Lista över enhetliga polyedrar av Wythoff symbol

Polyeder
Klass	Antal och egenskaper
Platonska fasta ämnen	( 5 , konvex, vanlig)
Arkimedeiska fasta ämnen	( 13 , konvex, uniform)
Kepler–Poinsot polyedrar	( 4 , regelbunden, icke-konvex)
Uniforma polyedrar	( 75 , uniform)
Prismatoid : prismor , antiprismor etc.	( 4 oändliga uniformsklasser)
Polyedra kakel	( 11 vanliga , i planet)
Kvasi-regelbundna polyedrar	( 8 )
Johnson fasta ämnen	( 92 , konvex, olikformig)
Pyramider och bipyramider	( oändlig )
Stellationer	Stellationer
Polyedriska föreningar	( 5 vanliga )
Deltahedra	( Deltaedrar , liksidiga triangelytor)
Snub polyedra	( 12 uniformer , inte spegelvänd)
Zonohedron	( Zonohedra , ansikten har 180° symmetri)
Dubbel polyeder
Självdubbel polyeder	( oändlig )
Katalansk solid	( 13 , arkimedeisk dual)

Det finns många relationer mellan de enhetliga polyedrarna .

Här är de grupperade efter Wythoff-symbolen .

Nyckel

Bildnamn Bowers husdjursnamn V Antal hörn,E Antal kanter , F Antal ansikten=Ansiktskonfiguration ? =Euler-egenskap, grupp=Symmetrigrupp Wythoff-symbol – Vertexfigur W – Wenningernummer, U – Uniformnummer, K- Kaleidonummer, C -Coxeternummer alternativt namn andra alternativnamn

Regelbunden

Alla ytor är identiska, varje kant är identisk och varje vertex är identisk. De har alla en Wythoff-symbol av formen p|q 2.

Konvex

De platonska soliderna.

Tetraeder Tet V4,E6,F4=4{3} χ =2, grupp= Td ( , A3 , [3,3], *332) 3 | 2 3 | 2 2 2 - 3.3.3 W1, U01, K06, C15

Octahedron Oct V 6,E 12,F 8=8{3} χ =2, group= O h , BC 3 , [4,3], (*432) 4 | 2 3 - 3.3.3.3 W2, U05, K10, C17

Hexaederkub V 8,E 12,F 6=6{4} χ =2, grupp= O h , B 3 , [4,3], (*432) 3 | 2 4 - 4.4.4 W3, U06, K11, C18

Icosahedron Ike V 12,E 30,F 20=20{3} χ =2, grupp= I h , H 3 , [5,3], (*532) 5 | 2 3 - 3.3.3.3.3 W4, U22, K27, C25

Dodecahedron Doe V 20,E 30,F 12=12{5} χ =2, grupp= I h , H 3 , [5,3], (*532) 3 | 2 5 - 5,5,5 W5, U23, K28, C26

Icke-konvex

Kepler-Poinsot fasta ämnen.

Stor ikosaeder Gike V 12,E 30,F 20=20{3} χ =2, grupp= I h , H 3 , [5,3], (*532) 5 ⁄ 2 | 2 3 - (3 5 )/2 W41, U53, K58, C69

Stor dodekaeder Gad V 12,E 30,F 12=12{5} χ =-6, grupp= I h , H 3 , [5,3], (*532) 5 ⁄ 2 | 2 5 - (5 5 )/2 W21, U35, K40, C44

Liten stjärnformad dodekaeder Sissid V 12,E 30,F 12=12 5 χ =-6, grupp= I h , H 3 , [5,3], (*532) 5 | 2 5 ⁄ 2 - ( 5 ⁄ 2 ) 5 W20, U34, K39, C43

Stor stjärnformad dodekaeder Gissid V 20,E 30,F 12=12 { 5 ⁄ 2 } χ =2, group= I h , H 3 , [5,3], (*532) 3 | 2 5 ⁄ 2 - ( 5 ⁄ 2 ) 3 W22, U52, K57, C68

Kvasiregelbundet

Varje kant är identisk och varje vertex är identisk. Det finns två typer av ansikten som visas på ett alternerande sätt runt varje vertex. Den första raden är halvregelbunden med 4 ytor runt varje vertex. De har Wythoff-symbolen 2|p q. Den andra raden är dirigonal med 6 ytor runt varje vertex. De har Wythoff-symbolen 3|pq eller ³ / ₂ |p q.

Cuboctahedron Co V 12,E 24,F 14=8{3}+6{4} χ =2, grupp= O h , B 3 , [4,3], (*432), ordning 48 T d , [3 ,3], (*332), ordning 24 2 | 3 4 3 3 | 2 - 3.4.3.4 W11, U07, K12, C19	Icosidodecahedron Id V 30,E 60,F 32=20{3}+12{5} χ =2, group= I h , H 3 , [5,3], (*532), order 120 2 | 3 5 - 3.5.3.5 W12, U24, K29, C28	Great icosidodecahedron Gid V 30,E 60,F 32=20{3}+12{5/2} χ =2, group=I h , [5,3], *532 2 | 3 5/2 2 | 3 5/3 2 | 3/2 5/2 2 | 3/2 5/3 - 3,5/2,3,5/2 W94, U54, K59, C70	Dodecadodecahedron Did V 30,E 60,F 24=12{5}+12{5/2} χ =−6, group=I h , [5,3], *532 2 | 5 5/2 2 | 5 5/3 2 | 5/2 5/4 2 | 5/3 5/4 - 5,5/2,5,5/2 W73, U36, K41, C45
Liten ditrigonal icosidodecahedron Sidtid V 20,E 60,F 32=20{3}+12{5/2} χ =−8, group=I h , [5,3], *532 3 | 5/2 3 - (3,5/2) 3 W70, U30, K35, C39	Ditrigonal dodecadodecahedron Ditdid V 20,E 60,F 24=12{5}+12{5/2} χ =−16, group=I h , [5,3], *532 3 | 5/3 5 3/2 | 5 5/2 3/2 | 5/3 5/4 3 | 5/2 5/4 - (5,5/3) 3 W80, U41, K46, C53	Stor ditrigonal icosidodecahedron Gidtid V 20,E 60,F 32=20{3}+12{5} χ =−8, group=I h , [5,3], *532 3/2 | 3 5 3 | 3/2 5 3 | 3 5/4 3/2 | 3/2 5/4 - ((3,5) 3 )/2 W87, U47, K52, C61

Wythoff pq|r

Trunkerade vanliga former

Varje vertex har tre ytor som omger den, varav två är identiska. Dessa har alla Wythoff-symboler 2 p|q, några är konstruerade genom att trunkera de vanliga fasta beståndsdelarna.

Trunkerad tetraeder Tut V 12,E 18,F 8=4{3}+4{6} χ =2, grupp= T d , A 3 , [3,3], (*332), ordning 24 2 3 | 3 - 3.6.6 W6, U02, K07, C16	Trunkerad oktaedertå V 24,E 36,F 14=6{4}+8{6} χ =2, grupp= O h , B 3 , [4,3], (*432), ordning 48 T h , [ 3,3] och (*332), ordning 24 2 4 | 3 3 3 2 | - 4.6.6 W7, U08, K13, C20	Trunkerad kub Tic V 24,E 36,F 14=8{3}+6{8} χ =2, grupp= O h , B 3 , [4,3], (*432), ordning 48 2 3 | 4 - 3.8.8 W8, U09, K14, C21 Trunkerad hexaeder	Trunkerad icosahedron Ti V 60,E 90,F 32=12{5}+20{6} χ =2, grupp= I h , H 3 , [5,3], (*532), ordning 120 2 5 | 3 - 5.6.6 W9, U25, K30, C27	Trunkerad dodekaeder Tid V 60,E 90,F 32=20{3}+12{10} χ =2, grupp= I h , H 3 , [5,3], (*532), ordning 120 2 3 | 5 - 3.10.10 W10, U26, K31, C29
Trunkerad stor dodekaeder Tigid V 60,E 90,F 24=12{5/2}+12{10} χ =−6, group=I h , [5,3], *532 2 5/2 | 5 2 5/3 | 5 - 10.10.5/2 W75, U37, K42, C47	Trunkerad stor ikosaeder Tiggy V 60,E 90,F 32=12{5/2}+20{6} χ =2, grupp=I h , [5,3], *532 2 5/2 | 3 2 5/3 | 3 - 6.6.5/2 W95, U55, K60, C71	Stellat stympad hexaeder Quith V 24,E 36,F 14=8{3}+6{8/3} χ =2, group=O h , [4,3], *432 2 3 | 4/3 2 3/2 | 4/3 - 3,8/3,8/3 W92, U19, K24, C66 Quasitruncated hexahedron stellatruncated kub	Liten stjärnformad stympad dodekaeder Quit Sissid V 60,E 90,F 24=12{5}+12{10/3} χ =−6, group=I h , [5,3], *532 2 5 | 5/3 2 5/4 | 5/3 - 5.10/3.10/3 W97, U58, K63, C74 Kvasitruncated liten stjärnformad dodekaeder Liten stjärnavrundad dodekaeder	Stor stjärnformad stympad dodekaeder Avsluta Gissid V 60,E 90,F 32=20{3}+12{10/3} χ =2, group=I h , [5,3], *532 2 3 | 5/3 - 3.10/3.10/3 W104, U66, K71, C83 Quasitruncated stora stellated dodecahedron Stor stellatruncated dodecahedron

Hemipolyedrar

Hemipolyedrarna har alla ansikten som passerar genom ursprunget. Deras Wythoff-symboler har formen pp/m|q eller p/mp/n|q. Med undantag för tetrahemihexaedern förekommer de i par och är nära besläktade med de halvregelbundna polyedrarna, som kuboktoedern.

Tetrahemihexahedron Thah V 6,E 12,F 7=4{3}+3{4} χ =1, group=T d , [3,3], *332 3/2 3 | 2 (dubbeltäckande) - 3.4.3/2.4 W67, U04, K09, C36	Octahemioctahedron Oho V 12,E 24,F 12=8{3}+4{6} χ =0, group=O h , [4,3], *432 3/2 3 | 3 - 3.6.3/2.6 W68, U03, K08, C37	Cubohemioctahedron Cho V 12,E 24,F 10=6{4}+4{6} χ =−2, group=O h , [4,3], *432 4/3 4 | 3 (dubbeltäckande) - 4.6.4/3.6 W78, U15, K20, C51	Liten icosihemidodecahedron Seihid V 30,E 60,F 26=20{3}+6{10} χ =−4, group=I h , [5,3], *532 3/2 3 | 5 (dubbeltäckande) - 3.10.3/2.10 W89, U49, K54, C63	Liten dodekahemidodekaeder Sidhid V 30,E 60,F 18=12{5}+6{10} χ =−12, grupp=I h , [5,3], *532 5/4 5 | 5 (dubbeltäckande) - 5.10.5/4.10 W91, U51, K56, C65
Great icosihemidodecahedron Geihid V 30,E 60,F 26=20{3}+6{10/3} χ =−4, group=I h , [5,3], *532 3/2 3 | 5/3 - 3,10/3,3/2,10/3 W106, U71, K76, C85	Great dodecahemidodecahedron Gidhid V 30,E 60,F 18=12{5/2}+6{10/3} χ =−12, group=I h , [5,3], *532 5/3 5/2 | 5/3 (dubbeltäckande) - 5/2.10/3.5/3.10/3 W107, U70, K75, C86	Great dodecahemicosahedron Gidhei V 30,E 60,F 22=12{5}+10{6} χ =−8, group=I h , [5,3], *532 5/4 5 | 3 (dubbeltäckande) - 5.6.5/4.6 W102, U65, K70, C81	Liten dodecahemicosahedron Sidhei V 30,E 60,F 22=12{5/2}+10{6} χ =−8, group=I h , [5,3], *532 5/3 5/2 | 3 (dubbeltäckande) - 6,5/2,6,5/3 W100, U62, K67, C78

Rombisk kvasi-regelbunden

Fyra ytor runt spetsen i mönstret pqrq Namnet rombisk härrör från att infoga en kvadrat i cuboctahedron och icosidodecahedron. Wythoff-symbolen har formen pq|r.

Rhombicuboctahedron Sirco V 24,E 48,F 26=8{3}+(6+12){4} χ =2, grupp= O h , B 3 , [4,3], (*432), ordning 48 3 4 | 2 - 3.4.4.4 W13, U10, K15, C22 Rhombicuboctahedron	Liten cubicuboctahedron Socco V 24,E 48,F 20=8{3}+6{4}+6{8} χ =−4, group=O h , [4,3], *432 3/2 4 | 4 3 4/3 | 4 - 4,8,3/2,8 W69, U13, K18, C38	Great cubicuboctahedron Gocco V 24,E 48,F 20=8{3}+6{4}+6{8/3} χ =−4, group=O h , [4,3], *432 3 4 | 4/3 4 3/2 | 4 - 3,8/3,4,8/3 W77, U14, K19, C50	Ickekonvex stor rombikuboktaeder Querco V 24,E 48,F 26=8{3}+(6+12){4} χ =2, grupp=O h , [4,3], *432 3/2 4 | 2 3 4/3 | 2 - 4.4.4.3/2 W85, U17, K22, C59 Quasirhombicuboctahedron
Rhombicosidodecahedron Srid V 60,E 120,F 62=20{3}+30{4}+12{5} χ =2, grupp= I h , H 3 , [5,3], (*532), ordning 120 3 5 | 2 - 3.4.5.4 W14, U27, K32, C30 Rhombicosidodecahedron	Liten dodecicosidodecahedron Saddid V 60,E 120,F 44=20{3}+12{5}+12{10} χ =−16, group=I h , [5,3], *532 3/2 5 | 5 3 5/4 | 5 - 5.10.3/2.10 W72, U33, K38, C42	Great dodecicosidodecahedron Gaddid V 60,E 120,F 44=20{3}+12{5/2}+12{10/3} χ =−16, group=I h , [5,3], *532 5/ 2 3 | 5/3 5/3 3/2 | 5/3 - 3,10/3,5/2,10/7 W99, U61, K66, C77	Ickekonvex stor rhombicosidodecahedron Qrid V 60,E 120,F 62=20{3}+30{4}+12{5/2} χ =2, grupp=I h , [5,3], *532 5/3 3 | 2 5/2 3/2 | 2 - 3.4.5/3.4 W105, U67, K72, C84 Quasirhombicosidodecahedron
Liten icosicosidodecahedron Siid V 60,E 120,F 52=20{3}+12{5/2}+20{6} χ =−8, group=I h , [5,3], *532 5/2 3 | 3 - 6,5/2,6,3 W71, U31, K36, C40	Liten ditrigonal dodecicosidodecahedron Sidditdid V 60,E 120,F 44=20{3}+12{5/2}+12{10} χ =−16, grupp=I h , [5,3], *532 5/3 3 | 5 5/2 3/2 | 5 - 3.10.5/3.10 W82, U43, K48, C55	Rhombidodecadodecahedron Raded V 60,E 120,F 54=30{4}+12{5}+12{5/2} χ =−6, group=I h , [5,3], *532 5/2 5 | 2 - 4,5/2,4,5 W76, U38, K43, C48	Icosidodecadodecahedron Ided V 60,E 120,F 44=12{5}+12{5/2}+20{6} χ =−16, group=I h , [5,3], *532 5/3 5 | 3 5/2 5/4 | 3 - 5,6,5/3,6 W83, U44, K49, C56
Stor ditrigonal dodecicosidodecahedron Gidditdid V 60,E 120,F 44=20{3}+12{5}+12{10/3} χ =−16, group=I h , [5,3], *532 3 5 | 5/3 5/4 3/2 | 5/3 - 3.10/3.5.10/3 W81, U42, K47, C54	Stor icosicosidodecahedron Giid V 60,E 120,F 52=20{3}+12{5}+20{6} χ =−8, group=I h , [5,3], *532 3/2 5 | 3 3 5/4 | 3 - 5.6.3/2.6 W88, U48, K53, C62

Jämnsidiga former

Wythoff pqr|

Dessa har tre olika ytor runt varje vertex, och hörnen ligger inte på något symmetriplan. De har Wythoff-symbolen pqr|, och vertexfigurerna 2p.2q.2r.

Trunkerad cuboctahedron Girco V 48,E 72,F 26=12{4}+8{6}+6{8} χ =2, grupp= O h , B 3 , [4,3], (*432), ordning 48 2 3 4 | - 4.6.8 W15, U11, K16, C23 Rhombitruncated cuboctahedron Trunked cuboctahedron	Stor stympad kuboktaeder Quitco V 48,E 72,F 26=12{4}+8{6}+6{8/3} χ =2, grupp=O h , [4,3], *432 2 3 4/ 3 | - 4,6/5,8/3 W93, U20, K25, C67 Quasitruncated cuboctahedron	Cubitruncated cuboctahedron Cotco V 48,E 72,F 20=8{6}+6{8}+6{8/3} χ =−4, group=O h , [4,3], *432 3 4 4/ 3 | - 6.8.8/3 W79, U16, K21, C52 Cuboctatruncated cuboctahedron
Trunkerat icosidodecahedron Grid V 120,E 180,F 62=30{4}+20{6}+12{10} χ =2, group= I h , H 3 , [5,3], (*532), ordning 120 2 3 5 | - 4.6.10 W16, U28, K33, C31 Rhombitruncated icosidodecahedron Trunked icosidodecahedron	Stor stympad icosidodecahedron Gaquatid V 120,E 180,F 62=30{4}+20{6}+12{10/3} χ =2, grupp=I h , [5,3], *532 2 3 5/ 3 | - 4.6.10/3 W108, U68, K73, C87 Great quasitruncated icosidodecahedron	Icositruncated dodecadodecahedron Idtid V 120,E 180,F 44=20{6}+12{10}+12{10/3} χ =−16, group=I h , [5,3], *532 3 5 5/ 3 | - 6.10.10/3 W84, U45, K50, C57 Icosidodecatruncated icosidodecahedron	Trunkerad dodecadodecahedron Quitdid V 120,E 180,F 54=30{4}+12{10}+12{10/3} χ =−6, group=I h , [5,3], *532 2 5 5/ 3 | - 4.10/9.10/3 W98, U59, K64, C75 Quasitruncated dodecadodecahedron

Wythoff pq (rs)|

Vertex figur pq-p.-q. Wythoff pq (rs)|, blandning av pqr| och pqs|.

Liten rhombihexahedron Sroh V 24,E 48,F 18=12{4}+6{8} χ =−6, grupp=O h , [4,3], *432 2 4 (3/2 4/2) | - 4.8.4/3.8/7 W86, U18, K23, C60	Stor rhombihexahedron Groh V 24,E 48,F 18=12{4}+6{8/3} χ =−6, grupp=O h , [4,3], *432 2 4/3 (3/2 4 /2) | - 4,8/3,4/3,8/5 W103, U21, K26, C82	Rhombicosahedron Ri V 60,E 120,F 50=30{4}+20{6} χ =−10, group=I h , [5,3], *532 2 3 (5/4 5/2) | - 4.6.4/3.6/5 W96, U56, K61, C72	Stor rhombidodecahedron omgjord V 60,E 120,F 42=30{4}+12{10/3} χ =−18, grupp=I h , [5,3], *532 2 5/3 (3/2 5 /4) | - 4.10/3.4/3.10/7 W109, U73, K78, C89
Stor dodecikosaeder Giddy V 60,E 120,F 32=20{6}+12{10/3} χ =−28, grupp=I h , [5,3], *532 3 5/3 (3/2 5 /2) | - 6.10/3.6/5.10/7 W101, U63, K68, C79	Liten rhombidodecahedron Sird V 60,E 120,F 42=30{4}+12{10} χ =−18, grupp=I h , [5,3], *532 2 5 (3/2 5/2) | - 4.10.4/3.10/9 W74, U39, K44, C46	Liten dodecikosaeder Siddy V 60,E 120,F 32=20{6}+12{10} χ =−28, grupp=I h , [5,3], *532 3 5 (3/2 5/4) | - 6.10.6/5.10/9 W90, U50, K55, C64

Snub polyedra

Dessa har Wythoff-symbolen |pqr, och en icke-wythoffisk konstruktion ges |pqr s.

Wythoff |pqr

Symmetrigrupp
O	Snub kub Snic V 24,E 60,F 38=(8+24){3}+6{4} χ =2, group= O , 1 / 2 B 3 , [4,3] + , (432), order 24 | 2 3 4 - 3.3.3.3.4 W17, U12, K17, C24
jag h	Liten snubbig icosicosidodecahedron Seside V 60,E 180,F 112=(40+60){3}+12{5/2} χ =−8, group=I h , [5,3], *532 | 5/2 3 3 - 3 5 .5/2 W110, U32, K37, C41	Liten retrosnub icosicosidodecahedron Sirsid V 60,E 180,F 112=(40+60){3}+12{5/2} χ =−8, group=I h , [5,3], *532 | 3/2 3/2 5/2 - (3 5 .5/3)/2 W118, U72, K77, C91 Liten inverterad retrosnub icosicosidodecahedron
jag	Snub dodecahedron Snid V 60,E 150,F 92=(20+60){3}+12{5} χ =2, group= I , 1 / 2 H 3 , [5,3] + , (532), order 60 | 2 3 5 - 3.3.3.3.5 W18, U29, K34, C32	Snub dodecadodecahedron Siddid V 60,E 150,F 84=60{3}+12{5}+12{5/2} χ =−6, group=I, [5,3] + , 532 | 2 5/2 5 - 3.3.5/2.3.5 W111, U40, K45, C49	Inverterad snub dodecadodecahedron Isdid V 60,E 150,F 84=60{3}+12{5}+12{5/2} χ =−6, group=I, [5,3] + , 532 | 5/3 2 5 - 3.3.5.3.5/3 W114, U60, K65, C76
jag	Great snub icosidodecahedron Gosid V 60,E 150,F 92=(20+60){3}+12{5/2} χ =2, group=I, [5,3] + , 532 | 2 5/2 3 - 3 4 .5/2 W113, U57, K62, C88	Great inverted snub icosidodecahedron Gisid V 60,E 150,F 92=(20+60){3}+12{5/2} χ =2, group=I, [5,3] + , 532 | 5/3 2 3 - 3 4 .5/3 W116, U69, K74, C73	Great retrosnub icosidodecahedron Girsid V 60,E 150,F 92=(20+60){3}+12{5/2} χ =2, group=I, [5,3] + , 532 | 2 3/2 5/3 - (3 4 .5/2)/2 W117, U74, K79, C90 Great inverted retrosnub icosidodecahedron
jag	Snub icosidodecadodecahedron Sided V 60,E 180,F 104=(20+60){3}+12{5}+12{5/2} χ =−16, group=I, [5,3] + , 532 | 5/3 3 5 - 3.3.3.5.3.5/3 W112, U46, K51, C58	Stor snubb dodecicosidodecahedron Gisdid V 60,E 180,F 104=(20+60){3}+(12+12){5/2} χ =−16, grupp=I, [5,3] + , 532 | 5/3 5/2 3 - 3.3.3.5/2.3.5/3 W115, U64, K69, C80

Wythoff |pqrs

Symmetrigrupp
Ih	Stor dirhombicosidodecahedron Gidrid V 60,E 240,F 124=40{3}+60{4}+24{5/2} χ =−56, group=I h , [5,3], *532 | 3/2 5/3 3 5/2 - 4,5/3,4.3.4.5/2.4.3/2 W119, U75, K80, C92