Eisenstein heltal

"Eulerian integer" och "Euler integer" omdirigerar hit. För annan användning, se Lista över ämnen uppkallade efter Leonhard Euler § Eulers nummer .

Eisenstein-heltal som skärningspunkter för ett triangulärt gitter i det komplexa planet

Inom matematiken är Eisenstein -heltalen (uppkallade efter Gotthold Eisenstein ), ibland även kända som Euleriska heltal (efter Leonhard Euler ), de komplexa talen i formen

$z=a+b\omega ,$

där a och b är heltal och

$\omega ={\frac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}=e^{i2\pi /3 }$

är en primitiv (därav icke-verklig) kubrot av enhet . Eisenstein-heltalen bildar ett triangulärt gitter i det komplexa planet , i kontrast till det Gaussiska heltal , som bildar ett kvadratiskt gitter i det komplexa planet. Eisensteins heltal är en countably oändlig mängd .

Egenskaper

Eisenstein-heltalen bildar en kommutativ ring av algebraiska heltal i det algebraiska talfältet $\mathbb {Q} (\omega )$ — det tredje cyklotomiska fältet . För att se att Eisenstein-heltalen är algebraiska heltal, observera att varje   z = a + bω   är en rot av det moniska polynomet

$z^{2}-(2a-b)\;\!z+\left(a^{2}-ab+b^{2}\right)~.$

I synnerhet uppfyller ω ekvationen

$\omega ^{2}+\omega +1=0~.$

Produkten av två Eisenstein-heltal   a + bω   och   c + dω   ges explicit av

$(a+b\;\!\omega )\;\!(c+d\;\!\omega )=(ac-bd)+(bc+ad-bd)\;\!\omega ~ .$

2-normen för ett Eisenstein-heltal är bara dess kvadratiska modul och ges av

${\left|a+b\;\!\omega \right|}^{2}\ ,=\,{(a-{\tfrac {1}{2}}b)}^{2}+{\tfrac {3}{4}}b^{2}\,=\,a^{2 }-ab+b^{2}~,$

vilket helt klart är ett positivt vanligt (rationellt) heltal.

Dessutom uppfyller det komplexa konjugatet av ω

${\bar {\omega }}=\omega ^{2}~.$

Gruppen av enheter i denna ring är den cykliska grupp som bildas av de sjätte rötterna av enhet i det komplexa planet: $\left\{\pm 1,\pm \omega ,\pm \omega ^{2}\right\}~,$ Eisenstein-heltalen i norm 1.

Eisenstein primtal

Huvudartikel: Eisenstein prime

Små Eisenstein-primtal.

Om x och y är Eisenstein-heltal, säger vi att x delar y om det finns något Eisenstein-heltal z så att y = zx . Ett icke-enhets Eisenstein-heltal x sägs vara ett Eisenstein-primtal om dess enda icke-enhetsdelare är av formen ux , där u är någon av de sex enheterna.

Det finns två typer av Eisenstein prime. För det första är ett vanligt primtal (eller rationellt primtal ) som är kongruent med 2 mod 3 också ett Eisenstein-primtal. För det andra är 3 och varje rationellt primtal kongruent med 1 mod 3 lika med normen x ² − xy + y ² för ett Eisentein-heltal x + ωy . Således kan ett sådant primtal faktoriseras som ( x + ωy )( x + ω ² y ) , och dessa faktorer är Eisenstein-primtal: de är just de Eisenstein-heltal vars norm är ett rationellt primtal.

Euklidisk domän

Ringen av Eisensteins heltal bildar en euklidisk domän vars norm N ges av kvadratmodulen, enligt ovan:

$N(a+b\,\omega )=a^{2}-ab+b^{2}.$

En divisionsalgoritm , applicerad på valfri utdelning $\alpha$ och divisor ${\displaystyle \beta \neq 0} ,$ ger en kvot $\kappa$ och en rest $\rho$ mindre än divisorn, som uppfyller:

$\alpha =\kappa \beta +\rho \ \ {\text{ med }}\ \ N(\rho )<N(\beta ).$

Här är $\alpha ,\beta ,\kappa ,\rho$ alla Eisenstein-heltal. Denna algoritm antyder den euklidiska algoritmen , som bevisar Euklids lemma och den unika faktoriseringen av Eisenstein-heltal till Eisenstein-primtal.

En divisionsalgoritm är följande. Utför först divisionen i fältet komplexa tal och skriv kvoten i termer av ω:

${\frac {\alpha }{\beta }}\ =\ {\tfrac {1}{\ |\beta |^{2}}}\alpha {\overline {\beta }}\ =\ a+bi\ =\ a+{\tfrac {1}{\sqrt {3}}}b+{\tfrac {2}{\ sqrt {3}}}b\omega ,$

för rationell $a,b\in \mathbb {Q}$ . Erhåll sedan Eisensteins heltalskvot genom att avrunda de rationella koefficienterna till närmaste heltal:

$\kappa =\left\lfloor a+{\tfrac {1}{\sqrt {3}}}b\right\rceil +\left\lfloor {\tfrac {2}{\sqrt {3}}}b \right\rceil \omega \ \ {\text{ och }}\ \ \rho ={\alpha }-\kappa \beta .$

Här kan $\lfloor x\rceil$ beteckna vilken som helst av standardfunktionerna för avrundning till heltal.

Anledningen till att detta uppfyller ${\displaystyle N(\rho )<N(\beta )} ,$ medan den analoga proceduren misslyckas för de flesta andra kvadratiska heltalsringar, är följande. En grundläggande domän för den ideala ${\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]\beta =\mathbb {Z} \beta +\mathbb {Z} \omega \beta } ,$ som verkar genom translationer på det komplexa planet, är 60°–120° romben med hörn $0,\beta ,\omega \beta ,\beta +\omega \beta$ . Alla Eisenstein-heltal α ligger inuti en av översättningarna av detta parallellogram, och kvoten $\kappa$ är en av dess hörn. Resten är det kvadratiska avståndet från α till denna vertex, men det maximala möjliga avståndet i vår algoritm är bara ${\tfrac {\sqrt {3}}{2}}|\beta |$ , så $|\rho |\leq {\tfrac {\sqrt {3}}{2}}|\beta |<|\beta |$ . (Storleken på ρ kan minskas något genom att ta $\kappa$ som det närmaste hörnet.)

Kvotient av C av Eisensteins heltal

Kvoten för det komplexa planet C av gittret som innehåller alla Eisenstein-heltal är en komplex torus av reell dimension 2. Detta är en av två tori med maximal symmetri bland alla sådana komplexa tori. Denna torus kan erhållas genom att identifiera vart och ett av de tre paren av motsatta kanter av en vanlig hexagon. (Den andra maximalt symmetriska torusen är kvoten av det komplexa planet av det additiva gittret av Gaussiska heltal , och kan erhållas genom att identifiera vart och ett av de två paren av motsatta sidor av en kvadratisk fundamental domän, såsom [ 0,1] × [ 0,1] .)

Se även

• Gaussiskt heltal
• Cyklotomiskt fält
• Systolisk geometri
• Hermite konstant
• Kubik ömsesidighet
• Loewners torus ojämlikhet
• Hurwitz quaternion
• Kvadratisk heltal
• Dixon elliptiska funktioner

externa länkar

• Eisenstein Integer--från MathWorld