Burali-Forti paradox

Inom mängdteorin , ett fält inom matematiken , visar Burali -Forti-paradoxen att konstruktionen av "mängden av alla ordningstal " leder till en motsägelse och visar därför en antinomi i ett system som tillåter dess konstruktion. Den är uppkallad efter Cesare Burali-Forti , som 1897 publicerade en artikel som bevisade en teorem som, okänd för honom, motsäger ett tidigare bevisat resultat av Cantor. Bertrand Russell märkte senare motsägelsen, och när han publicerade den i sin bok från 1903, Principles of Mathematics, uppgav han att den hade föreslagits för honom av Burali-Fortis papper, med resultatet att den kom att bli känd under Burali-Fortis namn.

Angivna i termer av von Neumann-ordtal

Vi kommer att bevisa detta genom en övervägande dekonstruktion.

1. Låt Ω vara en mängd som består av alla ordningstal.
2. Ω är transitiv eftersom för varje element x av Ω (som är ett ordningstal och kan vara vilket ordningstal som helst) och varje element y av x (dvs. under definitionen av Von Neumann ordinals , för varje ordningstal y < x ), har vi att y är ett element av Ω eftersom varje ordningstal endast innehåller ordningstal, enligt definitionen av denna ordningstal.
3. Ω är välordnat av medlemsrelationen eftersom alla dess element också är välordnade av denna relation.
4. Så, genom steg 2 och 3, har vi att Ω är en ordningsklass och även, genom steg 1, ett ordningstal, eftersom alla ordningsklasser som är mängder också är ordningstal.
5. Detta innebär att Ω är ett element av Ω .
6. Enligt definitionen av Von Neumann ordinaler är Ω < Ω detsamma som att Ω är ett element i Ω . Detta senare påstående bevisas av steg 5.
7. Men ingen ordningsklass är mindre än sig själv, inklusive Ω på grund av steg 4 ( Ω är en ordningsklass), dvs Ω ≮ Ω .

Vi har härlett två motstridiga påståenden ( Ω < Ω och Ω ≮ Ω ) från mängden av Ω och därför motbevisat att Ω är en mängd.

Mer allmänt sagt

Versionen av paradoxen ovan är anakronistisk, eftersom den förutsätter definitionen av ordinalerna på grund av John von Neumann , under vilken varje ordinal är uppsättningen av alla föregående ordinaler, vilket inte var känt vid den tidpunkt då paradoxen inramades av Burali-Forti . Här är en redogörelse med färre förutsättningar: anta att vi associerar med varje välordning ett objekt som kallas dess ordningstyp på ett ospecificerat sätt (ordningstyperna är ordningstalen). Ordningstyperna (ordningstal) i sig är välordnade på ett naturligt sätt, och denna välordning måste ha en ordningstyp $\Omega$ . Det visas lätt i naiv mängdteori (och förblir sant i ZFC men inte i New Foundations ) att ordningstypen för alla ordningstal mindre än ett fast $\alpha$ är $\alpha$ själv. Så ordningstypen för alla ordningstal mindre än $\Omega$ är $\Omega$ själv. Men detta betyder att $\Omega$ , som är ordningstypen för ett korrekt initialt segment av ordningstalen, är strikt mindre än ordningstypen för alla ordningstalen, men den senare är $\Omega$ själv av definition. Detta är en motsägelse.

Om vi ​​använder von Neumann-definitionen, under vilken varje ordningsföljd identifieras som mängden av alla föregående ordningstal, är paradoxen oundviklig: den stötande propositionen att ordningstypen för alla ordningstal mindre än en fast α {\displaystyle \ $}$ är $\alpha$ måste vara sant. Samlingen av von Neumann ordinaler, liksom samlingen i Russell-paradoxen , kan inte vara en mängd i någon mängdteori med klassisk logik. Men samlingen av ordningstyper i New Foundations (definierad som ekvivalensklasser av brunnordningar under likhet) är faktiskt en uppsättning, och paradoxen undviks eftersom ordningstypen för ordningstalen mindre än Ω {\displaystyle \Omega } $sig$ inte att vara $\Omega$ .

Paradoxens resolutioner

Moderna axiom för formell mängdteori som ZF och ZFC kringgår denna antinomin genom att inte tillåta konstruktion av mängder med termer som "alla mängder med egenskapen ${\displaystyle P} " ,$ vilket är möjligt i naiv mängdteori och som är möjligt med Gottlob Freges axiom – närmare bestämt Grundlag V – i "Grundgesetze der Arithmetik". Quines system New Foundations (NF) använder en annan lösning . Rosser ( 1942 ) visade att i den ursprungliga versionen av Quines system "Mathematical Logic" (ML), en förlängning av New Foundations, är det möjligt att härleda Burali-Forti-paradoxen, vilket visar att detta system var motsägelsefullt. Quines revidering av ML efter Rossers upptäckt lider inte av denna defekt, och faktiskt visade sig vara lika överensstämmande med NF av Hao Wang .

Se även

• Absolut oändlig

•   Burali-Forti, Cesare (1897), "Una questione sui numeri transfiniti" , Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo , 11 : 154–164, doi : 10.1007/BF03015911 , S2CID 127279175
• Irving Copi (1958) "The Burali-Forti Paradox", Philosophy of Science 25(4): 281–286, doi : 10.1086/287617
• Moore, Gregory H; Garciadiego, Alejandro (1981), "Burali-Fortis paradox: A reappraisal of its origins", Historia Mathematica , 8 (3): 319–350, doi : 10.1016/0315-0860(81)90070-7
•     Rosser, Barkley (1942), "The Burali-Forti paradox", Journal of Symbolic Logic , 7 (1): 1–17, doi : 10.2307/2267550 , JSTOR 2267550 , MR 0006327 , S2CID 2838977

externa länkar

• Stanford Encyclopedia of Philosophy : " Paradoxer och samtida logik " - av Andrea Cantini.