Fibonacci ord fraktal

Fibonacci -ordet fraktal är en fraktalkurva som definieras på planet från Fibonacci-ordet .

Definition

De första iterationerna

L-systemrepresentation

Denna kurva byggs iterativt genom att tillämpa regeln Udda–jämnt ritning på Fibonacci-ordet 0100101001001...:

För varje siffra i position k :

1. Rita ett segment framåt
2. Om siffran är 0:
   • Vrid 90° åt vänster om k är jämnt
   • Vrid 90° åt höger om k är udda

Till ett Fibonacci-ord med längden $F_{n}$ (det n : ^te Fibonacci-talet ) associeras en kurva ${\mathcal {F}}_{n}$ gjord av ${\ displaystyle F_{n}}$ segment. Kurvan visar tre olika aspekter oavsett om n har formen 3 k , 3 k + 1 eller 3 k + 2.

Egenskaper

Fibonacci-talen i Fibonacci-ordet fraktal.

Några av Fibonacci-ordets fraktals egenskaper inkluderar:

• Kurvan ${\mathcal {F_{n}}}$ innehåller $F_{n}$ segment, $F_{n-1}$ räta vinklar och $F_{n-2}$ platta vinklar.
• Kurvan skär sig aldrig själv och innehåller inga dubbla punkter. Vid gränsen innehåller den en oändlighet av punkter asymptotiskt nära.
• Kurvan presenterar självlikheter på alla skalor. Reduktionsförhållandet är $1+{\sqrt {2}}$ . Detta nummer, även kallat silverförhållandet , finns i ett stort antal fastigheter som anges nedan.
• Antalet självlikheter på nivå n är ett Fibonacci-tal \ −1. (mer exakt: ${\displaystyle F_{3n+3}-1} )$ .
• Kurvan omsluter en oändlighet av kvadratiska strukturer av minskande storlek i förhållandet $1+{\sqrt {2}}$ (se figur). Antalet av dessa kvadratiska strukturer är ett Fibonacci-tal.
• Kurvan ${\mathcal {F}}_{n}$ kan också konstrueras på olika sätt (se galleriet nedan):
  • Itererat funktionssystem med 4 och 1 homotet med förhållandet $1/(1+{\sqrt {2}})$ och $1/(1) +{\sqrt {2}})^{2}$
  • Genom att sammanfoga kurvorna ${\mathcal {F}}_{n-1}$ och ${\mathcal {F}}_{n-2}$
  • Lindenmayer system
  • Genom en itererad konstruktion av 8 kvadratiska mönster runt varje kvadratmönster.
  • Genom en itererad konstruktion av oktagoner
• Hausdorff -dimensionen för Fibonacci-ordet fraktal är $3\,{\frac {\log \varphi }{\log(1+{\sqrt {2}} )}}\approx 1,6379$ , med $\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ det gyllene snittet .
• Generaliserat till en vinkel $\alpha$ mellan 0 och $\pi /2$ är dess Hausdorff-dimension ${\displaystyle 3\,{\frac {\log \varphi }{\log(1+a+{\sqrt {(1+a)^{2}+1}})}}} ,$ med $a=\cos \alpha$ .
• Hausdorff-dimensionen för dess gräns är ${\frac {\log 3}{{\log(1+{\sqrt {2}}})}}\approx 1,2465$ .
• Att byta rollerna "0" och "1" i Fibonacci-ordet eller i ritningsregeln ger en liknande kurva, men orienterad 45°.
• Från Fibonacci-ordet kan man definiera det «täta Fibonacci-ordet», på ett alfabet med 3 bokstäver: 102210221102110211022102211021102110221022102211021... (sekvens A14366 7 i OEIS ). Användningen, på detta ord, av en enklare ritningsregel, definierar en oändlig uppsättning varianter av kurvan, bland vilka:
  • en "diagonal variant"
  • en "svastika-variant"
  • en "kompakt variant"
• Det antas att Fibonacci-ordet fraktal förekommer för varje sturmiskt ord för vilket lutningen, skriven i fortsatt bråkexpansion , slutar med en oändlig sekvens av "1":or.

Galleri

• 

  Kurva efter $\textstyle {F_{23}}$ iterationer.

• 

  Självlikheter i olika skalor.

• 

  Mått.

• 

  Konstruktion genom sammanställning (1)

• 

  Konstruktion genom sammanställning (2)

• 

  Beställning 18, med några underrektanglar färgade.

• 
• 

  Konstruktion genom itererad undertryckning av kvadratiska mönster.

• 

  Konstruktion av itererade oktagoner.

• 

  Konstruktion av itererad samling av 8 kvadratiska mönster runt varje kvadratmönster.

• 

  Med 60° vinkel.

• 

  Inversion av "0" och "1".

• 

  Varianter genererade från det täta Fibonacci-ordet.

• 

  Den "kompakta varianten"

• 

  "Svastika-varianten"

• 

  Den "diagonala varianten"

• 

  "π/8-varianten"

• 

  Konstnärsskapande (Samuel Monnier).

Fibonacci-brickan

Imperfekt plattsättning av Fibonacci-brickan. Området på det centrala torget tenderar att vara oändligt.

Juxtapositionen av fyra $F_{3k}$ kurvor tillåter konstruktionen av en sluten kurva som omsluter en yta vars area inte är noll. Denna kurva kallas en "Fibonacci-platta".

• Fibonacci-brickan belägger nästan planet. Sammanställningen av 4 brickor (se illustrationen) lämnar i mitten en fri kvadrat vars area tenderar till noll eftersom k tenderar mot oändligheten. Vid gränsen lägger den oändliga Fibonacci-brickan plattor till planet.
• Om brickan är innesluten i en kvadrat med sida 1, tenderar dess area till $2-{\sqrt {2}}=0,5857$ .

Perfekt plattsättning av Fibonacci-snöflingan

Fibonacci snöflinga

Fibonacci snöflingor för i = 2 för n = 1 till 4: $\sideset {}{_{1}^{\left[2\right]}\quad }\prod$ , ${\displaystyle \sideset {}{_{2}^{\left[2\right]}\quad }\prod } , ∏ ∏ 3 [ 2 ] {\$ displaystyle ${3 }^{\left[2\right]}\quad }\prod }$ , $\sideset {}{_{4}^{\left[2\right]}\quad }\ driva$

Fibonacci -snöflingan är en Fibonacci-platta som definieras av:

• $q_{n}=q_{n-1}q_{n-2}$ om $n\equiv 2{\pmod {3}}$
• $q_{n}=q_{n-1}{\overline {q}}_{n-2}$ annars.

med $q_{0}=\epsilon$ och $q_{1}=R$ , $L=$ "sväng vänster" och $R =$ "sväng höger" och ${\overline {R}}=L$ .

Flera anmärkningsvärda egenskaper:

• Det är Fibonacci-brickan som är kopplad till den "diagonala varianten" som tidigare definierats.
• Det kakel planet i vilken ordning som helst.
• Den belägger planet genom översättning på två olika sätt.
• dess omkrets i ordning n är lika med $4F(3n+1)$ , där $F(n)$ är det n ^:te Fibonacci-talet .
• dess area i ordning n följer de successiva indexen för udda rad i Pell-sekvensen (definierad av $P(n)=2P(n- 1)+P(n-2)$ ).

Se även

• gyllene snittet
• Fibonacci nummer
• Fibonacci-ord
• Lista över fraktaler efter Hausdorff-dimension

externa länkar

• " Generera ett Fibonacci-ord fraktal ", OnlineMathTools.com .