n -skelett

Denna hyperkubgraf är 1-skelettet av tesserakten .

Den här artikeln handlar om matematik. För konceptet inom datorgrafik, se topologiskt skelett .

Inom matematiken , särskilt i algebraisk topologi , hänvisar n ) -skelettet av ett topologiskt utrymme X presenterat som ett förenklat komplex (resp. CW-komplex till underrummet X _n som är föreningen av förenklingarna av X (resp. celler av X ) av dimensioner m ≤ n . Med andra ord, givet en induktiv definition av ett komplex, erhålls n -skelettet genom att stanna vid det n -te steget .

Dessa delrum ökar med n . 0 -skelettet är ett diskret utrymme och 1-skelettet en topologisk graf . Skeletten i ett utrymme används i obstruktionsteori , för att konstruera spektrala sekvenser med hjälp av filtreringar , och i allmänhet för att göra induktiva argument . De är särskilt viktiga när X har oändlig dimension, i den meningen att X _n inte blir konstant som n → ∞.

I geometri

Inom geometrin består ett k -skelett av n - polytop P (funktionellt representerat som skel _k ( P )) av alla i - polytopelement av dimension upp till k .

Till exempel:

₀ skel (kub) = 8 hörn

skel ₁ (kub) = 8 hörn, 12 kanter

skel ₂ (kub) = 8 hörn, 12 kanter, 6 kvadratiska ytor

För enkla set

Ovanstående definition av skelettet av ett förenklat komplex är ett särskilt fall av begreppet skelett av en enkel uppsättning . Kort sagt, en enkel uppsättning $K_{*}$ kan beskrivas med en samling av mängder $K_{i},\ i\geq 0$ , tillsammans med ansikts- och degenerationskartor mellan dem som uppfyller ett antal ekvationer. Tanken med n -skelettet $sk_{n}(K_{*})$ är att först kasta mängderna $K_{i}$ med ${\ displaystyle i>n}$ och sedan för att slutföra samlingen av $K_{i}$ med $i\leq n$ till den "minsta möjliga" förenklade uppsättningen så att den resulterande förenklade uppsättningen innehåller inga icke-degenererade förenklingar i grader $i>n$ .

Närmare bestämt begränsningsfunktionen

$i_{*}:\Delta ^{op}Set\rightarrow \Delta _{\leq n}^{op}Set$

har en vänster adjoint, betecknad $i^{*}$ . (Beteckningarna $i^{*},i_{*}$ är jämförbara med den för bildfunktioner för skivor .) n -skelettet för någon enkel uppsättning $K_{* }$ definieras som

$sk_{n}(K):=i^{*}i_{*}K.$

Koskelett

Dessutom har $i_{*}$$i^{!}$ högeradjoint i . n - koskelettet definieras som

$cosk_{n}(K):=i^{!}i_{*}K.$

Till exempel är 0-skelettet för K den konstanta förenklade mängden definierad av $K_{0}$ . 0-koskelettet ges av Cech- nerven

$\dots \rightarrow K_{0}\times K_{0}\rightarrow K_{0}.$

(Gräns- och degenerationsmorfismerna ges av olika projektioner respektive diagonala inbäddningar.)

Ovanstående konstruktioner fungerar även för mer generella kategorier (istället för set) förutsatt att kategorin har fiberprodukter . Koskelettet behövs för att definiera begreppet hypercovering i homotopisk algebra och algebraisk geometri .

externa länkar

• Weisstein, Eric W. "Skeleton" . MathWorld .