskt kommatecken, eller exakt 1 ⁄ 12 av ett pythagoreiskt kommatecken) så är stämningen identisk med det välbekanta 12-tons lika temperamentet .

På grund av de kompromisser (och vargintervaller) som tvingades fram på medeltonsstämningar av det endimensionella klaviaturen i pianostil, blev brunnstemperament och så småningom lika temperament mer populärt.

En femtedel av storleken Mozart gynnade, vid eller nära 55-lika femtedel av 698,182 cent, kommer att ha en varg på 720 cent, 18,045 cent skarpare än en rättvist inställd femma. Detta ylar mycket mindre akut, men ändå väldigt märkbart.

Vargen kan tämjas genom att anta lika temperament eller ett brunnstemperament . Den mycket orädda kanske helt enkelt vill behandla det som ett xenharmoniskt musikintervall ; beroende på storleken på medeltonens femte kan den göras till exakt 20:13 eller 17:11, eller mindre vanligt till 32:21 eller 49:32.

Med ett mer extremt medeltonstemperament, som 19 lika temperament , är vargen stor nog att den är närmare en sjätte än en kvint, och låter som ett helt annat intervall snarare än en felstämd kvint.

Behåll det tvådimensionella avstämningssystemet

Figur 1: Wicki isomorfa tangentbord, uppfann av Kaspar Wicki 1896.

Figur 2: Det syntoniska temperamentets avstämningskontinuum.

För att använda ett tvådimensionellt temperament utan vargintervall behöver man ett tvådimensionellt tangentbord som är " isomorft " med det temperamentet. Ett tangentbord och temperament är isomorfa om de genereras med samma intervall. Till exempel genereras Wicki-klaviaturen som visas i figur 1 av samma musikaliska intervall som det syntoniska temperamentet - det vill säga av oktaven och den tempererade perfekta kvinten - så de är isomorfa.

På ett isomorft klaviatur har varje givet musikintervall samma form varhelst det förekommer – i valfri oktav, tangent och stämning – utom vid kanterna. Till exempel, på Wickis tangentbord, från en given ton, är tonen som är en tempererad perfekt kvint högre alltid uppåt och höger bredvid den givna tonen. Det finns inga vargintervall inom notintervallet på detta tangentbord. Det enda problemet är vid kanten, på tonen E ♯ . Tonen som är en tempererad perfekt kvint högre än E ♯ är B ♯ , som inte ingår på tangentbordet som visas (även om det kan inkluderas i ett större tangentbord, placerat precis till höger om A ♯ , och därmed bibehålla tangentbordets konsekventa ton -mönster). Eftersom det inte finns någon B ♯- knapp, när man spelar ett E ♯- effektackord måste man välja någon annan ton som är nära B ♯ , såsom C, att spela istället för den saknade B ♯ . Det vill säga, intervallet från E ♯ till C skulle vara ett "vargintervall" på det här tangentbordet. I 19-TET skulle intervallet från E ♯ till C ♭ vara (enharmoniskt till) en perfekt femma.

Sådana kantförhållanden producerar dock vargintervall endast om det isomorfa klaviaturen har färre knappar per oktav än stämningen har enharmoniskt distinkta toner. Till exempel har det isomorfa klaviaturen i figur 2 19 knappar per oktav, så det ovannämnda kantvillkoret, från E ♯ till C, är inte ett vargintervall i 12-TET , 17-TET eller 19-TET ; dock är det ett vargintervall i 26-TET, 31-TET och 53-TET . I dessa senare stämningar skulle användning av elektronisk transponering kunna hålla den aktuella tonartens toner centrerade på det isomorfa klaviaturen, i vilket fall dessa vargintervall mycket sällan skulle påträffas i tonal musik, trots modulering till exotiska tonarter.

Ett klaviatur som är isomorft med det syntoniska temperamentet, såsom Wickis klaviatur ovan, behåller sin isomorfism i alla stämningar inom stämningskontinuumet för det syntoniska temperamentet, även när stämningen ändras dynamiskt bland sådana stämningar. Figur 2 visar det giltiga avstämningsområdet för det syntoniska temperamentet.

Lyssna på det

Lyssna på de två femtelarna här: