Rättade 6-ortoplexer

Ortogonala projektioner i B ₆ Coxeter-plan
6-ortoplex	Rättad 6-ortoplex	Birektifierad 6-ortoplex
Birekifierad 6-kub	Rättad 6-kub	6-kub

I sexdimensionell geometri är en rätad 6-ortoplex en konvex enhetlig 6-polytop , som är en rätning av den vanliga 6-ortoplexen .

Det finns unika 6 grader av korrigeringar, den nolla är 6-ortoplexet och den 6:e och sista är 6-kuben . Vertices av det rätade 6-ortoplexet är belägna vid kant-centrum av 6-ortoplexet. Vertices av det birectifierade 6-ortoplexet är belägna i de triangulära ansiktscentrumen av 6-ortoplexet.

Rättad 6-ortoplex

Rättad hexacross
Typ	enhetlig 6-polytop
Schläfli symboler	t ₁ {3 ⁴ ,4} eller r{3 ⁴ ,4} $\left\{{\begin{array}{l}3,3,3,4\ \3\end{array}}\right\}$ r{3,3,3,3 ^1,1 }
Coxeter-Dynkin diagram	= =
5-ansikten	76 totalt: 64 rätade 5-simplex 12 5-ortoplex
4-ansikten	576 totalt: 192 rätade 5-celler 384 5-celler
Celler	1200 totalt: 240 oktaeder 960 tetraeder
Ansikten	1120 totalt: 160 och 960 trianglar
Kanter	480
Vertices	60
Vertex figur	16-cells prisma
Petrie polygon	Dodecagon
Coxeter grupper	B ₆ , [3,3,3,3,4] D ₆ , [3 ^3,1,1 ]
Egenskaper	konvex

Den rätade 6-ortoplexen är vertexfiguren för den demihexeraktiska bikakan .

eller

Alternativa namn

sexkantsrättad
rektifierad hexacontitetrapeton (akronym: rag) (Jonathan Bowers)

Konstruktion

Det finns två Coxeter-grupper associerade med den rätade hexacrossen , en med C ₆ eller [4,3,3,3,3] Coxeter-gruppen, och en lägre symmetri med två kopior av pentacross-facetter, alternerande, med D ₆ eller [ 3 ^3,1,1 ] Coxeter grupp.

kartesiska koordinater

Kartesiska koordinater för hörn av en rätad hexacross, centrerad vid origo, kantlängd ${\sqrt {2}}\$ är alla permutationer av:

(±1,±1,0,0,0,0)

Bilder

ortografiska projektioner
Coxeter plan	B ₆	B ₅	B ₄
Graf
Dihedral symmetri	[12]	[10]	[8]
Coxeter plan	B ₃	B ₂
Graf
Dihedral symmetri	[6]	[4]
Coxeter plan	En ₅	A ₃
Graf
Dihedral symmetri	[6]	[4]

Rotvektorer

De 60 hörnen representerar rotvektorerna för den enkla Lie-gruppen D ₆ . Hörnen kan ses i 3 hyperplan , med de 15 riktade 5-simplex- cellerna på motsatta sidor och 30 hörn av en expanderad 5-simplex som passerar genom mitten. När de kombineras med de 12 hörnen av 6-ortoplexet representerar dessa hörn de 72 rotvektorerna i B ₆ och C ₆ enkla Lie-grupperna.

De 60 rötterna av D ₆ kan vikas geometriskt till H ₃ ( Icosahedral symmetri ), för att skapa 2 kopior av 30-vertex icosidodecahedra , med det gyllene förhållandet mellan deras radier:

Rättad 6-ortoplex		2 icosidodecahedra
3D (H3-projektion)	A ₄ /B ₅ /D ₆ Coxeter-plan	H ₂ Coxeter plan

Birektifierad 6-ortoplex

Birektifierad 6-ortoplex
Typ	enhetlig 6-polytop
Schläfli symboler	t ₂ {3 ⁴ ,4} eller 2r{3 ⁴ ,4} $\left\{{\begin{array}{l}3,3,4\\3 ,3\end{array}}\right\}$ t ₂ {3,3,3,3 ^1,1 }
Coxeter-Dynkin diagram	= =
5-ansikten	76
4-ansikten	636
Celler	2160
Ansikten	2880
Kanter	1440
Vertices	160
Vertex figur	{3} × {3,4} duopris
Petrie polygon	Dodecagon
Coxeter grupper	B ₆ , [3,3,3,3,4] D ₆ , [3 ^3,1,1 ]
Egenskaper	konvex

Det birektifierade 6-ortoplexburkens tessellationsutrymme i den treriktade 6-kubiska bikakan .

Alternativa namn

dubbelriktad hexacross
birectified hexacontitetrapeton (akronym: brag) (Jonathan Bowers)

kartesiska koordinater

Kartesiska koordinater för hörn av en rätad hexacross, centrerad vid origo, kantlängd ${\sqrt {2}}\$ är alla permutationer av:

(±1,±1,±1,0,0,0)

Bilder

ortografiska projektioner
Coxeter plan	B ₆	B ₅	B ₄
Graf
Dihedral symmetri	[12]	[10]	[8]
Coxeter plan	B ₃	B ₂
Graf
Dihedral symmetri	[6]	[4]
Coxeter plan	En ₅	A ₃
Graf
Dihedral symmetri	[6]	[4]

Det kan också projiceras i 3D-dimensioner som --> , ett dodekaederhölje .

Besläktade polytoper

Dessa polytoper är en del av en familj av 63 enhetliga 6-polytoper genererade från B ₆ Coxeter-planet , inklusive den vanliga 6-kuben eller 6-ortoplexen .

B6 polytoper
β ₆	t ₁ β ₆	t ₂ β ₆	t ₂ y ₆	t ₁ y ₆	γ ₆	t _0,1 β ₆	t _0,2 β ₆
t _1,2 β ₆	t _0,3 β ₆	t _1,3 β ₆	t _2,3 y ₆	t _0,4 β ₆	t _1,4 y ₆	t _1,3 y ₆	t _1,2 y ₆
t _0,5 y ₆	t _0,4 y ₆	t _0,3 y ₆	t _0,2 y ₆	t _0,1 y ₆	t _0,1,2 P6 _{_}	t _0,1,3 P6 _{_}	t _0,2,3 P6 _{_}
t _1,2,3 P6 _{_}	t _0,1,4 P6 _{_}	t _0,2,4 P6 _{_}	t _1,2,4 β ₆	t _0,3,4 P6 _{_}	t _1,2,4 y ₆	t _1,2,3 y ₆	t _0,1,5 p6 _{_}
t _0,2,5 β ₆	t _0,3,4 y ₆	t _0,2,5 y ₆	t _0,2,4 y ₆	t _0,2,3 y ₆	t _0,1,5 y ₆	t _0,1,4 y ₆	t _0,1,3 y ₆
t _0,1,2 y ₆	t _0,1,2,3 P6 _{_}	t _0,1,2,4 P6 _{_}	t _0,1,3,4 P6 _{_}	t _0,2,3,4 P6 _{_}	t _1,2,3,4 y ₆	t _0,1,2,5 p6 _{_}	t _0,1,3,5 β ₆
t _0,2,3,5 y ₆	t _0,2,3,4 y ₆	t _0,1,4,5 y ₆	t _0,1,3,5 y ₆	t _0,1,3,4 y ₆	t _0,1,2,5 y ₆	t _0,1,2,4 y ₆	t _0,1,2,3 y ₆
t _0,1,2,3,4 β ₆	t _0,1,2,3,5 β6 _{_}	t _0,1,2,4,5 β6 _{_}	t _0,1,2,4,5 y ₆	t _0,1,2,3,5 y ₆	t _0,1,2,3,4 y ₆	t _0,1,2,3,4,5 y ₆

Anteckningar

HSM Coxeter :
- HSM Coxeter, Regular Polytopes , 3:e upplagan, Dover New York, 1973
- Kaleidoscopes: Selected Writings of HSM Coxeter , redigerad av F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
  - (Papper 22) HSM Coxeter, Regular and Semi Regular Polytopes I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
  - (Papper 23) HSM Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
  - (Papper 24) HSM Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
Norman Johnson Uniform Polytopes , Manuscript (1991)
- NW Johnson: Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs , Ph.D.
Klitzing, Richard. "6D enhetliga polytoper (polypeta)" . o3x3o3o3o4o - trasa, o3o3x3o3o4o - skryta

externa länkar

Grundläggande konvexa regelbundna och enhetliga polytoper i dimensionerna 2–10
Familj	A _n	B _n	I ₂ (p) / D _n	E ₆ / E ₇ / E ₈ / F ₄ / G ₂	H _n
Vanlig polygon	Triangel	Fyrkant	p-gon	Sexhörning	Pentagon
Uniform polyeder	Tetraeder	Oktaeder • Kub	Demicube		Dodekaeder • Ikosaeder
Uniform polychoron	Pentachoron	16-celler • Tesseract	Demitesseract	24-celler	120-celler • 600-celler
Uniform 5-polytop	5-simplex	5-ortoplex • 5-kub	5-demikub
Uniform 6-polytop	6-simplex	6-ortoplex • 6-kub	6-demikub	1 ₂₂ • 2 ₂₁
Uniform 7-polytop	7-simplex	7-ortoplex • 7-kub	7-demikub	1 ₃₂ • 2 ₃₁ • 3 ₂₁
Uniform 8-polytop	8-simplex	8-ortoplex • 8-kub	8-demikub	1 ₄₂ • 2 ₄₁ • 4 ₂₁
Uniform 9-polytop	9-simplex	9-ortoplex • 9-kub	9-demikub
Uniform 10-polytop	10-simplex	10-ortoplex • 10-kub	10-demikub
Uniform n - polytop	n - simplex	n - ortoplex • n - kub	n - demikub	1 _k2 • 2 _k1 • k ₂₁	n - femkantig polytop
Ämnen: Polytopfamiljer • Vanlig polytop • Lista över vanliga polytoper och sammansättningar