Föreningens axiom

Inom den axiomatiska mängdläran är föreningens axiom ett av axiomen för Zermelo–Fraenkels mängdlära . Detta axiom introducerades av Ernst Zermelo .

Axiomet säger att det för varje mängd x finns en mängd y vars element är just elementen i elementen i x .

Formellt uttalande

På det formella språket för Zermelo–Fraenkel-axiomen lyder axiomet:

$\forall A\,\exists B\,\forall c\,(c\in B\iff \exists D\,(c\in D\land D\in A)\,)$

eller i ord:

Givet vilken mängd A som helst , finns det en mängd B så att, för varje element c , c är en medlem av B om och endast om det finns en mängd D så att c är en medlem av D och D är en medlem av A .

eller, enklare:

För varje uppsättning $A$ finns det en uppsättning $\bigcup A\$ som bara består av elementen i elementen i den mängden $A$ .

Relation till parning

Axiomet för förening tillåter en att packa upp en uppsättning set och på så sätt skapa en plattare uppsättning. Tillsammans med axiomet för parning innebär detta att det för alla två uppsättningar finns en mängd (kallad deras union ) som innehåller exakt elementen i de två uppsättningarna.

Relation till ersättning

Axiomet för ersättning tillåter en att bilda många fackföreningar, såsom föreningen av två uppsättningar.

Men i sin fulla allmänhet är föreningens axiom oberoende av resten av ZFC-axiomen: Ersättning bevisar inte existensen av föreningen av en uppsättning uppsättningar om resultatet innehåller ett obegränsat antal kardinaliteter.

Tillsammans med axiomschemat för ersättning , innebär axiomet för förening att man kan bilda föreningen av en familj av mängder indexerade av en mängd.

Förhållande till separation

I samband med mängdteorier som inkluderar separationsaxiomet anges ibland föreningsaxiomet i en svagare form som endast producerar en supermängd av föreningen av en mängd. Till exempel anger Kunen axiomet som

$\forall {\mathcal {F}}\,\exists A\,\forall Y\,\forall x[(x\i Y\land Y\in {\mathcal {F}})\Högerpil x\ i en].$

vilket motsvarar

$\forall {\mathcal {F}}\,\exists A\forall x[[\exists Y(x\in Y\land Y\in {\mathcal {F}})]\Högerpil x\i A ].$

Jämfört med axiomet som anges överst i detta avsnitt, hävdar denna variation endast en riktning av implikationen, snarare än båda riktningarna.

Förhållande till korsning

Det finns inget motsvarande axiom för skärningspunkten . Om $A$ är en icke-tom uppsättning som innehåller $E$ , är det möjligt att bilda skärningspunkten $\bigcap A$ genom att använda axiomschemat för specifikation som

$\bigcap A=\{c\in E:\forall D(D\in A\Rightarrow c\in D)\ }$ ,

så inget separat axiom för skärningspunkten är nödvändigt. (Om A är den tomma mängden , försök att bilda skärningspunkten för A som

{ c : för alla D i A är c ​​i D }

är inte tillåtet av axiomen. Dessutom, om en sådan mängd existerade, skulle den innehålla varje mängd i "universum", men föreställningen om en universell mängd är motsatsen till Zermelo–Fraenkels mängdteorin.)

Vidare läsning

•   Paul Halmos , Naiv mängdteori . Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Omtryckt av Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag-upplagan).
•   Jech, Thomas , 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded . Springer. ISBN 3-540-44085-2 .