Stellation

Konstruktion av en stellerad dodecagon : en vanlig polygon med Schläfli-symbolen {12/5}.

Inom geometri är stellation processen att förlänga en polygon i två dimensioner , polyeder i tre dimensioner, eller, i allmänhet, en polytop i n dimensioner för att bilda en ny figur. Med utgångspunkt i en originalfigur förlänger processen specifika element som dess kanter eller ytplan, vanligtvis på ett symmetriskt sätt, tills de möter varandra igen för att bilda den slutna gränsen för en ny figur. Den nya figuren är en bild av originalet. Ordet stellation kommer från latinets stellātus , "stjärna", som i sin tur kommer från latinets stella , "stjärna". Stellation är den ömsesidiga eller dubbla processen till facettering .

Keplers definition

År 1619 definierade Kepler stellation för polygoner och polyedrar som processen att förlänga kanter eller ytor tills de möts för att bilda en ny polygon eller polyeder.

Han stjärnbildade den vanliga dodekaedern för att få två vanliga stjärnpolyedrar, den lilla stjärnformade dodekaedern och stora stjärnformade dodekaedern . Han bildade också den vanliga oktaedern för att erhålla stella octangula , en regelbunden sammansättning av två tetraedrar.

Stellande polygoner

Genom att symmetriskt framställa en vanlig polygon skapas en vanlig stjärnpolygon eller polygonal sammansättning . Dessa polygoner kännetecknas av antalet gånger m som den polygonala gränsen slingrar sig runt figurens mitt. Som alla vanliga polygoner ligger deras hörn på en cirkel. m motsvarar också antalet hörn runt cirkeln för att komma från ena änden av en given kant till den andra, med början på 1.

En vanlig stjärnpolygon representeras av dess Schläfli-symbol { n / m }, där n är antalet hörn, m är steget som används för att sekvensera kanterna runt den, och m och n är coprime (har ingen gemensam faktor ). Fallet m = 1 ger den konvexa polygonen { n }. m måste också vara mindre än hälften av n ; annars kommer linjerna antingen att vara parallella eller divergera, vilket förhindrar att figuren någonsin stängs.

Om n och m har en gemensam faktor, är figuren en vanlig förening. Till exempel är {6/2} den reguljära sammansättningen av två trianglar {3} eller hexagram , medan {10/4} är ​​en sammansättning av två pentagram {5/2}.

Vissa författare använder Schläfli-symbolen för sådana vanliga föreningar. Andra anser att symbolen indikerar en enda bana som är lindad m gånger runt n / m vertexpunkter, så att en kant läggs över en annan och varje vertexpunkt besöks m gånger. I det här fallet kan en modifierad symbol användas för sammansättningen, till exempel 2{3} för hexagrammet och 2{5/2} för den vanliga sammansättningen av två pentagram.

En vanlig n -gon har n – 4/2 stellationer n – 3/2 stellationer om n är jämn ( förutsatt att föreningar av flera degenererade digoner inte beaktas), och om n är udda .

Pentagram green.svg
Pentagrammet , {5/2}, är den enda stjärnbilden av en femhörning 		Regular star figure 2(3,1).svg
Hexagrammet , {6/2}, stellationen av en hexagon och en sammansättning av två trianglar . 		Enneagon stellations.svg
Enneagon (nonagon) {9} har 3 enneagrammiska former: {9/2}, {9/3}, {9/4}, där {9/3} är en sammansättning av tre trianglar .
Obtuse heptagram.svgAcute heptagram.svg


Heptagonen har två heptagrammiska former: {7/2}, {7/3 }

Liksom heptagonen har oktagonen också två oktagrammiska stellationer, en, {8/3} är en stjärnpolygon , och den andra, {8/2}, är sammansättningen av två kvadrater .


Stellerande polyedrar

First stellation of octahedron.png First stellation of dodecahedron.png Second stellation of dodecahedron.png Third stellation of dodecahedron.png Sixteenth stellation of icosahedron.png First stellation of icosahedron.png Seventeenth stellation of icosahedron.png

En polyeder bildas genom att förlänga kanterna eller ytplanen på en polyeder tills de möts igen för att bilda en ny polyeder eller sammansättning. Det inre av den nya polyedern är uppdelad av ytorna i ett antal celler. Ytplanen på en polyeder kan dela upp rymden i många sådana celler, och allt eftersom stellationsprocessen fortsätter kommer fler av dessa celler att vara inneslutna. För en symmetrisk polyeder kommer dessa celler att falla in i grupper, eller uppsättningar, av kongruenta celler – vi säger att cellerna i en sådan kongruent uppsättning är av samma typ. En vanlig metod för att hitta stellationer innebär att man väljer en eller flera celltyper.

Detta kan leda till ett stort antal möjliga former, så ytterligare kriterier ställs ofta på för att reducera uppsättningen till de stellationer som är betydande och unika på något sätt.

En uppsättning celler som bildar ett slutet lager runt dess kärna kallas ett skal. För en symmetrisk polyeder kan ett skal bestå av en eller flera celltyper.

Baserat på sådana idéer har flera restriktiva intressekategorier identifierats.

  • Huvudlinjestjärnor. Att lägga till på varandra följande skal till kärnpolyedern leder till uppsättningen av huvudlinjestellationer.
  • Fullt stödda stellationer. Undersidorna av en cell kan visas externt som ett "överhäng". I en fullt stödd stellation finns inga sådana överhäng, och alla synliga delar av ett ansikte ses från samma sida.
  • Monokrala stellationer. Bokstavligen "enkeltoppad". Där det bara finns en sorts topp, eller vertex, i en stellation (dvs. alla hörn är kongruenta inom en enda symmetriomloppsbana), är stellationen monoakral. Alla sådana stellationer stöds fullt ut.
  • Primära stellationer. Där en polyeder har spegelsymmetriplan, sägs kanter som faller i dessa plan ligga i primära linjer. Om alla kanter ligger i primära linjer är stellationen primär. Alla primära stellationer stöds fullt ut.
  • Miller stellationer. I "The Fifty-Nine Icosahedra" registrerar Coxeter , Du Val, Flather och Petrie fem regler som föreslagits av Miller . Även om dessa regler hänvisar specifikt till icosahedrons geometri, har de anpassats för att fungera för godtyckliga polyedrar. De säkerställer bland annat att rotationssymmetrin hos den ursprungliga polyedern bevaras, och att varje stellation är olika i yttre utseende. De fyra typerna av stellationer som just definierats är alla delmängder av Miller-stellationerna.

Vi kan också identifiera några andra kategorier:

  • En partiell stellation är en där inte alla element i en given dimensionalitet utökas.
  • En subsymmetrisk stellation är en där inte alla element förlängs symmetriskt.

De arkimedeiska fasta kropparna och deras dualer kan också ställas upp. Här brukar vi lägga till regeln att alla de ursprungliga ansiktsplanen måste finnas i stellationen, dvs vi tar inte hänsyn till partiella stellationer. Till exempel brukar kuben inte anses vara en bild av kuboktaedern .

Att generalisera Millers regler där är:

Sjutton av de icke-konvexa enhetliga polyedrarna är stjärnbilder av arkimedeiska fasta ämnen.

Millers regler

I boken The Fifty-Nine Icosahedra föreslog JCP Miller en uppsättning regler för att definiera vilka stellationsformer som ska anses vara "riktigt signifikanta och distinkta".

Dessa regler har anpassats för användning med stellationer av många andra polyedrar. Under Millers regler finner vi:

Många "Miller-stellationer" kan inte erhållas direkt genom att använda Keplers metod. Till exempel har många ihåliga centra där de ursprungliga ytorna och kanterna på kärnpolyedern helt saknas: det finns inget kvar att ställa om. Å andra sidan ger Keplers metod också stellationer som är förbjudna enligt Millers regler eftersom deras celler är kant- eller vertexanslutna, även om deras ansikten är enkla polygoner. Denna diskrepans fick ingen verklig uppmärksamhet förrän Inchbald (2002).

Andra regler för stellation

Millers regler representerar inte på något sätt det "korrekta" sättet att räkna upp stellationer. De är baserade på att kombinera delar inom stellationsdiagrammet på vissa sätt, och tar inte hänsyn till topologin för de resulterande ytorna. Som sådana finns det några ganska rimliga stellationer av ikosaedern som inte är en del av deras lista – en identifierades av James Bridge 1974, medan vissa "Miller-stellationer" är tveksamma om de ska betraktas som stellationer överhuvudtaget - en av den icosaedriska uppsättningen består av flera ganska frånkopplade celler som flyter symmetriskt i rymden.

Ett alternativt regelverk som tar hänsyn till detta har ännu inte utvecklats fullt ut. De flesta framsteg har gjorts baserat på föreställningen att stellation är den ömsesidiga eller dubbla processen till fasettering , varvid delar tas bort från en polyeder utan att skapa några nya hörn. För varje stellation av någon polyeder finns det en dubbel facettering av den dubbla polyederen , och vice versa. Genom att studera facetter av det dual, får vi insikter i originalets stellationer. Bridge hittade sin nya bild av ikosaedern genom att studera aspekterna av dess dubbla, dodekaedern.

Vissa polyhedronister anser att stellation är en tvåvägsprocess, så att alla två polyedrar som delar samma ansiktsplan är stellationer av varandra. Detta är förståeligt om man utarbetar en generell algoritm som lämpar sig för användning i ett datorprogram, men är annars inte särskilt användbart.

Många exempel på stellationer finns i listan över Wenningers stellationsmodeller .

Stellerande polytoper

Stellationsprocessen kan också tillämpas på högre dimensionella polytoper. Ett stellationsdiagram av en n -polytop finns i ett ( n − 1)-dimensionellt hyperplan av en given fasett .

Till exempel, i 4-rymden, är den stora stellerade 120-cellen den sista stellationen av den vanliga 4-polytopen 120-cellen .

Namnge stellationer

Den första systematiska namngivningen av stjärnpolyedrar var Cayleys namngivning av de vanliga stjärnpolyedrarna (numera kända som Kepler-Poinsot-polyedrarna) . Detta system användes i stor utsträckning, men inte alltid systematiskt, för andra polyedrar och högre polytoper.

John Conway utarbetade en terminologi för stellerade polygoner , polyedrar och polychora (Coxeter 1974). I detta system kallas processen att förlänga kanter för att skapa en ny figur stellation , att förlänga ytor kallas förstoring och att förlänga celler kallas förstärkning (detta sista gäller inte polyedrar). Detta möjliggör en systematisk användning av ord som "stjärnbildad", "stor" och "stor" för att skapa namn för de resulterande figurerna. Till exempel föreslog Conway några mindre variationer av namnen på Kepler-Poinsot-polyedrarna .

Stellation till oändligheten

Wenninger märkte att vissa polyedrar, såsom kuben, inte har några ändliga stellationer. Men stellationsceller kan konstrueras som prismor som sträcker sig till oändligheten. Figuren som består av dessa prismor kan kallas en stellation till oändligheten . Enligt de flesta definitioner av en polyeder är dessa stellationer dock inte strikt polyedrar.

Wenningers figurer uppstod som dualer av de enhetliga hemipolyedrarna , där ansiktena som passerar genom mitten skickas till hörn "i oändligheten".

Från matematik till konst

Magnus Wenninger med några av sina modeller av stellerade polyedrar 2009
Ytterligare information: Matematik och konst

Vid sidan av sina bidrag till matematiken beskrivs Magnus Wenninger i samband med förhållandet mellan matematik och konst som att han gör "särskilt vackra" modeller av komplexa stellerade polyedrar.

Marmorgolvmosaik av Paolo Uccello , Basilica of St Mark, Venedig , ca. 1430

Den italienska renässanskonstnären Paolo Uccello skapade en golvmosaik som visar en liten stjärnformad dodekaeder i basilikan St Mark, Venedig, ca. 1430. Uccellos skildring användes som symbol för Venedigbiennalen 1986 på ämnet "Konst och vetenskap". Samma stellation är central för två litografier av MC Escher : Contrast (Order and Chaos), 1950, och Gravitation , 1952.

Se även

  1. ^ Malkevitch, Joseph. "Matematik och konst. 5. Polyedrar, plattsättningar och dissektioner" . American Mathematical Society . Hämtad 1 september 2015 .
  2. ^   Emmer, Michele (2 december 2003). Matematik och kultur I . Springer Science & Business Media. sid. 269. ISBN 978-3-540-01770-7 .
  3. ^   Locher, JL (2000). MC Eschers magi . Harry N. Abrams, Inc. ISBN 0-810-96720-0 .
  • Bridge, NJ; Facetting av dodekaedern, Acta Crystallographica A30 (1974), s. 548–552.
  • Coxeter , HSM; Regelbundna komplexa polytoper (1974).
  • Coxeter , HSM; Du Val, P.; Flather, HT; och Petrie, JF The Fifty-Nine Icosahedra , 3:e upplagan. Stradbroke, England: Tarquin Publications (1999).
  • Inchbald, G.; På jakt efter den förlorade icosaedran, The Mathematical Gazette 86 (2002), s. 208-215.
  • Messer, P.; Stellations of the rhombic triacontahedron and beyond, Symmetry: culture and science , 11 (2000), s. 201–230.
  •   Wenninger, Magnus (1974). Polyedermodeller . Cambridge University Press. ISBN 0-521-09859-9 .
  •   Wenninger, Magnus (1983). Dubbla modeller . Cambridge University Press. ISBN 0-521-24524-9 .

externa länkar

Hämtad från " https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Stellation&oldid=1137490387 "